Intervalos de confianza para la media.

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA. ERROR Y TAMAÑO MUESTRAL
1. Se quiere estimar la media de la nómina mensual que reciben los directivos de las compañías
multinacionales que operan en Europa.
a) Si la varianza de la nómina en la población es de 1000 €2. ¿Cuál es la varianza de la media muestral
cuando el tamaño de la muestra es de 100?
Solución: a) Desviación típica de la media muestral =
σ
n
=
1000
= 10 ⇒ Varianza de la media muestral = 10
100
2. Se supone que la vida de las bombillas de un determinado tipo sigue una distribución Normal de media
1000 horas y desviación típica 60 horas. Se toma una muestra al azar de 225 de estas bombillas y se calcula
su media. ¿Cuál es la probabilidad de que esta media sea menor que 996 horas?
Solución: P ( x < 996) = 0,1587
3. En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta recibir atención es una variable aleatoria
Normal de media 10 minutos y desviación típica 2 minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de
espera de los clientes que llegan en un día concreto. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25 clientes no supere
los 9 minutos?
b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestral aleatorias de 64 clientes?
Especificar sus parámetros.
Solución: a) P ( x < 9) = 0,0062
 σ 
b) x = N  µ ,
 = N (10; 0,25)
n

4. Las alturas, expresadas en centímetros, de los estudiantes de segundo de Bachillerato se distribuyen
normalmente con una desviación típica de 20 cm. En un colectivo de 500 estudiantes de segundo de
Bachillerato se ha obtenido una media de 160 cm.
a) Calcula, con una probabilidad del 98 %, entre qué valores estará la media de la altura de la población
total de estudiantes de segundo de Bachillerato.
b) Interpreta el significado del intervalo obtenido.
Solución: a) I = (157,16; 162,08)
b) En el 98 % de las posibles muestras, la media de la altura de la población está entre (157,162,08)
5. Se quiere conocer la permanencia media de pacientes en un hospital, con el fin de estudiar una posible
ampliación del mismo. Se tienen datos referidos a la estancia, expresada en días, de 800 pacientes,
obteniéndose los siguientes resultados: x = 8,1 días; s = 9 días. Se pide obtener un intervalo de confianza del
95 % para la estancia media.
Solución: I = (7,476; 8,723)
6. Se hizo una encuesta aleatoria entre 130 estudiantes universitarios, de los cuales 85 eran mujeres, sobre
el número de horas que estudian diariamente fuera del aula, obteniéndose una media de 3,4 horas.
a) Si la desviación típica es de 1,1 horas, obtener un intervalo de confianza, al 98 %, para la media del
número de horas que estudian diariamente fuera del aula los estudiantes universitarios.
b) Obtener un intervalo de confianza, al 90 %, para la proporción de mujeres entre los estudiantes
universitarios.
Solución: a) I = (3,175; 3,625)
b) I = (0,6123; 0,6957)
7. En un país se selecciona aleatoriamente una muestra de 900 personas. A la salida de los colegios
electorales se les preguntó si habían votado al partido político X y 289 contestaron que sí y el resto que no.
Determinar un intervalo que nos dé el porcentaje de votos del partido X con un nivel de confianza del 95 %,
explicando los pasos realizados para su obtención.
Solución: I = (28,96; 35,04)
8. Un determinado producto se envasa en paquetes cuyo peso, en gramos, se comporta como una
N (250, 35). Si con dichos paquetes se forman cajas de 100 unidades, se pide determinar:
a) El intervalos de confianza del 90 % para los pesos medios de los paquetes en las cajas.
b) El número de paquetes de las cajas si queremos que el error cometido sea la décima parte que en el
caso anterior, con un nivel de confianza del 90 %.
Solución: a) I = (244,24; 255,76)
Dpto. de Matemáticas
b) n > 10000
IES “Ramón Olleros”
9. Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las pilas que fabrica sigue
una distribución Normal de media desconocida y varianza 3600. Con una muestra de su producción, elegida
al azar, y un nivel de confianza del 95 % ha obtenido para la media el intervalo de confianza (372,6; 392,2).
a) Calcula el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado.
b) ¿Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de
confianza del 86,9 %?
Solución: a) x = 382,4
n = 144
b) E = ± 6,04
10. El peso de los paquetes enviados por una determinada empresa de transportes se distribuye según una ley
Normal, con una desviación típica de 0,9 Kg. En un estudio realizado con una muestra aleatoria de 9
paquetes, se obtuvieron los siguientes pesos en kilos:
9,5
10
8,5
10,5 12,5 10,5 12,5 13
12
a) Halla un intervalo de confianza, al 90 %, para el peso medio de los paquetes enviados por esa
empresa.
b) Calcula el tamaño mínimo que debería tener una muestra, en el caso de admitir un error máximo de
0,3 Kg, con un nivel de confianza del 90 %.
Solución: a) I = (10,23; 11,77)
b) n mínimo = 25
11. En una población escolar se ha comprobado que la estatura sigue un modelo Normal de probabilidad. A
partir de una muestra de 81 escolares de dicha población se ha calculado una estatura media de 159 cm y una
cuasivarianza de 169 cm2. Teniendo en cuenta esta información:
a) Determinar el error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99 %, si estimamos en 159 cm
la estatura media en esa población escolar.
Solución: a) E = ± 3,698
12. Se sabe que el gasto semanal (en euros) en ocio para los jóvenes de una cierta ciudad sigue una
distribución Normal con desviación típica σ conocida.
a) Para una muestra aleatoria de 100 jóvenes de esa ciudad, el intervalo de confianza al 95 % para el
gasto medio semanal µ es (27; 33). Hallar la correspondiente media muestral x y el valor de σ.
b) ¿Qué número de jóvenes tendríamos que seleccionar al azar, como mínimo, para garantizar, con una
confianza del 95 %, una estimación de dicho gasto medio con un error máximo no superior a 2 euros
semanales?
Solución: a) x = 30
σ = 15,3
b) n mínimo = 225
13. En un país se sabe que la altura de la población se distribuye según una Normal cuya desviación típica es
igual a 10 centímetros.
a) Si dicha media fuera de 170 centímetros, calcular la probabilidad de que la media muestral, de una
muestra de 64 personas, difiera menos de un centímetro de la media de la población.
b) ¿Cuál es el tamaño muestral que se debe tomar para estimar la media de la altura de la población con
un error menor de 2 centímetros y con un nivel de confianza del 95 %?
Solución: a) P (169 < x < 171) = 0,5762
b) n mínimo = 97
14. La estatura de los miembros de una población se distribuye según la ley Normal de media desconocida y
desviación típica 9 cm. Con el fin de estimar la media se toma una muestra de 9 individuos de la población,
obteniéndose para ellos una media aritmética igual a 170 cm.
a) Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95 % para la estatura media de la población.
b) Calcula el tamaño muestral necesario para estimar la media de la población con una precisión de
± 5 cm y un nivel de confianza del 99 %.
Solución: a) I = (164,12; 175,88)
b) n mínimo = 22
15. El precio de ciertos electrodomésticos puede considerarse una variable aleatoria con distribución Normal
de desviación típica 100 euros. Los precios en euros correspondientes a una muestra de 9 de estos
electrodomésticos son
255
85
120
290
80
80
275
290
135
a) Construir un intervalo de confianza al 98 % para la media poblacional.
b) Hallar el tamaño mínimo que debe tener la muestra, para que con un nivel de confianza del 99 %, el
error de estimación del precio no supere los 50 euros.
Solución: a) I = (101,21; 256,54)
Dpto. de Matemáticas
b) n mínimo = 27
IES “Ramón Olleros”