Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden superior 1

Lección 6: Ecuaciones diferenciales lineales
homogéneas de orden superior
1
Existencia y unicidad
Sean a0 , a1 , . . . , an ∈ K, con an 6= 0. Se plantea la ecuación diferencial de
orden n, lineal, con coeficientes constantes
(1)
an x(n) (t) + an−1 x(n−1) (t) + · · · + a1 x0 (t) + a0 x(t) = f (t).
Los números a0 , a1 , . . . , an se denominan coeficientes de la ecuación. El segundo miembro f se llama término complementario o no homogéneo y es una
función dada f : I → K, definida en algún intervalo I ⊂ R (acotado o no).
La ecuación se llama de orden n pues an 6= 0, hipótesis que mantendremos
en el resto de la lección.
Tanto la función que aparece en (1) como su variable son una variables
mudas, siendo opcional el empleo de otras letras tanto para denominar a la
variable dependiente x como a la variable independiente t. Lo que realmente
define a la ecuación son los coeficientes. Por solución de (1) se entiende toda
aplicación n veces diferenciable ϕ : I ⊂ R → K definida en un intervalo I
que transforma (1) en una identidad, es decir, tal que
n
X
ak ϕ(k) (t) = f (t)
t ∈ I.
k=0
El polinomio p(z) = a0 + a1 z + · · · + an z n es el polinomio caracterı́stico
de la ecuación y sus raı́ces son las denominadas raı́ces caracterı́sticas de la
misma. Muchas veces para (1) se emplea la notación
n
X
ak Dk x(t) = 0,
p(D)x(t) =
k=0
donde el sı́mbolo Dk es el operador de derivación de orden k.
El estudio teórico de (1) se reduce al de cierto sistema de primer orden.
Para ello se introduce la matriz cuadrada de orden n


0
1
0
...
0


0
0
1
...
0
,
A=
 ...

...
...
...
...
−a0 /an −a1 /an −a2 /an . . . −an−1 /an
134
que se llama matriz compañera de p(z), ası́ como la función vectorial F~ : I →
K n definida por
F~ = [0, 0, . . . , f (t)/an ]T .
El sistema en cuestión es el sistema lineal no homogéneo de n ecuaciones de
primer orden
d
(2)
~x(t) = A~x(t) + F~ (t)
dt
Dada una aplicación escalar ϕ : I → K, n veces derivable, denotaremos
por ϕ
~ ∗ : I → K n a la nueva aplicación vectorial definida por
ϕ
~ ∗ (t) = [ϕ(t), ϕ0 (t), . . . , ϕn−1) (t)]T .
Observar que ϕ
~ ∗ es una vez derivable.
Teorema 1 Mantengamos la notación introducida hasta el momento. La
transformación
C n) (I, K) → C 1) (I, K n )
ϕ→ϕ
~∗
establece una correspondencia biyectiva entre las soluciones de (1) y de (??)
que estén definidas en el intervalo I.
El teorema de existencia y unicidad para los sistemas, ya estudiado, permite demostrar el siguiente
Teorema 2 Sean un “instante inicial t0 ∈ R” y n números ξ0 , ξ1 , . . . , ξn−1 ∈
K. Se tiene que el problema de Cauchy relativo a la ecuación
p(D)x(t) = f (t),
t ∈ I,
con condiciones iniciales
x(t0 ) = ξ0 , x0 (t0 ) = ξ1 , . . . , xn−1) (t0 ) = ξn−1
admite una solución única.
135
2
Ecuaciones homogéneos
Nos centramos ahora en ecuaciones (1) para las cuales el término complementario es nulo, es decir, ecuaciones de la forma
(3)
p(D)x(t) = 0,
t ∈ I ⊂ R,
y que se denominan ecuaciones homogéneas.
El conjunto ΣI formado por todas las soluciones de (3), definidas en
un intervalo dado I ⊂ R, es en realidad el núcleo de la aplicación lineal
p(D) : C n) (I, K) → C 1) (I, K n ) definida por
X
p(D)ϕ(t) =
ϕ(k )(t),
t ∈ I, ϕ ∈ C n) (I, K)
ak
y por tanto es un subespacio vectorial de C n) (I, K).
