Notas Sobre: Orbitas Relativas Advertencia I Composición de

Notas Sobre: Orbitas Relativas
Martín España
2015
Advertencia
Estas notas fueron pensadas para aquellos ingenieros que no hayan seguido cursos en
astrodinámica durante su formación. Su propósito es que sirvan de material de lectura
introductoria para los asistentes al curso que el Prof. Simone D'Amico, de la Universidad de
Stanford, dictado en la FI-UNLP entre el 16/11 y 20/11 de 2015.
I Composición de Rotaciones en R3*
Sean dos ternas  y  ortonormales, derechas de E3 que comparten el origen y sea ba el
operador vector de rotación que rota ba :   . La matriz ortonormal (MCD) que relaciona
las coordenadas entre ambas ternas está dada por la exponencial matricial:
Cba  C(θba )  exp S ( θba )  exp S (θab )
(1)
Donde S (θ)   3 x 3 es la matriz antisimétrica correspondiente al operador matricial del
producto vectorial: S (θ)v  θ  v para θ, v   3 y θba   3 es el vector de las coordenadas de
ba en cualquiera de las ternas  ó  †. θba es precisamente un vector propio invariante
(asociado a un valor propio unitario) de C(θba ) . Consideramos la rotación cb :   para la
cual θ cb es su expresión en coordenadas  ó  y C(θ cb ) la correspondiente MCD del
cambio de coordenadas. El vector composición de ambas rotaciones: ca  cb  ba se define
θ ca   3 satisface:
C(θ ca )  C(θ cb )C(θba ) . La composición de ángulos en coordenadas se denota según uno de
los dos sentidos siguientes:
como el único vector tal que su expresión en coordenadas
θca  θcb  θba  (θbc )  (θ ab )
θ ac  θca  θ ab  θbc  (θba )  (θcb )
(2)
correspondientes a:
C(θ ca )  C(θcb  θba )  exp S ( θca )  C(θ cb )C(θba )  exp S ( θ cb ) exp S ( θba )
(3)
Convendrá a veces indicar los ángulos vectores de  3 en forma de magnitud y eje usando la

notación θ   ,   θ . En particular, cuando la rotación sea alrededor del eje coordenado
ei ‡, se tendrá θ  ei .
*
†
‡
La notación y presentación de los conceptos básicos de este párrafo sigue a España M. 2010, Cap. 3.
Por estar ba en el eje invariante de la rotación (o de Euler), su coordenadas en  ó  son idénticas.
Se denota con ei, i=1,2,3 a la terna de números con componentes igual al delta de Kronecker dij, j=1,2,3.
1
Resulta de interés el siguiente Lema:
Lema 1: Sean θ, β, γ   3 y C(θ), C(β), C( γ ) , sus correspondientes MCD's:
i ) θ  β  (C(θ)β)  θ  β  (C(β)T θ)
ii ) θ  β  γ  (C(θ)β)  (C(θ) γ )  θ
(4)
Prueba:
Usando la identidad: S(Cba u a )  CbaS(u a )Cba y el hecho de que la exponencial de una matriz
preserva la relación de similitud, es decir: exp(A 1 )   exp( A) 1 es posible mostrar que:
C(θ)C(β)  C(θ  β)  exp S ( θ) exp S ( β)
 C(θ) exp S ( β)  exp S ( C(θ)β)C(θ)
(5)
 exp S ( θ)C(β)  C(β) exp S ( C(β) θ)
T
De donde resulta i); ii) se obtiene aplicando reiteradamente el resultado anterior.
Corolario: del Lema anterior es posible demostrar en particular que si θ∥β entonces:
a) S (θ) S (β)  S (β) S (θ) : sus matrices anti-simétricas conmutan.
b) θ  β  β  θ  θ  β : la composición de ángulos equivale a su suma vectorial.
c) C(θ)C(β)  exp S ( (θ  β))  C(β)C(θ) : las MCD conmutan.
II Movimiento de un móvil en una terna no inercial
  
Sea  ( r 1 , r 2 , r 3 ) una terna rotando a la velocidad angular instantánea dada por el vector υ de
 
3 (posiblemente variante con el tiempo) respecto de la terna inercial  (x, y,z ) que comparte
i
de 3 la posición de un móvil que en coordenadas  se
su origen con  . Sea r   i rr
i
T

i †
i i y v r   i 
rr
expresa, naturalmente, como r r *   r1 r2 r 3    3 . Sean rr  v r   i rr
,
i
respectivamente, la velocidad y aceleración del móvil respecto de  . Sea además Cir la
MCD que transforma las coordenadas entre ambas ternas: r i  Cirr r . Evaluamos la velocidad
y aceleración del móvil respecto de la terna inercial derivando sucesivamente r i para obtener:
 i r r  Ci r r  Ci S ( υ r )r r  Ci r r  Ci ( υ r  r r  r r )
v i  r i  C
r
r
r
r
r
v i  
r i  Cir S ( υ r ) S ( υ r )r r  Cir S ( υ r )r r  2Cir S ( υ r )r r  Cir
rr
(6)
r )
 C ( υ  υ  r  υ  r  2 υ  r  
i
r
r
r
r
r
r
r
r
r
 i  Ci S ( υ r ) . Notar los términos que agrega el
En ambas expresiones se usó la relación: C
r
r
movimiento angular relativo entre las ternas, tanto a la velocidad ( r ) como a la aceleración
( r ) respecto de la terna  .
*
El superíndice indica la terna a la que se refieren las coordenadas del vector.
El subíndice indica la terna respecto de la cual se mueve el móvil. No se usara subíndice cuando el movimiento
se refiera a  .
†
2
Denotando con v y v los vectores de 3, respectivamente, de la velocidad y aceleración del
móvil respecto de la terna inercial, a partir de las (6) sus expresiones resultan:
r  v  υ  r  v r

r  v  υ  υ  r  υ  r  2 υ  v r  v r
(7)
III Dinámica de dos cuerpos*
Sean r y v  r , respectivamente, la posición y la velocidad de un móvil respecto de una terna

geocéntrica inercial  (ECI) centrada en el centro de masa (CG) de la Tierra, con z

coincidente con el eje de rotación terrestre y x, y expandendo el plano ecuatorial . Se supone
un campo gravitacional central sin perturbaciones con modelo de aceleración local dado por la
ecuación de Newton:

