Tema 10: Integrales de trayectoria y de línea Campos escalares

Campos escalares
Tema 10:
Integrales de trayectoria y de línea
Juan Ignacio Del Valle Gamboa
Sede de Guanacaste
Universidad de Costa Rica
Ciclo I - 2014
Campos escalares: ejemplos
Definición
Se define como un campo escalar a la función: f : Rn → R, con
n ≥ 1.
I
Estas son las funciones que se han estudiado anteriormente para
graficarlas, estudiarle sus máximos y mínimos, aplicarles
integrales dobles y triples.
I
Se conocen como campos escalares porque la función produce
una cantidad escalar unidimensional.
Campos escalares: ejemplos
Campos vectoriales
Campos vectoriales: ejemplos
Definición
Los campos vectoriales son las funciones reales f : Rn → Rm , con
n, m ≥ 2.
I
Se conocen como campos vectoriales porque la función produce
vectores caracterizados por su magnitud y dirección. En otras
palabras, la función produce valores con dos o más componentes
vectoriales.
I
Se acostumbra representar los campos vectoriales con flechas
sobre gráficos de dos o tres dimensiones. Cada flecha representa
la magnitud y dirección del campo vectorial en ese punto.
Campos vectoriales: ejemplos
Comparación entre aproximación 2D y simulación CFD en 3D de un campo de flujo
con obstrucciones utilizando el software Comsol Multiphysics.
Líneas de campo magnético visualizadas a través de limaduras de hierro en un imán
de barra.
Campos vectoriales: ejemplos
Tobera magnética del experimento VX-200. Fuente: Ad Astra Rocket Company.
Campos vectoriales: ejemplos
Introducción
(x, y) = (−x, y)
Digger, 1983
Integrales de trayectoria
Metodología para integrales de trayectoria
Definición
Sea C una curva parametrizada en R3 , y sea f : R3 → R un campo
escalar. Entonces se define a la integral de trayectoria del campo f
sobre la curva C como
I =
Z
C
=
Z
a
f (x, y, z)ds
b
−→
f (t)kv(t)kdt
en donde a y b son los valores del parámetro t que corresponden al
inicio y al final de la trayectoria, respectivamente.
1. Obtener una parametrización de la curva C.
2. Obtener los valores del parámetro que corresponden al inicio y al
final de la trayectoria.
3. Obtener la fórmula de la magnitud del vector velocidad a partir
de la parametrización.
4. Re-escribir la función dada en términos de la parametrización
escogida.
5. Utilizar toda esta información para montar la integral de acuerdo
a la fórmula previamente descrita.
Metodología para integrales de trayectoria
Introducción
Observaciones
I
La trayectoria completa C podría estar formada por distintos
segmentos de curvas, lo que haría imposible encontrar una única
parametrización para toda la trayectoria.
I
En estos casos, se subdividide la integral en una nueva integral
para cada segmento de curva que compone la trayectoria. Los
pasos indicados más arriba se repiten para cada segmento.
I
Los valores iniciales y finales del parámetro de cada segmento
deben escogerse según el sentido en que se recorre la curva.
La integral de línea calcula la contribución que produce un campo
vectorial al movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de
una trayectoria C. Matemáticamente, es la suma infinitesimal de las
componentes del campo vectorial a lo largo de la trayectoria.
Integrales de línea
Metodología para integrales de línea
Definición
Las integrales de línea sobre campos vectoriales calculan la suma de
las componentes del campo vectorial a lo largo de la trayectoria. Se
definen de la siguiente forma:
I =
Z
C
I =
Z
a
−−−−−→ →
−
F(x, y, z) · ds
b−
−→
−→
F(t) · v(t)dt
donde a y b son los valores del parámetro t correspondientes al inicio
y final de la trayectoria de la partícula.
1. Obtener una parametrización de la curva C que recorra la curva
en el sentido correcto según el problema a resolver.
2. Obtener los valores del parámetro que corresponden al inicio y al
final de la trayectoria.
3. Obtener la fórmula del vector velocidad a partir de la
parametrización.
4. Re-escribir la función dada en términos de la parametrización
escogida.
5. Utilizar toda esta información para montar la integral de acuerdo
a la fórmula previamente descrita.
Propiedades de las integrales de línea
Trabajo de una fuerza
1. Si C1 y C2 son dos parametrizaciones de la misma curva pero que
la recorren en sentido opuesto, entonces
Z
C1
−−−−−→
F(x, y, z) · ds = −
Z
C2
−−−−−→
F(x, y, z) · ds
2. Sea C una curva orientada y simple formada por n segmentos:
C = C1 + C2 + ... + Cn . Entonces,
Z
C
−−−−−→
F(x, y, z) · ds
=
Z
C1
−−−−−→
F(x, y, z) · ds +
Z
C2
−−−−−→
F(x, y, z) · ds + ... +
Z
Cn
−−−−−→
F(x, y, z) · ds
Definición
En Física, se define el trabajo realizado por un campo de fuerza
−−−−−→
F(x, y, z) sobre una partícula en movimiento como la integral de línea
del campo vectorial a lo largo de la trayectoria:
W =
Z
C
Campos gradientes
→
−
F · ds
Los campos gradientes son campos conservativos
Definición
−−−−−→
Un campo vectorial F(x, y, z) es un campo gradiente si existe una
función escalar V(x, y, z) que cumple la siguiente propiedad:
−−−−−→
−→
F(x, y, z) = ∇V
−−−−−→
∂V ∂V ∂V
F(x, y, z) =
,
,
∂x ∂y ∂z
A la función V = f (x, y, z) se le conoce como la función potencial del
−−−−−→
campo vectorial F(x, y, z).
