Dinámica Relativa

Dinámica Relativa
Índice
1. Introducción
1.1. Objetivo de la Dinámica Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Planteamientos posibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2. Movimiento Relativo
2.1. Ecuación de cantidad de movimiento de la partícula . . . . . .
2.2. Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Analogía de las ecuaciones de cantidad de movimiento . . . . .
2.4. Análisis de dependencias de las fuerzas de inercia . . . . . . .
2.5. Caracterización de las referencias inerciales . . . . . . . . . . .
2.6. Características de las fuerzas de inercia . . . . . . . . . . . . .
2.7. Ecuación del momento cinético en el movimiento relativo . . .
2.8. Ecuación de la energía en el movimiento relativo . . . . . . . .
2.9. Ecuaciones universales del movimiento relativo . . . . . . . . .
2.10. Reducción de las fuerzas de inercia en un sólido . . . . . . . .
2.11. Estática Relativa: Equilibrio relativo a la referencia no inercial
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
.
.
.
.
.
5
5
6
6
6
6
.
.
.
.
.
.
7
7
7
8
8
8
9
libre de los graves
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
11
11
.
.
.
.
12
12
12
13
13
3. Movimiento relativo a la superficie terrestre
3.1. Definiciones y Sistemas de referencia . . . . . . .
3.2. Dinámica del punto en las proximidades de Tierra
3.2.1. Hipótesis simplificativas . . . . . . . . . .
3.2.2. Fuerzas que actúan en el problema . . . .
3.2.3. Ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4. Equilibrio relativo a la superficie terrestre
4.1. Definiciones de plomada, vertical y latitudes . . . . . . . . . . . .
4.2. Ecuaciones de equilibrio: desviación de la vertical y peso específico
4.3. Hipótesis de Tierra con simetría esférica . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Solución analítica aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Aproximación de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Peso específico en una latitud en función del ecuatorial . .
5. Separación de la vertical en la caída
5.1. Problema matemático . . . . . . .
5.2. Solución exacta . . . . . . . . . . .
5.3. Solución aproximada . . . . . . . .
6. Péndulo de Foucault
6.1. Problema matemático . . . .
6.2. Solución aproximada . . . . .
6.2.1. Cálculo de la tensión .
6.2.2. Cálculo de la posición
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7. Movimiento respecto al triedro orbital
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
1.
Introducción
1.1.
X(i = 1, . . . , N)
Objetivo de la Dinámica Relativa
Se pretende analizar el movimiento de un sistema material
X(i = 1, . . . , N) respecto a un sistema de referencia no inercial
S0 que posee un movimiento conocido respecto a otro inercial
S1 .
El movimiento S0 /S1 se conoce a través de las dos funciones
vectoriales siguientes:
O
v̄01
(t)
Mi
x̄i
r̄ i
0
O
O1
1
ω̄01 (t)
Figura 1: Situación general
1.2.
Planteamientos posibles
1. Se plantean las ecuaciones de la Dinámica que rigen el movimiento del sistema respecto a la
referencia inercial y se trasforman los resultados usando las relaciones cinemáticas de composición
de movimientos. Con la terminología habitual de la composición de movimientos de la Cinemática
el movimiento resuelto es el absoluto (X/1) y, como se conoce el movimiento de arrastre (0/1),
fácilmente se calcula el movimiento relativo (X/0).
2. Se plantean las ecuaciones de la Dinámica que rigen el movimiento del sistema con respecto a
la referencia no inercial directamente (X/0) usando previamente las relaciones cinemáticas de
composición de movimientos en las ecuaciones.
Es este segundo tipo de planteamiento el que nos ocupa en este tema.
2.
Movimiento Relativo
2.1.
Ecuación de cantidad de movimiento de la partícula
Sea la partícula i de masa mi y situada en el punto M i (sólido 2):
⇒
2.2.
i
ECM en el movimiento absoluto mi γ̄21
= F̄ i
i
i
i
i
Composición de aceleraciones lineales γ̄21
= γ̄20
+ γ̄01
+ 2ω̄01 ∧ v̄20
i
i
i
ECM en el movimiento relativo
mi γ̄20
= F̄ i − mi γ̄01
− 2mi ω̄01 ∧ v̄20
(1)
(2)
(3)
Nomenclatura
Terminología de la Cinemática habitualmente empleada en la ecuación (2):
i
γ̄21
i
γ̄20
i
γ̄01
i
2ω̄01 ∧ v̄20
Aceleración
Aceleración
Aceleración
Aceleración
absoluta
relativa
de arrastre
de Coriolis
Terminología que introducimos en la Dinámica Relativa:
Fuerza de inercia de arrastre:
Fuerza de inercia de Coriolis:
i
i
F̄IA
= −mi γ̄01
i
i
F̄IC
= −2mi ω̄01 ∧ v̄20
(4)
Como el movimiento de arrastre es el movimiento de un sólido se puede escribir:
Fuerza de inercia de arrastre:
2.3.
i
O
F̄IA
= −mi {γ̄01
+ ᾱ01 ∧ OM i + ω̄01 ∧ (ω̄01 ∧ OM i )}
(5)
Analogía de las ecuaciones de cantidad de movimiento
La única finalidad de la introducción de fuerzas de inercia es conseguir que la ecuación que gobierna
el movimiento relativo (1) tenga la misma estructura que la ecuación del movimiento absoluto (3).
i
mi γ̄20
= F̄ i + F̄Ii
2.4.
Análisis de dependencias de las fuerzas de inercia
En las fuerzas de inercia definidas por las ecuaciones (4) y (5) intervienen las siguientes funciones
i
i
. Es evidente que estas dos últimas no
conocidas ω̄01 , γ̄01
, ᾱ01 y las siguientes incógnitas OM i , v̄20
son independientes. Si para simplificar llamamos al vector de posición de la partícula i-ésima en S0
i
i
x̄i = OM i se tiene que x̄˙ i = dx̄
| = v̄20
.
dt 0