r  ( / r 3 )r
(8)
con condiciones iniciales r (t0 )  r0 , r (t0 )  v 0 , siendo r  r y el coeficiente gravitacional.
Como r y r son co-lineales, el vector momento angular por unidad de masa: h=rv es
r  h  r  r  r  
r  r  
r  0 †. Como además r
invariante en coordenadas  . En efecto: r∥
y v son perpendiculares a h y éste es invariante, los primeros se mantienen en un plano
invariante  (plano orbital), ortogonal a h. Dicho plano contiene íntegramente la órbita
Kepleriana invariante en terna inercial del móvil, la cual resulta ser una sección cónica: elipse
o hipérbola o sus casos límites, círculo o parábola (leyes de Kepler).
La órbita queda caracterizada por los elementos orbitales invariantes: i[rad] ángulo de
inclinación de  respecto del plano ecuatorial inercial, [rad] longitud ecuatorial del nodo
ascendente (cruce con el plano ecuatorial), [rad] argumento del perigeo (o latitud verdadera
del perigeo dada por el ángulo entre el vector de la línea de los nodos y el que apunta al
perigeo). La posición instantánea del móvil sobre la órbita está dada por su latitud verdadera
(t)[rad], ángulo subtendido entre el nodo ascendente y la posición del móvil. Su posición
angular referida a : f(t)[rad]=(t)- se denomina anomalía verdadera del móvil. Además de
estos tres ángulos, una órbita Kepleriana elíptica queda caracterizada por su semi-diámetro
mayor a y su excentricidad e (ver Fig. 1). El conjunto {a, e, i, , } son los parámetros
invariantes de la órbita que definen su orientación y geometría en tanto que la posición
instantánea del móvil sobre ésta esta dada por f(t). De la descripción polar de la elipse referida
al CG (punto focal de la misma) resulta la expresión del módulo de un punto sobre la órbita
en función de su semi-diámetro mayor, excentricidad y anomalía verdadera:
r( f ) 
*
†
a (1  e 2 )
p

1  e cos f 1  e cos f
(9)
Ver p.e. Schaub/Junkins, 2009 ó Alfriend et all. 2010.
Notar que este resultado se debe sólo a la centralidad del campo y no al modelo de la aceleración.
3
El parámetro invariante p  a (1  e 2 )  r (  / 2) , conocido como el semi-parámetro o semilatus-rectum, es la distancia desde el foco a la órbita en la dirección ortogonal al perigeo. De
la anterior surge que el módulo del radio vector al perigeo es rp  r (0)  p / (1  e) .
Si bien los invariantes orbitales y la expresión (9) describen la geometría de una órbita
Kepleriana elíptica clásica, la solución r (t ) de la ecuación diferencial (8) requiere conocer
además la función del tiempo f(t) en la (9). Retomaremos este punto más adelante.
Dado un móvil en órbita elíptica en la posición inercial r respecto del foco y momento

angular h  hh ( h  h ), se define la terna LVLH (local vertical local horizontal) derecha,
  

orto-normal, rotante y geocéntrica conformada por los versores:  r 1 , r 2 , r 3  , con r 1

 


colineal con el radio r, r 3  h y r 2  h  r 1 completando la terna positiva. Por definición, el

vector posición resulta r  rr que en coordenadas  se expresa como: r r  ( r,0,0)T . Puesto

que h es invariante en coordenadas inerciales  , h permanece ortogonal al plano invariante
 que contiene a la órbita y se mantiene paralelo al eje de rotación de la terna de  respecto
de  .
El vector velocidad angular instantáneo de la terna  respecto de  es en este caso


υ  h  r 3 con   υ [rad / seg ]  f . Como υ(t ) y r (t ) son ortogonales, su producto

vectorial está en la dirección de r 2 , entonces de la primera de las (7) se obtiene para la
velocidad inercial del móvil:


 1  rr 2
v  v r  υ  r  rr
(10)

 
De donde resulta: h  r  v  r 2( r 1  r 2 )  r 2h  r 2 υ . A partir de la invariancia de h (y de

h ), tenemos que h  h  r (t )2 (t ) es también un invariante orbital. Derivando nuevamente
la expresión (10) obtenemos:





 2  rυ  r 2
v  
rr 1  rυ  r 1   rr 2  rr


 (
r  2 r )r 1  (2r   r )r 2
(11)
Pero, como h  2 r es invariante, 2 r   r  h  0 , con lo cual de (11) el vector aceleración

tiene sólo componente radial (en r 1 ). Esto no debe sorprendernos dado que por hipótesis la
única aceleración presente es la gravitación y ésta es supuesta central (modelo Kepleriano, Ec.
(8)). De la relación anterior se tiene además que
  2r / r
(12)
La derivada r se obtiene derivamos sucesivamente la expresión del radio (9) respecto del
tiempo obteniéndose:
4
pesen( f ) f
er 2sen( f ) he

 sen( f )
(1  e cos f )2
p
p
he

r
cos( f )
p
r 
(13)
con lo cual de la (11), la componente radial de la aceleración resulta:

r  2 r 
h
he
h
1
cos( f )  2 r  h( cos( f )  )  
p
p
r
p
(14)

Igualando las componentes en r 1 entre las (8) y (11) se obtiene entonces que r 2h  h 2  p ,
o bien que: h  a (1  e 2 ) .
Regresamos ahora al problema de establecer la función f(t). Para esto, partiendo de la
 2 y teniendo en cuenta la expresión (9) para r(f), se ve que f(t)
conservación de h  r 2  fr
satisface la ecuación diferencial no lineal:
df
h
 (t )  2 (1  e cos( f )) 2 ; f (t0 )  f 0
dt
p
(15)
La solución única al problema de Cauchy (15) para t0 y f 0 dados, resuelve totalmente el
problema de la localización de un móvil en una órbita Kepleriana para todo tiempo t con base
en los seis parámetros orbitales {a, e, i , , , f 0 } . Sin embargo, la solución de (15) es la
siguiente integral elíptica sin solución explicita.
h
p2

t
t0
dt 
t
h
df
(t  to )  
2
2
t
0 (1  e cos( f ))
p
(16)
Clásicamente, la manera (brillante) de contornear esta dificultad ha consistido en introducir
dos transformaciones no lineales compuestas sobre f(t). La primera, denominada anomalía
excéntrica,
es
usualmente
definida
implícitamente
mediante
la
relación
a (cos( E )  e)  r ( f ) cos( f ) . Geométricamente, el ángulo E[rad] es el subtendido desde el
centro de la elipse entre el semieje mayor y el radio vector a la intersección de la ordenada del
punto sobre la circunferencia principal que contiene a la elipse y es tangente a la órbita en el
perigeo P y apogeo A (ver Fig. 1).