Si fijamos un instante inicial arbitrario t0 ∈ I, el operador de evalución
hasta la derivada de orden n − 1
∆t0 : ΣI → K n
ϕ → [ϕ(t0 ), ϕ0 (t0 ), . . . , ϕ(n−1) (t0 )]T
resulta ser claramente lineal. Además es sobre (por la existencia de solución
para todo dato inicial) e inyectivo (por la unicidad de la solución para un
dato inicial dado).
Se demuestra as´’i el siguiente corolario del teorema de existencia y unicidad. Tembién se podrı́a hacer utilizando el isomorfismo entre las soluciones
de la ecuación y las del sistema asociado.
Corolario 1 El conjunto SI formado por todas las soluciones de (3) que
estań definidas en I es un espacio vectorial de dimensión n.
Corolario 2 La solución general de (3) es de la forma
C1 ϕ1 (t) + · · · + Cn ϕn (t)
donde ϕ1 , . . . , ϕn son n soluciones independientes de (3) y las constantes
C1 , . . . , Cn varı́an arbitrariamente en el cuerpo K.
136
Teorema 3 Supongamos que K = C y sea
p(z) = an
r
Y
(z − λs )ms
s=1
la factorización del polinomio caracterı́stico de la ecuación (1) según sus
diferentes raı́ces caracterı́sticas λs , 1 ≤ s ≤ r. Entonces las n funciones
complejas
tk exp(λs t)
(1 ≤ s ≤ r, 0 ≤ k ≤ ms − 1)
forman una base del espacio de soluciones de (3)
Idea de la demostración:
Llamemos V al espacio vectorial de funciones generado por
tk exp(λs t)
(1 ≤ s ≤ r, 0 ≤ k ≤ ms − 1).
Es claro que dimV ≤ n.
Por otra parte, se puede demostrar (es un ejercicio sobre determinantes)
que el polinomio caracterı́stico de la matriz compañera A del polinomio caracterı́stico p(z) de la ecuación (3) es precisamente p(z). Se concluye entonces
que toda componente de un modo normal del sistema asociado
ϕ
~ 0 (t) = A~
ϕ(t)
es una combinaciı́n lineal de las funciones de enunciado. Como las soluciones
de la ecuación son precisamente las primeras componentes de las soluciones
del sistema, se deduce que ΣI ⊂ V . Finalmente, al ser la dimensión de ΣI
exactamente n, deducimos que ΣI = V y que los n generadores de V son una
base de ΣI .
Estudiemos ahora el caso de coeficientes reales, ak ∈ R, 0 ≤ k ≤ n.
La ecuación se puede considerar tanto en el contexto de R como en el de
C. Observemos que, por ser los coeficentes reales, si ϕ : I → C es n veces
derivable, entonces
p(D)ϕ = p(D)ϕ,
de suerte que si ϕ es una solución de (1) lo mismo sucederá con ϕ. Además,
como las partes reales e imaginarias son combinaciones lineales
<(ϕ) = (ϕ + ϕ)/2,
=(ϕ) = (ϕ − ϕ)/2i,
de ϕ y de ϕ, deducimos que <(ϕ) e =(ϕ) también son soluciones, cuando ϕ
lo sea. Ası́ es fácil entender el siguiente
137
Corolario 3 Supongamos que K = R y sea
p(z) = an
r
Y
ms
(z − λs )
s=1
c ³
Y
´ nl
(z − al − iωl )(z − al + iωl )
l=1
la factorización del polinomio caracterı́stico de (3) según las diferentes raı́ces
caracterı́sticas, donde éstas se agrupan de manera que
λs ∈ R
(1 ≤ s ≤ r)
y
al , ωl ∈ R, ωl 6= 0
(1 ≤ l ≤ c).
Entonces las n funciones
tk exp(λs t)
(1 ≤ s ≤ r,
0 ≤ k ≤ ms − 1),
tk exp(al t) cos(ωl t)
(1 ≤ l ≤ c,
0 ≤ k ≤ nl − 1)
tk exp(al t) sin(ωl t)
(1 ≤ l ≤ c,
0 ≤ k ≤ nl − 1)
y
son una base del espacio real de las soluciones reales de la ecuación (3).