O
i
i
i + ω̄
i )} 
F̄IA = −m { γ̄01 + ᾱ01 ∧ OM
∧(
ω̄
∧
OM
01
01

|{z} |{z} | {z } |{z} |{z} | {z } 

x̄i
x̄i
(t)
(t)
(t)
(t)
F̄Ii = F̄Ii (x̄i , x̄˙ i , t)
i
i
i

F̄IC = −2m ω̄01 ∧ v̄20

|{z} |{z}


(t)
x̄˙ i
Las fuerzas de inercia se asemejan a las fuerzas directamente aplicadas porque son conocidas a
priori en función de:
1. la posición x̄i
2. la velocidad relativa x̄˙ i
O
3. el tiempo elementos conocidos del movimiento de arrastre: ω̄01 (t), v̄01
(t)
2.5.
Caracterización de las referencias inerciales
La referencia S0 es inercial si las fuerzas de inercia son nulas para toda partícula del sistema y en
i
i
todo instante: F̄IA
= F̄IC
= 0̄, ∀i ∈ X, ∀t
i
F̄IC
≡ 0̄, ∀i, ∀t
⇒
ω̄01 (t) ≡ 0̄
⇒
ᾱ01 (t) ≡ 0̄
(6)
i
F̄IA
≡ 0̄, ∀i, ∀t
⇒
O
γ̄01
(t) ≡ 0̄
⇒
O
v̄01
(t) = CT E
(7)
(6)
S0 es inercial si tiene un movimiento relativo a S1 (inercial) de traslación pura y uniforme (a
velocidad constante).
2.6.
Características de las fuerzas de inercia
Las fuerzas de inercia se consideran en Mecánica Newtoniana fuerzas ficticias por contraposición
a las fuerzas reales por los siguientes motivos:
No están asociadas a ninguna de las interacciones fundamentales de la Naturaleza (atómica
fuerte, atómica débil, gravitatoria, electromagnética)
No obedecen a la tercera ley de Newton de acción-reacción
Varían si se cambia de referencia no inercial (fuerzas de referencial)
2.7.
Ecuación del momento cinético en el movimiento relativo
Premultiplicando la ecuación de cantidad de movimiento (3) vectorialmente por OM i se obtiene
la ecuación del Momento Cinético respecto al origen O en el movimiento relativo a una referencia no
inercial:
i d(h̄iO )20 d(OM i ∧ mi v̄20
)
i i
i
OM ∧ m γ̄20 =
(8)
=
= OM i ∧ F̄ i + OM i ∧ F̄Ii
dt
dt
0
0
2.8.
Ecuación de la energía en el movimiento relativo
i
Multiplicando la ecuación de cantidad de movimiento (3) escalarmente por v̄20
se obtiene la ecuación de la Energía en el movimiento relativo a una referencia no inercial:
i 2
i |
d 21 mi |v̄20
dv̄20
dT i
i i
i
i i
i
i
i
m v̄20 · γ̄20 = m v̄20 ·
= 20 = v̄20
· F̄ i + v̄20
· F̄IA
(9)
=
dt 0
dt
dt
2.9.
Ecuaciones universales del movimiento relativo
Las ecuaciones universales de la Dinámica en el movimiento relativo a una referencia no inercial
se obtienen de forma análoga a las del movimiento respecto a una referencia inercial: mediante suma
de las ecuaciones de cantidad de movimiento (3), momento cinético (8) y energía (9) respectivamente
de todas las partículas del sistema.
Sean
de partículas cuyo movimiento estamos analizando,
X X el identificador del sistema general
i
i
dx̄
i
i
i
i
la notación cinemática simplificada.
m=
m la masa total y x̄ = OM , x̄˙ = dt |0 = v̄20
i∈X
ECM:
G
mγ̄X/0
=
X
(F̄ i + F̄Ii )
i∈X
EMC:
EE:
2.10.
X
d(h̄O )X/0 (x̄i ∧ F̄ i + x̄i ∧ F̄Ii )
=
dt
0
i∈X
X
dTX/0
i
=
(x̄˙ i · F̄ i + x̄˙ i · F̄IA
)
dt
i∈X
Reducción de las fuerzas de inercia en un sólido
R̄IA
(M̄G )IA
R̄IC
(M̄G )IC
2.11.
=
=
=
=
G
−mγ̄01
−¯ĪG . ᾱ01 − ω̄01 ∧ (¯ĪG . ω̄01 )
G
−2mω̄01 ∧ v̄20
¯ . ω̄ )
2ω̄20 ∧ (P̄
G
01
Estática Relativa: Equilibrio relativo a la referencia no inercial