a
A
r
E f
F
O
ae
P
Fig.: 1
5
Esta transformación de f  E se expresa explícitamente mediante (Schaub/Junkins, 2009):
tan( E / 2) 
1 e
tan( f / 2)
1 e
(17)
Es posible mostrar que mediante este cambio de variables, la ecuación diferencial (15) se
transforma en:
dE

dt

1
; E (t0 )  E ( f 0 )
3
a 1  e cos E
(18)
Cuya integración conduce a la ecuación de Kepler:
E (t )
 / a 3 (t  t0 )  ( E  esenE ) E ( t )
(19)
0
Notar que el miembro izquierdo de esta ecuación varía linealmente con el tiempo, esto inspira
la segunda transformación llamada anomalía media E  M definida mediante:
M ( E )  E  esen(E)
(20)
que a su vez transforma la ecuación diferencial (18) en la:
M   / a 3  n( a ); M (t0 )  M ( E ( f 0 ))
(21)
El parámetro n, es también un invariante orbital conocido como la velocidad angular media.
De ésta resulta el período T  2 / n de la órbita, definido mediante: M (t0  T )  M (t0 )  2  .
Dada su anomalía media en un dado instante t0, M (t0 )  M 0 [rad], junto con la transformación
inversa M  E  f , la posición del móvil queda unívocamente determinada para todo
instante tiempo por los 6 invariantes orbitales Keplerianos clásicos:
o  {M 0 , a, e, i, , }
(22)
En tanto que la posición instantánea del móvil queda especificada por el vector de los
elementos orbitales con anomalía variante en el tiempo para los que suelen usarse las
siguientes definiciones alternativas:
e  {M (t ), a , e, i, , }
e  {(t ), a , e, i, , }
e  { f (t ), a, e, i, , }
e  {u(t ), a, e, i, , }
(23)
Donde se introdujeron las definiciones de la latitud verdadera: (t )    f (t ) y de la latitud
media u(t )    M (t ) .
6
IV Rotaciones entre ternas orbitales
Asociadas a la órbita elíptica de un móvil, introducimos las ternas geocéntricas, derechas,
  
  

invariantes: perifocal  e , p, h y nodal  n , m, h donde, e   apunta al perigeo,



p   apunta al semi-latus, h es la dirección del momento angular, n apunta a la dirección

del nodo ascendente y m completa la terna derecha  . Dada la terna LVLH  instantánea
del móvil, los ángulos vectoriales que rotan f (t ) :    , θ(t ) :    y ω :    son,




respectivamente, f (t )  f (t )h , θ(t )  (t )h y ω  h . Notar que h en cualquiera de las

ternas coordenadas es e3 . Por el corolario del Lema 1, siendo h común a las 3 rotaciones,
éstas conmutan y además θ(t )  ω  f (t )  ω  f (t ) .






Consideramos ahora la rotación :   como la composición de rotaciones:   in  z ,
que en las coordenadas correspondientes (ver Ec. (2)) resulta en la composición de los
vectores rotaciones elementales de Euler alrededor de los ejes coordenados e3 y e1 :


ν  in n  z i  ie1  e3
(24)
Cin  C( ν )  C(ie1 )C(e3 )  Ci C  exp S ( ie1 ) exp S ( e3 )
(25)
con lo cual:

Consideramos ahora la rotación :   como la composición   (h )   , que en
coordenadas se expresa como:

ψ  h p  ν  e3  ν  e3  ie1  e3
(26)
con lo cual se tiene:
Cip  C( ψ)  C(e3 )C( ν )
 C(e3 )C(ie1 )C(e3 )  CCi C
(27)

Finalmente consideramos la rotación :   como la composición:   f (t )h   , lo cual
en coordenadas y teniendo en cuenta el Corolario del Lema 1, se expresa como:
(t )=f (t )e3  ψ  ( f (t )  )e3  ν  (t )e3  ν
(28)
Cir (t )  C((t ))  C( f (t )e3 )C( ψ)  C( (t )e3 )C( ν)
(29)
Con lo cual:
Notar que mientras los vectores ψ y ν son invariantes, (t ) depende de la anomalía
instantánea.
V Orbitas Relativas
7
Sean rc y rd las posiciones de dos móviles (chief y deputy) moviéndose en órbitas diferentes
  
en un mismo campo gravitacional Kepleriano sin perturbaciones y sean c 1 , c 2 , c 3} y
  
d 1 , d 2 , d 3}} sus respectivas ternas LVLH rotando con las velocidades angulares inerciales


υc  c hc y υd  d hd . En sus respectivas coordenadas LVLH, estas últimas se escriben como
υ hh  h e3 , h=c,d. La Fig. 2 muestra esquemáticamente las relaciones angulares entre las
ternas  ,  y  .

c (t )

dc (t )

d (t )
Fig.: 2
Definimos al radio vector relativo ρ  rd  rc . Denominamos órbita relativa no perturbada o
Kepleriana a la evolución temporal de resultante de la ley de la gravitación de Newton:

ρ  
rd  
rc 


r  3 (ρ  rc )
3 c
rc
rd
(30)
Reconociendo que, claramente, rhh  rh e1 , h=c,d, la solución de la anterior en coordenadas 
se escribe como:
ρc  Ccd rdd  rcc  rd exp( S (dc (t )e1  rc e1
(31)
V.1 Descripción del radio relativo en coordenadas cartesianas

Derivando dos veces respecto del tiempo la expresión ρ   i ic c í y usando la primera de las
Ecs. (7), el miembro izquierdo de la Ec. (30) se obtiene como sigue:



ρ    ic c í  υ c  ρ    ic c í   ic υ c  c í
i
i
i



 c  2 ic υ c  c í )  υ c  ρ  υ c  υ c  ρ
ρ   (
(32)
c í
i
i
 
ρ c  2 υ c  ρ  υ c  ρ  υ c  υ c  ρ
Igualando (30) con la última de las (32) se obtiene la ecuación diferencial vectorial no lineal
para el radio vector relativo con condiciones iniciales (ρ(t0 ), ρ (t0 ))   6 :

