Actividad III.32 - Ley de Ampere – Ley de Biot

Actividad III.32 - Ley de Ampere – Ley de BiotSavart – Medición del campo magnético terrestre
Objetivo
Estudio del campo magnético de espiras y bobinas. Determinación del campo
magnético terrestre en el laboratorio.
Introducción
La ley de Ampere es una de las ecuaciones fundamentales del
electromagnetismo;[1-3] junto a la Ley de Biot-Savart sirve para obtener el campo
magnético que produce una dada distribución de corrientes. En esta actividad usamos
los resultados que dan estas leyes para el campo magnético de espiras y obtenemos el
campo magnético terrestre en el laboratorio. También determinamos experimentalmente
el campo magnético de bobinas e imanes permanentes usando sensores de efecto Hall y
comparamos los resultados con las predicciones teóricas surgidas de las leyes de
Ampere y de Biot-Savart para esos sistemas.
Proyecto 1.- Campo magnético terrestre
Equipamiento básico recomendado: Fuente de tensión variable de 0 a 12V , continua
(DC) y corriente de hasta 1 A. Miliamperímetro y una espira de algunos centenares de
vueltas y diámetro entre 15 a 30 cm. Una brújula.
Usando una brújula, una fuente de tensión o corriente, un amperímetro y una
bobina con algunos centenares de espiras, arme un circuito como el ilustrado en la Fig.
32.1. El objetivo es poder aplicar y medir una corriente variable (i < 1A) por la bobina
de modo de producir un campo magnético conocido en la posición de la brújula. Aquí
llamamos bobina a un conjunto de espiras de alambre conductor, en un arrollamiento
compacto de forma circular. Suponemos que las N espiras están agrupadas de manera
que el espesor de la bobina que forman es mucho menor que el radio de la bobina.
Física re-Creativa – S.Gil y E. Rodríguez – Prentice Hall – Buenos Aires 2001
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Figura 32.1 Esquema del arreglo experimental para medir el campo magnético
terrestre. A la izquierda se ilustra el circuito eléctrico y a la derecha se muestra un
esquema completo.
Diseñe el dispositivo experimental de modo que le permita mantener la bobina con
su eje orientado en la dirección este-oeste. También es útil disponer de una regla
orientada sobre el eje de la bobina para medir la posición de la brújula sobre el eje (eje
z) a distintas distancias de la bobina.
Para esta parte supondremos conocido el campo magnético en el centro de la
bobina de radio R, con N espiras y por las que circula una corriente I medida en
Ampere. La componente z del campo magnético B en el centro de la bobina está en la
dirección de su eje y su valor es:[1,3]
µ I⋅N
B ( z = 0) = 0 ⋅
z
2
R
(32.1)
donde µ0 = 4 π 10-7 Tesla.m/A.
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2
El método consiste, en primer lugar, en determinar con la brújula la dirección del
campo magnético terrestre. Luego se ubica la bobina de modo que su plano esté en la
dirección del campo magnético terrestre, o sea que su eje esté en la dirección este-oeste.
Se coloca la brújula en el centro de la bobina y se comienza a incrementar lentamente la
corriente por ella. La aguja de la brújula se orientará en la dirección del campo
magnético resultante de combinar el campo magnético de las espiras, Be, y el terrestre,
BT. Tomamos la dirección norte-sur para medir los ángulos, es decir tomamos como
θ=00 la orientación de la aguja cuando la corriente por la bobina es cero.
!"Demuestre que el ángulo de orientación de la aguja de la brújula está
relacionado con el cociente de Be(I) y BT a través de:
B (I )
tan(θ ) = e
B
T
(32.2)
!"Cuando θ = 45º, el campo magnético de la espira (conocido) es igual al
terrestre. Ajuste la corriente por la bobina de modo que se cumpla esta
condición y determine el valor de BT de esta manera.
!"Un modo mejor de determinar el valor de BT, consiste en representar tan(θ)
en función de I. Según (32.1) y (32.2) tenemos:
B ( I )  µ
N 
0
e
=
⋅
⋅I
tan(θ ) =
 2⋅B
R
B
T
T