Buscamos las soluciones estacionarias de valor nulo del problema de la Dinámica Relativa de una
partícula formulado en (3), es decir, la existencia de posiciones en las que, si dejamos la partícula con
velocidad relativa nula, ésta permanecerá en reposo en ellas indefinidamente.
Reposo:
Posiciones de equilibrio relativo:
i
˙
v̄20
(t) = x̄(t)
≡ 0̄ ⇒ x̄(t) = x̄0 (vector constante)
{x̄0 | F̄ (x̄0 , 0̄, t) + F̄IA (x̄0 , 0̄, t) = 0̄, ∀t > t0 }
Puede comprobarse fácilmente que, independientemente del número de ligaduras que actúen sobre
la partícula (0, 1, 2), el problema anterior está constituido por el mismo número de ecuaciones y de
incógnitas (con las hipótesis de cierre del mismo habituales).
3.
Movimiento relativo a la superficie terrestre
3.1.
Definiciones y Sistemas de referencia
Eclíptica Trayectoria del centro de masas del sistema Tierra-Luna.
z1
z1′ ≡ z
Plano eclíptico Plano que contiene a
la Eclíptica.
Plano ecuatorial Plano central perpendicular a la velocidad angular
de la Tierra.
eclíptica
ǫ
Dirección equinoccial Intersección de
los planos ecuatorial y eclíptico
(recta que une los nodos del Sol respecto al plano ecuatorial).
Equinoccio vernal Instante en el que
el Sol pasa por su nodo ascendente
(atraviesa el plano ecuatorial de sur
a norte).
y1
O1
Ecuador Paralelo intersección del plano
ecuatorial con la Tierra.
O
ǫ
ω♁ t
x1
x′1
x
ω♁ t
y
y1′
Figura 2: Referencias útiles
Sistema Heliocéntrico Inercial: Un sistema de referencia con origen en el centro de masas del
sistema solar y ejes coordenados apuntando a direcciones fijas (estrellas lejanas).
SHI {O1; x1 , y1 , z1 } | O1 ≡ GSS
Es costumbre elegir la siguiente determinación:
O1 x1 y1 ≡ Plano de la Eclíptica.
O1 x1 ≡ (☼) Dirección equinoccial y sentido vernal.
Sistema Geocéntrico Inercial: Un sistema de referencia con origen en el centro de masas de la
Tierra y ejes coordenados apuntando a direcciones fijas (estrellas lejanas).
SGI {O; x′1 , y1′ , z1′ } | O ≡ G♁
Es costumbre elegir la siguiente determinación:
Ox′1 y1′ ≡ Plano Ecuatorial.
Ox′1 ≡ (☼) Dirección equinoccial y sentido vernal.
Sistema Geocéntrico Ligado: Un sistema de referencia con origen en el centro de masas de la
Tierra y ejes coordenados rígidamente unidos a la Tierra.
SGL {O; x, y, z} | O ≡ G♁
Es costumbre elegir la siguiente determinación:
Oxy ≡ Plano Ecuatorial.
Ox Corta al meridiano de Greenwich.
3.2.
Dinámica del punto en las proximidades de Tierra
Sea una partícula M de masa m sometida a un sistema de fuerzas. Consideremos a la partícula
M como sólido 2, a la Tierra (SGL) como sólido 0 y al SHI como sólido 1. Se trata de escribir las
ecuaciones de la Dinámica del movimiento 2/0 conocido el 0/1.
3.2.1.
Hipótesis simplificativas
O
El movimiento terrestre se conoce a través de v̄01
(t) y ω̄01 (t), siendo ésta última tal que:
ᾱ01 = ᾱ♁ ≡ 0̄
3.2.2.
⇒
ω̄01 = ω̄♁ ≡ ω♁~k = CT E
Fuerzas que actúan en el problema
Atracción gravitatoria terrestre específica1 : Ā♁ (x̄)
Atracción gravitatoria específica del resto de los cuerpos celestes: ĀR (x̄, t)
