Logaritmos ¿Cuál es la etimología de la palabra “logaritmo

Instituto Raúl Scalabrini Ortiz
Matemática 4º Año
Logaritmos
La invención de los logaritmos se debe al matemático escocés John
Neper quien, a principios del siglo XVII, intentó idear un método que
aliviara los complejos cálculos que debían realizarse en astronomía para
resolver problemas trigonométricos. Esta idea pronto trascendió el ámbito
de la pura aplicación práctica para convertirse en uno de los pilares de las
matemáticas modernas.
¿Cuál es la etimología de la palabra “logaritmo”?
Proviene del griego
Lógos: estilo, manera, relación, razón
Arithmós: número
¿Para qué sirven los logaritmos?
Los logaritmos fueron ideados antes que las computadoras actuales y
permiten realizar operaciones con números muy grandes o muy pequeños. El
logaritmo simplifica el cálculo, siempre y cuando no contemos con una
calculadora científica. A medida que se analizaron más y más los logaritmos
se fueron ideando muchas propiedades que simplifican aun más el cálculo.
Es verdad que muchos de dichos cálculos se pueden hacer actualmente con
la ayuda de las computadoras. Pero en algunas ocasiones se encontrarán
explicaciones de ciertos temas utilizando logaritmos y no podremos
entenderlas a menos que tengamos una base en el tema.
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Función Logarítmica:
y = loga x
∧a>0 ∧ a≠0∧x>0
Dominio = ( 0 ; ∞)
Imagen = (- ∞ ; + ∞)
Función creciente
Son funciones donde el dominio debe ser mayor que cero, pues no existe
el logaritmo de cero ni de un número negativo, el por que de dicha
característica reside en el hecho que al elevar una base positiva nunca
puede obtenerse como resultado un valor negativo ni menor de cero.
Logaritmo de un número Definición:
La logaritmación es una operación entre dos números reales a y b,
llamados base y argumento respectivamente, que se define como:
loga b = c ⇔ b = ac ∧ a > 0 ∧ a ≠ 0 ∧ b > 0
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Se lee logaritmo en base a (donde a es un valor positivo y distinto de 1)
de un número b positivo al exponente al que hay que elevar la base para
obtener este número.
El símbolo del logaritmo en base a es loga
Ejemplos:
a) log2 8 = 3 ⇔ 8 = 23
b) log2 1 = -2 ⇔ 1 = 2-2
4
4
c) log9 3 = 1 ⇔ 1
92 = 9 = 3
2
Existen dos logaritmos cuya notación es especial: los logaritmos de base
10, utilizados con mucha frecuencia, llamados logaritmos decimales;
log 10 b = log b
y los que tienen como base el número e = 2,718281828...... que se
denominan logaritmos naturales o neperianos,
log e b = ln b
Propiedades de los logaritmos
A partir de las propiedades de las potencias, se deducen diversas
propiedades interesantes de los logaritmos en cualquier base. Estas
propiedades se resumen en.:
1- El logaritmo de la base es siempre igual a 1
loga a = 1 ⇔ a1 = a
2 - El logaritmo de 1 en cualquier base es 0
loga 1 = 0 ⇔ a0 = 1
3 - El logaritmo de un producto es igual a la suma de logaritmos
loga (x . y) = loga x + loga y
4 - El logaritmo de un cociente es igual a la resta de logaritmos
loga (x/y) = loga x - loga y
5 - El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente
por el logaritmo de la base (este enunciado engloba al logaritmo de una
raíz, entendida como una potencia de exponente fraccionario)
loga (x)p = p . loga x
p
loga
x
= loga ( x)
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1
p
=
1
. loga x
p
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Resumiendo las propiedades:
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Resumen de
las
propiedades
Cambio de base entre logaritmos
Un mismo número tiene logaritmos diferentes según la base elegida.
Ahora bien, basta conocer el logaritmo de un número en una base para
determinar su valor en cualquier otra base, a partir de la siguiente
propiedad de cambio de base:
Logaritmos decimales
Los logaritmos de base 10, se llaman logaritmos decimales.
Normalmente, estos logaritmos se simbolizan por log, sin indicar la base.
En el valor de un logaritmo decimal pueden distinguirse dos partes
complementarias:
•
La característica, que expresa el orden de magnitud de esta
cantidad y tiene valores enteros.
•
La mantisa, o parte marginal del logaritmo, que expresa su
componente decimal.