 ( c
c í
i
i

 2 ic υc  c í )  υ c  ρ  υ c  υ c  ρ  

ρ  rc
3
(ρ  rc ) 

rc
3
rc (33)
8
Desarrollando los productos vectoriales en (33) y luego igualando las componentes en terna
 , se obtienen las ecuaciones cartesianas exactas no-lineales en las componentes de ρ en
terna  del movimiento orbital relativo bajo la suposición de potencial Kepleriano puro:
rc c

1 1
 2 )  21c  3 1c  rc ( 3  3 )
rc
rd
rc rd
r

c2  2( 1c  c 1c )  22c  3 2c  0

rc
rd
1c  2( 2c 

3c 

(34)
 c
3  0
rd3
La formulación anterior requiere conocer las soluciones de rc(t) y υc(t) en función de t (ver
Ecs. (9), (15) y (20)). La única aproximación usada hasta ahora es la hipótesis de campo
central no perturbado (movimiento Kepleriano), en particular las Ecs. (34) son válidas para
cualquier excentricidad del chief y del tamaño de la órbita relativa.
Si ahora introducimos la condición de orbita relativa pequeña tal que   rc , el segundo
miembro de la Ec. (33) admite la siguiente aproximación de primer orden en :




r 
(ρ  rc )   3 (ρ  31c c 1 )
3
3 c
rc
r
ρ  rc
c
(35)
que conduce a la siguiente aproximación de las (34).
rc c
2
 2 )  (2  3 )1c  0
rc
rc
r

2c  2( 1c  c 1c )  (2  3 )2c  0

rc
rc
1c  2( 2c 

3c 

(36)
 c
3  0
rc3
Conocidos rc(t) y υc(t) " t (ver Ecs. (9), (20)), las (36) conforman un sistema de ecuaciones
diferenciales lineales variantes en el tiempo en las coordenadas de  según la terna  . Por lo
tanto, su espacio de soluciones queda caracterizado por su matriz de transición entre dos
instantes de tiempo operando sobre el vector de condiciones iniciales (ρ(t0 ), ρ (t0 ))   6 .
Cuando la orbita del chief pueda suponerse circular (e0), entonces, rc  0 y   n  const.
(velocidad angular media) con lo cual, para las mismas condiciones en  las Ecs. (36) se
transforman en las conocidas ecuaciones de Clohessy-Wiltshire (1960) para las componentes
ic de  en terna  .
9
1c  2n 2c  3n 21c  0

2c  2n 1c  0

CW (37)
  n   0

2 c
3
c
3
V.2 Descripción según los elementos orbitales relativos
La descripción de la órbita relativa en coordenadas cartesianas según  requiere resolver el
sistema de ecuaciones (34) para todas las variables de estado. Esto sólo puede hacerse
numéricamente dado que, salvo para el dominio de validez de las Ecs. CW, estas ecuaciones
no tienen solución explicita. Por otro lado, como se vio, el uso de los elementos orbitales
permite una descripción concisa de la geometría de la órbita y requiere tan sólo resolver la
anomalía media instantánea dada por la Ec. (21).
Con base en las definiciones (22) y (23), introducimos los conjuntos de invariantes y
elementos orbitales relativos entre deputy (d) y chief (c):
o  od  oc  {M 0 , a, e, i , , }
e  ed  ec  {(t ), a, e, i, , }
(38)
e  ed  ec  {M (t ), a, e, i, , }
e  ed  ec  {u(t ), a , e, i, , }
V.2.1 Rotaciones entre los dos conjuntos de ternas orbitales
Introducimos las ternas asociadas a cada móvil: perifocales: c , d y nodales:  c ,  d . La
Fig. 3 muestra los ángulos de rotación relativos entre los dos conjuntos de ternas orbitales.
c

a)
dc (t )
b)

c
ψ dc
d
c)
ν dc
d
Fig.: 3
Rotación entre ternas nodales: la rotación relativa entre ternas nodales dc :  c   d es vista
como la sucesión de rotaciones dc :  c     d y se corresponde con la composición de
los ángulos dc  d  (c ) que, de acuerdo con la (24), en coordenadas se expresa mediante:
ν dc  ν d  (  ν c )  id e1   d e3  (  c e3 )  ( ic e1 )
 ie1  ic e1  e3  ( ic e1 )

 ie1  z n
c
(39)
T

z n  Ci e3   0 senic cos ic 
c
c
10
En la anterior se usó, en primer lugar el punto b) del Corolario del Lema 1 y en segundo el

punto i) del Lema 1. Notar que z n es la expresión en coordenadas  c de la dirección

inercial z .
c
Rotación entre ternas perifocales: Análogamente que para las ternas nodales, el ángulo de la
rotación relativa entre las ternas perifocales  dc : c   d puede expresarse mediante la
composición:


 dc   d   c  d hd  d  (c )  ( c hc )
(40)
O en coordenadas, y a partir de la (26), como:
ψ dc  d e3  ν d  (  ν c )  (c e3 )
(41)
 e3  c e3  ν dc  ( c e3 )  e3  C ν dc
c
Luego de usar la (39) y el Lema 1, se identifica el eje del ángulo sobre el que actúa cada
invariante relativo angular como sigue:


ψdc  e3  C ν dc  e3  incp  z p
T

ncp  C e1   cos c senc 0
T

z p  C Ci e3  senicsenc senic cos c cos ic 
c
c
c
(42)
c
c
c
c
c


ncp y z p son, respectivamente la dirección nodal y el eje inercial z expresados en terna c .
c
c
Rotación entre ternas de Hill: Usando las (28) y (39), expresamos el ángulo de la rotación
relativa dc  d  (c ) entre ambas ternas de Hill dc :    en coordenadas mediante:
dc (t )  d  (c )  d (t )e3  ν di  ( ν ci )  (c (t )e3 )
 (t )e3  c (t )e3  ν dc  (c (t )e3 )  (t )e3  C ν dc
c
(43)
 (t )e3  c (t )e3  ie1  Ci e3  (c (t )e3 )
c
Aplicando el Corolario del Lema 1 e introduciendo C  exp S ( c (t )e3 ) en la última
c
expresión, dc :    se escribe en coordenadas en función de los invariantes relativos
(t ), i ,  como:


dc (t )  (t )e3  incc  z c
(44)