˙ t)
Resto de las fuerzas reales: F̄ (x̄, x̄,
O
Fuerza de inercia de arrastre: F̄IA = −m{γ̄01
+ ω 2 ~k ∧ (~k ∧ x̄)}
♁
Fuerza de inercia de Coriolis: F̄IC = −2mω♁~k ∧ x̄˙
(x̄˙ =
dx̄
|)
dt 0
Las atracciones gravitatorias responden a la ley de Gravitación Universal de Newton, es decir, son
proporcionales a la masa e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia.
3.2.3.
Ecuación
Ecuación resultante:
O
2~
˙ t) + mĀ (x̄) + mĀR (x̄, t) − mγ̄01
mx̄¨ = F̄ (x̄, x̄,
− mω♁
k ∧ (~k ∧ x̄) − 2mω♁~k ∧ x̄˙
♁
Planteamos la ECM del movimiento 0/1 (♁/☼):
O
M♁ γ̄01
= M♁ {ĀR (0̄, t)+ ւ}
Sustituyendo este resultado en la ecuación anterior:
˙ t) + mĀ (x̄) + m[ĀR (x̄, t) − ĀR (0̄, t)] −mω 2 ~k ∧ (~k ∧ x̄) − 2mω ~k ∧ x̄˙
mx̄¨ = F̄ (x̄, x̄,
♁
♁
♁
{z
}
|
Perturbación lunisolar
Los cuerpos celestes que más influencia tienen son el Sol (☼), por ser muy masivo aunque esté
muy distante, y la Luna ($), porque aún siendo poco masivo está bastante próxima a la Tierra.
Por esta razón al término de la llave se le denomina perturbación lunisolar. En los fenómenos que
van a estudiarse la aceleración que provoca es mucho menor que la de otros términos, por lo que se
despreciará. Sin embargo, en fenómenos como las mareas es el término mas significativo.
La ecuación resultante de despreciar la perturbación lunisolar será:
˙ t) + mĀ (x̄) − mω 2 ~k ∧ (~k ∧ x̄) − 2mω ~k ∧ x̄˙
mx̄¨ = F̄ (x̄, x̄,
♁
♁
♁
1
por unidad de masa, en nuestro contexto
4.
Equilibrio relativo a la superficie terrestre
Resolver el problema del equilibrio de un péndulo en el sistema de referencia geocéntrico ligado.
4.1.
Definiciones de plomada, vertical y latitudes
Geoide es una superficie equipotencial terrestre de referencia (G)
Superficie topográfica es la forma real de la Tierra (S)
Plomada es un péndulo en su posición de equilibrio estable en las proximidades de la Tierra.
Vertical local es la dirección definida por la plomada en cada punto: ~v + = T̄ /|T̄ |.
Latitud astronómica es el ángulo que forma la vertical local y el plano ecuatorial: φ = arcsin(~k·~v + ).
Latitud geocéntrica es el ángulo que forma el radio-vector de la partícula con el plano ecuatorial:
φ′ = arcsin(~k · ~x/|~x|) .
Latitud geodésica es el ángulo que forma la normal a la superficie terrestre de referencia (geoide)
~ G) .
con el plano ecuatorial: φg = arcsin(~k · N
Desviación de la vertical es el ángulo que forman la vertical astronómica y la normal a la superficie
~ G ).
terrestre de referencia (geoide): α = arc cos(~v + · N
4.2.
Ecuaciones de equilibrio: desviación de la vertical y peso específico
PN
Fuerzas que actúan en el equilibrio de la plomada:
α
Tensión del hilo T̄
φg
Atracción gravitatoria específica Ā♁ (x̄)
Repulsión centrífuga −mω 2 ~k ∧ (~k ∧ x̄)
♁
Ecuación de equilibrio:
2~
T̄ + mĀ♁ (x̄) − mω♁
k ∧ (~k ∧ x̄) = 0̄
Se define el peso de una partícula como la fuerza que equilibra a la tensión del hilo de la plomada:
M
M′
Ā♁
φ′
G♁
ḡ
ω2 M ′M
♁
ϕ(α)
φ
R♁
2
2
M ′ M = m{Ā♁ (x̄)+ω♁
M ′ M } = mḡ
P̄ = −T̄ = mĀ♁ +mω♁
siendo M ′ la proyección ortogonal del punto M sobre el eje