Muchas veces es conveniente escribir una superposición de seno y coseno
de una misma frecuencia
A cos(ωt) + B sin(ωt),
(A, B, ω ∈ R)
como una nueva oscilación. Para ello se considera el número complejo
A + iB = ρeiθ ,
√
donde θ es un argumento de A + iB y donde ρ = A2 + B 2 . Para t ∈ R,
podemos escribir
³
´
A cos(ωt) + B sin(ωt) = < (cos(ωt) + i sin(ωt))(A − iB)
= <(eiωt ρe−iθ ) = ρ<(ei(ωt−θ) ) = ρ cos(ωt − θ),
de suerte que la superposición seno/coseno es a su vez una oscilación armónica
de la misma frecuencia, pero de amplitud la raı́z cuadrada de la suma de los
cuadrados de las amplitudes individuales y afectada de un desfase igual al
argumento θ.
138
Corolario 4 Mantengamos la notación del corolario anterior. Toda solución
de (3) se puede escribir como superposición de funciones del sistema dado
por
tk exp(λs t)
(1 ≤ s ≤ r, 0 ≤ k ≤ ms − 1)
y por
tk exp(al t) cos(ωl t − θl )
3
(1 ≤ l ≤ c, 0 ≤ k ≤ nl − 1, θl ∈ R)
Aplicación al estudio de las oscilaciones libres
Ejemplo 1: Movimiento armónico simple
Consideremos el problema de Cauchy
(4)
mx00 (t) + kx(t) = 0, m, k > 0,
x(0) = l, x0 (0) = v.
La solución x(t) puede representar la posición (relativa a la posición de
equilibrio) en el instante de tiempo t de una partı́cula de masa m sujeta
del extremo de un muelle, siendo k la constante de recuperación del muelle.
Las magnitudes l y v corresponden a la posición y velocidad iniciales de la
partı́cula respectivamente.
En el contexto de teorı́a de circuitos x(t) puede representar la intensidad
de corriente que pasa por un circuito formado por un condensador y una
bobina conectados en un bucle cerrado. En este caso m serı́a la inductancia de la bobina (medida en henrios) y k el inverso de la capacitancia del
condensador (medida en faradios).
p
Las raı́ces caracterı́sticas de la ecuación (9) son ±iω0 , siendo ω0 = k/m
la pulsación del muelle y, por lo tanto, las soluciones reales de dicha ecuación
son de la forma
x(t) = α cos ω0 t + β sin ω0 t
o, alternativamente,
x(t) = A cos (ω0 t − ϕ0 ).
139
Movimiento armonico simple
3
2
x(t)
1
0
−1
−2
−3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t
3
3.5
4
4.5
5
Las condiciones iniciales determinan la amplitud de la oscilación y su desfase,
que deben ser
s
µ ¶2
µ
¶
v
v
A = l2 +
, ϕ0 = arctan
.
ω0
lω0
Ejemplo 2: Movimiento armónico amortiguado
Consideremos ahora el problema de Cauchy
(5)
mx00 (t) + τ x0 (t) + kx(t) = 0,
x(0) = l, x0 (0) = v.
m, τ, k > 0,
Esta ecuación corresponde a un modelo más realista que el considerado
en el ejemplo 1, puesto que admite la existencia de rozamiento que se supone
proporcional a la velocidad x0 (t). Se puede interpretar como la ecuación que
rige el movimiento de una partı́cula sujeta del extremo de un muelle cuando
éste se encuentra dentro de un medio viscoso con coeficiente de viscosidad τ .
Es lo que sucede, por ejemplo, con un amortiguador.
En el contexto de teorı́a de circuitos, el nuevo término que se ha añadido
a la ecuación corresponde a considerar en el circuito un nuevo dispositivo, en
este caso, una resistencia de τ ohmios.
140
El discriminante de la ecuación caracterı́stica es
r
k
τ2
2
.
∆ = 2 − 4ω0 , ω0 =
m
m
Se pueden dar, por lo tanto, las siguientes situaciones:
a) Si ∆ > 0, hay dos raı́ces caracterı́sticas reales distintas λ1 , λ2 , ambas
negativas. Las soluciones de la ecuación diferencial (10) son de la forma
x(t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t ,
que tienden hacia 0 cuando t tiende hacia +∞.
