Fiabilidad 2

Prácticas de Fiabilidad
Práctica 2:
Objetivo:
El objetivo de esta práctica es conocer y aprender a manejar las herramientas que nos
van a permitir decidir si nuestros datos de supervivencia se comportan de acuerdo a
algún modelo estadístico conocido.
El hecho de tener un modelo para los datos ofrece ventajas frente a la estimación
empírica en que se basó la práctica 1. Podremos conocer de forma más precisa cuál es la
tasa de fallos y la función de supervivencia en cualquier momento, ya que
dispondremos de funciones NO escalonadas, al contrario de lo que sucedía en los
análisis de la práctica 1.
Una vez obtenidos los modelos más adecuados para nuestros datos, se realizarán
simulaciones para continuar con el problema de fiabilidad de sistemas que se propuso
en la primera práctica.
Conceptos básicos:
Como en la práctica anterior se parte de una muestra de tiempos de vida de un
determinado componente: x1, x2, ..., xn. Ésta es una muestra aleatoria procedente de un
determinado modelo de probabilidad, es decir, posee una función de distribución F(x) y,
por consiguiente, una función de densidad f(x).
Existen numerosos modelos probabilísticos que se emplean para modelizar tiempos de
duración de componentes. Entre ellos se podrían destacar los siguientes:
1. Modelo Exponencial: Depende de un solo parámetro: λ. Se caracteriza por
tener una tasa de fallo constante (igual a λ). En la figura 1 se encuentran las
funciones de densidad de modelos exponenciales para distintos valores del
parámetro (que está representado por la media 1/λ) y en la figura 2 sus
respectivas tasas de fallo.
2. Modelo Weibull: Depende de dos parámetros: λ (escala o scale) y β (forma
o shape). Dependiendo del valor del parámetro de forma el modelo puede
tener tasa de fallo decreciente (β<1), constante (se reduce al modelo
exponencial, β=1) y creciente (β>1). En la figura 3 se encuentra la función
de densidad Weibull para distintos valores de los parámetros y en la figura 4
sus respectivas tasas de fallo.
3. Modelo Gamma: Depende de dos parámetros: λ (escala o scale) y β (forma
o shape). Puede modelizar variables con tasas de fallo cambiantes (crecientes
y decrecientes). En la figura 5 se encuentra la función de densidad Gamma
para distintos valores de los parámetros y en la figura 6 sus respectivas tasas
de fallo.
4. Modelo Lognormal: Depende de dos parámetros: μ (media o mean) y σ
(desviación típica o standard deviation). Puede modelizar variables con tasas
de fallo cambiantes (crecientes y decrecientes). El ejemplo para distintos
1
valores de los parámetros aparece en la figura 7 y en la figura 8 sus
respectivas tasas de fallo.
Exponential Distribution
Mean
10
15
20
25
0,1
density
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
30
60
90
120
150
x
Figura 1. Función de densidad exponencial.
Exponential Distribution
0,12
Mean
10
15
20
25
hazard
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
30
60
90
120
150
x
Figura 2. Tasa de fallos de la función de densidad exponencial.
Weibull Distribution
Shape,Scale
1,1
0,8,2
2,1
5,3
1
density
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
3
6
9
12
15
18
x
Figura 3. Función de densidad Weibull.
2
Weibull Distribution
Shape,Scale
1,1
0,8,2
2,1
5,3
hazard
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
x
Figura 4. Tasa de fallos de la función de densidad Weibull.
Gamma Distribution
Shape,Scale
1,1
2,1
0,5,1
4,0,5
1,5
density
1,2
0,9
0,6
0,3
0
0
5
10
15
20
25
30
x
Figura 5. Función de densidad Gamma.
Gamma Distribution
Shape,Scale
1,1
2,1
0,5,1
4,0,5
2,4
hazard
2
1,6
1,2
0,8
0,4
0
0
5
10
15
20
25
30
x
Figura 6. Tasa de fallos de la función de densidad Gamma.