Figura 3: Tierra genérica
polar y ḡ el peso específico.
Falta por definir un modelo geométrico-másico de Tierra para determinar la atracción terrestre y
otras relaciones geométricas entre latitudes. Así podríamos calcular el ángulo que forma la atracción
gravitatoria terrestre con la vertical descendente: ϕ(α) = arc cos(−~v + · Ā♁ /|Ā♁ |). Supongamos todo
~ G ) = φ − φg
contenido en el plano meridiano: α = arc cos(~v + · N
Proyectando la ecuación de equilibrio de la plomada en la direcciones vertical y en su perpendicular
y considerando que |M ′ M| = |x̄| cos φ′ y que ḡ = −gv̄ + se tiene:
2
g = A♁ (x̄) cos(ϕ(α)) − ω♁
|x̄| cos φ′ cos φ
2
0 = A♁ (x̄) sin(ϕ(α)) − ω♁
|x̄| cos φ′ sin φ
que constituye un sistema de 2 ecuaciones algebraicas (aunque trascendentes) con 2 incógnitas para
obtener el peso específico g y la desviación de la vertical α.
4.3.
Hipótesis de Tierra con simetría esférica
Adoptemos la hipótesis de que la Tierra tiene simetría esférica (geométrica y másica). Para este
modelo la latitud geocéntrica y geodésica coinciden y por tanto, la desviación de la vertical resulta
que es el ángulo entre la vertical astronómica y el radio vector.
m≪M
µ
Radio R♁
♁
⇒
Ā♁ = − ♁3 x̄,
µ♁ = G(M♁ + m) ≈ GM♁
Masa M♁
x
PN
Donde las constantes del modelo son:
G = 6,67259(±0,00030) · 10−11 Kg−1 m3 s−2
R♁ = 6378,145 Km
23
M′
M♁ = 59,736 · 10 Kg
ω♁ = 7,292115856 · 10−5 s−1
µ♁ = 3,9860102 · 105 Km3 s−2
Con este modelo se tiene que:
ϕ(α) = α
φ′ = φ − α
µ
A♁ (r) = ♁
r2
M
Ā♁
ω2 M ′M
♁
ḡ
α
φ′
G♁
φ
R♁
Figura 4: Modelo de Tierra esférica
Proyectando las ecuaciones en la dirección vertical y en su perpendicular se tiene:
µ♁
2
g =
cos α − rω♁
cos(φ − α) cos φ
r2
µ♁
2
0 =
sin α − rω♁
cos(φ − α) sin φ
2
r
que constituye un sistema de 2 ecuaciones algebraicas (pero trascendentes) con 2 incógnitas: g = g(r, φ)
y α = α(r, φ). Las ecuaciones están acopladas y para calcular la solución exacta se exige resolución
numérica.
Sobre la misma superficie terrestre se tiene:
R3 ω 2
µ♁
µ♁ 2
g = 2 cos α − R♁ ω♁ cos(φ − α) cos φ = 2 cos α − ♁ ♁ cos(φ − α) cos φ
R
R
µ♁
♁
♁
R3 ω 2
sin α = ♁ ♁ cos(φ − α) sin φ
µ♁
4.4.
(10)
(11)
Solución analítica aproximada
4.4.1.
Aproximación de primer orden
Si definimos el parámetro:
R3 ω 2
♁ ♁ ≈ 3,4614 · 10−3 ≪ 1
ǫ =
µ♁
se desprende de la ecuación (11) que α va a ser un ángulo pequeño. Se busca la solución para la
desviación de la vertical mediante un desarrollo en potencias de ǫ:
α=
∞
X
i=0
αi ǫi = α0 + α1 ǫ + . . .
si se retienen los dos primeros términos y se introducen en la ecuación (11) resulta:
sin α0 cos(ǫα1 ) + cos α0 sin(ǫα1 ) + o(ǫ) = ǫ sin φ cos φ cos α0 + sin φ sin αo + o(ǫ)
Igualando términos del mismo orden:
sin α0 = 0
⇒ α0 = 0
ǫα1 = ǫ cos φ sin φ + o(ǫ) ⇒ α1 = cos φ sin φ
⇒ α(φ, ǫ) = ǫ cos φ sin φ + o(ǫ)
(12)
con lo introducida en (10) resulta:
g(φ, ǫ) =
µ♁ 1 − ǫ cos2 φ + o(ǫ)
2
R
♁
(13)
El peso específico es máximo en los polos y mínimo en el Ecuador. Para que se anulase el peso específico
en el Ecuador debería satisfacerse:
s
µ♁
g(0, ǫ∗) = 0 ⇒ ǫ∗ = 1 ⇒ ω ∗ =
≈ 17ω♁
R3
♁