Donde ncc y z c esta vez son, respectivamente, la dirección nodal y el eje inercial z
expresados en la terna  .
11
T

ncc  C e1   cos c senc 0
c
 cos c e1  senc e2
T

z c  C Ci e3  senic senc senic cos c cos ic 
c
(45)
c
 senic senc e1 +senic cos c e2  cos ic e3
dc (t ) puede también ser escrito en función del diferencial invariante ψdc como:
dc (t )  f d (t )e3  ψ dc  (  f c (t )e3 )  f (t )e3  C fc ψ dc
(46)
V.3 Radio relativo para vehículos cercanos y órbitas elípticas
Nota: En lo que sigue, para simplificar la notación, se obviará el subíndice "c" en todas las
magnitudes referidas al chief.
Retomamos la expresión no-lineal (31) para el radio relativo usando rd  r  r :
 r

ρc  r  exp S ( dc (t )e1  (exp S ( dc (t )  I )e1 
r


(47)
donde dc (t ) está dado por la expresión (44). La condición de vehículos cercanos:  / r  1
equivale, en términos de los elementos orbitales relativos (38), en particular a que
, i ,   1  dc (t )  1 con lo cual el término exponencial en (47) se aproxima como:


exp( S (dc )  ( I  S ( e3 ))( I  iS ( n c )( I  S ( z c ))
2


 I  S (e3  in c  z c )  o( dc ) I
(48)

De la (48) se advierte que para , i ,   1 y teniendo en cuenta que e3  h c , dc opera
como el vector suma:



dc  h c  in c  z c



 h  in  z
(49)
donde la segunda expresión se escribe libre de coordenadas (en 3). Sustituyendo la Ec. (48)
en la (47) y despreciando términos de 2º orden se obtiene la expresión del radio relativo libre
de coordenadas:

 r 
ρ  r  r  dc (t )  r 
r

(50)
El radio relativo se descompone así en un desplazamiento co-lineal con el radio vector

posición del chief y otro ortogonal a dicha dirección paralelo al producto vectorial dc (t )  r ,
12
lo que equivale a una rotación diferencial de r alrededor del eje y ángulo instantáneo dc (t ) .
Sólo la componente de dc (t ) ortogonal a r produce este desplazamiento.
  

Expresamos al vector z de la terna  en términos de la terna nodal del chief  (n , m, h )

        
  
  
 
 
usando z   z , n  n   z , m m   z , h  h *. Pero,  z , n    ,  z , m   z , h  n    z , n  h  
  


 n , h  z    n ,sin in    sin i , con lo cual



z  sinim  cosih
(51)
Substituyendo ésta en (49), resulta:




dc  (   cosi )h  in   sin im  h  n
(52)


Donde se introdujeron las definiciones     cosi y n  in   sin im . Expresada
en coordenadas  la anterior se escribe como:

dcc  h c  n c  e3  n c
(53)

 , llamada la "longitud real relativa", es el modulo de una rotación con eje en h y refleja el
desplazamiento relativo en el sentido del movimiento (along track), mientras que el vector,
n llamado "inclinación relativa", es la componente de la rotación relativa contenida en el
 
plano orbital del "chief" ( n , m ) colineal con la intersección entre ambos planos orbitales. Este
vector en coordenadas  resulta:
 nx   i 
 cos 




n  n y  seni  n  sin  
  

 0 


 0   0 
n
(54)
Siendo   tan 1 (  sin i / i ) el ángulo en radianes medido desde el nodo ascendente del
chief y n  n  i 2  ( sin i ) 2 . Notar que , i,   1 implica también que
 , n  1 .    / 2 ocurre cuando la inclinación diferencial i es nula. En órbitas cuasipolares, esto implica que el cruce de los planos orbitales ocurre cerca de los polos terrestres.
Para órbitas no ecuatoriales   0 ocurre cunado   0 , en este caso el vector inclinación
relativa n resulta colineal con la dirección del único nodo ascendente.
Expresado en terna la  (distante de la terna  en el plano orbital del ángulo (t ) con eje

en h ) el mismo vector resulta:
cos( (t )  ) 
n c  n  sin( (t )  ) 


0


*
(55)
Con ,  si indica el producto escalar entre dos vectores.
13
Reintroducimos ahora la expresión (52) en la (50). Luego de evaluar los productos vectoriales
se obtiene
 



 r 
 r 
ρ  r  r  h  r  n  r   r  c1  c2  n sin( (t )  )c3 
r

r

(56)
  
O bien, re-expresando sus coordenadas según  (c1 ,c2 ,c3 ) en radianes se tiene:
r / r


ρc / r  
 (t )

 nsen((t )  ) 
(57)
Como se advierte de la última componente, el "deputy" oscila armónicamente alrededor del
plano orbital cruzándolo dos veces por órbita en los instantes en que
(t ) =   k  (k  0,1, 2,...) . Cuando  (t )  0 ambos vehículos están contenidos en el plano
 
ortogonal a la trayectoria (c1 , c3 ) . Finalmente, cuando r  0 ambos están en un plano
ortogonal al vector posición del chief.
r surge de diferenciar la Ec. (9) respecto de los elementos orbitales. Introduciendo
2  1  e2 y luego de agrupar términos se obtiene:
r 
a
2ea  a (1  e 2 ) cos f
ea2senf


e

f
1  e cos f
(1  e cos f ) 2
(1  e cos f )2
(58)
En lugar de usar  y f en las (52) y (58), hay un interés práctico en re-expresar las
mismas en función de M , dado que este último elemento orbital resulta un invariante
relativo cuando ambas órbitas Keplerianas tienen la misma energía (es decir: a  0 ). Para
esto, entre las (20) y la (17) se evalúa la diferencial:
f 
(1  e cos f )2
senf
M  2 (2  e cos f )e
3


(59)
Con la que se obtienen las:
r
aesenf
a 
M  ae cos f

a
    cosi  f
r 
   cosi 
(60)
(1  e cos f )2
senf
M  2 (2  e cos f )e
3


Los incrementos denotados con () en las (58), (59) y (60) corresponden magnitudes
diferenciales que no necesariamente tienden a cero para vehículos cercanos. En efecto, aun si
, u  1 , con     f y u    M , esto no implica necesariamente que
, f , M  1 (D'Amico, 2010).
14
Dado que ρ está referido a rc , es usual introducir la "terna de Hill", paralela a la terna 
pero con origen en rc , e indicar sus coordenadas como ρ H ( r , t , n )  ρC (1c , 2c , 3c ) . Los
nuevos subíndices expresan nmemotécnicamente, respectivamente, las componentes: r:radial,
t:tangencial, n:nomal. Sustituyendo ambas expresiones anteriores en las (52) y (58) y luego de
algunas manipulaciones matemáticas se obtiene finalmente el mapeo lineal entre coordenadas
cartesianas de la posición relativa y los elementos orbitales relativos de la 3ª de las Ecs. (38)
(Ecs. 35 de H. Schaub 2004) válido para órbitas elípticas en general:
 r  1c  r 
r
aesenf
a 
M  a cos f e