3
Lognormal Distribution
Mean,Std. dev
1,1
2,2
5,1
10,2
1
density
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
4
8
12
16
20
x
Figura 7. Función de densidad Lognormal.
Lognormal Distribution
Mean,Std. dev
1,1
2,2
5,1
10,2
2
hazard
1,6
1,2
0,8
0,4
0
0
4
8
12
16
20
x
Figura 8. Tasa de fallos de la función de densidad Lognormal.
Estos son sólo algunos ejemplos de funciones de densidad conocidas. Pero, ¿qué
herramientas estadísticas hay para saber qué modelos pueden ser adecuados para mi
variable? ¿Qué herramientas estadísticas ayudan a decidir si un modelo es o no
adecuado?
Para hacer un primer análisis de la variable se debe hacer uso de técnicas descriptivas,
es decir, se emplea el histograma para ver cómo se distribuye la muestra por intervalos y
se realizan estimaciones de la función de densidad para obtener algo semejante al
histograma pero de forma suave y continua (no por intervalos).
En cuanto a las herramientas para determinar si un modelo es adecuado a una muestra
se pueden clasificar en procedimientos gráficos y numéricos.
Gráficamente se puede comprobar si la función de densidad del modelo propuesto es
aproximadamente igual que el histograma de los datos. Aunque es mucho más fiable el
gráfico cuantil-cuantil o quantil-quantil plot (QQ-plot) que consiste en hacer un gráfico
de dispersión entre los valores de la muestra ordenados y los cuantiles del modelo
propuesto. El modelo podrá ser adecuado si los puntos del gráfico están alineados.
4
NOTA: Se dice que X p es el cuantil de probabilidad p si F ( X p ) = p .
Ejemplo: Supongamos que tenemos la siguiente muestra de tiempos: 6.2, 1.5, 2.1, 3.5 y
0.7. Que tenemos un modelo representado por la función de distribución F(x) y cuya
inversa es F-1(p), con p entre cero y uno. Lo que hace el QQ-plot es hacer el diagrama
de dispersión de las columnas 2 y 3 de la siguiente tabla. La primera columna representa
la función de distribución empírica de la muestra. La segunda los datos de la muestra
ordenada y la tercera la inversa de la función de distribución del modelo evaluada en los
puntos de la columna 1. En la tabla se disponen los datos de forma ordenada.
Fn (xi)
1/5
2/5
3/5
4/5
1
xi
0.7
1.5
2.1
3.5
6.2
F-1(Fn (xi))
F-1(1/5)
F-1(2/5)
F-1(3/5)
F-1(4/5)
F-1(1)
Así pues, si los datos se distribuyen según F(x) se tiene que F-1(1/5) será próximo a 0.7,
F-1(2/5) será próximo a 1.5 y así sucesivamente, es decir, en el gráfico los puntos
aparecen alineados según la recta y=x.
Los procedimientos numéricos consisten en realizar contrastes de hipótesis sobre los
datos. Por tanto atenderemos al p-valor de los mismos para determinar si existe la
posibilidad de que la muestra se comporte según un determinado modelo o no. Las
hipótesis de este tipo de contrastes son:
⎧ H 0 : f ( x ) puede ser la densidad de x1 , x2 ,..., xn
⎨
⎩ H 1 : f ( x ) no es la densidad de x1 , x2 ,..., xn
Como en todo contraste de hipótesis si se obtienen p-valores bajos existe evidencia en
los datos a favor de la hipótesis alternativa (en este en particular, evidencias que indican
que los datos no tienen esa función de densidad). Dos ejemplos clásicos de contrastes
que trabajan estas hipótesis son el de Chi-cuadrado (Chi-square) y KolmogorovSmirnof.
