Estática del Punto

CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE
ESTÁTICA
Índice
1. CONCEPTOS ÚTILES
1.1. Configuración geométrica de un sistema
1.2. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Coordenadas generalizadas . . . . . . .
1.4. Clasificación de fuerzas . . . . . . . . .
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3
3
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3. EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA LIBRE
3.1. Caso de fuerza general F̄ = F̄ (r̄, v̄, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Caso de fuerza potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
4. HIPÓTESIS DE COULOMB Y MORIN SOBRE EL ROZAMIENTO
4.1. Caso aplicable en Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5. EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA SOBRE UNA
SUPERFICIE
5.1. Equilibrio sin rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Procedimiento Teórico . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Procedimiento Práctico . . . . . . . . . . . . .
5.2. Equilibrio con rozamiento . . . . . . . . . . . . . . .
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5
5
5
6
6
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7
7
8
8
2. OBJETO DE LA ESTÁTICA
2.1. Definición de Equilibrio de un sistema
2.2. La Estática . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Ciencias relacionadas con la Estática .
2.4. Clasificación de Problemas relacionados
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con el equilibrio
6. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA SOBRE
CURVA
6.1. Equilibrio sin rozamiento . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Procedimiento Teórico . . . . . . . . . .
6.1.2. Procedimiento práctico . . . . . . . . . .
6.2. Equilibrio con rozamiento . . . . . . . . . . . .
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UNA
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1.
1.1.
CONCEPTOS ÚTILES
Configuración geométrica de un sistema
Configuración geométrica de un sistema en un instante son las posiciones que ocupan todas
las partículas del mismo en dicho instante: r̄ i (i = 1, . . . , N).
1.2.
Ligaduras
Ligadura es una restricción al movimiento de un sistema, ya sea limitando las posiciones que
pueden ocupar las partículas del mismo y/o las velocidades que pueden tener. Están impuestas
a través de acciones incógnitas. Se formulan matemáticamente mediante expresiones del tipo:
f (r̄ i , v̄ i, t) = 0 (i = 1, . . . , N)
1.3.
Coordenadas generalizadas
Coordenadas generalizadas son el conjunto mínimo de datos {q1 , q2 , . . . , qn } necesario para
definir completamente la configuración geométrica de un sistema material:
r̄ i = r̄ i(q1 , q2 , . . . , qn , t) (i = 1, . . . , N)
f (r̄ i , v̄ i, t) = 0 (i = 1, . . . , N)
1.4.
Coord. gener.
⇒
