Transformada de Fourier

TTransformada de f
d d
Fourier Joseph Fourier (1768 ~ 1830 )
Introducción
• Herramienta para formar cualquier función f(x) i
f
l i f ió f( )
en una combinación de series de senos y cosenos en un intervalo de frecuencia.
i t
l d f
i
• Una transformación de Fourier es una representación de una función (x) en términos de un conjunto de ondas sinusoidales.
• Cualquier función f(x) continua puede ser representada utilizando suficientes ondas sinusoidales con frecuencia, amplitud y fase adecuadas.
Antecedentes
• Números complejos
R+ iI
Donde R y I son números reales,
y i es igual a
−1
R asigna
i
la
l parte
t reall y I la
l parte
t
imaginaria del número
complejo.
En coordenadas polares;
distancia al origen y el ángulo
con el eje positivo real:
R(cos θ + i sin θ)
Antecedentes
• Fórmula de Euler
iθ
e = cos θ + i sin θ
Relación entre funciones trigonométricas y funciones exponenciales
re
iθ
Donde r es la magnitud en forma polar del número complejo, y θ el ángulo
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Si tenemos una función f(x), su transformada de Fourier se define por la Si
t
f ió f( )
t
f
d d F i
d fi
l
expresión:
−∞
F (u ) =
∫
f ( x )e
−i 2πux
dx
∞
Donde i es el componente imaginario y u es la variable de frecuencia.
Aplicando la ecuación de Euler, tenemos:
F (u ) = ∫
−∞
∞
f ( x)(cos 2πux − i sin 2πux)dx
Transformadas de Fourier
Transformadas de Fourier
• Teniendo F(u), podemos regresar a la función ( ) g
f(x) original utilizando la inversa de la transformada de Fourier:
−∞
∞
f ( x) = ∫ F (u )e
∞
i 2πux
du
Las ecuaciones anteriores se conocen como el par de Transformadas
de Fourier y existen si f(x) es continua e integrable.
Aplicaciones
• Procesamiento de imágenes con estructuras p
g
repetitivas: astronomía, microbiología, cristalografía, etc.
• Útil para identificar el componente periódico Útil para identificar el componente periódico
o malla (lattice) dentro de una estructura
• Reconstrucción, compresión, correlaciones
Utilizando la TF sobre una
Imagen con patrones
periódicos.
La TF trata de representar
todos los valores como
una suma de funciones
trigonométricas.
La TF tiene un solo
componente,
representado por 2
puntos simétricos cerca
del centro de la imagen.
El punto central
representa
t ell origen
i
d
de lla
frecuencia del sistema de
coordenadas.
•
Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir:
a0 ω
f (t ) = + ∑ (ai cos(iωt ) + bi sin(iωt ))
2 i =1
Donde el periodo P=2p/w, y a0 a1 … ai … y b1b2 … bi son los denominados coeficientes de Fourier.
Conocida la función periódica f(t), los coeficientes se calculan del siguiente modo:
a0 2
=
2 P
ai =
bi =
donde i=1,2,3…
2
P
2
P
P
2
d
∫ f (t )dt
P
2
−
P
2
∫ f (t ) cos(iωt )dt
−
P
2
P
2
∫ f (t ) sin(iωt )dt
−
P
2
Ejemplo
Consideremos un cristal imaginario. El cristal consiste de 3 átomos por cada celda dos carbonos y un oxígeno La densidad electrónica de la celda unitaria se
celda, dos carbonos y un oxígeno. La densidad electrónica de la celda unitaria se vería así.
Ejemplo
Vamos ahora a representar la gráfica original utilizando únicamente ondas sinusoidales. La primera onda tiene una frecuencia de 2, un pico para el oxígeno y otro para los carbonos
í
l
b
La segunda onda tiene una frecuencia La
se nda onda tiene na fre en ia
de 3, con diferente amplitud y fase
Finalmente usamos una onda de Finalmente
usamos una onda de
frecuencia 5, con diferente amplitud. Dos crestas alineadas con los átomos de cobre.
de cobre.
Ejemplo
E i
Encimando todas las ondas.
d t d l
d
La suma de las tres ondas es una buena aproximación a la celda original
La suma de las tres ondas es una buena aproximación a la celda original
Ejemplo
Si ahora revisamos la transformada de Fourier a la misma celda unitaria inicial, vemos que consiste en una serie picos en 2, 3 y 5. Estos corresponden exactamente a las frecuencias p
y
p
de las ondas que utilizamos para reconstruir esta función.
Ejemplos
Transformación de una Gaussiana
Transformación de una Gaussiana
•
Aplicando la transformada de Fourier a la función:
1
f ( x) =
e
σ 2π
x2
− 2
2σ
0.14
Función Gaussiana
centrada en el origen.
0.12
σ= 1
x=(-5, 5)
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
‐6
‐4
‐2
‐0.02
0
2
4
6
Transformación de una Gaussiana
Transformación de una Gaussiana
•
La transformada de Fourier de una Gaussiana es otra Gaussiana:
π −π
F ( x) =
e
σ
x /σ
2 2
Ejemplo de un programa en JAVA aplicando en tiempo real la Transforamda
de Fourier sobre una función Gaussiana.
http://depa.pquim.unam.mx/~ros/Fourier.class