NOTA MUY IMPORTANTE: Si se rechaza la hipótesis nula (los datos ofrecen
evidencia a favor de la alternativa) significa que se tiene una confianza importante en
que los datos no siguen el modelo propuesto. Pero si no se rechaza la hipótesis nula, no
quiere decir que el modelo propuesto sea el que siguen los datos. Es decir, si no se
rechaza la nula quiere decir que el modelo propuesto resulta compatible con los datos,
pero no se puede afirmar con rotundidad que sea ése. En STATGRAPHICS, el resultado
del test Chi-cuadrado puede ser diferente según la versión instalada del programa. Por
tanto, utilizaremos el test de Kolmogorov para realizar estos contrastes.
Datos:
Los datos que se van a analizar se encuentran en el fichero practica 1 fiabilidad.sf.
5
Nota: Recordar que las cuatro primeras columnas del fichero recogen la duración de los
cuatro componentes para los que se estudió varios sistemas.
Qué hay que hacer:
No se va a realizar ningún análisis descriptivo previo ya que con el análisis de ajuste de
distribución (distribution fitting) de Statgraphics se obtiene directamente el histograma
y existe la posibilidad de obtener la estimación de la densidad.
Nota: Antes de realizar el análisis de ajuste de distribución conviene mencionar que por
defecto el programa Statgraphics compara con la distribución normal, para la que
estima los parámetros correspondientes.
•
•
Se abre el fichero practica 1 fiabilidad.sf.
Se va a:
DESCRIBE
Distributions
Distribution Fitting (Uncensored data) (Ajuste de distribución, datos sin
censura)
•
•
•
En Data ponemos el nombre de la variable que queremos analizar. En la práctica se
empezará con V1 y se continuará hasta V4 (el resto se dejan como tarea para la
práctica del alumno).
Por defecto, el programa proporciona un resumen numérico (Analysis Summary) y
el gráfico de la estimación de la función de densidad (Density Trace).
Se va a obtener también el resto de herramientas comentadas anteriormente. Para
obtener los tests o contrastes de bondad de ajuste, se presiona el botón de opciones
y se selecciona la opción de test de bondad de ajuste
de tabla (tabular options)
(Goodness-of-fit tests). También se van a obtener dos gráficos más. Se presiona el
botón de opciones gráficas (graphical options)
y se seleccionan el histograma y
el QQ-plot.
A continuación se estudian todos los análisis para determinar el (los) modelo(s) más
adecuados para esta variable.
La figura 9 recoge el resumen del análisis (Analysis Summary). Éste nos indica que la
variable V1 es una muestra de 100 observaciones, con un mínimo de 3.68535 y un
máximo de 3215.24. Nos informa que se le ha ajustado una distribución normal y que
los valores estimados de los parámetros son de 801.838 para la media y de 742.109 para
la desviación típica.
6
Analysis Summary
Data variable: V1
100 values ranging from 3,68535 to 3215,24
Fitted normal distribution:
mean = 801,838
standard deviation = 742,109
Figura 9. Resumen del análisis.
El histograma de los datos se encuentra en la figura 10. Se observa una curva
superpuesta a éste. Esa curva es la función de densidad correspondiente a una
distribución normal con los parámetros que aparecen en la figura 9.
Histogram for V1
frequency
40
30
20
10
0
-200
800
1800
2800
3800
V1
Figura 10. Histograma de V1 con densidad normal.
También se puede observar una incongruencia con la naturaleza de los datos. ¡¡El límite
inferior del primer intervalo es –200!! Dado que se dispone de datos de tiempos de
vida, hay que corregir esto en el gráfico, hay que cambiar el límite inferior del gráfico.
Esto se hace con el cursor sobre el gráfico, presionando el botón derecho y
seleccionando opciones de panel (pane options). Aparece la ventana de la figura 11. La
primera casilla nos muestra el número de clases o intervalos del histograma (debe
variarse su valor para ver cómo va cambiando el histograma). La segunda y tercera
casilla nos indica el límite inferior y superior del gráfico. En el límite inferior ponemos
un cero, para conseguir un gráfico más consistente con los datos.