(32.3)
Obtenga BT de la regresión lineal y acote su incertidumbre.
Proyecto 2.- Campo magnético axial de una bobina
En este caso use la misma geometría y orientación que en el punto anterior y
coloque además una regla a lo largo del eje z de la espira de modo de poder desplazar
en forma paralela la brújula a lo largo del eje z (eje de la espira). Determine el ángulo de
orientación θ de la aguja de la brújula a medida que la misma se aleja del centro de la
espira a lo largo de eje z.
A partir de las mediciones de θ en función de z, determine el valor del campo
magnético de la espira a lo largo de su eje, Bz(z). Para esto use la Ec. (33.3) y el valor
que obtuvo para el campo terrestre BT en el experimento anterior. Para este experimento
es importante que no existan materiales ferromagnéticos en las adyacencias del
dispositivo experimental.
!"Represente en un gráfico el valor experimental de Bz(z) como función de z.
En la misma figura, represente la función
f (z) =
µ0 I ⋅ N
R3
⋅
⋅
2
R
R2 + z2
(
)
3/ 2
,
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(32.4)
3
que describe el campo magnético axial de una bobina de radio R, espesor
d<<R y con N espiras, por la que circula una corriente I. [3]
!"¿Cómo se comparan los valores experimentales con las expectativas
teóricas, Ec. (32.4)? Discuta sus resultados.
Proyecto 3.- Medición de campos magnéticos usando una
sonda de efecto Hall
Equipamiento básico recomendado: Fuente de tensión variable de 0 a 12 V , continua
(DC) y corriente de hasta 1 A. Miliamperímetro y una bobina de algunos centenares de
vueltas y diámetro entre 15 a 30 cm. Un sensor Hall conectado a un voltímetro.
Las sondas Hall son sensores de campo magnético basados en el efecto Hall[3] que
permiten medir con gran precisión la componente del campo perpendicular a su plano
de trabajo. Cuando se hace circular una corriente por el sensor, éste desarrolla un voltaje
transversal a la corriente (voltaje Hall), VH, que es proporcional al valor de la
componente del campo magnético perpendicular al plano de la sonda, B⊥, y a la
intensidad de la corriente, IH, que pasa por la sonda (ver Fig. 32.2). Si la corriente IH se
mantiene fija, la medición de VH representa una medición de B si se conoce la curva de
calibración del sensor. Estas sondas son, por lo general, películas delgadas del material
semiconductor GaAs y deben usarse con una corriente lo más estable posible.
Actualmente se consiguen sondas Hall en miniatura (área sensible 0.1 mm x 0.1 mm)
que desarrollan un voltaje Hall del orden de los 100 mV cuando se les aplica un campo
B ≈ 1000 Gauss y la corriente es IH ≈ 5 mA.
Figura 32.2 Sonda Hall. La corriente IH se aplica por dos puntos y circula
a lo largo del sensor, y el voltaje Hall VH se mide entre dos puntos en la
dirección transversal.
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Para poder usar un sensor Hall es importante determinar su plano de trabajo, lo
que puede lograrse colocando el sensor en una zona donde se conozca la dirección del
campo magnético, por ejemplo en el centro de una espira, un solenoide o bien
enfrentada con el polo magnético de un imán permanente, que por simetría nos permita
saber la dirección de su campo. Al girar el sensor se encuentran dos orientaciones
opuestas donde el valor del potencial Hall pasa por un máximo y mínimo
respectivamente; esta dirección define el eje perpendicular al plano del sensor Hall.
Diseñe un mecanismo (que no contenga materiales magnéticos) que le permita
desplazar la sonda Hall desde el centro de una espira o bobina hasta una distancia de
aproximadamente 25 cm, de modo que en todo momento la orientación de la sonda no
cambie respecto de la espira. Con la sonda Hall orientada de manera que le permita
medir la componente z del campo magnético de la espira, varíe su posición sobre el eje
de la espira y mida el valor de la tensión Hall, VH, en función de la distancia z.
!"Represente gráficamente el valor del voltaje Hall, VH, para distancias entre
z = 0 y 25 cm aproximadamente.
!"En el mismo gráfico, represente el valor de la función
g ( z ) = VH ( z = 0) ⋅
(R
R3
2
+ z2
)
3/ 2
,
(32.5)