φ(qj , q̇j , t) = 0 (j = 1, . . . , n)
Clasificación de fuerzas
Atendiendo al origen de las interacciones respecto al sistema mecánico elegido en el estudio
podemos clasificar las fuerzas en:
Fuerzas Interiores: acciones de contacto o a distancia entre las partículas del sistema.
Fuerzas Exteriores: acciones de contacto o a distancia de partículas ajenas al sistema
sobre las partículas del mismo.
Atendiendo al conocimiento previo a la resolución del problema (a priori ) en función de otras
incógnitas del mismo podemos clasificar las fuerzas en:
Fuerzas Dadas o Directamente Aplicadas: Se conocen a priori en cada instante en función
de la posición y de la velocidad de las partículas y del tiempo.
Fuerzas de Ligadura: Se desconocen a priori y son incógnitas del problema mecánico
2.
2.1.
OBJETO DE LA ESTÁTICA
Definición de Equilibrio de un sistema
Un sistema material sometido a ligaduras sobre el que actúa un sistema de fuerzas directamente aplicadas se encuentra en equilibrio respecto a un sistema de referencia S cuando
abandonado en reposo respecto a S en una configuración dada, sus partículas permanecen indefinidamente en reposo.
El concepto de equilibrio afecta tanto a la configuración geométrica del sistema de partículas
como al sistema de fuerzas aplicadas sobre el mismo.
3
2.2.
La Estática
La Estática es la rama de la Mecánica encargada del calculo de las configuraciones de
equilibrio de los sistemas.
2.3.
Ciencias relacionadas con la Estática
La Estática es una parte de la Mecánica útil y fecunda. Es la herramienta básica de ciencias
como:
Resistencia de Materiales
Elasticidad
Cálculo de estructuras
Diseño mecánico
2.4.
Clasificación de Problemas relacionados con el equilibrio
Nombre (Ciencia)
Problema directo (Estática)
Datos
• Fuerzas aplicadas
• Ligaduras
Configuración de equilibrio
Configuración de equilibrio
Problema inverso (Estática)
Problema de la estabilidad
(Dinámica)
3.
Incógnitas
• Configuraciones de equilibrio
• Fuerzas de ligadura
Fuerzas aplicadas
Carácter de la estabilidad
del Equilibrio
EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA LIBRE
Sea F̄ la resultante de las fuerzas directamente aplicadas que actúan sobre una partícula
libre M. La condición necesaria y suficiente de equilibrio de M es:
F̄ = 0̄
Demostración a partir de la segunda ley de Newton F̄ = mγ̄:
F̄ = 0̄
r̄(t) = r̄0
3.1.
⇒
γ̄ = 0̄ ⇒ v̄ = v̄0 = 0̄ ⇒
d 2r̄
⇒ γ̄ = 2 = 0̄ ⇒ F̄ = 0̄
dt
r̄(t) = r̄0
Caso de fuerza general F̄ = F̄ (r̄, v̄, t)
Las coordenadas generalizadas para la partícula son en este caso las propias coordenadas
espaciales de la partícula (q1 , q2 , q3 ) (cartesianas, cilíndricas, esféricas, etc):
r̄ = r̄(q1 , q2 , q3 )
∂r̄
hj = |
| (j = 1, . . . , 3) factores de escala
∂qj
∂ r̄
∂qj
(j = 1, . . . , 3) versores de la base
hj
Imponiendo la condición necesaria y suficiente de equilibrio se tiene:

 F̄ · ~u1 = F1 (q1 , q2 , q3 , t) = 0
F̄ · ~u2 = F2 (q1 , q2 , q3 , t) = 0
F̄ = F1~u1 + F2~u2 + F3~u3 = 0̄ ⇒

F̄ · ~u3 = F3 (q1 , q2 , q3 , t) = 0
~uj =
4
Para determinar las posiciones de equilibrio anulamos cada una de las tres componentes del
vector F̄ es la base de las coordenadas elegidas y con velocidades generalizadas nulas. Obtenemos
un sistema algebraico de tres ecuaciones con tres incógnitas (q1 , q2 , q3 ). Este sistema algebraico
puede ser incompatible (sin solución) o compatible. Si es compatible puede ser determinado
(solución única) o indeterminado (solución múltiple).
Cuando el campo no es estacionario las ecuaciones deben satisfacerse en todo instante para
que haya equilibrio.
3.2.
Caso de fuerza potencial
Si F̄ deriva de una función de fuerzas U (resp. potencial V = −U) ordinaria y estacionaria:
∃U(q1 , q2 , q3 ) | F̄ (q1 , q2 , q3 ) = ∇U(q1 , q2 , q3 )
Imponiendo la condición necesaria y suficiente de equilibrio se tiene:

∂U


(q1 , q2 , q3 ) = 0


∂q

1





∂U
(q1 , q2 , q3 ) = 0
F̄ = ∇U = 0̄ ⇒ dU = ∇U · dr̄ = 0 ⇒

∂q2







∂U


(q1 , q2 , q3 ) = 0
∂q3
que constituye un sistema algebraico de tres ecuaciones con tres incógnitas.
La estabilidad de las posiciones de equilibrio se analiza con la matriz Hessiana de la función
de fuerzas (resp. potencial) en cada posición de equilibrio (q1∗ , q2∗ , q3∗ ):
∂2U H[U(q1 , q2 , q3 )] =
= −H[V ((q1 , q2 , q3 )]
∂qi ∂qj
1. Si H[U(q1∗ , q2∗ , q3∗ )] es definida negativa (resp. H[V (q1∗ , q2∗ , q3∗)] definida positiva) hay un
máximo de U (resp. mínimo de V): equilibrio estable
2. Si H[U(q1∗ , q2∗ , q3∗ )] no es definida negativa (resp. H[V (q1∗ , q2∗ , q3∗ )] no es definida positiva):
equilibrio inestable
4.
HIPÓTESIS DE COULOMB Y MORIN SOBRE EL
ROZAMIENTO
Entre los modelos de acciones de contacto entre sólidos el más conocido es el que plantearon los franceses Coulomb y Morin. Su sencillez y su buena concordancia con los resultados
experimentales le hacen muy útil en la formulación de problemas mecánicos académicos donde
están involucrados contactos con rozamiento.
4.1.
Caso aplicable en Estática
En Estática la velocidad de deslizamiento entre sólidos es siempre nula, luego es caso aplicable sera: F̄R es siempre un vector desconocido del plano tangente de contacto entre sólidos y
cuyo módulo deberá ser igual o inferior a f |N̄| para que no se produzca deslizamiento, donde
N̄ es la componente normal de la fuerza de contacto y f el coeficiente de rozamiento.
Se tiene, por tanto, que F̄R tiene dos componentes incógnita en caso general. En el caso de
problemas planos solo hay una componente incógnita, puesto que FR tiene obligatoriamente la
dirección de la tangente contenida en el plano del problema.
5
5.
EQUILIBRIO DE LA PARTÍCULA SOBRE UNA
SUPERFICIE
R̄
Sea S la superficie de ecuación φ(q1 , q2 , q3 ) = 0
z
referida a un triedro cartesiano rectangular inercial
Oxyz. Sea F̄ la resultante de las fuerzas aplicadas
F̄
que actúan sobre la partícula M. Se pretende encontrar las posiciones de equilibrio de la partícula
M
M sobre S.
r̄
S
M está sometida tanto al campo F̄ como a la
O
y
reacción incógnita R̄ de S. Podemos plantear las
ecuaciones de equilibrio de M considerándola como
libre y estando sometida a ambas fuerzas:
F̄ + R̄ = 0̄
x
siendo
R̄ = F̄R + N̄
Aparecen 6 incógnitas: 3 de posición, 2 de la reacción tangencial y 1 de la reacción normal.
5.1.
Equilibrio sin rozamiento
Si S es una superficie lisa la componente tangencial de la reacción es nula, lo que proporciona
dos ecuaciones adicionales: F̄R = 0̄
5.1.1.