Figura 11. Opciones de panel del histograma.
7
El nuevo gráfico es el correspondiente a la figura 12. Se observa claramente que la
función de densidad normal no es adecuada para estos datos que, aparentemente, poseen
una distribución exponencial.
Histogram for V1
50
frequency
40
30
20
10
0
0
1
2
3
V1
4
(X 1000)
Figura 12. Histograma de V1 corregido.
La figura 13 contiene el gráfico de la función de densidad estimada (density trace). Este
gráfico se interpreta como un histograma pero tiene la ventaja de tener un
comportamiento suave y continuo.
Density Trace for V1
(X 0,0001)
6
density
5
4
3
2
1
0
0
1
2
V1
3
4
(X 1000)
Figura 13. Función de densidad estimada de V1
La curva obtenida sale por defecto muy suavizada. Para que se vea mejor la distribución
de los datos hay que cambiar el parámetro Interval width (por defecto del 60%) que se
encuentra en Pane options. Si modificamos este valor a 10% obtenemos la densidad de
la figura 14.
Ambas densidades nos muestran de nuevo la falta de ajuste de V1 con la distribución
normal ya que los datos presentan una clara asimetría (hacia la derecha ó positiva) y la
distribución normal es simétrica.
8
Density Trace for V1
(X 0,0001)
10
density
8
6
4
2
0
0
1
2
3
V1
4
(X 1000)
Figura 14. Función de densidad estimada de V2 con ancho de banda del 10%.
Por último el gráfico QQ-plot (figura 15) muestra una vez más que la distribución
normal no es adecuada. Los puntos no están alineados sobre la recta y=x, por lo tanto
debemos cambiar a otra distribución.
Quantile-Quantile Plot
(X 1000)
4
V1
3
2
1
0
0
1
2
3
Normal distribution
4
(X 1000)
Figura 15. QQ-plot de V1 frente a distribución normal.
Por último debemos confirmar mediante los contrastes de hipótesis lo que se ha venido
concluyendo con los análisis gráficos: que la normal no es un buen modelo para estos
datos. Antes de pasar a analizar la tabla de dichos contrastes hay que mencionar que
cuando el número de observaciones es pequeño (menos de 30 datos) no es
conveniente hacer uso de los contrastes. Los contrastes son útiles para conjuntos de
datos de tamaño mayor que 30. En caso contrario la decisión de si nuestros datos
pueden seguir un modelo determinado hay que tomarla de forma gráfica
empleando en mayor medida el último gráfico mencionado, el QQ-plot.
La siguiente figura (figura 16) muestra la tabla correspondiente al apartado Goodnessof-fit tests o tests de bondad de ajuste. Como se dijo en la parte de conceptos básicos
hay que analizar los p-valores de los contrastes (valores sombreados en la figura 16).
9
Para el test de Chi-cuadrado se tiene un valor de 9.84e-10 a , para Kolmogorov 0.0149 y
para los otros dos contrastes p-valores menores que 0.01. Por lo tanto, dados estos
valores existen evidencias suficientes para decir con una elevada confianza que la
variable V1 no sigue una distribución normal.
Goodness-of-Fit Tests for V1
Chi-Square Test
---------------------------------------------------------------------------Lower
Upper
Observed
Expected
Limit
Limit
Frequency
Frequency
Chi-Square
---------------------------------------------------------------------------at or below
-256,468
0
7,69
7,69
-256,468
44,829
5
7,69
0,94
44,829
255,41
19
7,69
16,62
255,41
429,0
16
7,69
8,97
429,0
584,116
11
7,69
1,42
584,116
730,18
9
7,69
0,22
730,18
873,496
6
7,69
0,37
873,496
1019,56
8
7,69
0,01
1019,56
1174,68
2
7,69
4,21
1174,68
1348,27
3
7,69
2,86
1348,27
1558,85
4
7,69
1,77
1558,85
1860,14
6
7,69
0,37
above
1860,14
11
7,69
1,42
---------------------------------------------------------------------------Chi-Square = 46,9006 with 10 d.f.
