Tema 3

Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
Tema 3
CAMPO NORMAL DE LA GRAVEDAD
75
3.1 Aceleración de la gravedad. Fórmula de Clairaut de 1er orden.
En el tema 2 hemos resuelto el valor del potencial de la Tierra (U), estableciendo para
ello diferentes hipótesis y aproximaciones. En este capítulo resolveremos una
aproximación a los valores de la aceleración de la gravedad () generados por los
potenciales teóricos de la Tierra U.
Como ya sabemos la gravedad en el punto P viene dado por el gradiente del potencial en
dicho punto
g  W
(3.1)
siendo g el vector de la gravedad observado en el punto P y W el potencial real de la
Tierra. Si sustituimos W por U que es el potencial de la gravedad teórico, del cual
hemos resuelto diferentes aproximaciones en el tema anterior, obtendremos un valor
aproximado para la aceleración de la gravedad, en este caso la aceleración de la
gravedad la designaremos por γ
  U
(3.2)
De las diferentes componentes que podemos resolver de la aceleración γ (γr,γθ,γλ),
vamos a establecer que γθ,= 0 y γλ=0, debido a que el valor de estas componentes es
muy pequeño en comparación con γr, con lo que finalmente tenemos que,
  U 
U
r
(3.3)
en el caso que utilicemos como aproximación del potencial U la fórmula (2.82)
obtendríamos γ con una aproximación de 1er orden
  U 
U
GM
 2
r
a
2
 a 2 3  a 4

r
2
2



J
3
sen


1

m

  cos  
 
2
a
 r  2  r 

(3.4)
Ahora pasemos a resolver el valor de la gravedad sobre un elipsoide que es la forma
regular que más se aproxima a la Tierra. Esta operación nos permite establecer el valor
76
Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
de r en función de a, ya que sobre el elipsoide se resuelve que r = a (1-  sen2  )1
quedando (3.4)
 
GM
2
a







2
2 3
2
2 4
2
2 
 2m 1  sen  1   sen  
(1   sen  )  2 J 2 3 sen   1 1   sen 

(3.5)
En el ecuador la aceleración tendrá un valor de:
 e 
GM
a2
 3

1  2 J 2  m


(3.6)
Operando en (3.6)
GM
e

2
3
a
1  J2  m
2
(3.7)
Sustituyendo este valor en (3.5) y

tomando términos de primer orden


9
2



   e 1   2  m  J 2  sen 2  

según Udias (1997) resulta

(3.8)
La expresión resuelta da el valor de la
p
gravedad normal en aproximación de
primer orden, en un punto de la
superficie del elipsoide, en función de
e
su valor en el ecuador.
Teniendo en cuenta que el valor
máximo de la gravedad se da en el
polo (p) y el mínimo le corresponde
Fig.3.1.
al ecuador e,, podemos establecer
según Udias (1997) que el valor  se puede resolver estableciendo que los valores de la
aceleración de la gravedad se ciñen a la curva de una elipse
  e 1   sen 2  
(3.9)
Siendo 
1
* En la bibliografía podemos encontrar el aplanamiento designado tanto por  como por f
77

