Letra - IMERL

Matemática Discreta 1
3er Examen curso 2006
Apellidos:
N° Examen:
2 de Agosto de 2007
C.I.:
1) En un sistema ortogonal de coordenadas Oxyz se parte del origen O=(0,0,0).
En cada etapa se puede avanzar moviéndose 1 unidad según x positivo o 2
unidades según y positivo o 3 unidades según z positivo. ¿Cuántos caminos
distintos de esta forma hay entre (0, 0, 0) y (4, 10, 18)?
2) Hallar la cantidad de soluciones enteras distintas de:
x1 + x2 + x3 + x4 = 10
con x1, x2, x3  0 y x4  2x1.
3) Calcular f(3) siendo f(x) la función generatriz de la sucesión
0, 1, 0, -2, 0, 3, 0, -4, ….
4) Si f ( x)  e x ( x 2  x  1) probar que su derivada n-ésima vale:
f ( n) ( x)  e x ( x 2  x(2n  1)  n 2  1)
5) En cada cuadradito de un tablero 65 se coloca un número entero de tal
forma que los enteros de cuadraditos adyacentes (esto es, con un lado en
común) no difieren en más de 3. demostrar que hay al menos 2 cuadraditos
con el mismo entero. (Sug.: Razone con el máximo y el mínimo)
6) De 140 estudiantes, 80 dieron Física, 70 Historia y 65 Literatura. Si 30
dieron 2 materias y 50 una sola.
¿Cuántos dieron las 3 y cuántos no dieron ninguna?
7) Hallar una sucesión que verifique las siguientes dos ecuaciones:
an2  5an1  6an  7(4n )
bn2  3bn1  4bn  (1/ 3)2n
8) Sea la relación R  N  N definida por a R b  a+b = múltiplo de 4. Decir
cual de las siguientes propiedades verifica R: reflexiva, simétrica, transitiva,
antisimétrica. Demuestre o encuentre un contraejemplo según el caso.
9) Para n  4, sea Gn = (Vn, En) un grafo con vértices Vn ={1,2,…,n} y En = {{a,b}:
a  b, a+b = múltiplo de 4}.
i) Hallar los vértices adyacentes al vértice 1, al vértice 2, al 3 y al 4.
ii) Hallar las componentes conexas de Gn. Justifique su respuesta.
iii) ¿Para qué valores de n es Gn plano? Justifique su respuesta.
10) a) Dibujar todos los grafos simples no isomorfos con 25 nodos y 8
componentes conexas ninguna de las cuales es acíclica.
b) Hallar el polinomio cromático de aquel con la mayor cantidad de aristas.
Observaciones generales:
 Duración 4 horas.
 Todos los ejercicios valen 10 puntos.
 Puntaje de aprobación: 60 puntos.
 La prueba es “sin material”,
(calculadoras, cuadernos, libros, etc).

Información
extra en la
página web.
Puntaje (no llenar)
1
6
2
7
3
8
4
9
5
10