Por ejemplo, el logaritmo del número 100 es 2, por lo que sólo tiene
característica (igual a 2) y su mantisa es nula. En cambio, el logaritmo del
número 2 es 0,301030, característica igual a 0 y mantisa 301030.
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•
Los logaritmos de números mayores o iguales que 1 y menores
que 10 tienen característica 0.
•
Los logaritmos de números mayores o iguales que 10 y menores
que 100 tienen característica 1.
•
Los de los números mayores o iguales que 100 y menores que
1000 tienen característica 2, y así sucesivamente.
•
En cambio, los logaritmos de los números menores que 1 tienen
característica negativa.
Por otra parte, la mantisa de los números que sólo difieren entre sí en
potencias de 10 tienen igual mantisa. Por ejemplo:
mantisa (log 2) = mantisa (log 20) = mantisa (log 200) = 301029996
mantisa (log 0,2) = mantisa (log 0,02) = mantisa (log 0,002) =
698970004
Logaritmos neperianos
Los logaritmos neperianos o naturales tienen como base el número e =
2,7182818285... Estos logaritmos se simbolizan por ln (por ejemplo, ln 2).
La elección de una base aparentemente tan arbitraria responde a las
singulares propiedades de la función exponencial ex, de manera que los
logaritmos neperianos (que deben su nombre a su inventor, John Neper),
tienen aplicaciones en numerosísimos campos científicos, técnicos y
sociales.
Para determinar valores de logaritmos neperianos se utilizan hoy en día
calculadoras portátiles. Sin embargo, en el pasado era necesario recurrir
al siguiente procedimiento:
•
Calcular el logaritmo decimal del número, con ayuda de una tabla
de logaritmos.
•
Calcular el logaritmo neperiano por medio de un cambio de base,
sabiendo que log e = 0,434294 ya que:
Ejemplos
Expresa los logaritmos decimales de los siguientes números en función
de log 2 ≈ 0,3. Los números son los siguientes:
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a) 4,
b) 16,
1
c) 32 ,
e) 0.5;
f) 0.25;
g) 0.125;
i)
2,
j)
8,
k)
1
2,
1
d) 1024
h) 0.0625
1
l) 64
Hay que expresar los números dados en función de 2.
Cuando no ponemos la base del logaritmo se entiende que es 10, o sea
que se trata de logaritmo decimal.
2
2
a) log 4 = log 2 (Propiedad 6) Æ log 4 = log 2 = 2.log 2
4
4
b) log16 = log 2 (Propiedad 6) Æ log16 = log 2 = 4.log 2
1
1
= log 5 = log 2−5
32
2
c)
(Propiedad 6) Æ
1
1
= log 5 = log 2−5 = −5.log 2
log
32
2
log
1
1
= log 10 = log 2−10
1024
2
d)
(Propiedad 6) Æ
1
1
= log 10 = log 2−10 = −10.log 2
log
1024
2
log
5
1
= log = log 2−1
10
2
e)
(Propiedad 6) Æ
−1
log 0.5 = log 2 = −1.log 2 = − log 2
log 0.5 = log
25
1
1
= log = log 2 = log 2−2
100
4
2
(Propiedad 6) Æ
f)
−2
log 0.25 = log 2 = −2.log 2
log 0.25 = log
125
1
1
= log = log 3 = log 2−3
1000
8
2
g)
(Propiedad 6) Æ
−3
log 0.125 = log 2 = −3.log 2
log 0.125 = log
625
1
1
= log = log 4 = log 2−4
10000
16
2
h)
(Propiedad 6) Æ
−4
log 0.0625 = log 2 = −4.log 2
log 0.0625 = log
i)
log 2 =
1
log 2
2
(Por la propiedad 7)
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1
log 8 = log 8
2
j)
(Por la propiedad 7),
1
1
3
log 8 = log 8 = log 23 = log 2
2
2
2
(Por la propiedad 6)
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1 1
1
1
= log
log = − log 2
2 2
2 (Por la propiedad 7), el
2
k)
(lo hemos
hecho más arriba en el apartado e) Æ
log
log
l)
1 1
1 1
1
= log = ( − log 2 ) = − log 2
2 2
2 2
2
1 1
1
= log
64 2
64 (Por la propiedad 7), el
1
1
= log 6 = log 2−6 = −6 log 2
log
64
2
(por la propiedad 6) Æ
log
log
1 1
1 1
6
= log
= ( −6 log 2 ) = − log 2 = −3log 2
64 2
64 2
2
Resolver los
ejercicios 1 al
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