Razon de cambio instantaneo y la derivada

MATE 3013
RAZON DE CAMBIO
INSTANTANEO Y LA DERIVADA
DE UNA FUNCION
Resumen razón de cambio promedio
La pendiente de la recta secante que
conecta dos puntos en la gráfica de una
función representa la razón de cambio
promedio en el intervalo (x, f(x)).
Esta razón se puede determinar con el
cociente de diferencias
∆ 𝑦 𝑦2 − 𝑦1
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
=
=
∆ 𝑥 𝑥2 − 𝑥1
ℎ
Razón de cambio promedio -aplicaciones
Una piedra cae desde una altura de 50 metros. ¿Cuál es la
rapidez promedio
a) durante los 2 primeros segundos de la caída
b) del segundo 1 al segundo 2?
si la caída esta gobernada por la siguiente ecuación
f(t) = 5.1𝑡 2 , donde f(t) se mide en metros?
5.12   5.10
y
 10.2 m/s

20
t
2
a) los primeros 2 segundos:
y 5.12   5.11
 15.3 m/s

2 1
t
2
b) del segundo 1 al 2:
2
2
Razón de cambio promedio -aplicaciones
(1)Determinar la razón de cambio promedio de
𝑓 𝑥 entre x = -2 y x = -1.
•
𝑦2 −𝑦1
𝑥2 −𝑥1
• 𝑓 −2 = 9
• 𝑓 −1 = 8
•
9−8
−2−(−9)
=
-1
Razón de cambio promedio -aplicaciones
(2) Determinar la ecuación de la recta secante a
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 5𝑥 + 3 entre x = -2 y x = -1.
Como la razón de cambio promedio que calculamos en la parte 1
de este ejercicio es la pendiente de la recta secante, tenemos que
y = mx + b
y = -x + b
Sustituimos uno de los puntos:
9 = -(-2) + b
9=2+b
9–2=b
b=7
La ecuación de la recta secante es: y = – x + 7 o y = 7 – x
Razón de cambio instantáneo
Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil, ….
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.
a) ¿Cuál es la razón de cambio
instantáneo en x = 2?
• Hasta ahora hemos
mirado razón de cambio
promedio.
• Para mirar la razón de
cambio instantánea,
calculemos la razón de
cambio promedio en una
vecindad pequeño
alrededor de 2, por la
izquierda.
Razón de cambio instantáneo
Exploración 1: Un submarino lanza un proyectil, ….
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.
a) ¿Cuál es la razón de cambio
instantáneo en x = 2?
Razón de cambio promedio
en una vecindad pequeño
alrededor de 2, por la
izquierda…:
𝑓(1.97) − 𝑓(1.95)
=
0.02
24.96
𝑓(1.98) − 𝑓(1.97)
= 24.6
0.01
𝑓(1.99) − 𝑓(1.98)
= 24.36
0.01
𝑓(1.999) − 𝑓(1.99)
= 24.132
0.009
𝑓(1.9999) − 𝑓(1.999)
= 24.0132
0.0009
Razón de cambio instantáneo
Exploración 1: : Un submarino lanza un proyectil, ….
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.
a) ¿Cuál es la razón de cambio
instantáneo en x = 2?
Calculemos la razón de cambio
promedio en una vecindad pequeño
alrededor de 2, por la derecha.
𝑓(2.1) − 𝑓(2.15)
=
−0.05
𝑓(2.05) − 𝑓(2.1)
=
−0.05
21
22.22
𝑓(2.01) − 𝑓(2.05)
= 23.28
−0.04
𝑓(2.001) − 𝑓(2.01)
= 23.87
−0.009
𝑓(2.0001) − 𝑓(2.001)
= 23.99
0.0009
Razón de cambio instantáneo
Exploración 1: : Un submarino lanza un proyectil, ….
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.
a) ¿Cuál es la razón de cambio
instantáneo en x = 2?
La razón promedio en una vecindad
pequeña alrededor de x=2 (por la
izquierda y por la derecha) se acerca
al mismo número. Por lo tanto, la
razón de cambio instantáneo en x=2
es 24 metros/segundo.
El Límite de la cociente de diferencias
DEFINICION:
La razón de cambio instantánea de
f(x) en x es un límite.
m  lim
h0
f x  h   f x 
.
h
La razón de cambio instantánea
de f(x) es la pendiente de la
recta
tangente en (x, f(x)).
Rectas tangentes
DEFINICION:
Una línea que toca un círculo en exactamente un punto que se llama una
línea tangente. Esta noción se puede extender a cualquier curva
suave: una línea tangente toca una curva en un solo punto.
L es una recta tangente a la curva. M no es una recta tangente a la curva.
Rectas tangentes
Identifique las rectas tangentes en la figura.
.
Si una curva es suave (no tiene esquinas), entonces cada punto de la
curva tendrá una línea tangente única, es decir, exactamente una línea
tangente es posible en cualquier punto dado.
Rectas tangentes
En los puntos de
máximo o mínimo, la
recta tangente es
horizontal ( es decir,
la pendiente es 0)
m=0
m>0
m<0
m=0
m<0
En los tramos de
crecimiento la recta
tangente tiene
pendiente positiva, en
los de decrecimiento la
tiene negativa.
Calcular razón de cambio instantánea
Una piedra cae desde una altura de 50 metros. si la caída esta
gobernada por la ecuación , 𝑓 𝑡 = 5.1𝑡 2 , donde f(t) se mide en m.
Hallar la velocidad de la piedra en t =2.
𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
La velocidad es 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
La velocidad promedio en el intervalo es
La velocidad instantánea en t = 2 es
𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡)
ℎ
lim
h 0
5.1t  h   5.1t
2