 p e
e
(3.10)
Por analogía de (3.8) con (3.9) podemos establecer que
9
2
  2  m  J 2
(3.11)
La cual se conoce como la fórmula de Clairaut. Si sustituimos J2 de (2.89) en la fórmula
de Clairaut (3.11) obtenemos
5
2
 m
(3.12)
estableciendo esta ecuación que la forma de la Tierra que vendría resuelta por el
aplanamiento del elipsoide , se puede obtener a través de m y  siendo estos
parámetros, parámetros físicos o constantes dinámicas los cuales dependen de cómo esta
distribuida la masa de la Tierra. Otra deducción que podríamos obtener es que se puede
obtener la forma de la Tierra midiendo la gravedad sobre ella (como mínimo hacen falta
dos puntos).
3.2. Elipsoide de nivel. Campo normal de la gravedad.
Para la determinación del campo exterior de la gravedad se requiere el establecer un
sistema de referencia gravimétrico (al igual que en geodesia se utiliza el elipsoide como
figura de referencia para reducir las medidas, en geofísica se establece una superficie de
referencia para los valores de gravedad), el cual es conocido como campo normal de la
gravedad. El origen o fuente de este campo es generado por un modelo de Tierra el
cual representa una figura normal de la Tierra (cuando hablamos de “normal” nos
referimos a una superficie con una definición geométrica regular).
Un modelo estándar de referencia de Tierra ya sea geodésico o gravimétrico debe
garantizar un encaje o ajuste bastante aproximado con la superficie de la Tierra y con el
campo de gravedad externo de la Tierra, pero no hay que olvidar que este modelo
estándar debe tener una facilidad de uso, facilitar un cálculo rápido y sencillo de los
valores de la gravedad.
78
Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
A este respecto la figura normal que mejor se ciñe a estas condiciones es un elipsoide de
ω
b
a
M
Fig.3.2
revolución (descrpición geométrica) o elipsoide de nivel (descripción potencial).
Para definir esta figura hay que establecer por una parte su geometría que viene dada
por el semieje mayor a y su aplanamiento α o f y por otra parte sus parámetros físicos la
masa M y su velocidad angular de rotación ω. El campo de la gravedad originado sería
fruto de la gravitación y rotación del elipsoide.
Veamos algunas propiedades del campo potencial generado por el elipsoide definido.
 La superficie del elipsoide es una superficie equipotencial, U(r)=U0 , dentro del
campo de gravedad de este modelo.
 El campo de la gravedad presenta simetría respecto al eje de rotación y respecto al
plano ecuatorial.
 De acuerdo con el Teorema de Poincare-Stokes, el campo de la gravedad exterior a
la superficie de nivel del elipsoide queda completamente determinado por los cuatro
parámetros, a, α, M y ω.
 Las superficies potenciales normales
Fig.3.3
no son elipsoides, a excepción del
propio
U=U0
elipsoide
de
nivel.
superficies
son
conocidas
superficies
esferopotenciales,
Estas
como
las
Elipsoide
cuales se definen como superficies
cuasi esféricas. El mismo elipsoide de
U=cte
.
nivel es una particularización de una
79
superficie esferopotencial (tiene forma de elipsoide).
 En el caso del elipsoide estándar se le presupone una densidad homogénea para todo
su volumen aunque se puede aproximar el campo de gravedad de un elipsoide de
nivel por una distribución de masas estratificada (Torge,1989).
3.3. Aproximaciones de orden superior y figuras triaxiales.
A lo largo de este capítulo y del anterior hemos visto diferentes aproximaciones al
potencial de la gravedad y de la aceleración de la gravedad bajo diferentes supuestos
(una Tierra esférica, elipsoidal,etc...) y precisiones, pero en definitiva todas las
aproximaciones tienen como ecuación general la (2.82), lo que les diferencia es el
número de términos utilizados:
Aproximación de orden cero (consideramos una Tierra esférica):
En la primera aproximación al potencial de la Tierra partimos del supuesto de una
Tierra esférica (2.48). Si en (2.82) establecemos que f=0 (2.87) y J2=0 (2.80), entonces
se resuelve que (2.48) es igual a (2.82).
U
(0)
GM

a
 a m  r 2

2
    cos  
 r 2  a 

(2.48)
La aceleración la obtenemos a partir de (3.8) siendo α=0 y J2=0 por hallarnos ante una
Tierra esférica.
 (0)  e 1  m sen 2  
3.13
y
 e( 0)  
GM
1  m
a2
(3.14)
Aunque se considera que las masas que están generando el potencial de la gravedad
tienen una configuración de esfera, la superficie potencial U(0) generada tiene forma de
un elipsoide de revolución como hemos visto en el capítulo 2.4. Si pretendemos realizar
una evaluación de las diferentes aproximaciones a la forma de la Tierra
80
Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
estableceríamos esta como la menos aproximada de las vistas y con una desviación
máxima de la figura de la Tierra de 21 Km.
Aproximación de primer orden (elipsoide):
Para resolver el valor del potencial U utilizamos la ecuación (2.82)
GM
U 
a
2
 a J 2  a 3

m r 
2
2
    3 sen   1    cos  
2 a
 r 2  r 

(2.82)
Y para resolver el valor de la aceleración según este modelo de Tierra las
aproximaciones vistas en el capítulo anterior sustituyendo en (3.9) el valor de β (3.12)
obteniéndose:

5
2



 (1)   ( e ) 1   m    sen 2  
 e(1)


GM  3

  2 1  J 2  m 
a  2

(3.13a)
(3.14a)
En la aproximación de primer orden, se mantiene la independencia respecto a la
longitud  y solo se considera el primer orden en  y m. Por supuesto la forma
geométrica que presenta la superficie equipotencial generada por esta distribución de
masas elipsoidal es la de un elipsoide, con un aplanamiento =3/2 J2+m/2.
En el caso de la aproximación de primer orden nos encontramos con una superficie de
mayor similitud a la figura de la Tierra con desviaciones respecto de la forma real de la
Tierra de unas decenas de metros.
Aproximación mediante un desarrollo en Armónicos Esféricos de Superficie.
La función potencial de la gravedad resuelta mediante un desarrollo en armónicos
esféricos de superficie presenta una gran aproximación al campo potencial real de la
Tierra. El orden de esta aproximación depende del grado y orden del polinómio.
V (r ) 
GM
r
l





a l
1

     Cl , m cos m  Sl , m sen m Pl , m (cos )


 l  2  r  m0

(2.97)
81
Podemos decir que es la mejor aproximación a la figura de la tierra que podemos
establecer. Normalmente al polinomio y al conjunto de términos se le conoce como
modelo geopotencial, siendo varios los modelos geopotenciales existentes y utilizados.
Elipsoide de nivel o de referencia.
Para resolver los valores de referencia
de la gravedad hay que calcular en un
primer lugar el potencial generado por
un elipsoide, para lo cual hay que
pasar
por
resolver
la
ecuación
diferencial de Laplace (2.31) de la
cual vimos que una solución de esta


viene dada por la ecuación (2.97).