Si la Tierra girarse 17 veces más aprisa de lo que lo hace las partículas situadas en el Ecuador se
podrían escapar (¿anillos de Saturno?).
4.4.2.
Peso específico en una latitud en función del ecuatorial
g♁ (0, ǫ) =
g♁ (φ, ǫ) =
=
=
=
µ♁
(1 − ǫ)
R2
♁
µ♁
µ
µ
[1 − ǫ(1 − sin2 φ) + o(ǫ)] = ♁2 (1 − ǫ) + ♁2 ǫ sin2 φ + o(ǫ) =
2
R
R
R
♁
♁
♁
µ♁
ǫ
2
(1 − ǫ)[1 +
sin φ + o(ǫ)] =
R2
1−ǫ
♁
µ♁
(1 − ǫ)[1 + ǫ(1 + ǫ + o(ǫ)) sin2 φ + o(ǫ)] =
2
R
♁
g♁ (0, ǫ)(1 + ǫ sin2 φ + o(ǫ))
5.
Separación de la vertical en la caída libre de los graves
Se pretende resolver el movimiento de una partícula pesada M de masa m que se deja con velocidad
nula a una altura H de la superficie terrestre (caída libre de los graves). Para analizar este problema
se utiliza un sistema de referencia que introducimos a continuación:
Sistema Topocéntrico Ligado Un sistema de referencia con origen en un punto de la superficie
terrestre y ejes coordenados rígidamente unidos a la Tierra.
STL {P ; x, y, z} | |G♁ P | = R♁
Es costumbre elegir la siguiente determinación:
Oz
Ox
Vertical ascendente
Contenido en el plano meridiano local y hacia el sur
En este sistema la velocidad angular será el vector constante ω̄♁ = ω♁ (− cos φ~ı + sin φ~) y las condiciones iniciales son:
r̄(0) = H ~k
˙
r̄(0)
= 0̄
5.1.
Problema matemático
La ecuación que rige el fenómeno será:
r̄¨ = −g k̄ − 2ω̄ ∧ r̄˙
(14)
Mediante un integración en el tiempo se obtiene
R
→
r̄˙ = −gt~k − 2ω̄ ∧ r̄ + C̄
Para obtener la constante de integración particularizamos la ecuación anterior en el instante inicial
t = 0:
0̄ = −2ω̄ ∧ r̄(0) + C̄
⇒
C̄ = 2ω̄ ∧ r̄(0)
y queda finalmente:
r̄˙ = −gt~k − 2ω̄ ∧ [r̄ − r̄(0)]
(15)
Se usan las siguientes magnitudes características y variables adimensionalizadas para reescribir la
ecuación anterior:
s
H
lc = H
tc = Ω−1 =
g
τ
ω
ω̄
r̄ = H x̄
t=
ǫ=
~u =
Ω
Ω
ω
y aquella resulta:
dx̄
= −τ ~k − 2ǫ~u ∧ [x̄ − x̄(0)]
(16)
dτ
que es un SEDO de primer orden lineal y de coeficientes constantes en x̄, a ser integrada con las
condiciones iniciales:
x̄(0) = ~k
dx̄
(0) = 0̄
dτ
5.2.
Solución exacta
Sea x̄ = ξ~ı + η~ + ζ ~k.
dξ
− 2ǫ[η − η(0)] sin φ = 0
dτ
(17)
dη
+ 2ǫ{[ξ − ξ(0)] sin φ + [η − η(0)] cos φ} = 0
dτ
dζ
− 2ǫ[ξ − ξ(0)] sin φ = −τ
dτ
(18)
(19)
dξ
dζ
Se deriva con respecto a τ la ecuación (18) y se sustituyen dτ
de (17) y dτ
de (19) y obtenemos una
EDO de segundo orden lineal y de coeficientes constantes para obtener η = η(τ ). Este resultado se
introduce en (17) y (19) para obtener respectivamente ξ = ξ(τ ) y ζ = ζ(τ ).
5.3.
Solución aproximada
Buscamos la solución como desarrollo en potencias del parámetro pequeño ǫ:
x̄ = x̄0 + ǫx̄1 + ǫ2 x̄2 . . .
Las condiciones iniciales en los distintos ordenes son:
x0 (0) = ~k
x1 (0) = 0̄
x2 (0) = 0̄
...
x′0 (0) = 0̄
x′1 (0) = 0̄
x′2 (0) = 0̄
...
La solución para el orden cero (ǫ = 0) es la clásica de caída libre de los graves sin rozamiento:
ǫ=0:
x̄0 (τ ) = (1 −
τ2 ~
)k
2
2
La solución de orden uno se logra introduciendo x̄ = (1− τ2 )~k+ǫx̄1 en la ecuación (16) y resolviendo
en x̄1 .
H
~k + ǫ dx̄1
−τHH
⇒
H ~k − 2ǫ~u ∧ [(1 −
H
= −τ
H
dτ