Movimiento armonico amortiguado, Disc > 0
4
3
2
x(t)
1
0
−1
−2
−3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t
3
3.5
4
4.5
5
b) Si ∆ = 0, hay una raı́z real doble λ = −τ /2m que es negativa y las
soluciones de la ecuación (10), que son de la forma
x(t) = eλt (C1 + C2 t),
también tienden hacia 0 cuando t tiende hacia +∞.
c) Si ∆ < 0, hay un par de raı́ces complejas conjugadas
r
i
τ
τ2
±
λ± = −
4ω02 − 2 ,
2m 2
m
y las soluciones reales son de la forma
x(t) = Ae
τ
t
− 2m
cos (ωt − ϕ),
141
1
ω=
2
r
4ω02 −
τ2
.
m2
Movimiento armonico amortiguado, Disc = 0
3
2
x(t)
1
0
−1
−2
−3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t
3
3.5
4
4.5
5
Estas soluciones corresponden a oscilaciones moduladas por una amplitud
(Ae−τ t/2m ) que decrece exponencialmente hacia 0. Los valores de A y ϕ se
determinan para que se satisfaga la condición inicial.
Movimiento armonico amortiguado, Disc < 0
3
2
x(t)
1
0
−1
−2
−3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t
142
3
3.5
4
4.5
5
4
Problema no homogéneos
Volvamos a la ecuación con término complementario (1), que recordemos era
p(D)x(t) = f (f ),
t ∈ I.
Junto con esta ecuación consideramos la ecuación homogénea asociada (3)
p(D)x(t) = 0,
t ∈ I.
Se llama solución particular de (1) a una cualquiera de sus soluciones
ϕp : I → K.
La linealidad del operador p(D) se traduce en que si tenemos una familia de soluciones particulares ϕj , 1 ≤ j ≤ J, que corresponden a términos
complementarios fk , esto es, se supone que se cumple
p(D)ϕj (t) = fj (t),
1 ≤ j ≤ J,
t ∈ I,
entonces, para una superposición
ϕ(t) =
J
X
αj ϕj (t),
αj ∈ K
j=1
tendremos
p(D)ϕ(t) = p(D)
à J
X
!
αj ϕj (t)
=
à J
X
j=1
!
αj p(D)ϕj (t)
j=1
=
J
X
αj fj (t),
j=1
que significa que ϕ es una solución particular para el término complementario
superposición
J
X
f (t) =
αj fj (t).
j=1
De este resultado se sigue el siguiente
Teorema 4 La solución general de (??) es de la forma
φ(t) = φp (t) + C1 φ1 (t) + · · · + Cn φn (t)
donde φp es una solución particular cualquiera de la misma, φ1 , . . . , φn una
base del espacio de soluciones de la ecuación homogénea asociada y C1 , . . . , Cn
son constantes arbitrarias en el cuerpo K.
143
5
Función de Green
Planteemos el problema de Cauchy
an xn) (t) + an−1 xn−1) (t) + · · · + a1 x0 (t) + a0 x(t) = 0,
x(0) = x0 (0) = · · · = xn−2) (0) = 0; xn−1) (0) = 1/an
y denotemos por H : R → K a su única solución. Se dice que H es la función
de influencia o función de Green para el operador p(D).
Teorema 5 Sea un problema de Cauchy relativo a la ecuación lineal no homogénea (??)
p(D)x(t) = f (t),
con condiciones iniciales
x(t0 ) = ξ0 , x0 (t0 ) = ξ1 , . . . , xn−1) (t0 ) = ξn−1
(t0 ∈ I, ξk ∈ K, 0 ≤ k ≤ n − 1). Entonces la solución φ(t) de este problema
viene dada por la fórmula de Lagrange o de variación de las constantes
Z t
φ(t) = φ0 (t) +
H(t − s)f (s)ds
t, s ∈ I,
t0
donde
P
(a) H es la función de Green del operador p(D) = nj=0 aj Dj y
(b) φ0 : I → R es la solución del problema correspondiente a la ecuación
homogénea asociada (??) y mismas condiciones iniciales dadas, es decir, φ0
es la solución del problema de Cauchy
p(D)x(t) = 0
x(t0 ) = ξ0 , x0 (t0 ) = ξ1 , . . . , xn−1) (t0 ) = ξn−1 .
