Serie de Fourier

Serie de Fourier
Lali Barrière
Octubre 2011
1
Introducción
• Representamos una onda sonora por una función del tiempo
t → s(t).
• Una función es periódica, con periodo T si se cumple
s(t) = s(t + T )
para cualquier valor de t, y la igualdad anterior no se cumple con valores más pequeños de T .
Observación Una función periódica con periodo T cumple
s(t) = s(t + T ) = s(t + 2T ) = s(t + 3T ) = . . .
• Una sinusoide es una función que se puede expresar como un seno, con una determinada amplitud,
frecuencia y fase:
s(t) = A · sin(ω · t + Φ)
Observación 1 En esta igualdad, A es la amplitud, ω es la frecuencia angular y Φ es la fase. La
ω
.
frecuencia en ciclos por segundo es f =
2π
1
Observación 2 El periodo es T = . El periodo también se llama longitud de onda.
f
Observación 3 Las sinusoides son las funciones oscilatorias más simples.
Representación gráfica de una sinusoide: http://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoide
Ejemplo de longitud de onda: http://www.phys.unsw.edu.au/jw/fluteacoustics.html
2
Teorema de Fourier
Cualquier función periódica, con periodo T , se puede representar como suma de sinusoides de frecuencias f ,
1
2f , 3f ,. . . , llamadas armónicos. (La relación entre el periodo y la frecuencia es f = .)
T
Observación Los armónicos también se suelen llamar parciales. De hecho, los parciales son componentes
frecuenciales de una onda no necesariamente periódica. Por lo tanto, el término parcial es más general que
el término armónico.
1
2.1
Serie de Fourier trigonométrica
Si s : R → R es una función periódica con periodo T , la serie de Fourier de s es
s(t) ∼
a0 X
2πnt X
2πnt
+
+
an cos
bn sin
2
T
T
n≥1
n≥1
con coeficientes
2
an =
T
Z
0
T
1
2πnt
dt
⇒ a0 =
s(t) cos
T
π
Z
2 T
2πnt
bn =
dt.
s(t) sin
T 0
T
Z
T
s(t) dt
0
!
Estos coeficientes se pueden calcular integrando entre −T /2 i T /2 o, en general, entre t0 i t0 + T , con t0 un
valor real cualquiera.
Observación En las ondas sonoras, a0 = 0.
2.2
Expresiones alternativas de la serie de Fourier
2π
.
T
2πn
La frecuencia angular del armónico n-ésimo es nω0 =
T
La serie se puede escribir
X
a0 X
s(t) ∼
+
an cos nω0 t +
bn sin nω0 t
2
• La frecuencia angular fundamental es ω0 =
n≥1
n≥1
1
• Si t es el tiempo en segundos, la frecuencia fundamental en Hz es f0 = .
T
n
La frecuencia en Hz del armónico n-ésimo es fn = nf0 = .
T
La serie se puede escribir
X
a0 X
bn sin 2πnf0 t
an cos 2πnf0 t +
s(t) ∼
+
2
n≥1
n≥1
2.3
Forma amplitud-fase de la serie de Fourier
X
X
a0 X
+
an cos nω0 t +
bn sin nω0 t = A0 +
An cos(nω0 t + Φn )
2
n≥1
n≥1
n≥1
a0
(En las ondas sonoras A0 = 0.)
2
p
• Amplitud: An = a2n + b2n
• A0 =
• Fase: Φn = arctan
an
bn
Observación La forma amplitud-fase de la serie de Fourier se deduce de la fórmula trigonométrica:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
2
Por lo tanto, la expresión amplitud-fase de la onda t → s(t) es:
s(t) = A1 cos(ω0 t + Φ1 ) + A2 cos(2ω0 t + Φ2 ) + A3 cos(3ω0 t + Φ3 ) + A4 cos(4ω0 t + Φ4 ) + . . .
2.4
Espectro
Sabiendo que la frecuencia fundamental de una onda s(t) es ω, únicamente se requieren los valores de
amplitud y fase de cada uno de los parciales para reconstruir la onda. El conjunto de estos valores se llama
espectro.
{(A1 , Φ1 ), (A2 , Φ2 ), (A3 , Φ3 ), . . . }
amplitud
• Espectro de amplitud Representación frecuencia-amplitud.
A1
# armónico
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8
9
10
11
12
13
fase
• Espectro de fase Representación frecuencia-fase.
Φ1
# armónico
1
2
3
4
5
6
7
3
3
Ejemplo: la onda cuadrada
La onda cuadrada de periodo 2π es la función definida por

 1, si 0 ≤ t < π;
−1, si π ≤ t < 2π;
s(t) =

extendida con periodo 2π.
1,0
0,5
0
1
2
3
4
5
6
t
K
0,5
K
1,0
Los coeficientes de Fourier de esta función son
an = 0
bn =
1
π
Z
0
− sin nt dt +
−π
Z
π
sin nt dt
0
La suma de los primeros 8 parciales es

4


, si n es impar;
πn
=


0, si n es par.
1,0
0,5
0
1
2
3
4
t
K
0,5
K
1,0
4
5
6
La suma de los primers 60 parciales es
1,0
0,5
0
1
2
3
4
5
6
4
5
6
t
K
0,5
K
1,0
La suma de los primeros 200 parciales es
1,0
0,5
0
1
2
3
t
K
0,5
K
1,0
π
Todos los parciales tienen fase 0. Si desfasamos el parcial n = 5 en , es decir, en la serie trigonométrica,
2
a5 = b5 i b5 = 0, obtenemos:
1,0
0,5
0
1
2
3
4
t
K
0,5
K
1,0
5
5
6