a
t  2c  r (   cosi 
(1  e cos f )2
senf
M  2 (2  e cos f )e)
3

(61)
n  3c  rnsen(  )
V.4 Radio relativo para vehículos cercanos con órbita cuasi-circular del chief
En la mayoría de las aplicaciones de satélites en órbitas cercanas (LEO), estas últimas son
elegidas lo mas circulares posible. Esto conlleva a agregar a la hipótesis de vehículos cercanos
( / r  1) la condición sobre la excentricidad: e  1 . Es posible mostrar que la relación f(M)
establecida en el párrafo III admite la expansión de primer orden en e (ver D'Amico 2010):
f  M  2e sin M  o(e 2 )
(62)
Asimismo, para el radio se tiene que:
r
a (1  e2 )
 a (1  e cos f )  o( e2 )
1  e cos f
(63)
Pero usando (62) se puede mostrar que e cos f  e cos M  o(e 2 ) con lo cual finalmente la
anterior resulta:
r  a (1  e cos M )  o( e2 )
(64)


Introducimos el vector de excentricidad q  ee con e el versor de la terna perifocal
  
 e , p, h que apunta al perigeo (ver párrafo IV). El ángulo M es el subtendido desde el

vector e hacia el versor u que apunta a la latitud media instantánea del vehículo. Con la


notación usual del producto escalar: e cos M   q, u  y e sin M   q⊥, u  donde

 

q⊥  h  q, u⊥  h  u . Perturbando las expresiones anteriores se tiene:






( e cos M )  q ,u    q ,u   q ,u   o(e, u )




( e sin M )  q⊥ ,u    q⊥ ,u   q⊥ ,u   o( e, u )
(65)
Donde en ambos casos se usó el hecho de que el segundo término es de segundo orden

respecto de e y u (ambos infinitesimales para vehículos cercanos).
15
T
   
En coordenadas de la terna nodal  n , m, h , u n   cos u sin u 0 y el vector excentricidad


es q n   e cos  e sin  0 . La diferencial de este último vector es llamada excentricidad
relativa:
T
 qx   e cos   e sin 
cos  
q n   q y    e sin   e cos   q  sin  
  

 0 
0



 0  
(66)
Donde   tan 1 ( q y / qx ) es un ángulo medido desde el nodo ascendente del chief y
q  q  qx2  q 2y  e 2  e 2 2 .
Perturbando
la
(62)
se
tiene
f  M  2(e sin M )  o(e ) , sustituyendo en la definición de  (60) y usando
u    M junto con las (65) se obtiene:
2


 (t )  u(t )   cos i  2q⊥ ,u    (t )  2q⊥ ,u 
(67)
  u   cos i
  u  M =
Donde
es la latitud media relativa y
n (a )  (3 / 2)na / a , con lo cual:   (t0 )  (3 / 2)(a / a )n (t  t0 ) . Usamos ahora
n(t  t0 )  u  u0 junto con las Ecs. (21) y (65) para obtener:
a

(u  u0 )  2q⊥ ,u 
a
 0  (t0 )  u0   cos i
 (t )   0  1.5
(68)
A partir de (64) evaluamos r / r como:
r a ( e cos M ) a



 ( e cos M )(1  e cos M )
r
a 1  e cos M
a
a
a


 ( e cos M ) 
 q ,u 
a
a
(69)
Substituyendo en (57) se obtienen finalmente las ecuaciones del radio relativo en coordenadas
de Hill, normalizadas por a para vehículos cercanos en órbitas casi (D'Amico, 2010).
a
a

 q ,u  
 q cos(u  )
a
a
a

t / a   0  1.5 (u  u0 )  2q⊥ ,u 
a
a
  0  1.5 (u  u0 )  2q sin(u  )
a

n / a  n⊥ ,u   nsen(u  )
r / a 
(70)
La componente n surge de la última de las Ecs. (61) usando     f junto con la
aproximación (62) despreciando términos de orden 2 en e. El movimiento relativo se
16
descompone según una oscilación armónica perpendicular al plano orbital ( r , t ) ,
(caracterizada por el vector inclinación relativa n ), que cruza a dicho plano cada vez que

u‖n , y de un movimiento elíptico en el plano orbital caracterizado por el vector
excentricidad relativa q . Cuando las energías de ambas orbitas difieren ( a  0 ),
superpuesto a estos movimientos el radio relativo deriva secularmente en el sentido tangencial
a la velocidad 1.5na , lo cual, sin correcciones, aparta indefinidamente a ambos vehículos; en
caso contrario, cuando a  0 la elipse en el plano orbital tiene su diámetro menor aq en el
sentido radial y su diámetro mayor 2aq en el sentido tangencial; los peri-apsis se
corresponden con la máxima distancia radial y los apo-apsis con la máxima distancia en

longitud y se alcanzan, respectivamente, en los instantes u    k  ( u‖q ) y

u    (1 / 2  k ) ( u ⊥ q ), k=0,1,2...; la condición inicial  0 determina el centro de la
elipse que quedará centrada en el "chief" cuando se elija: u0   cos i . En este caso, en los
instantes en que u    2k  el "deputy" estará delante del "chief" y quedará detrás cada vez
que u    (2k  1) . En órbitas cuasi-polares si    / 2 la distancia radial máxima se da
cerca de los polos; inversamente, si se impone   0 ésta se dará en el nodo ascendente.
Si n‖q , la máxima distancia radial se alcanza en el mismo instante en que el deputy
atraviesa el plano orbital, en estas condiciones la órbita proyectada sobre el plano ortogonal al
movimiento es una elipse con diámetros an en el sentido ortogonal al plano y aq en el
sentido radial. Esta condición, llamada de "formación segura", asegura que aun frente a
derivas seculares en el sentido del movimiento los satélites no puedan colisionar.
Contrariamente, si n ⊥ q , la condición de distancia radial nula se da simultáneamente con
el cruce por el plano orbital lo que resulta riesgoso en presencia de derivas en el sentido del
movimiento.
Para obtener las ecuaciones que representan el estado instantáneo del radio vector
necesitamos derivar las Ecs. (70) respecto del tiempo. Para esto, además de usar:
 