Señalemos algunos aspectos de la fórmula de variación de las constantes:
(a) Cuando el segundo miembro f (t) de (??) es sencillo (combinación
lineal de productos de exponenciales, de funciones trigonométricas y de polinomios) hay métodos prácticos que permiten obtener una solución particular
de la ecuación no homogénea (??), sin necesidad de recurrir a la fórmula de
variación de las constantes. Esta idea se desarrollará posteriormente. No
obstante, la fórmula de Lagrange es necesaria para tratar el caso general.
144
(b) En las aplicaciones es frecuente encontrar términos f (t) que dejan de
ser continuos para ciertos valores de t. En estos casos la ecuación diferencial
(??) carece de soluciones en el sentido estricto. Se adopta como solución generalizada a la función definida por la fórmula de variación de las constantes.
(c) La función de Green H(t) se interpreta como la respuesta a un impulso
unidad e instantáneo (delta de Dirac) que tiene lugar en el instante 0.
6
Términos complementarios casipolinomiales
Como ya hemos comentado, con frecuencia aparecen términos complementarios que son una combinación lineal de funciones sencillas del tipo tk eµt ,
con k ≥ 0 entero y µ ∈ C (dentro de esta gama de funciones se encuentran también las trigonométricas). Observemos que si en (1) el término no
homogéneo se escribe como combinación lineal
f (t) =
m
X
λj fj (t)
j=1
de otros términos f1 (t), . . . , fm (t), y para cada ecuación no homogénea
p(D)x(t) = fj (t),
conocemos un solución particular ψj (t), 1 ≤ j ≤ m, entonces
ψ(t) =
m
X
λj ψj (t)
j=1
es una solución particular para f (t). A la vista de esta observación, para
tratar el caso de las funciones descritas al principio de la sección, será suficiente buscar soluciones particulares para segundos miembros de la forma
Pm (t)eαt ,
donde Pm (t) es un polinomio de grado m ≥ 0 es entero y donde α ∈ C.
El conjunto de todos los casi-polinomios de la forma indicada se denota por
Pm,α y es un es espacio vectorial de dimensión m + 1, siendo una base del
mismo las funciones
tk eαt ,
0 ≤ k ≤ m.
145
Los ı́ndices m y α denotan el grado y el parámetro de la clase de casipolinomios Pm,α considerada.
Lema 1 Dados α, β ∈ K y dada una función derivable arbitraria φ : R →
K, se cumple la identidad
£
¤
(D − β) φ(t)eαt = [φ0 (t) + (αβ)φ(t)] eαt .
En particular, si α = β,
£
¤
(D − α) φ(t)eαt = φ0 (t)eαt
y, si φ(t) es l ≥ 1 veces derivable
£
¤
(D − α)l φ(t)eαt = φ(l) (t)eαt
Teorema 6 Sean m ≥ 0 entero, α ∈ C y p(D) un operador diferencial con
coeficientes constantes. Planteamos la ecuación no homogénea
(6)
p(D)x(t) = Pm (t)eαt .
Se tiene que:
(a) Caso no resonante: Si α no es raı́z de p(z), entonces la ecuación (6)
admite solución particular de la forma
φp (t) = Qm (t)eµt ,
donde Qm (t) es un polinomio de grado k.
(b) Caso resonante: Si p(D) = (D −α)l q(D), con l ≥ 1 y donde q(α) 6= 0,
entonces una solución particular de (6) se calcula dando dos pasos:
(b.1) Paso 1: Se busca una sol particular de la ecuación no resonante
q(D)x(t) = Pm (t)eαt ,
ensyando para ello con una solución particular de la forma
ψp (t) = Qm (t)eαt .
(b.2) Paso 2: Se integra Qm (t) un total de l veces, obteniendo ası́ un
polinomio Qm+l (t) de grado m + l para el cual
Dl Qm+l (t) = Qm (t).
La solución particular deseada de la ecuación de partida (6) es ahora simplemente
φp (t) = Qm+l (t)eαt .
146
Demostración Comenzamos estudiando el operador (D − β), con β ∈ K
dado, sobre el espacio vectorial Pm,α . Usando el Lema 1, vemos que los
elementos de la base tk eαt , 0 ≤ k ≤ m, se transforman en
(D − β)eαt = (α − β)eαt
y en
(D − β)(tk eαt ) = ktk−1 eαt + (α − β)tk eαt ,
1 ≤ k ≤ m.
Se deduce que el primer vector eαt de la base es un autovector, con valor
propio (α − β), y que los restantes vectores de la base tk eαt , 1 ≤ k ≤ m, se
transforman en un múltiplo del anterior sumado a (α−β) veces ellos mismos.
