CAPÍTULO 7 - Flujo Compresible

Universidad Nacional de Córdoba
Facultad de Ciencias Exactas Físicas y Naturales
Cátedra de Mecánica de los Fluidos
Carrea de Ingeniería Civil
FLUJO COMPRESIBLE
DR. ING. CARLOS MARCELO GARCÍA
2011
Flujo Compresible
A modo de introducción se analiza un flujo incompresible para poder desarrollar una
comparación entre este y el flujo compresible.
FLUJO INCOMPRESIBLE DE FLUIDO NEWTONIANO ( = )
Ecuaciones básicas
Las cuatro ecuaciones básicas que gobiernan el movimiento de este fluido (3d) son
I)
Continuidad
II)
Conservación de la cantidad de Movimiento
+
+
=0
. −
#. −
. −
1 du
+ ℎ) + ∇ u =
dt
dv
1 + ℎ) + ∇ v =
dt
1 dw
+ ℎ) + ∇ w =
dt
La ecuación de energía se utiliza para identificar las pérdidas.
Incógnitas
Las cuatro incógnitas del problema son:
•
•
Presión &
3 componentes del vector velocidad (, , )
Parámetros
2 )) *
+,),
.
-),
Como los parámetros son constantes, las ecuaciones /) y //) , #, ) están desacopladas
de las ecuaciones de energía. De esta manera, constituyen un sistema de cuatro ecuaciones con
cuatro incógnitas.
Las Ecuaciones de energía o de conservación de cualquier escalar están desacopladas de
las ecuaciones básicas.
2
Flujo Compresible
FLUJO COMPRESIBLE
Cabe destacar, que la compresibilidad es una propiedad del flujo y no del fluido. La misma,
Implica variaciones apreciables de la densidad en el campo del flujo.
La compresibilidad es un aspecto muy importante en flujos de alta velocidad, ya que
grandes cambios en la velocidad implica grandes variaciones de presión. Además, en los gases,
estos grandes cambios en la presión vienen acompañados por modificaciones significativas en la
densidad y en la Temperatura 0.
Ecuaciones básicas
Las siete ecuaciones que gobiernan el flujo compresible son:
I)
Continuidad
II)
Conservación de la cantidad de Movimiento
+
+
=0
. −
#. −
. −
III)
du
1 + ℎ) + ∇ u =
dt
dv
1 + ℎ) + ∇ v =
dt
1 dw
+ ℎ) + ∇ w =
dt
Primera y segunda ley de la termodinámica
6°
IV)
Ecuación de Estado
1°
7
3 − 4 = ∆
8
3
≤ : − :8
& .+ = ; .< .0
=
;
&
=
+
; .0
3
Flujo Compresible
Incógnitas
Las incógnitas en el flujo compresible son 8:
•
•
•
•
•
•
Presión &
3 componentes del vector velocidad (, , )
Densidad ρ&, 0)
Temperatura 0
Entalpía ℎ
Entropía )
Parámetros
Los parámetros que se utilizan son:
•
•
Viscosidad Constante de los gases <
De esta manera, se tiene un sistema de ecuaciones acoplado, y para la resolución, se
deberán utilizar todas las ecuaciones.
A continuación se realizará un breve repaso sobre las ecuaciones de la Termodinámica, y
luego se desarrollarán dos ejercicios de aplicación.
4
Flujo Compresible
Revisión de termodinámica
1° Ley de la Termodinámica
La primera ley enuncia que el calor agregado a un sistema, menos el trabajo realizado por
este, es igual a la variación de energía interna.
3 − 4 = ∆
La variación de energía surge del balance entre lo que entra y lo que sale al volumen de
control, a lo que se le suma lo aportado por la fuente, y lo quitado por los sumideros. Puesto que
la energía se conserva, esta variación es nula.
