TEMA 3: MODELOS UNIVARIANTES

TEMA 8: INCERTIDUMBRE Y PROBABILIDAD
1.- Introducción: Conceptos básicos.
Los fenómenos reales se suelen considerar generados por procesos aleatorios.
Una de las características principales de los procesos aleatorios es la incertidumbre,
es decir que no se conoce de antemano cuál va a ser su resultado final, aunque sí que
se puede especificar el conjunto de todos los resultados posibles. Por ejemplo en el
lanzamiento de un dado de 6 caras, de antemano, no se sabe qué va a salir, pero sí
que se sabe que los resultados posibles son {1,2,3,4,5,6}. El análisis de los procesos
aleatorios requiere cuantificar o medir la incertidumbre que los caracteriza. Para eso
se plantean modelos probabilísticos en los que se establece el conjunto de posibles
resultados del proceso y a cada resultado o suceso se le asigna una probabilidad que
mide la incertidumbre asociada con su ocurrencia.
Existen diversas concepciones para asignar probabilidades a los resultados y a
los sucesos de los procesos aleatorios. Las más importantes son la frecuencialista y la
subjetiva (ver documento “Anexo Tema 8: Concepciones de la Probabilidad” o el
manual de Montiel, Rius y Barón, capítulo 9 para mayor información).
Una vez que esta asignación de probabilidades se ha efectuado mediante
alguna de estas concepciones de la probabilidad, la Teoría Matemática de la
Probabilidad proporciona una definición formalizada y matemática de la Probabilidad a
través de un conjunto de axiomas.
Antes de enunciar los axiomas de la definición matemática de la Probabilidad
es conveniente efectuar una revisión de las nociones básicas de la Teoría de
Conjuntos, puesto que estos axiomas se apoyan en ella.
Nociones de Teoría de Conjuntos
Espacio Muestral: se refiere al conjunto de todos los posibles resultados de un
proceso aleatorio y lo llamaremos Ω (omega).
Ej.: En el lanzamiento de un dado de 6 caras, Ω ={1,2,3,4,5,6}
Suceso: Se trata de cualquier subconjunto de posibles resultados de Ω, y lo
representamos por A. Decimos que A ⊂ Ω.
Dos posibles sucesos son: el conjunto vacío (∅) y Ω
En el ejemplo anterior, otros sucesos serían: A= que salga un nº par, A ={2,4,6} o B=
que salga un nº impar, B ={1,3,5}
Las operaciones entre sucesos también se exige que sean sucesos o subconjuntos de
Ω. Estas son:
Suceso contrario o complementario: Dado un suceso A, se trata del suceso que
contiene todos los resultados de Ω que no pertenecen a A. Lo llamaremos AC.
En el ejemplo anterior, B sería el suceso complementario de A, B = AC.
Suceso Unión: Dados dos sucesos A y B de Ω, se define como el suceso que contiene
todos los resultados que pertenecen a A o a B o a ambos. Notación: A∪B.
En nuestro ejemplo, A∪B =Ω, puesto que son sucesos complementarios.
Suceso Intersección: Dados dos sucesos A y B de Ω, se define como el suceso que
contiene todos los resultados que pertenecen a la vez a A y a B. Notación: A∩B.
Ejemplo: Sean los sucesos A=nº par y C=nº menor a 4, A∩C ={2}
Sucesos disjuntos o incompatibles: Dos sucesos A y B de Ω son disjuntos si no tienen
resultados en común, es decir que A∩B =∅.
En nuestro ejemplo, A∩B =∅, por lo tanto serían disjuntos, es decir que A∩AC =∅.