P-Value = 9,84404E-7
Estimated Kolmogorov statistic DPLUS = 0,156492
Estimated Kolmogorov statistic DMINUS = 0,14107
Estimated overall statistic DN = 0,156492
Approximate P-Value = 0,0149233
EDF Statistic
Value
Modified Form
P-Value
--------------------------------------------------------------------Kolmogorov-Smirnov D
0,156492
1,57666
<0.01*
Anderson-Darling A^2
4,80867
4,84582
0,0000*
--------------------------------------------------------------------*Indicates that the P-Value has been compared to tables of critical values
specially constructed for fitting the currently selected distribution.
Other P-values are based on general tables and may be very conservative.
Figura 16. Tests de bondad de ajuste de V1 suponiendo distribución normal.
Debemos probar con otras variables hasta encontrar modelos que puedan describir la
variable V1. Para conseguirlo se presiona el botón derecho y se seleccionan las opciones
de análisis (Analysis Options). Aparece la ventana de la figura 17. En ella aparecen
numerosos modelos. Entre ellos cabe destacar dos grupos. Distribuciones de variables
discretas y distribuciones de variables continuas (el caso de tiempos de vida). De entre
las continuas, las más usadas en estudios de fiabilidad son: Exponencial, Gamma,
Weibull, Lognormal y Erlang.
En la práctica anterior se determinó que la tasa de fallos de V1 era constante, por lo
tanto la posibilidad de que la exponencial sea un modelo adecuado es alta. Y, por lo
comentado anteriormente, también la Weibull y la Gamma son buenas opciones
(recordar que la exponencial es caso particular de ambas). Así pues se va a analizar el
a
Recordar que el resultado de este test puede ser diferente según la versión instalada de
STATGRAPHICS
10
QQ-plot para V1 y estas tres distribuciones (exponencial: figura 18, Weibull: figura 19
y Gamma: figura 20) así como el p-valor para el contraste de Kolmogorov (tabla de la
figura 21).
Figura 17. Posibles modelos para ajustar.
Quantile-Quantile Plot
Quantile-Quantile Plot
3
3
V1
(X 1000)
4
V1
(X 1000)
4
2
2
1
1
0
0
0
1
2
3
0
4
(X 1000)
exponential distribution
1
2
3
Weibull distribution
Figura 18. Exponencial-V1.
4
(X 1000)
Figura 19. Weibull-V1.
Quantile-Quantile Plot
(X 1000)
4
V1
3
2
1
0
0
1
2
3
gamma distribution
4
(X 1000)
Figura 21. Gamma-V1.
Distribución
Exponencial
Weibull
Gamma
Parámetros Estimados p-valor Kolmogorov
Mean: 801.838
Shape: 1.045
Scale: 815.878
Shape: 1.058
Scale: 0.0013
0.91884
0.98327
0.98560
Figura 22. Tabla con los parámetros y p-valores de los tests para V1.
Gráficamente se observan pocas diferencias entre los tres gráficos. A pesar de eso si se
observa un mejor comportamiento en el correspondiente a la distribución exponencial,
11
ya que en los otros dos el punto de más valor está sensiblemente más alejado que en
éste. El comportamiento para el resto de puntos es prácticamente igual.
En cuanto a la tabla que contiene las estimaciones de los parámetros y los p-valores se
observa que los tres modelos se ajustan muy bien.
Para la variable V2 tenemos los siguientes resultados para el ajuste a las densidades
exponencial, Weibull, Gamma y lognormal (figuras 23 a 26 respectivamente).
Quantile-Quantile Plot
Quantile-Quantile Plot
10
10
8
8
V2
(X 1000)
12
V2
(X 1000)
12
6
6
4
4
2
2
0
0
0
2
4
6
8
10
exponential distribution
12
(X 1000)
0
2
Figura 23. Exponencial-V2.