Se deduce que la matriz M del operador lineal
(7)
??(D − β) : Pm,α → Pm,α
es triangular superior, con elementos diagonales siempre iguales a (α − β).
Por lo tanto
det M = (α − β)m+1 .
Se deduce pues que el operador lineal en (??) es un isomorfismo cuando
α 6= β.
Es ahora fácil de comprender el caso no resonante: como α no es raı́z de
p(z), podemos factorizar
p(z) = an
n
Y
(z − βj ),
j=1
con βj 6= α, 1 ≤ j ≤ n. Entonces el operador diferencial p(D) es una
composición
p(D) = an (D − β1 )(D − β2 ) · · · (D − βn )
donde cada eslabón (D − βj ), es un ismorfismo en Pm,α , pues βj 6= α, 1 ≤
j ≤ n. Se deduce que el operador lineal
p(D) : Pm,α → Pm,α
es un isomorfismo. Por tanto, dado un segundo miembro Pm (t)eαt ∈ Pm,α
existirá (en realidad un único) Qm (t)eαt ∈ Pm,α tal que
£
¤
p(D) Qm (t)eαt = Pm (t)eαt ,
147
cuyo significado es que para el término complementario Pm (t)eαt hay una
solución particular de la forma indicada φp (t) = Qm (t)eαt ∈ Pm,α .
En el caso resonante, primero aplicamos lo anterior al factor q(D) no
resonante, obteniendo ası́ una solución particular auxiliar ψp (t) = Qm (t)eαt ∈
Pm,α ,
£
¤
q(D) Qm (t)eαt = Pm (t)eαt .
Si integramos el factor polinomial l veces, llegando pues a un polinomio
Ql+m (t), de grado l + m, para el cual
Dl Ql+m (t) = Qm (t),
al aplicar el Lema 1 y observando que
P (D) = (D − α)l q(D) = q(D)(D − α)l ,
de concluye con la cadena de igualdades
£
¤
£
¤
P (D) Ql+m (t)eαt = q(D)(D − α)l Ql+m (t)eαt
h
i
(l)
= q(D) Qm+l (t)eαt
£
¤
= q(D) Qm (t)eαt
= Pm (t)eαt ,
cuyo significado es que Ql+m (t)eαt es una solución particualar para Pm (t)eαt .
7
Forma de Taylor
Al ensayar soluciones particulares, segn hemos explicado, se hace preciso
evaluar
©
ª
p(D) Q(t)eαt ,
donde Q(t) es un polinomio de grado dado y de coeficientes indeterminados.
Esto puede ser costoso si el orden de derivación es alto. En la práctica es
aconsejable escribir primero el polinomio p(z) en forma de Taylor, centrado
en α, esto es, escribir p(z) en potencias de (z − α)
(8)
p(z) =
n
X
bk (z − α)k .
k=0
148
En principio se tendrá
bk =
p(k) (α)
,
k!
0 ≤ k ≤ n,
pero se puede evitar el cálculo de las derivadas sucesivas p(k) , 0 ≤ k ≤ n.
En la práctica, para obtener los coeficientes en (8), se prefiere el empleo
del algoritmo de Horner, según se recordó en clase: se divide p(z) entre
(z − α), ası́ como los cocientes sucesivos; los restos y el último cociente dan
los coeficientes buscados.
Una vez se escribe p(z) en la forma (8), la regla (??) permite escribir
n
n
X
©
ª X
©
ª
αt
k
αt
αt
p(D) Qm (t)e
=
bk (D − α) Qm (t)e
=e
Q(k)
m (t).
k=0
k=0
Con ello se evita el engorroso cálculo de todos los términos
k µ ¶
©
ª X
k
αt
D Qm (t)e
=
Qm (t)(k−j) αj eαt ,
j
j=0
k
8
0 ≤ k ≤ n.
Aplicación al estudio de las oscilaciones forzadas. Fenómeno de la resonancia
Ejemplo 1.
Consideremos el problema de Cauchy
(9)
mx00 (t) + kx(t) = f (t),
x(0) = l, x0 (0) = v,
m, k > 0,
con f (t) = mF cos (ωf t − β).