Este principio se puede expresar mediante la siguiente ecuación:
3 4)
&
−
=
7 + + 7 = + > . +? @
Donde:
= ABCí ,B B ,
;)
= AE;
= F + GHI + = + E2 + C + Luego, si evaluamos la variación entre un punto inicial 1 y un punto final 2, y dividimos
ambos miembros por la tasa de flujo de masa (
L
Donde:
JK
JI
), se obtiene:
+8 3
+ 4)
+ C8 + ℎ8 M +
=L
+ C + ℎ M +
;
;
2
2
ℎ = + &E
ℎ = AN, )),
4)
= 0) B#O B ,
;)
;
5
Flujo Compresible
Ecuación de Bernoulli
A partir de la primera ley de la termodinámica se puede deducir la Ecuación de Bernoulli:
Se considera el flujo en un tubo de corriente con las siguientes hipótesis:
•
•
•
Flujo permanente
Flujo incompresible
Flujo no viscoso
Como el sistema no realiza trabajo:
3
=0
)
Además, como se supone que no existe fricción, no existe transferencia de calor, lo que
implica que no existe ningún cambio en la energía interna.
De esta manera:
L
+8 + 3
4)
+ C8 + + &E)8 M +
=L
+ C + + &E) M +
2
;
2
;
+8 &8
+ &
+ C8 +
=
+ C + = )
2
2
+ &8
+
+ = )
2C ɣ
6
Flujo Compresible
2° Ley de la Termodinámica
Entre dos estados 1 y 2:
7
8
3
≤ : − :8
Donde:
: = ABí
Si se tratara de un proceso reversible, entonces se cumple que:
7
8
3
= : − :8
En caso de tratarse de un sistema adiabático:
Luego, se tiene:
3
=0
;
∆: > 0 → &B) /BBB),#N ,#á,
∆: = 0 → &B) <B),#N /)Bó,
Realizado este pequeño repaso acerca de las leyes de la termodinámica, se procede al
planteo y resolución de tres ejercicios de aplicación de las ecuaciones que gobiernan el flujo
incompresible.
7
Flujo Compresible
EJEMPLOS
Caso 1
Se tiene un flujo con las siguientes características:
•
•
•
•
•
•
•
•
Adiabático U
3E
; 0V
No hay trabajo realizado por el sistema U4)E; 0V
Compresible
Permanente
Sección Transversal constante
Se permite efecto no isoentrópico de la fricción
Unidireccional
Horizontal (efectos gravitatorios despreciables)
Para su resolución, se realiza un esquema de la situación planteada:
Resolución:
1) Ecuación de Continuidad
0
7 . + 7 . +ZY . @ 0
WX
[X
8 . +8 . @8 . + . @
8 . +8 . + \ 1
8
Flujo Compresible
2) Ecuación de Conservación de la Cantidad de Movimiento
0
][Y ]^Y =
7 + . . + + 7 +Y . . +. @
WX _
[X
<_ + &8 . @8 − & . @ = +8 . − 8 . +8 . @8 ) + + . . + . @ )
Tomando @ como factor común, y recordando que:
Se obtiene:
8 . +8 = . + = \
<_ + @ . &8 − & ) = @ . `\ . + − +8 )a 6)
3) Primera ley de la termodinámica
3 4)
&
−
=
7 + + 7 = + > . +? @
Donde:
=+
Luego:
0 = c8 +
+
+ b
2
+8 &8
+ &
+ d . −8 . +8 . @8 ) + c +
+ d . . + . @ )
2
8
2
Donde:
@8 = @ = @
8 . +8 = . + = \
Simplificando:
8 +
+8 &8
+ &
+ = +
+
2
8
2
Y sabiendo que:
ℎ8 = 8 +
&8
8
9
Flujo Compresible
Reemplazando:
ℎ8 +8 + ℎ e)
2
2
4) Segunda ley de la termodinámica
Al existir fricción, el proceso es irreversible. Por este motivo:
: − :8 > 0
Luego, para un gas ideal:
: − :8 = f . ln
0
&
− < . N
i)
08
&8
5) Ecuación de Estado
Para un gas ideal:
•
•
& = . ; . 0 j)
ℎ − ℎ8 = f 0 − 08 ) k)
Si todas las propiedades del flujo son conocidas en la sección 1, se tienen entonces siete
incógnitas en la sección 2:
•
•
•
•
•
•
•
+
<_
&
ℎ
:
0
Se tienen entonces seis ecuaciones con siete incógnitas. De esta manera, existen infinitos
número de casos posibles.
10
Flujo Compresible
El problema se resuelve de la siguiente manera: Se fijan distintos valores de 0 , para los
cuales se pueden determinar los valores de las distintas variables y de <_ . Esto es:
•
•
•
•
•
•
•
Se fija un valor de 0 .