6
8
10
12
(X 1000)
Figura 24. Weibull-V2.
Quantile-Quantile Plot
Quantile-Quantile Plot
(X 1000)
12
10
10
8
8
V2
(X 1000)
12
V2
4
Weibull distribution
6
6
4
4
2
2
0
0
0
2
4
6
8
10
gamma distribution
12
(X 1000)
Figura 25. Gamma-V2.
Distribución
Exponencial
Weibull
Gamma
Lognormal
0
2
4
6
8
10
lognormal distribution
12
(X 1000)
Figura 26. Lognormal-V2.
Parámetros Estimados p-valor Kolmogorov
Mean: 1315.63
Shape: 0.6669
Scale: 997.268
Shape: 0.542
Scale: 0.0004
Mean: 3157.64
Std. Dev.: 23882.6
0.00544
0.4486
0.1234
0.1446
Figura 27. Tabla con los parámetros y p-valores de los tests para V2.
Gráficamente se tienen dos opciones por encima del resto, que son el modelo Weibull y
el modelo Gamma. De entre los dos el mejor es el del modelo Weibull, ya que en el
modelo Gamma el punto de mayor valor está más alejado y el comportamiento del resto
de los puntos es prácticamente idéntico.
En cuanto a los p-valores recogidos en la figura 27 el modelo que ofrece mayor p-valor
es el Weibull, por lo tanto si debemos decir qué modelo es más parecido a estos datos
elegiríamos sin duda a éste.
12
Para la variable V3 se tienen dos posibles modelos de nuevo: el Weibull y el Gamma.
Las figuras 28 y 29 respectivamente contienen sus QQ-plot. Y la tabla de la figura 30
contiene los p-valores y los parámetros estimados para estos modelos.
Quantile-Quantile Plot
Quantile-Quantile Plot
4
4
3
3
V3
(X 10000)
5
V3
(X 10000)
5
2
1
2
1
0
0
0
1
2
3
4
5
(X 10000)
Weibull distribution
0
1
Figura 28. Weibull-V3.
Distribución
Weibull
2
3
4
gamma distribution
5
(X 10000)
Figura 29. Gamma-V3.
Parámetros Estimados p-valor Kolmogorov
Shape: 0.62
Scale: 1756.52
Shape: 0.49
Scale: 0.00019
Gamma
0.95
0.83
Figura 30. Tabla con los parámetros y p-valores de los tests para V3.
Para V4 se tienen esencialmente dos posibilidades: Erlang y Weibull. A continuación se
muestran los gráficos y la tabla que confirman dicha posibilidad.
Quantile-Quantile Plot
Quantile-Quantile Plot
1500
1500
1200
1200
V4
1800
V4
1800
900
900
600
600
300
300
0
0
0
300
600
900
1200
1500
1800
0
300
Weibull distribution
Figura 31. Weibull-V4.
Distribución
Weibull
Erlang
600
900
1200
1500
1800
Erlang distribution
Figura 32. Erlang-V4.
Parámetros Estimados p-valor Kolmogorov
Shape: 1.5546
Scale: 707.938
Shape: 2
Scale: 0.0031
0.94
0.86
Figura 32. Tabla con los parámetros y p-valores de los tests para V4.
Supongamos el modelo exponencial para la variable V1:
DESCRIBE
Distributions
Distribution Fitting (Uncensored data) (En data poner V1)
13
Presionar el botón derecho y seleccionar Analysis Options. Elegir la distribución
exponencial. ¿Cómo se puede saber cual es la supervivencia según este modelo
estimado para la variable V1? ¿Cómo se puede obtener un valor crítico? (La definición
de valor crítico es la misma que la de cuantil).
Para obtener estos valores hay que presionar el botón de opciones de tabla
seleccionar las opciones tail areas y critical values (figura 33).
y
Figura 33. Opciones de tabla.