La solución x(t) de (9) se puede interpretar de manera análoga a como
se hizo con la correspondiente al ejemplo 1 de la lección anterior. La única
diferencia es que, en el caso del muelle, además de la fuerza recuperadora hay
una fuerza exterior actuando en cada instante de tiempo sobre la partı́cula
considerada. En el lenguaje de circuitos, el término fuente corresponde a la
existencia de una fuerza electromotriz.
Se pueden considerar los dos casos siguientes:
149
Pendulo con fuerza exterior no resonante
4
3
2
x(t)
1
0
−1
−2
−3
−4
0
2
4
6
8
10
t
12
14
16
18
20
q
a) Si ωf 6= ω0 =
k
m
una solución particular de (9) es
xp (t) =
ω02
F
cos (ωf t − β).
− ωf2
La solución del problema de Cauchy planteado es entonces
x(t) =
ω02
F
cos (ωf t − β) + A cos (ω0 t − ϕ0 ),
− ωf2
con A y ϕ0 adecuados para que se satisfaga la condición inicial.
La solución es una superposición de dos ondas sinusoidales de distinta
frecuencia. Sólo si el cociente ω0 /ωf es un número racional, la solución x(t)
es globalmente periódica. Como
¯
¯
¯ F
¯
¯
¯
|x(t)| ≤ |A| + ¯ 2
¯ , t ∈ R,
2
¯ ω0 − ωf ¯
el movimiento es estable.
b) Si ωf = ω0 , como solución particular de (9) encontramos sin dificultad
xp (t) =
F
t sin (ω0 t − β).
2ω0
150
Pendulo con fuerza exterior resonante
15
10
x(t)
5
0
−5
−10
−15
0
2
4
6
8
10
t
12
14
16
18
20
La solución del problema de Cauchy se obtiene añadiendo la solución de
la ecuación homogénea asociada, con las constantes A y ϕ0 elegidas adecuadamente. En este caso el movimiento es inestable puesto que la solución
particular es una sinusoidal cuya amplitud F t/2ω0 crece indefinidamente con
el tiempo. Se dice en este caso que se ha producido un fenómeno de resonancia, o que la frecuencia del término fuente es resonante con la del movimiento
armónico asociado.
Ejemplo 2.
Consideremos ahora el problema de un circuito RCL con una fuente de potencial de tipo sinusoidal. La ecuación que hay que resolver en este caso es,
en virtud de la segunda ley de Kirchhof
Ri(t) + L
d
1
i(t) + q(t) = E(t)
dt
C
o, derivando de nuevo,
(10)
Li00 (t) + Ri0 (t) +
1
i(t) = E 0 (t).
C
Si suponemos E(t) = F sin (ωf t − β), entonces E 0 (t) = F ωf cos (ωf t − β)
Consideremos únicamente el caso en que el discriminante de la ecuación
caracterı́stica de (10) es negativo o, equivalentemente, (RC)2 < 4CL. Según
151
se vio en la lección anterior, la solución de la ecuación homogénea asociada
es de la forma
p
4LC − (RC)2
R
i0 (t) = Ae− 2L t cos (ωt − ϕ), ω =
.
2LC
Se pueden considerar los dos casos siguientes:
Circuito RCL con fuerza electromotriz no resonante
3
2
x(t)
1
0
−1
−2
−3
0
2
4
6
8
10
t
12
14
16
18
20
a) Si ωf 6= ω la solución del problema de Cauchy planteado es
s
µ
¶2
1
F
2
− Lωf ,
(11) i(t) = i0 (t) + cos (ωf t − α), Z = R +
Z
ωf C
donde α es un ángulo concreto que depende de las constantes que intervienen
en la ecuación y A y ϕ se determinan de imponer las condiciones iniciales.
La constante Z se conoce en teorı́a de circuitos con el nombre de impedancia.
Su importancia radica en que a menor impedancia, mayor amplitud √
de la
oscilación. El valor mı́nimo de la impedancia se produce cuando ωf = 1/ CL
y la amplitud de la oscilación asociada es F/R.
En (11) se observa que el término que corresponde a la solución de la
ecuación homogénea asociada decrece hacia 0 cuando t tiende a +∞ (regimen transitorio) mientras que la solución particular de la ecuación no homogénea corresponde a una oscilación libre de amplitud constante (regimen
permanente). Con el transcurso del tiempo es ésta última la única que se
aprecia.