u  nh  u  nu⊥ tendremos en cuenta las siguientes relaciones:



q ,u   nq ,u⊥    nq⊥ ,u ,



q⊥ ,u   nq⊥ ,u⊥   nq ,u 


n⊥ ,u   nn ,u 
(71)
Con esto se obtiene finalmente el estado dinámico en coordenadas de Hill del vector radio
relativo para vehículos cercanos y órbita del chief cuasi-circular en función de los elementos
orbitales relativos definidos de acuerdo con D'Amico (2010) (D'Amico/Montembruk, 2006)
como sigue:
T
α   a / a  0 qT nT    a / a  0 qx q y nx n y 
T
(72)
17

 r / a  a / a   u,q

t / 2a  0.5 0  0.75( a / a )(u  u0 )   u⊥ ,q

 n / a   u⊥ ,n

 r / na   u⊥ ,q

 t / 2na  0.75a / a   u , q

 n / na   u,n
1
 r / a  
 t / 2a   3 / 4(u  u0 )
  /a  
0

x (u )   n
0
  r / na  


na
/
2

3
/4
 t
 
  n / na  
0
 Q(u )α
0
1/ 2
0
0
0
0
 cos u
sin u
0
sin u
cos u
0
(73)
 sin u
0
0   a / a 
 cos u 0
0    0 


 sin u cos u   qx 
0
 q
 cos u 0
0 
y 
sin u
0
0   n x 
0
cos u sin u   n y 
(74)
De acuerdo con la expresión (74), la matriz variante Q(u ) y el vector de elementos
diferenciales relativos (72) caracterizan íntegramente la evolución temporal del radio vector
relativo en la vecindad del chief. Las componentes seculares del movimiento relativo podrán
sin embargo apartar ambos vehículos fuera de la zona de validez de dicha ecuación.
VI Modelo para el control de una órbita relativa.
Las Ecs. (73) y (74) reflejan la parte lineal de un mapeo variante en el tiempo de los
elementos diferenciales a las componentes cartesianas del estado del radio relativo según la
terna de Hill del chief para pequeñas desviaciones en dichos elementos.
El esquema de control propuesto por D'Amico (2010), consiste en la activación de jets
propulsores durante intervalos cortos de tiempo que provocan cambios "casi instantáneos" en
T
el vector velocidad relativa v  ρ   vr vt vn  aunque variaciones casi nulas en la
posición relativa ( ρ  0 ). Estos cambios en el estado del radio relativo se traducen en
cambios, también casi instantáneos, en el vector de elementos diferenciales α que pueden
determinarse mediante el mapeo inverso Q1 (uM ) evaluado en la latitud media del chief al
momento de efectuar la maniobra. En este esquema, el satélite chief es pasivo desde el punto
de vista del control mientras sólo son activados los propulsores del deputy; uM y v(uM ) se
eligen de modo de lograr la variación deseada α d optimizando el consumo de combustible a
bordo de ese satélite.
d
T
Bajo estas condiciones, llamando Dα d  α d  α   Da / a D 0 Dq T Dn  a la variación
deseada en los elementos relativos y teniendo en cuenta el mapeo lineal (74) se tiene:
18
 0 
 0 
 0 
 0 


 0 
1
1
0
Q(uM ) 1 

  Q ( u M ) D α d  Dα d 

na  vr 
na
 vr 
 vt / 2 
 vt / 2 
 vn 
 vn 
(75)
Una vez establecido el cambio Dα d , para u  uM el estado x evoluciona según:
x (u )  Q(u )( α  Dα d )  Q(u )( α d ); u  uM
(76)
Maniobra fuera del plano orbital
Como se advierte de la (74) las componentes del estado del radio relativo en el plano orbital
evolucionan independientemente de aquella en la dirección normal a dicho plano.
Consideramos inicialmente ésta última componente introduciendo el sub-vector de estado:
T
x n (u )   n / a  n / na  cuya variación en el instante de la maniobra será, de acuerdo con el
mapeo lineal (74):
Dx n ( u M ) 
1  0   sin uM  cos uM 

Dn M  R/2u Dn M
na  vn  cos uM sin uM 
M
(77)
Donde R denota la matriz que rota un vector en el ángulo  en el sentido antihorario. De la
anterior se deduce que el efecto de la propulsión vn (uM ) sobre el vector de la inclinación
relativa será:
 0   vn cos uM   vn u
 vn  na  sin uM  na M
 vn  na Dn M ; uM  tan 1 ( Dn yd / Dn xd )
Dn d 
1
Ru
na
M
 /2
(78)
Maniobra sobre el plano orbital
Consideramos ahora la componente del estado del radio relativo sobre el plano orbital:
T
x p (u )   r t / 2  r / n  t / 2n  / a y su variación en el instante de la maniobra para u0  0 :
 0   1
1  0   3uM / 4
Dx p ( u M ) 


na  vr   0
 vt / 2   3 / 4
0
1/ 2
0
0
 cos uM  sin uM   Da / a 
sin uM  cos uM   D 0 
sin uM  cos uM   Dqx 


cos uM sin uM   Dq y 
(79)
A partir de las dos primeras filas de la (79) establecemos la igualdad que deben satisfacer las
variaciones :
1
0   Da / a 
R u Dq d  

3
u
/
4
1
/ 2   D 0 
M

M
d
(80)
19
Por otro, considerando ahora sólo las filas 4ª y 5ª que involucran el cambio en velocidad se
tiene:
1  vr  
0
0
   sin uM  cos uM  Dq d  
R

Dq d
 /2  u








/
2
cos
sin
v
u
u


3
/
4
3
/
4
Da
a
Da
a
na  t  
 


M
M 
M
(81)
que junto con la (80) permite obtener los incrementos necesarios de velocidad.
1
0   Da / a 
Dq  Ru 
 3uM / 4 1 / 2   D 0 
d
d
M
1  vr  
0   Da / a 
0
R  1

 /2 





v
/
2
3
u
/
4
1
/ 2   D 0 

3
Da
/
4
a
na  t  

M

Da / a
0

  0 1 
 







3
u
Da
/
4
a
D
/
2

3
Da
/
4
a
1
0

 

M
0

3u Da / 4a  D 0 / 2 
 M

Da / 4a

d
 vr   na  3uM Da / 4a  D 0 / 2   na 3uM / 4 1 / 2   Da / a 
 vt 
 1 / 2
0   D 0 
Da / 2a