La opción de tail areas da como resultado el valor de la función de distribución en un
determinado punto. Así pues si se desea conocer la supervivencia de la variable V1
según un modelo exponencial (ajustado a esos datos) para el instante 100, es decir,
S(100), debemos obtener la función de distribución en dicho valor, ya que S(100)=1F(100). Para hacer esto hay que situar el cursor encima del panel de tail areas, presionar
el boton derecho y elegir la opción pane options. Aparecerá una ventana con cinco
casillas. En cada casilla se puede introducir un tiempo de interés. En este caso se pondrá
100 en una de ellas (figura 34) y se presionará el boton OK.
Figura 34. Pane options de tail areas.
El programa proporciona: “area below 100.0 =0.11725”, es decir, probabilidad de que
el tiempo de vida del componente V1 sea menor que 100 (esto es P(T<t)=1-S(t)). Por lo
tanto la supervivencia en este instante será: S(100)=1-0.11725=0.88275 (frente al 0.9
que se obtuvo en la práctica 1). ¿Cuál será la supervivencia en 101 según el modelo
exponencial ajustado a V1? S(100)=1-0.11835=0.88165 (frente al 0.9 de la práctica 1).
Una primera consecuencia de estimar un modelo si éste es adecuado, es que se dispone
de tasa de fallos acumulada y función de supervivencia NO escalonada. Con los valores
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obtenidos por medio de tail areas se pueden rehacer los cálculos de fiabilidad de los
sistemas de la práctica 1.
En cuanto a los valores críticos, la forma de obtenerlos es análoga. ¿Cuál es el valor de
la variable para el que la supervivencia vale 0.45? Se pide el tiempo de fallo para el que
S(x)=0.45, es decir, para que 1-F(x)=0.45, o lo que es lo mismo, para que F(x)=0.55.
Para el panel de critical values se obtienen sus pane options y se introduce 0.55 en una
de las casillas (figura 35). Obteniéndose que F-1(0.55)=640.274.
Figura 35. Pane options de critical values.
Simulación de variables aleatorias:
En esta sección se va a aprender a simular muestras de variables aleatorias con el
objetivo de realizar simulaciones de sistemas de componentes. Supongamos que se
tienen cuatro componentes cuyas duraciones se distribuyen de la siguiente manera:
•
•
•
•
C1: Weibull(2,750)
C2: Weibull(0.7, 1500)
C3: Exponencial(1000)
C4: Exponencial(1300)
Se van a generar para cada componente una muestra de 5000 observaciones que será
empleada para simular los tiempos de fallo del primer sistema de la práctica anterior
(figura 36).
Figura 36. Sistema descompuesto en subsistemas.
Se comenzará generando las muestras de los componentes C1 y C2:
15
DESCRIBE
Distributions
Probability Distributions
Aparece una ventana de selección de modelo (figura 37). En ésta seleccionamos la
opción Weibull.
Figura 37. Selección de distribución.
Por defecto el análisis muestra información para una Weibull(1,1). Así pues, lo primero
que se debe hacer es poner los parámetros de las distribuciones de los componentes C1
y C2. Lo hacemos presionando el botón derecho y seleccionando las opciones de
análisis (Analysis Options). Se pueden introducir hasta cinco pares de parámetros
distintos. Se rellena la tabla como muestra la figura 38.
Figura 38. Parámetros componentes C1 y C2.
En el gráfico de la función de densidad aparecen ahora dos curvas, una para cada
componente. En este análisis podemos obtener la tasa de fallos, la función de
supervivencia y la de distribución (en la parte gráfica). Si se hace ha de obtenerse una
curva creciente para la tasa de fallos del componente C1 y otra decreciente para el
componente C2 (ver los valores del parámetro de forma).
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Para generar números aleatorios se trabaja con las opciones numéricas,
,
seleccionando random numbers o números aleatorios. Las otras opciones son tail areas
y critical values para esta distribución con estos parámetros (figura 39).
