Guia 02 terminos algebraicos

Algebra 1
Profesor Eduardo Flores
Término algebraico. (Informal) Es la multiplicación o división de factores
literales y coeficiente numéricos
7ax³ y²
; 4a²b³c
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Todo término algebraico se compone de un factor literal (letras) y de un
factor numérico (números)
Ejemplo:
3x²y ; -
Ejemplo:
3x²y Factor Literal x²y
Factor numérico 3
Expresión algebraica: Es la suma o resta de dos o más términos algebraicos.
Ejemplo:
3x²y + 2xy - 3z ;
4xy + 8y
Términos Semejantes.
mismo factor literal.
Son todos los términos algebraicos que tienen un
Ejemplo:
7x²y con -4x²y
22xy³z con 30y³xz
Monomio. Es una expresión algebraica que consta de un solo término
Ejemplo :
x
;
y
; 2x² ; 7x³y³ ; 8xy²z
Binomio. Es una expresión algebraica que consta sólo de dos términos
Ejemplo :
3x + 2y
; 7x² - 1
Trinomio. Es una expresión algebraica que consta de tres términos.
Ejemplo :
x²+ 2xy + y² ; 3x - y - 1
En general llamaremos polinomio a toda expresión algebraica que conste
de dos o más términos.
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Operatoria de Expresiones Algebraicas
Suma: Para sumar dos polinomios, juntamos los términos semejantes,
conservamos el factor literal y sumamos los factores numéricos. Esto es válido
también para la resta.
Ejemplo :
4x²y + 6xyz - 3xy² + 4xyz - 2x²y + 1
=(4 - 2)x²y + (6 + 4)xyz - 3xy² + 1
= 2x²y + 10xyz - 3xy² + 1
Multiplicación. La multiplicación de polinomios se realiza término a término, es
decir, cada término del primer polinomio con cada término del segundo polinomio,
considerando las propiedades de la multiplicación de potencias
Ejemplo :
(2x - 3 ) (5 + 6x)
= 2x·5 + 2x·6x - 3·5 - 3·6x
= 2·5x + 2·6 x·x - 3·5 - 3·6x
= 10x + 12x² - 15 - 18x
= 12x² - 8x - 15
Productos Notables: Existen algunos productos de polinomios que tienen
características particulares, ello debido a que no es necesario realizar la
multiplicación término a término para obtener el resultado, sino que éste tiene una
forma predeterminada.
Cuadrado de Binomio
(a + b )² = a²+ 2ab + b²
(a - b )² = a² - 2ab + b²
Se resuelve como: el cuadrado del primer término, más o menos (según el
signo al interior del binomio) el doble del primer término por el segundo, más el
cuadrado del segundo término)
Cubo de binomio
(a + b )³ = a³+ 3a²b+ 3ab²+ b³
(a - b )³ = a³ - 3a²b+ 3ab² - b³
(En este caso se resuelve como: el cubo del primer término, más o menos tres
veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el
cuadrado del segundo, más o menos el cubo del tercero)
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Suma por su diferencia
(a + b) (a - b) = a² - b²
Se resuelve como el cuadrado del primero, menos el cuadrado del segundo,
considerando que llamamos segundo a aquel término que cambió de signo.
Producto de dos binomios con un término en común
(x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab
Se resuelve como: el término común al cuadrado, más la suma de los dos
términos distintos por el término común, más el producto de los dos términos
distintos.
Factorización. Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o
más polinomios. Es la operación inversa de la multiplicación
x² - y² = (x + y)(x - y)
x² + 2xy + y² = (x + y)(x + y)
Ejemplo :
x² + 4x + 4
Al analizar la expresión veremos que los extremos x² y 4 son cuadrados
perfectos, el de x y 2 respectivamente, entonces podríamos factorizarlo como
cuadrado de binomio.
(x + 2) (x + 2) = (x + 2)²
Ejemplo :
x² + 6x + 5
Al analizar los extremos vemos que 5 no es cuadrado perfecto, por tanto
deberemos buscar dos números que cumplan con la siguiente condición
(x + b) (x + c) = x² + (b+c)x + bc
Es decir, que sumados den el número central (el que acompaña a x) y
multiplicados el número del extremo (el término libre de x).En el caso del ejemplo
debemos buscar dos números que sumados sean 6 y multiplicados resulten 5.
x²+ 6x + 5 = (x + ?) ( x + ?)
= (x + 5) ( x + 1)
Ejemplo :
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x² - 36
Aquí vemos que sólo aparecen dos términos que son cuadrados perfecto y
además se están restando, en este caso corresponde a una suma por su
diferencia :
x² - 36 = (x + 6) (x - 6)
División. Para dividir dos polinomios primero factorizaremos tanto el numerador
como el denominador de ésta si es posible hacerlo, luego simplificaremos aquellos
factores que aparecen tanto en el numerador como en el denominador
Ejemplo :
x² - 4x - 21
x²+11x+24
=
(x - 7)(x + 3)
x-7
=
(x + 8)(x + 3)
x+8
En muchas ocasiones nos encontraremos con sumas o restas de fracciones
cuyo denominador son polinomios, por tanto aprenderemos a calcular el M.C.M y
el M.C.D entre polinomios.
Cálculo del M.C.M.
1.- Se factorizan todos los polinomios a los que se les calculará el M.C.M.
2.- Se seleccionan todos los factores o polinomios diferentes que aparecieron.
3.- Se multiplican asignándole a cada uno su mayor exponente.
Ejemplo :
Calcular el M.C.M. entre
x² + 13x + 42 ; x² + 14x + 49 ; x² - 25
en este caso al factorizar cada polinomio tenemos :
x² + 13x + 42 = (x + 7) (x + 6)
x² + 14x + 49 = (x + 7)²
x² - 25 = (x + 5) ( x - 5)
por lo tanto el M.C.M. es
(x + 7)² (x + 6) (x + 5) ( x - 5)
Cálculo del M.C.D.
1.- Se factorizan todos los polinomios a los que se les calculará el M.C.D.
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2.- Se seleccionan todos los factores que aparecen repetidos en todas las
factorizaciones
3.- Se multiplican todos los factores seleccionados asignándole a cada uno su
menor exponente
Ejemplo:
Calcular el M.C.D. entre
x³ + 3x² + 3x + 1; x² + 7x - 8 ; x² - 1
Factorizando cada polinomio resulta:
x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³
x² - 7x - 8 = (x - 8) (x + 1)
x² - 1 = (x + 1) (x - 1)
el factor que es común a todos los polinomios es (x + 1) y su menor exponente es
1, por lo tanto el M.C.D. es (x + 1)
Observación:
Nótese que cuando no aparece un factor repetido en todas las
factorizaciones, el M.C.D. es 1
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