(82)
d
Resta determinar el instante en que debe ser ejecutada la maniobra. Primeramente de la
anterior se obtiene:
 Da / a  1  0 2   vr 
 D 0   na  2 3uM   vt 
(83)
y substituyendo en la (80):
1
Ru
na
1
Ru

na
Dq d 
M
M
0   0 2   vr 
 1
 3uM / 4 1 / 2   2 3uM   vt 
 0 2   vr   1 R  2vt 
 1 0   vt  na u  vr 
(84)
M
x n   n / na n / a 
T
x r    r / a  r / na 
T
(85)
x t   t / 2na t / 2a 
T
Usando esta notación descomponemos la (74) según:
20
x n  Ru n
1
x r  Ru q  
0
0  1 
0  2 
(86)
1 0   1 
x t  Ru q  3 / 4 
u
 2 / 3  2 
De las anteriores se obtienen las siguientes relaciones inversas:
n  R u x n
1
x r  Ru q  
0
0  1 

0  2 
1 0   1 
x t  Ru q  3 / 4 
u
 2 / 3  2 
7/4
0   1 
x t  x r  


u
3
/
4
1
/ 2   2 

1 / 2 3 / 4u    t / 2na   r / a 
 1   
8 / 7 
 2 
7 / 4   t / 2a   r / na 
 0
1 4 / 7 6 / 7u    t / 2n   r 
 
2   t / 2   r / n 
a 0
1
q  R u x r  R u 
0

0  1 
1
 R u  x r  



0  2 
0

0 1  4 / 7 6 / 7u    t / 2n   r  
2   t / 2   r / n  
0 a  0
1 4 / 7 6 / 7u    t / 2n   r  

 R u  x r  
0   t / 2   r / n  
a 0

(87)
V.5 Plano de la órbita relativa
De las ecuaciones normalizadas del radio relativo en coordenadas de Hill (70), despejamos la
componente periódica del movimiento:

 xr (u )   q ,u  


x (u )   xt (u )    2q⊥ ,u    Tu

 x (u )   n⊥ ,u  
 n  

(88)
Para referencia reescribimos las definiciones:
q   qx q y 0  q  cos  sin  0 ; q⊥   q y qx 0
T
T
n   n x n y 0  n  cos  sin  0 ; n⊥   n y nx 0
T
T


u   cos u sin u 0 ; u⊥    sin u cos u 0
T
T
T
T
(89)
Como la matriz T es invariante y de rango a lo sumo 2, existe v   3 invariante, t.q. v T T  0
y por lo tanto,  v ,x(u )  0, u , con lo cual el radio vector de la órbita relativa en
coordenadas de Hill se mantiene en un plano invariante perpendicular a v. La dirección de v
21
puede entonces hallarse calculando el producto vectorial de dos radios relativos en puntos
distintos de la órbita: elegimos u   y u   y anotamos: x   x() , x   x() .
Sustituyendo en la (88) tenemos:
 
 q , 
 q 
⊥  


x   2q , ; x   
0


⊥  

0


 n , 
(90)
 
 2n ⊥ , 
 
 
 
v '  x   x   S ( x  )x   q⊥ ,  n ,   q⊥ , v


 2q 
(91)
Evaluamos
 
Claramente el módulo de v' se anula si    , verificamos sin embargo que v se mantiene
ortogonal a la órbita para todo u. Usando la notación del producto diádico  , calculamos
primeramente
    

 v ,x (u )  2nq⊥   ⊥ ⊥  I u   0
(92)
Similarmente se verifica fácilmente que  v ,x (u )  0 , con lo cual, para v  v el versor:
 
 2n ⊥ , 
2n sin(  ) 
1
1
 

v  v / v   n  ,    n cos(  ) 
v  2q  v 

2q




(93)
se corresponde con la dirección ortogonal al plano invariante de la órbita periódica relativa.
Observaciones: Los vectores q, n definen íntegramente la geometría de la órbita relativa
periódica, en particular destacamos:
T
 
 i) Condición de no colisión: En el caso q∥n (    ), v   0 n 2q  tiene

componente nula en la dirección radial r de la terna de Hill del "chief", con lo cual esta
dirección queda contenida en el plano de la órbita relativa que resulta con una
inclinación alrededor de ese eje según el ángulo arctan( 2q / n ) . El cruce por el
plano orbital del chief ocurre sobre eje radial precisamente cuando u     a la


distancia q . En efecto, entonces, q⊥ ,u   n⊥ ,u   0 y x   x   q . En este
caso, la trayectoria periódica relativa del deputy consiste en una espiral alrededor de la
trayectoria del chief evitando posibles colisiones aun frente a desplazamientos seculares
a lo largo de la orbita debidos diferencias relativas en la energía orbital, la fricción
(drag) atmosférico, etc.


ii) Condición de cruce de órbitas: Para el caso q ⊥ n , v   2n 0 2q  tiene
componente nula en la dirección tangencial, por tanto el plano orbital relativo contiene
T
22
a dicha dirección con lo cual el deputy atravesará periódicamente la trayectoria del chief
con el consiguiente riesgo de colisión.
V.6 velocidad angular relativa para órbita cuasi-circular
La velocidad angular del “chief” en órbita cuasi-circular se aproxima mediante:


 a (1  e ) 
2
32
(1  e cos f ) 2 

a
32
(1  2e cos M )  o(e 2 )
(94)
Diferenciando la última y reintroduciendo n   / a 3 2 :
3 a
3 a
   n  2n(e cos M )   n  2n e cos(u  )
2 a
2 a
(95)
Notar que  / n  1 para a / a, e  1 . Usando d     y dcc  1 retomamos la
expresión de la velocidad angular relativa en terna  :
υ ccd  υcd  υ cc  d exp S ( dcc (t ))e3  e3
 S ( dcc (t ))e3  ( I  S (dcc (t )))e3
 dcc (t )  e3    e3  dcc (t )  e3
(96)
 dcc (t )  e3    e3
Usando (53) y (55):
dcc  e3  (e3  n c )  e3  n c  e3
 n sin((t )  )e1  n cos((t )  )e2
(97)
 n sin(u (t )  )e1  n cos(u (t )  )e2
y sustituyendo en (96) junto con la (95) se tiene:
0

  n sin(u (t )  ) 
υccd / n  
0
    n cos(u (t )  ) 
 1.5a / a   2 e cos(u (t )  ) 


(98)
VI Bibliografía
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23
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24