dx̄1
= τ 2 ~u ∧ ~k
dτ
τ2 ~
)k + ǫx̄1 − ~k − ǫx̄1 (0)]
2
⇒
cuya solución es:
τ3
x̄1 (τ ) = (~u ∧ ~k)
3
La solución de orden dos se logra introduciendo x̄1 =
términos de orden cero y resolviendo en x̄2 .
dx̄2
X2X~
τ
(~uX∧Xk)
X+ ǫ
dτ
+ 2ǫ~u ∧ [
τ3
(~u
3
∧ ~k) + ǫx̄2 en la ecuación (16) sin los
τ3
X2X~
(~u ∧ ~k) + ǫx̄2 ] = τ
(~uX∧Xk)
X ⇒
3
dx̄2
τ3
⇒
= −2 ~u ∧ (~u ∧ ~k)
dτ
3
cuya solución es:
x̄2 (τ ) = −
τ4
~u ∧ (~u ∧ ~k)
6
La solución completa hasta orden dos será:
x̄(τ ) = (1 −
τ2 ~
τ3
τ4
)k + ǫ (~u ∧ ~k) − ǫ2 ~u ∧ (~u ∧ ~k)
2
3
6
~u ∧ ~k = cos φ~
(20)
~u ∧ (~u ∧ ~k) = cos φ sin φ~ı − cos2 φ~k
que en variables dimensionales se corresponde con:
1 24
gω t cos φ sin φ
6
1
y(t) =
gωt3 cos φ
3
1
1
z(t) = H − gt2 + gω 2t4 cos2 φ
2
6
x(t) =
De donde se desprende que x << y << z
6.
Péndulo de Foucault
Se pretende resolver el movimiento de un péndulo de masa m y longitud l respecto al sistema
topocéntrico ligado, en cuyo origen se encuentra amarrado.
6.1.
Problema matemático
Las fuerzas que actúan son las mismas del problema del equilibrio de la plomada. La ECMDR del
Péndulo de Foucault es:
x̄
mx̄¨ = −T + P̄ − 2mω̄ ∧ x̄˙
(21)
l
y el punto debe satisfacer la ligadura geométrica siguiente:
x̄ · x̄ − l2 = 0
(Superficie esférica de centro O y radio l)
(22)
Las condiciones iniciales son:
x̄0 = l(sin θ0~ı − cos θ0~k)
6.2.
x̄˙ 0 = 0̄
Solución aproximada
Para pequeñas desviaciones de la vertical se puede hacer la siguiente aproximación:
x̄ = −l~k + t̄,
(23)
|t̄| ≪ l
Definamos el parámetro pequeño ǫ = |t̄|l ≪ 1.
Si introducimos la aproximación (23) en la ecuación (22) se tiene:
2
2
S
S
t̄ · t̄ +
lS
− 2 l(~k · t̄) −
lS
=0
|{z}
| {z }
∼ǫ2 l2
∼ǫl2
⇒
~k · t̄ ≈ 0
⇒
t̄ ∈ Π{~k · (x̄ − l~k) = 0}
t̄ = x~ı + y~.
y en las condiciones iniciales que θ0 ≪ 1 nos queda:
t̄˙0 = 0̄
t̄0 ≈ l sin θ0~ı = x0~ı
Sustituyendo la aproximación (23) en la ECMDR del péndulo de Foucault (21) resulta:
mt̄¨ = −T
6.2.1.
t̄ − l~k
− mg~k − 2mω̄ ∧ t̄˙
l
(24)
Cálculo de la tensión
Multiplicando la ecuación (24) escalarmente por ~k nos proporciona:
(25)
T = mg − 2mω ẏ cos φ
6.2.2.
Cálculo de la posición
Sustituyendo la expresión anterior (25) en (24) y simplificándola y organizándola obtenemos:
g
t̄¨ + 2ω̄ ∧ t̄˙ + t̄ = 0̄
l
que es un SEDO de segundo orden, lineal y de coeficientes constantes.
La solución para el caso de Tierra no giratoria (ω = 0) es:
r
r
g
g
t) + B̄ sin(
t)
t̄ = Ā cos(
l
l
que tiene trayectoria elíptica en el STL que representa la solución general de las pequeñas oscilaciones
del péndulo esférico.
Para el caso de Tierra giratoria (ω 6= 0) si separamos sus dos componentes escalares se ve que las
EDOs están acopladas y que es útil integrarlas conjuntamente usando la variable compleja z = x + iy:
g
(26)
ẍ − 2ω ẏ sin φ + x = 0
l
g
ÿ + 2ω ẋ sin φ + y = 0
(27)
l
g
(26) + i(27) ⇒ z̈ + i2ω sin φż + z = 0
(28)
l
Que es una EDO de segundo orden lineal y de coeficientes constantes en la variable compleja z.
La solución de la ecuación característica de la misma es:
r
r
g ω2 ≪ gl
g
2
2
≈
i ω sin φ ±
r = −iω sin φ ± −ω sin φ −
l
l