con la que puede modelarse la dependencia del campo magnético axial de
la espira con la distancia z. [3]
!"A partir de este gráfico establezca la calibración de la sonda Hall, es decir
encuentre la relación entre VH y B⊥ (componente de B perpendicular al
plano del sensor). Una vez calibrado, este sensor puede usarse como
indicador del campo magnético.
!"Explore qué ocurre cuando se rota el sensor Hall 180º respecto de su eje,
de modo que el campo magnético entre por el plano opuesto del sensor.
!"Explore lo que ocurre si acerca al dispositivo de medición un trozo de
hierro común.
Proyecto 4.- Campo magnético de un imán permanente
Equipamiento básico recomendado:. Un sensor Hall conectado a un voltímetro y
preferentemente calibrado y un imán permanente cilíndrico. Los imanes de tierras raras
son particularmente adecuados para este experimento.
Usando un sensor Hall, estudie la variación del campo magnético de un imán
permanente de forma cilíndrica. Estudie en particular la variación de Bz (z) (z: eje del
cilindro) y Bz (x) (x: eje perpendicular a z y que pasa por el centro del cilindro). El
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objetivo de este experimento es lograr modelar el campo magnético del imán
permanente. Para ello represente en un mismo gráfico:
!"Los valores experimentales Bz (z) (calculados usando la medición de VH y
la curva de calibración de la sonda) en función de z.
!"Los valores teóricos del campo Bz (z) de una espira Ec.(32.4) de radio igual
al del imán. Varíe el valor de I en la función, de modo de lograr el mejor
ajuste posible a sus datos experimentales.
!"Los valores experimentales Bz(x) en función de x.
!"Los valores teóricos del campo Bz(x) en función de x para una espira o
dipolo magnético en una dirección perpendicular al eje de los mismos; esto
es:
µ
R2
Bz ( x) = − 0 ⋅ I ⋅ 3 , para x > 2 ⋅ R ,
(32.6)
4
x
Para este último gráfico, utilice el mismo valor de I que usó para representar
el valor teórico de Bz (z) en función de z.
!"A partir de sus gráficos, discuta si el modelo de una espira de diámetro
igual al de su imán representa una distribución de corrientes adecuada para
modelar su imán permanente. De ser este modelo adecuado, elabore sobre
las razones físicas que lo justifiquen.
Bibliografía
1. E. M. Purcell, Berkeley physics course,Volumen 2, Electricidad y Magnetismo
(Reverté, Barcelona, 1969).
2. M. Alonso y E.J. Finn, Fsica, Vol.II, Campos y Ondas (Fondo Educativo
Interamericano, México, 1970; ed. inglesa de Addison-Wesley, Reading, Mass.,
1967).
3. D. Halliday, R. Resnick y J. Walker, Física para estudiantes de ciencias e
ingeniería, 4ª ed., traducción de Fundamentals of Physics (John Wiley & Sons, Inc.,
New York, 1993).
4. J.R Reitz y F.J. Milford, Fundamentos de la teoría electromagnética (Unión
Tipográfica, Ed.Hispano-Americana, México, 1969; traducción de Foundation of
electromagnetic theory (Addison-Wesley Pub. Co. Inc., Reading, Mass., 1967).
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Nota
Ley de Biot y Savart: Relaciona el valor del campo magnético con las corrientes que lo
producen:
!
! µ 0 i ⋅ r! × dl
(Ν−1)
⋅
dB =
4π
r3
donde µ0 =4π.10-7 T.m /A = 4π .10-3 Gauss.m/A. El valor del campo magnético en un
punto se obtiene por integración de (Ν−1) sobre los lugares donde hay corrientes.
Ley de Ampere:
# #
dφ E 

"
B
d
i
⋅
=
µ
⋅
+
ε
⋅


0
0
∫c
dt 

(N-2)
donde la integral se realiza sobre una curva cerrada, c; i es la corriente que atraviesa el
camino de integración. El segundo término de (N-2) es la corriente de desplazamiento
que debe considerarse cuando existen campos eléctricos variables.
Campo magnético de una bobina de N espiras de radio R por la que circula la
corriente i, y a una distancia z del centro sobre su eje:
B( z ) =
µ0
R2
⋅i ⋅
2
(R 2 + Z 2 )3 / 2
(N-3)
Bobina de Helmholtz: Este sistema consiste de dos bobinas de radio R y N espiras cada
una, separadas una distancia igual a su radio. Si designamos con z la distancia sobre el
eje común al punto medio entre las dos bobinas, tenemos:
N ⋅i
8
⋅ 3/ 2
Bz ( z ) = µ 0 ⋅
R (5)
 144  z − R / 2  4 

⋅ 1 −
⋅
 125  R  


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