2. Definición Matemática de la Probabilidad. Axiomática.
A partir de Ω se pueden formar un nº infinito de sucesos o subconjuntos, por eso
vamos a limitarnos a trabajar con la familia de sucesos que más nos interesan. Sea
a(Ω) esta familia de sucesos. La probabilidad se define como una aplicación
matemática de la familia de sucesos de interés en el intervalo [0,1], tal que a todo
suceso de a(Ω) le asigna un número de dicho intervalo. Esto es:
a(Ω) ⎯→ [0,1]
tq
A ∧⎯→ p(A)
Este número o probabilidad asignada al suceso A debe cumplir 3 axiomas:
Axioma 1: La probabilidad de un suceso cualquiera siempre es no negativa, p(A) ≥ 0
Axioma 2: p(Ω)=1
Axioma 3: La probabilidad de la unión de sucesos disjuntos entre sí es igual a la suma
de las probabilidades de esos sucesos. Esto es,
Sean A1,..,Ai,..,An ⊂ a(Ω) tal que Ai∩Aj =∅ para i≠j,
n
n
i=1
i=1
p( U A i ) = ∑ p(A i )
Propiedades:
Teorema 1: Para cualquier suceso A, p(AC)= 1 - p(A)
Luego, p(∅)= 1 - p(Ω) =0
Teorema 2: Dados dos sucesos A y B, si A ⊂ B ⇒ p(A) ≤ p(B)
En consecuencia, para todo suceso A ⊂ Ω, 0 ≤ p(A) ≤ 1
Teorema 3: Dados dos sucesos A y B, p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B)
3. Probabilidad Condicionada
Dados dos sucesos A y B de Ω, vamos a ver cómo le afecta a p(A) el que se sepa que
el suceso B ha ocurrido. A este tipo de probabilidad se le llama probabilidad
condicional del suceso A, dado que el suceso B ha ocurrido y se define como:
p(A / B) =
p(A ∩ B)
p(B)
se exije que p(B) > 0
Se puede demostrar que este tipo de probabilidad cumple los 3 axiomas anteriores.
Ejemplo, en el lanzamiento de un dado, sea el suceso A= que salga un 5 , p(A)=1/6, si
además se sabe que el suceso B (que salga un nº impar) ha ocurrido, entonces
p(A / B) =
p(A ∩ B)
p(B)
=
1/ 6
3/6
= 1/ 3
,el saber que ha ocurrido B ha modificado p(A).
Por otro lado, p(A∩B)= p(A/B).p(B) = p(B/A).p(A), es el Teorema de la Intersección,
siendo p(A)>0 y p(B)>0.
Sucesos Independientes
Dos sucesos A y B de Ω son independientes si: p(A ∩ B) = p(A) ⋅ p(B)
En
consecuencia,
si
A
y
B
son
independientes,
entonces,
p(A ∩ B) p(A) ⋅ p(B)
p(A / B) =
=
= p(A) , es decir que la probabilidad de A no varia
p(B)
p(B)
por el hecho de que se sepa que ha ocurrido B.
Advertencia: La independencia de dos sucesos no tiene nada que ver con que dos
sucesos sean disjuntos. De hecho, si dos sucesos, con probabilidades no nulas, son
independientes, entonces no pueden ser disjuntos, ya que p(A∩B)=p(A).p(B) ≠0.
4. Teorema de la Intersección o de la probabilidad producto
p(A ∩ B)
p(A ∩ B)
y p(B / A) =
, siendo p(A)>0 y p(B)>0, entonces,
p(B)
p(A)
p(A ∩ B) = p(A / B) ⋅ p(B) = p(B / A) ⋅ p(A)
Si p(A / B) =
5. Teorema de la Partición o de la probabilidad total
Sean los sucesos A1,..,Ai,..,An ⊂ Ω tales que estos sucesos constituyen una partición
n
de Ω. Esto es que: Ai∩Aj =∅ para i≠j disjuntos y
UA
i
= Ω . Si B es cualquier otro
i=1
suceso de Ω, entonces, los sucesos A1∩B,.., Ai∩B,.., An∩B constituyen una partición
n
de B, ya que son disjuntos y
UA
i
∩ B = B (ver diagrama). Se verifica que:
i=1
n
n
i=1
i=1
A1
Ω
An
Ai
p(B) = ∑ p(A i ∩ B) = ∑ p(B / A i ) ⋅ p(A i )
B
Ai ∩B
6. Teorema de Bayes
Si los sucesos A1,..,Ai,..,An constituyen una partición de Ω, tales que p(Ai)>0 y sea
cualquier otro suceso B de Ω, tal que p(B)>0, entonces se verificará que:
p(A i / B) =
p(A i ∩ B)
p(B / A i ) ⋅ p(A i ) → Teorema Interseccion
= n
→ Teorema Particion
p(B)
∑ p(B / A i ) ⋅ p(A i )
i=1