Esta la podemos particularizar si se
Fig.3.4.
establece que el campo presenta
simetría con respecto al eje de
rotación y del plano ecuatorial, esto implica una particularización de (2.97) ya que
desaparecen los términos o coeficientes de  de la ecuación.
GM
U
r
l
2




  2
a


1

C
P
cos


r sen 2 


 

l ,0 l ,0


 l 2  r 
 2
(2.14)
Los coeficientes Cl,0 convergen rápidamente, con lo cual la serie se puede truncar a
partir de l=6.
Si en lugar de utilizar coordenadas geocentricas utilizamos coordenadas elipsoidales,
relación que se estableció en el capítulo 2.7.1 podemos obtener una fórmula cerrada del
valor de la aceleración de la gravedad
Esta fórmula es conocida como la fórmula de Somigliana
0 
82
a e cos 2   b p sen 2 
a 2 cos 2   b 2 sen 2 
(3.15)
Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
Donde e y p son los valores de la gravedad normal en el ecuador y en el polo
respectivamente, aquí la gravedad normal que depende de la latitud está representada
por los cuatros parámetros a, b, e,p lo cual no se contradice con los parámetros dados
anteriormente ya que se hallan relacionados por el teorema de Pizzetti:
2
a
a

 b 3GM
b

2
ab
 2 2
(3.16)
Reafirmando de nuevo el teorema de Clairaut el cual establece que son cuatro los
parámetros las cantidades independientes.
La gravedad normal en el espacio exterior puede ser aproximada en una zona cercana al
elipsoide por la diferenciación de  respecto de h (la altitud respecto al elipsoide).
3.4.Formulas normales de la gravedad.
Las fórmulas normales de la gravedad describen la gravedad como función de la latitud
geodésica  y la altura h respecto a un modelo particular de la Tierra (elipsoide). En las
fórmulas desarrolladas desde 1900, se establece el valor de la gravedad en función de la
latitud,
 0   e 1   sen 2   1 sen 2 2 
(3.17)
La cual se diferencia de (3.8) en que en este caso si se ha tenido en cuenta los términos
de segundo orden. Donde 1 se calcula mediante el aplanamiento  (2.87)y m(2.49).
1
8
1    2 
5
fm
8
(3.18)
La ecuación (3.17) proporciona una resolución numérica del valor normal de la
gravedad con una precisión de 1ms-2 lo cual es suficiente para muchas aplicaciones.
Las fórmulas que se han aplicado con mayor amplitud se muestran en la tabla

nombre

1

(ms-2)
Helmert (1901)
9.7830
0.005302
0.000007
1:298.3
U.S. Coast and Geodetic
9.78039
0.005294
0.000007
1:297.4
Survey
83
Intern. Gravity Formula
9.78049
0.0052884
0.0000059
1:297.0
Geod. Ref. System 1967
9.780318
0.0053024
0.0000059
1:298.247
0.0053024
0.0000058
1/298.257
(incl. atmosfera)
9.780327
Geod. Ref. System 1980
(incl. atmosfera)
La figura muestra como varia la gravedad con la Latitud:
aceleración m/s-2
gravedad norm al
9.84
9.82
9.8
9.78
9.76
9.74
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Latitud
3.5 Sistema Geodésico de Referencia 1980.
En 1979, la Asociación Internacional de Geodesia introdujo el Sistema Geodésico de
Referencia 1980 (GRS80), Torge (1989), el cual consiste en un elipsoide de nivel
geocentrico con su campo de gravedad normal asociado el cual esta definido por los
parámetros:
radio ecuatorial de la Tierra
a= 6 378 137 m
constante geocentrica gravitacional
GM= 398 600.5 x 109 m3 s-2
Factor dinámico de la Tierra, excluyendo la deformación permanente provocada por la
marea, factor que trataremos en un próximo tema.
J2= 1 082.63 x 10-6
y finalmente la velocidad angular de la rotación de la Tierra
= 7.292 115 x 10-5 rad s-1
A partir de los datos anteriores mediante las relaciones establecidas en el teorema de
Clairaut y Pizzetti podemos obtener:
semieje menor del elipsoide
b= 6 356 752.3 m
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Tema 3. Campo normal . Elipsoides. Altitudes
aplanamiento geométrico
= 1:298.2572
potencial normal del elipsoide:
U0= 6.263 6861 x 107 m2 s-2
Coeficientes de los armónicos esféricos
C4,0=2.370 91 x 10-6
C6,0=-0.006 08 x10-6
C8,0= 0.000 01 x 10-6
Gravedad normal en el ecuador y polo
e= 9.780 3268 ms-2
p= 9.832 1864 ms-2
aplanamiento gravimétrico
= 0.005 302 440
.
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