152
Circuito RCL con fuerza electromotriz resonante
4
3
2
x(t)
1
0
−1
−2
−3
0
2
4
6
8
10
t
12
14
16
18
20
b) Si ωf = ω, al igual que ocurriera en el ejemplo 1, la solución no está
acotada.
Hoja de problemas 13
Problema 1. Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones
diferenciales ordinarias homogéneas:
a) x000 + 4x00 + x0 − 6x = 0,
b) x000 + 6x00 + 9x0 = 0,
c) x00 − 2x0 + 2x = 0,
d) x0v − 2x00 + x = 0,
e) x00 − x0 − 12x = 0,
f) x000 − 6x00 + 12x0 − 8x = 0,
g) x0v − 2x000 + 2x00 − 2x0 + x = 0,
h) x0v + 2x00 + x = 0,
i) x000 − 2x00 − x0 + 2x = 0,
j) x0v − 5x000 + 6x00 + 4x0 − 8x = 0,
Problema 2. Hallar la solución de los siguientes problemas de valores iniciales:
a) x0v + x = 0, x(0) = 1, x0 (0) = x00 (0) = 0, x000 (0) = −1
b) x000 − 3x00 + 3x0 − x = 0, x(0) = 1, x0 (0) = 2, x00 (0) = 3
c) x00 − 2x0 + 3x = 0, x(0) = x0 (0) = 0
d) x0v − 2x00 + x = 0, x(0) = x0 (0) = x00 (0) = 0, x000 (0) = 1.
153
Problema 3. ¿Cuál es el menor orden de una ecuación diferencial lineal
homogénea de coeficientes constantes que tiene entre sus soluciones a las
funciones sin (2t), 4t2 e2t y −e−t ? Hallar una de tales ecuaciones.
Problema 4. Sean a0 , a1 , ..., an ∈ R. Se considera la ecuación diferencial
lineal homogénea
an xn) (t) + an−1 xn−1) (t) + · · · + a1 x0 (t) + a0 x(t) = 0.
dk
Demostrar que si φ es solución de la ecuación, entonces k φ(t) , k ∈ N , es
dt
también solución.
Problema 5. Se considera la ecuación
ax00 + bx0 + cx = 0
√
con a, c > 0 y b > | b2 − 4ac|. Demostrar que si x = x(t) es cualquier
solución de esta ecuación, entonces limt→∞ x(t) = 0.
Problema 6. Hallar la solución general de la ecuación
x2 y 00 (x) + 3xy 0 (x) + y(x) = 0
x > 0.
(Indicación: hacer el cambio de variable x = et y obtener una ecuación
diferencial en la variable t).
Problema 7. Una masa m libre se desplaza a lo largo del eje x atraı́da
hacia el origen con una fuerza proporcional a su distancia al origen. Hallar
el movimiento si se pone en marcha desde un punto x = x0
a) Partiendo del reposo.
b) Partiendo con una velocidad inicial v0 alejándose del origen.
Problema 8. Dos masas m1 y m2 están en reposo sobre una superficie
horizontal que se supone no ejerce ninguna fuerza de rozamiento sobre ellas.
Se conectan entre sı́ y a dos soportes fijos mediante resortes lineales S1 , S2
y S3 de constantes k1 , k2 y k3 respectivamente, según muestra la figura 1.
Una vez el sistema en equilibrio se desplazan las masas de sus posiciones.
Encontrar el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento
del sistema.
Problema 9. Dos masas m1 y m2 están conectadas mediante dos resortes
lineales S1 y S2 de constantes k1 y k2 respectivamente, como muestra la figura
2. Una vez el sistema en su estado de equilibrio se desplazan las masas de
sus posiciones. Suponiendo que no existen fuerzas de fricción, encontrar el
sistema de ecuaciones diferenciales que describe el movimiento del sistema.
154
S1
S2
S3
m
m
1 ¢A¢A¢A¢A¢A
2 ¢A¢A¢A¢A¢A
¢A¢A¢A¢A¢A
Figure 1: Problema 8
©
©
H
H
©
©
H
H
©S
©
1
H
H
©
©
H
H
©
©
H
H
m1
©
©
H
H
©
©
H
H
©S
©
2
H
H
©
©
H
H
©
©
H
H
m2
Figure 2: Problema 9
155