5.1t  h   5.1t
2


2
h
2
h
Como no se puede
resolver el limite por
sustitución por que no
podemos dividir entre
0, hacemos una tabla
con h = 0.05, 0.1, 0.01,
0.001 y 0.0001 para
explorar el límite.
𝑚
Los valores tienden 20.4, por lo tanto la velocidad instantánea en t = 2 es 20.4 𝑠𝑒𝑔
Calcular razón de cambio instantánea
Una piedra cae desde una altura de 50 metros. si la caída esta
gobernada por la ecuación , 𝑓 𝑡 = 5.1𝑡 2 , donde f(t) se mide en m.
Hallar la velocidad instantánea de la piedra en t =2.
2
2
5.1t  h   5.1t 
𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓(𝑡)
La velocidad promedio en el intervalo es

ℎ
5.1t  h   5.1t
2
lim
La velocidad instantánea en t = 2 es
Podemos también
investigar el límite
con métodos
algebraicos:
 lim
h 0

h
2
h
h 0
5.1t 2  2th  h 2   5.1t

2
h
5.1t 2  10.2th  5.1h 2  5.1t 2
hlim
h
0
h 10.2t  5.1h 
hlim
h
0
 lim10.2t  5.1h  10.2t
h 0
𝑚
10.2(2) = 20.4 , por lo tanto la velocidad instantánea en t = 2 es 20.4 𝑠𝑒𝑔
El Límite de la cociente de diferencias
Ejemplo 1: Para 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 + 1 hallar f  x  .
Luego, hallar f  3 y
f  4 .
2 + 1)
+
1
−
(3𝑥
𝑓 ′ 𝑥 = lim
ℎ→0
ℎ
2
2
2
3(𝑥
+
2𝑥ℎ
+
ℎ
+
1
−
(3𝑥
+ 1)
′
𝑓 𝑥 = lim
ℎ→0
ℎ
3 𝑥+ℎ
2
2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 1 − 3𝑥 2 − 1
3𝑥
𝑓 ′ 𝑥 = lim
ℎ→0
ℎ2
2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ
2−1
3𝑥
+
1
−
3𝑥
𝑓 ′ 𝑥 = lim
ℎ→0
ℎ
El Límite de la cociente de diferencias
Ejemplo 1: Para 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 + 1 hallar f  x  .
Luego, hallar f  3 y
𝑓′
ℎ(6𝑥 + 3ℎ )
𝑥 = lim
ℎ→0
ℎ
𝑓 ′ 𝑥 = lim 6𝑥 + ℎ
ℎ→0
𝑓 ′ 𝑥 = 6𝑥
𝑓 ′ −3 = 6 −3 = −18
𝑓 ′ 4 = 6 4 = 24
f  4 .
El Límite de la cociente de diferencias
DEFINICION:
Para una función y = f (x),
la pendiente de la recta
tangente en un valor de x=a se
conoce como la derivada de
f(x) en x=a.
Se denota f’(x) (f prima de x).
f x  h   f x 
f  x   lim
h0
h
siempre y cuando el límite Si f’(x) existe, entonces se dice
exista.
que f es diferenciable en
x=a.
Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de f en el punto con coordenada en x = a.
La derivada de la función f en a se denota con el símbolo
𝑓´ 𝑎 que se lee “f prima de a”
y=3
𝑓´ 4.5 = −32 porque la
tangente en x = 4.5 tiene
pendiente −32.
y=1.2x+1.5
𝑓´ −2 = 0
y=-1.3x+13
y=-3/2x-24
y=-4
𝑓´ 2 = 1.2
𝑓´ 4 = 0
𝑓´ 6 = −1.3
Derivada -aplicaciones
Determinar la pendiente de la recta tangente a
𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 en x = 3.
Necesitamos la razón de
cambio instantánea en x = 3.
Necesitamos el
lim
h 0
4  ( x  h)  4  x
h
Simplificar este límite algebraicamente envuelve álgebra pesada.
¿De qué otra forma podemos investigar el límite?
Derivada -aplicaciones
Determinar la pendiente de la recta tangente a
𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 en x = 3.
4  ( x  h)  4  x
lim
h
h0
Utilicemos una tabla con h,
la distancia de x = 3 aproximando a 0:
h
0.5
0.1
f(x)
-0.5859 -0.5132
4  (3  0.5)  4  3
0.5
lim
h 0
0.01
0.001
-0.5013 -0.5001
0.0001
-0.50001
4  (3  0.1)  4  3
0.1
4  ( x  h)  4  x
 0.5
h
4  (3  0.1)  4  3
0.1
Derivada -aplicaciones
¿Es diferenciable la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 0?
Solución:
Según la definición de derivada una función es diferenciable en un
punto si la derivada existe en el punto.
f x  h   f x 
f  x   lim
h0
h
lim
xh  x
h
h 0
h
-0.5 -0.1 -0.01
f(x)
-1
-1
lim
h 0 
-1
xh  x
h
-0.001 -0.0001
-1
 1
-1
h
0.5 0.1 0.01
f(x)
1
1
lim
h 0

0.001 0.0001
1
xh  x
h
1
1
1
Derivada -aplicaciones
¿Es diferenciable la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 0?
lim
h 0

xh  x
h
 1
lim
h 0
xh  x

h
1
Solución: (continuación)
Según la definición de derivada una función es diferenciable en un
punto si la derivada existe en el punto.
lim
xh  x

h
No existe ya que los límites por la izquierda
h 0
y por la derecha son diferentes.
Por lo tanto, la función no es diferenciable en x = 0.