Procedimiento Teórico
Las ecuaciones de equilibrio de M resultan:
F̄ + N̄ = 0̄
donde la reacción tiene la dirección de la normal:
N̄ = λ∇φ
siendo λ incógnita. Esto significa que las ecuaciones de equilibrio quedan:
F̄ + λ∇φ = 0̄
tres ecuaciones escalares
Además M debe estar sobre S, luego se satisface la ecuación de la superficie:
φ(q1 , q2 , q3 ) = 0
una ecuación escalar
Tenemos un sistema algebraico de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: (q1 , q2 , q3 , λ); las
tres primeras proporcionan las posiciones de equilibrio (primer tipo de incógnitas del problema directo) mientras que la última proporciona la reacción de la superficie (segundo tipo de
incógnitas del problema directo).
Consideraciones sobre el tipo de ligadura La superficie φ = 0 divide al espacio en dos
zonas: la φ < 0 y la φ > 0. El vector ∇φ apunta hacia la segunda, por ser el gradiente de un
campo escalar.
Ligadura bilateral La superficie puede reaccionar en ambos sentidos y son posibles ambos signos de λ en las soluciones del sistema anterior.
Ligadura unilateral La superficie solo puede reaccionar en un único sentido y solo son
posiciones de equilibrio las soluciones con el signo adecuado de λ.
6
5.1.2.
Procedimiento Práctico
R̄
En las posiciones de equilibrio el campo de fuerz
N̄
zas es normal a la superficie lisa. Vamos a buscar
∂ r̄
∂u
dichas posiciones forzando a que se cumpla esta
condición.
Representación paramétrica de la superficie:
M
∂ r̄
r̄
r̄ = r̄(u, v)
(r̄ ∈ C1 (R2 , R3 ))
∂v
Vectores del plano tangente (en un punto regular):
O
∂r̄ ∂r̄
( , )
∂u ∂v
Forzando a que las componentes tangentes del
x
campo de fuerzas sean nulas se obtienen las ecuaciones de equilibrio:
∂r̄(u, v)
F̄ (u, v) ·
=0
∂u
∂r̄(u, v)
=0
F̄ (u, v) ·
∂v
que constituyen un sistema algebraico de dos ecuaciones con dos incógnitas: (u, v).
La reacción normal (segundo tipo de incógnitas del problema directo) se obtiene para
posición de equilibrio (u∗ , v ∗ ) despejando de la ecuación de la Estática:
N̄ (u∗ , v ∗ ) = −F̄ (u∗ , v ∗ )
F̄
S
y
cada
Caso potencial
A) Aunque el campo no derive de una función de fuerzas U puede ocurrir que la expresión
∂r̄(u, v)
∂r̄(u, v)
F̄ (u, v) ·
du + F̄ (u, v) ·
dv
∂u
∂v
sea la diferencial exacta de una función U(u, v) definida sobre la superficie, en cuyo caso las
ecuaciones de equilibrio son:
∂U
∂U
=0
=0
∂u
∂v
B) Si la fuerza directamente aplicada es potencial (F̄ = ∇U) las ecuaciones equivalen:
∂r̄(u, v)
∂r̄(u, v)
∂U
F̄ (u, v) ·
= ∇U ·
=
=0
∂u
∂u
∂u
∂r̄(u, v)
∂r̄(u, v)
∂U
F̄ (u, v) ·
= ∇U ·
=
=0
∂v
∂v
∂v
Esto significa que las posiciones de equilibrio de la superficie son aquellas en las que U toma
valores estacionarios.
5.2.
Equilibrio con rozamiento
Cuando la superficie es rugosa (no lisa) es capaz de ejercer además una reacción tangencial
que puede alcanzar hasta un valor f |N̄|.
En las posiciones de equilibrio la superficie tiene que oponer unas reacciones F̄R y N̄ que
equilibren a las componentes tangencial F̄t y normal F̄n de las fuerzas directamente aplicadas:
~ ∧ F̄ ) ∧ N
~ = −F̄R
F̄t = (N
~ · F̄ )N
~ = −N̄
F̄n = (N
7
La condición que impone la hipótesis de Coulomb/Morin es:
|F̄t | ≤ f |F̄n |
Las soluciones de esta inecuación serán zonas de puntos no aislados de la superficie.
Sigue todavía teniendo sentido considerar si la ligadura es bi o unilateral, razonando (como
anteriormente) con la componente normal de la reacción.
6.
EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA SOBRE UNA
CURVA
Sea la curva C, de ecuaciones implícitas en una
referencia cartesiana rectangular:
