Funciones de una variable (IV) Definici ón de funci ón diferenciable

Definición de función diferenciable
Funciones de una variable (IV)
Definición
Sea f : X ⊆ R −→ R y sea a un punto interior de X . Diremos
que f es diferenciable (o derivable) en a si existe el lı́mite
(finito) del siguiente cociente, llamado cociente de Newton:
lı́m
h→0
f (a + h) − f (a)
h
Si ese lı́mite existe (finito) lo denotaremos por f (a), derivada
de f en a.
Interpretación geométrica
Ejemplo
f (x) = |x|
(a)
Gráficamente, el cociente de Newton f (a+h)−f
es la pendiente de la recta
h
secante a la gráfica de f que pasa por los puntos (a, f (a)) y (a + h, f (a + h)).
Cuando hacemos h → 0, estas rectas secantes convergen a la recta
tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)). Ası́ pues, una función f es
diferenciable en un punto a interior al dominio X de f si la gráfica de f tiene
recta tangente no vertical en el punto (a, f (a)).
Ejemplo
Ejemplo
2
f (x) = x 3 =
√
3
x2
Ejemplo
1
f (x) = x 3 =
√
3
x
Derivabilidad implica continuidad
1
f (x) = x 2 sin( )
x
Teorema
Sea f : X ⊆ R −→ R y sea a un punto interior de X . Si f es
diferenciable en a entonces f es continua en a. (Demostrar)
El recı́proco no es cierto. ¿Por qué?
Álgebra de funciones diferenciables
Teorema
Sean f , g : X ⊆ R −→ R funciones diferenciables en a punto
interior de X . Entonces,
(i) f +g es diferenciable en a, y (f + g) (a) = f (a) + g (a)
(ii) fg es diferenciable en a, y (fg) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a)
f
(iii) Si g(a) = 0, es diferenciable en a, y
g
f (a)g(a) − f (a)g (a)
f
(a) =
g
g(a)2
Regla de la cadena
Teorema (Regla de la cadena)
Sea f : X ⊆ R −→ R diferenciable en a punto interior de X y
sea g : f (X ) −→ R diferenciable en f (a) punto interior de f (X ).
Entonces, la función compuesta g ◦ f es diferenciable en a y su
derivada es
(g ◦ f ) (a) = g (f (a))f (a)
(Regla de la cadena)
(Demostrar)
Derivadas de las funciones más importantes
EJERCICIO: Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
Función constante f (x) = c
Polinomios.
Función seno
Función coseno
Función exponencial
Derivada de la función inversa
Teorema (diferenciabilidad de la función inversa)
Sea f : X ⊆ R −→ R una función diferenciable en X intervalo
abierto, con f > 0 ó f < 0 en X . Entonces, su función inversa
φ es diferenciable en su dominio de definición, f (a), a ∈ X , y
su derivada es
1
φ (f (a)) = f (a)
Aplicación: Cálculo de las derivadas de log(x), loga (x),
funciones inversas de las trigonométricas.
Función derivada
Función diferenciable con derivada no
diferenciable
f (x) = x|x|
Definición
Sea f : X ⊆ R −→ R, con X intervalo abierto. Diremos que f es
diferenciable en X si es diferenciable en cada punto de X . En
este caso, podemos definir una nueva función, f : X ⊆ R −→ R
tal que a cada x ∈ X le hace corresponder f (x). Esta función
se llama función derivada de f .
Más aún: f (x) = x 2 sin(1/x) es diferenciable y con derivada no
continua.
Derivadas sucesivas
Definición
Si una función f es diferenciable en un abierto X y su función
derivada f también es diferenciable, denotamos por f a la
función derivada de f , que se llama derivada segunda de f .
Del mismo modo, si f es diferenciable en X , denotamos por f a la derivada tercera de f y ası́ sucesivamente: f IV , f V , etc. En
general, si f es indefinidamente diferenciable en un abierto X ,
denotamos por f (n) a su derivada n-ésima, n ∈ N, donde f (0)
representa a la propia f .
Regla de Leibniz
Sean f y g funciones n veces diferenciables. Entonces:
(fg)(n) (x) =
··· +
n
n−1
n
0
f (n) (x)g(x) +
f (x)g (n−1) (x) +
n
1
n
n
f (n−1) (x)g (x) +
n
2
f (n−2) (x)g (x) + . . .
n n
f (x)g (n) (x) =
f (n−i) (x)g (i) (x)
i
i=0
Regla de l’Hôpital
Teorema(Regla de l’Hôpital)
Sean f , g : (a, b) −→ R funciones diferenciables, con b finito o
+∞, tales que g (x) = 0 para todo x ∈ (a, b) . Supongamos
que
lı́m f (x) = lı́m g(x) = 0 ó que lı́m f (x) = lı́m g(x) = +∞
x→b−
x→b−
y que lı́m
x→b−
lı́m
x→b−
x→b−
x→b−
f (x)
= L (finito o infinito). Entonces,
g (x)
f (x)
=L
g(x)