y su solución es:
iωt sin φ
z(t) = e
Ā cos(
r
g
t) + B̄ sin(
l
r
g t)
l
donde las constantes de integración complejas son:
Ā = c1 + id1
B̄ = c2 + id2
Particularizando en el instante inicial obtenemos las constantes de integración:
(
c1 = x0 d1 = 0
z(0) = x0 = Ā
pg
sin φ
⇒
c2 = 0 d2 = x0 ω√
g
ż(0) = 0 = −iωx0 sin φ + l B̄
l
La solución obtenida puede ponerse como:
iωt sin φ
z(t) = e
z̃(t) | z̃(t) = x0 cos(
r
g
t) + iω
l
s
l
sin φ sin(
g
r
g t)
l
con lo que la trayectoria se interpreta como la un punto que describe una elipse en el plano complejo
z̃, que a su vez gira alrededor del origen en sentido antihorario con velocidad angular ω sin φ respecto
al plano complejo ligado al STL.
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria en el sistema STL son:
r
ω sin φ
g
g
x(t) = x0 cos(
t) cos(ωt sin φ) − p g sin(
t) sin(ωt sin φ)
l
l
l
r
r
g
ω sin φ
g
y(t) = x0 cos(
t) sin(ωt sin φ) − p g sin(
t) cos(ωt sin φ)
l
l
l
Propiedad:
ω sin φ
b
=
=
a
Ω
2π
Ω
2π
ω sin φ
=
r
(29)
(30)
T (péndulo simple)
T (rotación péndulo de Foucault)
La razón entre los semiejes de la elipse es igual a la razón de los periodos del péndulo simple y de
rotación del plano giratorio.
7.
Movimiento respecto al triedro orbital
M
x̄
y
x
z
z1
Se define el triedro orbital Oxyz de un objeto (secundario) en órbita alrededor de otro (primario) de la siguiente
forma:
Tiene origen O en el centro de masas del secundario
r̄
O
R
O1
y1
Tiene eje Ox en dirección de la vertical en O y sentido
cenital
Oz es perpendicular a la órbita con el sentido del
momento cinético del secundario en O1
El estado cinemático del objeto que sigue una órbita
circular de radio R alrededor de un primario de constante
x1
gravitatoria µ es el siguiente:
r
Figura 5: Movimiento relativo al triedro
µ
µ
O
O
orbital
r̄ = R~ur
v̄ =
~uθ
γ̄ O = − 2 ~ur
R
R
Por lo tanto, el estado cinemático de su triedro orbital asociado será:
r
r
µ
µ
µ~
O
O
v̄01 =
~
γ̄01 = − 2~ı
ω̄01 =
k
ᾱ01 = 0̄
R
R
R3
Sea x̄ = x~ı + y~ + z~k el vector de posición de una partícula M de masa m respecto al triedro
orbital. La Dinámica Relativa al triedro orbital de M está regida por la siguiente ecuación:
mx̄¨ = −mµ
O1 M
+ F̄IA + F̄IC
|O1 M|3
(31)
donde O1 M = O1 O + OM = (x + R)~ı + y~ + z~k.
Las expresiones de las fuerzas de inercia de arrastre y de Coriolis son:
µ
O
F̄IA = −m[γ̄01
+
ᾱ
ı + y~]
01 ∧ OM + ω̄01 ∧ (ω̄01 ∧ OM)] = m 3 [(R + x)~
R
r
µ
M
F̄IC = −2mω̄01 ∧ v̄20
= 2m
[ẏ~ı − ẋ~]
R3
Desarrollo en potencias de ǫ = x/R:
p
√
(R + x)2 + y 2 + z 2 ≈ R 1 + 2ǫ
|O1M | =
|O1 M |−3 = R−3 (1 + 2ǫ)−3/2 ≈ R−3 (1 − 3ǫ)
F̄G
F̄IA
F̄IC







x+R 
x + R − 3x − 3ǫx
2x − R 



mµ
mµ
mµ
y
y
−y
= − 3 (1 − 3ǫ)
=− 3
= 3




R
R 
R 
z
z
−z

  
R   x i

h
mµ
0
y
+
=
  
R3 
0
0


 ẏ 
= 2mω
−ẋ


0
Ecuación resultante:
x̄¨ =
 
 ẍ 
ÿ
=
 
z̈

 3x
2
0
ω

−z
|
{z




 ẏ 
+2ω −ẋ



0
}
gradiente gravitatorio
que tiene solución analítica de la forma x̄ = x̄(t; x̄0 , x̄˙ 0 ):
ẋ0
2ẏ0 2ẏ0 sin(ωt) − 3x0 +
cos(ωt)
+ 4x0 +
ω
ω
ω
4ẏ0 2ẋ
2ẋ0 y(t) = 6x0 +
sin(ωt) +
cos(ωt) − (6ωx0 + 3ẏ0 )t + y0 −
ω
ω
ω
ż0
z(t) =
sin(ωt) + z0
cos(ωt)
ω
x(t) =