S1 : φ1 (q1 , q2 , q3 ) = 0
φ1 , φ2 ∈ C1 (R3 , R)
S2 : φ2 (q1 , q2 , q3 ) = 0
z
R̄
F̄
Sea F̄ la resultante de las fuerzas aplicadas que
~t
M
actúan sobre la partícula M. Se pretende encontrar
r̄
S1
C
las posiciones de equilibrio de la partícula M sobre
O
y
C.
M está sometida tanto al campo F̄ como a la
reacción incógnita R̄ de S. Podemos plantear las
S2
ecuaciones de equilibrio de M considerándola como
x
libre y estando sometida a ambas fuerzas:
F̄ + R̄ = 0̄
siendo
R̄ = F̄R + N̄
Aparecen 6 incógnitas: 3 de posición, 2 de las componentes de la reacción normal y 1 de la
reacción tangencial.
6.1.
Equilibrio sin rozamiento
Si la curva es lisa la componente tangencial de la reacción es nula, lo que proporciona una
ecuación escalar adicional: F̄R = 0̄
6.1.1.
Procedimiento Teórico
La ecuación de equilibrio para este caso queda:
F̄ + N̄ = 0̄
El plano normal a la curva C en un punto está determinado por los vectores normales a las
superficies que la definen.
La reacción normal puede expresarse en función de los gradientes como:
N̄ = λ∇φ1 + µ∇φ2
y las ecuaciones de equilibrio serán:
F̄ + λ∇φ1 + µ∇φ2 = 0̄
tres ecuaciones escalares
Además M debe estar sobre C, luego se satisfacen las ecuaciones de la curva:
φ1 (q1 , q2 , q3 ) = 0
una ecuación escalar
φ2 (q1 , q2 , q3 ) = 0
una ecuación escalar
8
Tenemos un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas: (q1 , q2 , q3 , λ, µ); las tres primeras
proporcionan las posiciones de equilibrio (primer tipo de incógnitas del problema directo) y las
dos últimas el valor de la reacción (segundo tipo de incógnitas del problema directo).
En caso de problema plano tendría de nuevo sentido hablar sobre ligadura bi o unilateral.
6.1.2.
Procedimiento práctico
En las posiciones de equilibrio el campo de fuerzas es normal a la curva lisa. Vamos a buscar
dichas posiciones forzando a que se cumpla esta condición.
Representación paramétrica de la curva:
r̄ = r̄(u)
(r̄ ∈ C1 (R, R3 ))
vector tangente:
dr̄
r̄ ′ =
du
forzando a que la componente tangente del campo de fuerzas sea nula obtendremos la ecuación
de equilibrio:
dr̄(u)
F̄ (u) ·
=0
du
que constituye un sistema de una única ecuación algebraica con una incógnita: u; en este caso
solo se obtienen las posiciones de equilibrio (primer tipo de incógnitas del problema directo).
La reacción normal (segundo tipo de incógnitas del problema directo) se obtiene para cada
posición de equilibrio (u∗ ) despejando de la ecuación de la Estática:
N̄ (u∗ ) = −F̄ (u∗ )
Caso potencial
A) Aunque el campo no derive de una función de fuerzas U puede ocurrir que la expresión
dr̄(u)
du
F̄ (u) ·
du
sea la diferencial exacta de una función U(u) definida sobre la curva, en cuyo caso la ecuación
de equilibrio es:
dU
=0
du
B) Si la fuerza directamente aplicada es potencial (F̄ = ∇U) la ecuación equivale a:
dr̄(u)
dr̄(u)
dU
F̄ (u) ·
= ∇U ·
=
=0
du
du
du
Esto significa que las posiciones de equilibrio de la curva son aquellas en las que U toma valores
estacionarios.
6.2.
Equilibrio con rozamiento
Cuando la curva es rugosa (no lisa) es capaz de ejercer además una reacción tangencial que
puede alcanzar hasta un valor f |N̄|.
En las posiciones de equilibrio la curva tiene que oponer unas reacciones F̄R y N̄ que
equilibren a las componentes tangencial F̄t y normal F̄n del campo de fuerzas:
F̄t = (~t · F̄ )~t = −F̄R
F̄n = (~n · F̄ )~n + (~b · F̄ )~b = −N̄
La condición que impone la hipótesis de Coulomb/Morin es:
|F̄t | ≤ f |F̄n |
Las soluciones de esta inecuación serán generalmente zonas de puntos no aislados de la curva.