Figura 39. Opciones de tabla de probability distributions.
En el nuevo panel del análisis se informa que se han generado 100 números aleatorios
de las distribuciones que se están analizando. Pero hay que cambiar el tamaño de la
muestra. Eso se hace en pane options (botón derecho). Se introduce 5000 en la nueva
ventana (figura 40).
Figura 40. Tamaño muestral números aleatorios.
Tan sólo falta guardar estas muestras en nuevas variables, cuyos nombres serán C1 y
C2. Esto se hace presionando el botón
en la figura 41.
. Se rellena la nueva ventana como se indica
Figura 41. Guardar aleatorios con nombre.
El proceso se repite para los componentes C3 y C4. Los aleatorios los guardamos con
esos mismos nombres.
NOTA IMPORTANTE: Se están generando números aleatorios. Cada vez que se
repita el proceso los números cambian y, por lo tanto, los cálculos de fiabilidad
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también lo harán. Pero, al trabajar con muestras de un tamaño tan grande, si los
cálculos son correctos, las variaciones serán muy pequeñas. Igual ocurre con los
siguientes gráficos, de forma aproximada han de ser así, pero habrá detalles que
varíen un poco.
Una vez que se tienen la cuatro nuevas variables (de C1 a C4). Podemos obtener como
se hizo en la práctica 1 los tiempos de fallo de esta muestra de 5000 sistemas que se ha
obtenido. Entonces se puede obtener la tasa de fallos acumulada y saber si el sistema
tiene tasa de fallos creciente, decreciente o constante.
Nota: Recordar que había que generar nuevas columnas, de nombres: S12, S123 y
S1234; con los siguientes textos:
•
•
•
Para S12: C1*(C1<C2)+C2*(C2<=C1)
Para S123: C3*(S12<C3)+S12*(C3<=S12)
Para S1234: C4*(C4<S123)+S123*(S123<=C4)
cumulative hazard
Estimated Cumulative Hazard Function
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
S1234
10
(X 1000)
Figura 42. Tasa de fallos acumulada de S1234.
Quantile-Quantile Plot
(X 1000)
10
S1234
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
Weibull distribution
10
(X 1000)
Figura 43. QQ-plot de S1234 y Weibull
El gráfico de la tasa de fallos acumulada de S1234 ofrece indicios de que la tasa de
fallos del sistema es aproximadamente constante (figura 42). De hecho el QQ-plot de
esa variable para un modelo Weibull (figura 43) muestra que el modelo se ajusta
bastante bien (confirmado también por los tests de hipótesis), teniendo un parámetro de
forma casi igual a 1 (en la simulación realizada para esta práctica vale 1.09). Por último,
la fiabilidad en el instante 100 para este sistema es aproximadamente de 0.9128 (en
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otras simulaciones se obtendrán otros resultados pero cercanos a este). Debido a que
esta probabilidad es menor que la que se obtuvo en la práctica 1, que fue de 0.92 (con el
primer método, el que se ha usado aquí) y 0.905 (con el segundo método) se concluiría
que para montar este sistema, los componentes usados en la práctica anterior se
comportan prácticamente de la misma manera que los simulados aquí.
Autoevaluación de la práctica:
Se puede dar por superada esta práctica cuando tras su realización el alumno sea capaz
de:
•
•
•
•
•
Encontrar el/los modelo/s más adecuado/s a un conjunto de observaciones
Identificar cuando un modelo no es adecuado para un conjunto de observaciones
Calcular supervivencias en cualquier instante para un modelo ajustado a unos datos
y lo mismo para los valores críticos (probability distributions)
Calcular supervivencias en cualquier instante para un modelo ajustado a unos datos
y lo mismo para los valores críticos (distribution fitting)
Generar números aleatorios y combinarlos para obtener simulaciones de sistemas de
varios componentes
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