La expresión anterior está en el dominio de Laplace. Dicha representación puede ser escrita como una ecuación en función de las variables de entrada U (s) y las variables de salida del sistema Y (S) de la siguiente manera. Ésta a su vez, puede ser transformada al dominio del tiempo Esta ecuación diferencial es la que representa la dinámica del sistema. 2.6.2 Transformación entre la ecuación de estado y una función de transferencia Consideremos la forma general de la representación de espacio de estados, la cual es también equivalente a tener una función de transferencia G(s), como se vio anteriormente ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) (2.120) (2.121) Primer pregunta sencilla que puede ser hecha al transformar ec. de edo y ec. de salida en fn. de transf representación de la ec. de edo, es en dominio tiempo y representación de fn. de transf es el dominio Laplace. Por lo tanto primero tenemos que cambiar dicha representación del dominio del tiempo al dominio Laplace. Es posible realizar la transformación de este sistema expresado como ecuaciones de estado a una representación de función de transferencia por medio de un procedimiento simple. Consideremos el sistema dado por las ecuaciones (2.120)-(2.121) y expresemos las variables en el dominio de Laplace. © ª L ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (2.122) sX(s) − x(0) = AX(s) + BU (s) (2.123) y © ª L y(t) = Cx(t) + Du(t) Y (s) = CX(s) + DU (s) (2.124) (2.125) (sI − A)X(s) = BU (s) + x(0) X(s) = (sI − A)−1 BU (s) + (sI − A)−1 x(0) (2.126) (2.127) £ ¤ Y (s) = C(sI − A)−1 B + D U (s) + C(sI − A)−1 x(0) (2.128) de esto obtenemos además, De esta ecuación, vemos que el primer término representa la función de transferencia G(s) = Y (s) = C(sI − A)−1 B + D U (s) (2.129) El segundo término C(sI − A)−1 x(0) es la respuesta de la condición inicial. Es parte de la respuesta, pero no de la función de transferencia. 23 Además, si tomamos en cuenta que la condición inicial es x(0) = 0, la ecuación anterior se reduce y se puede expresar solamente como una función de transferencia. La función de transferencia tendrá una dimensión G(s) ∈ Rp×m de acuerdo al numero de entradas y salidas que tenga el sistema original expresado por las ecuaciones (2.120)-(2.121) 2.6.3 Ejemplos Ejemplo 2.6.1. Representación en el espacio de estados a funcion de transferencia Sea 10 x1 0 1 0 ẋ1 ẋ2 = 0 0 1 x2 + 0 u 0 x3 −1 −2 −3 ẋ3 x1 y = [1 0 0] x2 x3 (2.130) (2.131) Puesto que sabemos las matrices del sistema {A, B, C, D}, debemos aplicar el método para realizar la transformación de la representación en el espacio de estados a una función de transferencia. Obtengamos primero la ecuación caracterı́stica (sI − A). s 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 = 0 s −1 (2.132) (sI − A) = s 0 1 0 − 0 1 2 s+3 −1 −2 −3 0 0 1 (sI − A)−1 = adj(sI − A) det (sI − A) det (sI − A) = s2 (s + 3) + 1 + 2s = s3 + 3s2 + 2s + 1 (2.133) (2.134) (2.135) T 2 s(s + 3) + 2 −1 −s s + 3s + 2 s+3 1 s+3 s(s + 3) −(2s + 1) −1 s(s + 3) 2 2 1 2 s −s −(2s + 1) s2 (sI − A)−1 = = s3 + 3s2 + 2s + 1 s3 + 3s2 + 2s + 1 (2.136) 2 s + 3s + 2 s+3 1 −1 s(s + 3) 2 [1 0 0] −s −(2s + 1) s2 (2.137) G(s) = s3 + 3s2 + 2s + 1 Simplificando obtenemos 10(s2 + 3s + 2) (2.138) G(s) = 3 s + 3s2 + 2s + 1 24