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Electrónica Cuántica
Otoño de 2004. Prueba de Exploración
1. Para un paquete de ondas normalizado ψ(x, t), centrado en torno al
R∞
punto xo , definimos la anchura ∆x(t), por medio de (∆x(t))2 = −∞
dx(x −
xo )2 |ψ(x, t)|2 . Suponga que en t = 0, tenemos un paquete de onda cuadrado:
1
ψ(x, 0) = √ , para xo − a ≤ x ≤ xo + a
2a
= 0,
de otra f orma
Use la ecuación de Schrodinger para un partı́cula libre para ver como
evoluciona esta función de onda en el tiempo, y encuentre una expresión
para la anchura ∆x(t).
2. Considere un electrón de carga e moviéndose sobre un cı́rculo de circunferencia L, en cual encierra un flujo magnético Φ. Encuentre el valor
~
esperado he~v i en el estado base, como función de Φ, donde ~v = m1 (P~ − ec A)
es el operador velocidad del electrón.
3. El Hamiltoniano que gobierna el movimiento rotacional de algunos
sistemas con momento angular l = 1 está dado por: H = 12 (aL2x +bL2y +cL2z ).
/h
Encuentre todos los niveles de energı́a.
4. Encuentre la función de onda del estado base y la energı́a del átomo
de Helio por métodos variacionales.
5. Demuestre que los eigenvalores de un operador del Conjunto de Operadores que Conmutan con el Hamiltoniano son constantes de movimiento.
6. Una representación bi-dimensional del álgebra del momento angular
1
está dada por las tres matrices:
/h
Jx =
2
0 1
1 0
!
/h
, Jy =
2
0 −i
i 0
!
/h
, Jz =
2
1 0
0 −1
!
Dado un vector unitario ~n = (nx , ny , nz ), donde n2 = 1, calcule la matriz de
~ /), el cual rota en por un ángulo θ en torno a la
rotación R = exp(iθ~n · J/h
dirección ~n. Cual es el valor de R para θ = 2π?
7. Repita el ejercicio anterior pero para una representación tridimensional
((Ji )jk = −ih
/ijk ). Ayuda. Los elementos de matriz Rij sólo pueden ser
P
combinaciones lineales de las tres matrices δij , ni nj y k ijk nk . Encuentre
los tres coeficientes.
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