De (6) se determina ℎ .
De (3) se calcula + .
De (1) se obtiene .
De (5) puedo calcular &.
De (4) se determina : .
Finalmente, de (2) se calcula <_ .
De la situación planteada se puede realizar el siguiente análisis:
Recordando que el número de match es la relación entre la velocidad del flujo y la
velocidad del sonido:
l +/f
Para flujos supersónicos, aumentos en la entropía provocan una disminución de la
temperatura, mientras que los flujos subsónicos, aumentos de la entropía se manifiestan con una
disminución de la temperatura.
Cabe destacar que no es posible que un flujo pase de un régimen subsónico a uno
supersónico, porque no se cumple lo analizado anteriormente.
11
Flujo Compresible
Caso 2: Flujo isoentrópico de un gas ideal
Resolviendo de manera análoga que el ejemplo anterior, se planten una por una las seis
ecuaciones que gobiernan el flujo:
1) Ecuación de Continuidad
8 . +8 . @8 = . + . @
2) Cantidad de Movimiento
<_ + &8 . @8 − & . + = +8 . − 8 . +8 . @8) + + . . + . @ )
3) Primera ley de la termodinámica
ℎ8 +
+8 + = ℎ +
2
2
4) Segunda ley de la termodinámica
n1 = n6 = n
5) Ecuación de estado
& = .; .0
6) Ecuación para un gas ideal
∆ℎ = ℎ − ℎ8 = f 0 − 08 )
Una condición (además de : ) debe ser especificada en estado 2 para que sea
completamente desarrollado.
12
Flujo Compresible
Caso 3: Efecto de variación del área de flujo en flujos isoentrópicos
Se adopta un flujo con las siguientes características:
•
Flujo permanente
•
Flujo uniforme en cada sección
•
No existe fricción
Un esquema de la situación planteada podría ser el siguiente:
1)
Ecuación de Continuidad
0
7 . + 7 . +ZY . @ 0
WX
[X
0 . +Y . @ . +Y +Y . @ @
0 . +Y . @ . +Y . @ . +Y @ +Y . @ . . @. +Y …
(Se desprecian los productos de diferenciales de orden superior)
Q . +Y . @ )
2)
Cantidad de Movimiento
]pY <Y & . @ & & . @ @
Donde:
<Y ]B N,
N) B
) N #
13
Flujo Compresible
Se utiliza la presión media entre las secciones:
&
Reemplazando:
]pY = U& +
]pY = & . @ +
Reemplazando:
qr
&
2
V @ + & . @ − & + &) . @ + @)
& . @
+ & . @ − & . @ − & . @ + . @ + & . @
2
& . @ = +Y . `− . +Y . @a + +Y + +Y ). + ). @ + @)
− & . @ = −+Y . + +Y + +Y ). . +Y . @
& = − . +Y . +Y
Además:
+Y = +Y . +Y + +Y . +Y = 2+Y . +Y
+Y +Y . +Y =
2
Reemplazando:
& = − . c
+Y d
2
st
vw 6
+ sc
d=x
u
6
Además:
& = − . +Y . +Y
&
+Y
= −
+Y
+Y
De la ecuación de continuidad se sabe:
. +Y . @ = )
ln . ln +Y . ln @ = ln f
14
Flujo Compresible
@ +Y
+
=0
+Y
@
Sabiendo que:
+Y @
=−
+
+Y
@
&
+Y
Reemplazando:
Y como:
= −
+Y
+Y
@
&
=
+
@
+Y
@
&
+Y =
.
+
y1
z
&E
@
+Y &E = &
+Y @
=
.
−
L1
M
@
+Y s{
sv|
=−
. }1 − ~6 
{
v|
De esta última ecuación se deduce que, por ejemplo, para l < 1, un cambio de área
relativo produce un cambio relativo de velocidad del signo contrario, esto es:
l < 1:
l < 1:
@ > 0 → +Y < 0
@ < 0 → +Y > 0
Para flujos en régimen supersónico l > 1:
l > 1:
l > 1:
@ > 0 → +Y > 0
@ < 0 → +Y < 0
En caso de l = 1, por ser @E
+ = 0, es la sección con mínima área.
Y
15
Flujo Compresible
A partir de los resultados del análisis anterior, se puede elaborar la siguiente síntesis:
16