Definición
Los campos vectoriales gradientes se conocen como campos
conservativos pues el trabajo que realiza el campo vectorial sobre una
partícula solo depende de las coordenadas iniciales y las coordenadas
finales de su movimiento, no de la trayectoria particular seguida
durante este.
Ejemplos de campos conservativos
Teorema fundamental del cálculo vectorial
1. El campo gravitacional:
FG
VG
donde G = 6,67 × 10−11
GMm
~r
=
r3
GM
= −
r
Nm2
kg2
2. El campo eléctrico:
Cq1 q2
~r
r3
Cq1
V = −
r
Fe =
donde C = 8,99 × 109
Teorema
−−−−−→
Sea F(x, y, z) un campo vectorial gradiente (y por lo tanto,
conservativo) cuya función potencial es V(x, y, z). Sean A y B dos
puntos del espacio entre los cuales existe una trayectoria genérica C.
Entonces,
Z
ZC
C
−−−−−→
F(x, y, z) · ds =
Z
C
−→
∇V · ds
−−−−−→
F(x, y, z) · ds = V(B) − V(A)
Es decir, para calcular una integral de línea de un campo conservativo
solo se requiere evaluar la función potencial en el punto final y en el
punto inicial.
Nm2
C2
Teorema fundamental el cálculo vectorial
Identificación de campos conservativos
Prueba para campos conservativos
Corolario del teorema
Sea C una curva cerrada simple, entonces:
I
C
−−−−−−−→
∇V(x, y, z) · ds = V(A) − V(A) = 0
pues el punto inicial y el punto final de la trayectoria son el mismo.
Es decir, si se desea calcular una integral de línea de un campo
vectorial sobre una trayectoria cerrada simple, y se detecta que el
campo es conservativo, el resultado de la operación es cero.
−−−−−→
Sea F(x, y, z) un campo vectorial al que se desea probar si es
conservativo. De ser así, existiría una función potencial V(x, y, z) que
satisface la siguiente relación:
−−−−−→
F(x, y, z) = (Fx , Fy , Fz )
=
∂V ∂V ∂V
,
,
∂x ∂y ∂z
Por el teorema de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas se
tiene que:
∂Fx
∂2V
=
∂y
∂y∂x
∂Fx
∂2V
=
∂z
∂z∂x
∂Fy
∂2V
=
∂z
∂z∂y
=
=
=
∂Fy
∂2V
=
∂x
∂x∂y
∂Fz
∂2V
=
∂x
∂x∂z
∂Fz
∂2V
=
∂y
∂y∂z
Identificación de campos conservativos
Cálculo de la función potencial
Método
−−−−−→
Sea F(x, y, z) = (Fx , Fy , Fz ) un campo vectorial el cual se ha
demostrado por el método anterior que es un campo gradiente.
Entonces, la función potencial se obtiene por el método empírico de la
integración parcial:
I
Si cualquiera de las tres igualdades anteriores no se cumple, el
campo no es conservativo.
V(x, y, z) =
V(x, y, z) =
V(x, y, z) =
Z
Z
Z
Fx dx + g1 (y, z)
Fy dy + g2 (x, z)
Fz dz + g3 (x, y)
Los resultados de estas tres integrales se comparan y se encuentran las
expresiones de las tres funciones auxiliares g1 , g2 y g3 , de manera que
se deduce la expresión correspondiente a la función potencial del
campo vectorial.
Metodología para problemas de integrales de línea
1. Identificar adecuadamente cuál es el campo vectorial sobre el
que se está trabajando, y cuál es la trayectoria C. Identificar los
puntos inicial (A) y final (B) de esta curva.
2. Realizar la prueba de las derivadas para detectar si el campo
vectorial es un campo gradiente.
3. Si el campo vectorial es un campo gradiente,
I
I
I
Si la curva es cerrada, I = 0.
Obtener la expresión para la función potencial V mediante el
método de las integraciones parciales.
I = V(B) − V(A).
4. Si el campo vectorial no es un campo gradiente,
I
I
I
I
I
Obtener la parametrización de la curva de trayectoria C.
Obtener la fórmula del vector velocidad a partir de dicha
parametrización.
Encontrar los valores del parámetro correspondientes al punto
inicial y al punto final de la trayectoria.
Expresar el campo vectorial en términos del parámetro.
R t −−→ −→
I = t01 F(t) · v(t)dt.