Cálculo Diferencial e Integral IV Tarea 5 Mayo de 2014 1. Sea fn : A

Cálculo Diferencial e Integral IV
Tarea 5
Mayo de 2014
1. Sea fn : A ⊂ Rk → R una sucesión de funciones que converge uniformemente a f en
B ⊂ A. Pruebe que:
(a) si cada fn está acotada en B entonces {fn } está uniformemente acotada en B (es
decir, existe M > 0 tal que |fn (x̂)| ≤ M para toda x̂ ∈ B y para toda n ∈ N).
(b) si cada fn está acotada en B entonces f está acotada en B.
2. Sean
fn (x) =
y gn (x) = x 1 +
1
n



1
n
si x = 0 o x es irracional
m+
1
n
si x =
k
m
∈Qym>0
, x ∈ R. Definimos hn (x) = fn (x) · gn (x). Pruebe que:
(a) {fn } y {gn } convergen uniformemente en cualquier intervalo acotado de R.
(b) {hn } no converge uniformemente en cualquier intervalo acotado de R.
3. Sean gn , fn : A ⊂ Rk → R dos sucesiones de funciones que convergen uniformemente a
g y a f (respectivamente) en B ⊂ A. Pruebe que:
(a) {gn + fn } converge uniformemente a g + f en B.
(b) si cada gn y cada fn está acotada en B, entonces {gn fn } converge uniformemente
a gf en B.
4. Sea fn : A ⊂ Rk → R una sucesión de funciones que converge uniformemente a f en
A, y g : B ⊂ Rm → Rk cualquier función. Definimos hn = fn ◦ g. Pruebe que {hn }
converge uniformemente a f ◦ g en B.
5. Sea fn : A ⊂ Rk → R una sucesión de funciones que converge uniformemente a f
en B ⊂ A, y M > 0 tal que |fn (x̂)| ≤ M para toda x̂ ∈ B y para toda n ∈ N.
Sea g : [−M, M] → R continua. Definimos hn = g ◦ fn . Pruebe que {hn } converge
uniformemente a g ◦ f en B.
6. Sean fn (x) = 1/(nx + 1) y gn (x) = x/(nx + 1) con 0 < x < 1. Pruebe que:
(a) {fn } converge puntualmente pero no uniformemente en (0, 1).
(b) {gn } converge uniformemente en (0, 1).
7. Sea g : [0, 1] → R continua tal que g(1) = 0. Pruebe que la sucesión {g(x)xn } converge
uniformemente en [0, 1].
8. Sea fn : A ⊂ Rk → R una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente
a f en B ⊂ A. Si x̂ ∈ B y {x̂n } ⊂ B es tal que {x̂n } converge a x̂, pruebe que {fn (x̂n )}
converge a f (x̂). ¿Es cierto lo recı́proco? Pruebe su respuesta.
9. Sea fn : [0, 1] → R una sucesión de funciones continuas tales que {fn } converge uniformemente a f en [0, 1]. Determine si la siguiente afirmación es cierta:
lim
n→∞
1−1/n
Z
fn (x)dx =
0
Z1
0
1
f (x)dx
10. Sea fn : A ⊂ Rk → R una sucesión de funciones que converge puntualmente a f : A ⊂
Rk → R. Sea Mn = sup {|fn (x̂) − f (x̂)| | x̂ ∈ B ⊂ A}. Pruebe que: {fn } converge
uniformemente a f en B sı́ y sólo si Mn es finito a partir de una cierta N ∈ N y
{Mn } → 0.
11. Sea fn (x) = 1/(nx + 1) para 0 < x. Pruebe que:
(a) fn+1 (x) ≤ fn (x) para toda x ∈ (0, ∞)
(b) {fn (x)} → 0 para toda x ∈ (0, ∞)
(c) {fn } converge uniformemente en cualquier intervalo (a, ∞) con 0 < a.
(d) ¿{fn } converge uniformemente en (0, ∞)? Pruebe su respuesta.
12. Sea fn (x) = x/(nx2 + 1) para x ∈ R.
(a) Pruebe que {fn } converge puntualmente en R a una cierta función f y {fn′ }
converge puntualmente en R a una cierta función g
(b) Pruebe que f ′ (x) existe para cualquier x ∈ R pero que f ′ (0) 6= g(0). ¿Para que
valores x ∈ R se tiene que f ′ (x) = g(x)? Pruebe su respuesta.
(c) ¿En que subintervalos de R la sucesión {fn } converge uniformemente a f ? ¿En
que subintervalos de R la sucesión {fn′ } converge uniformemente a g? Pruebe sus
respuestas.
13. Sean g, fn : [0, ∞) → R continuas tales que:
(a) |fn (x)| ≤ g(x) para cada x ∈ [0, ∞) y para cada n ∈ N
(b) {fn } converge uniformemente a f en [0, R] para cualquier 0 < R < ∞
R∞
(c) 0 g(x)dx < ∞
R∞
R∞
Pruebe que 0 fn (x)dx, 0 f (x)dx < ∞ y que además
Z ∞
Z ∞
f (x)dx = lim
fn (x)dx
n→∞
0
0
14. Pruebe que
f (x) =
∞ X
sen(nx)
n=1
n2
x3
está definida y es continua para toda x ∈ R.
15. Sean fn : [0, 1]P
→ R monótonas crecientes y continuas en el intervalo [0, 1]. Pruebe
que si f (x) = ∞
n=1 fn (x) converge puntualmente para cada x ∈ [0, 1] entonces f es
continua (en [0, 1]).
16. Sea fn (x) = 1/(nx2 + 1) para x ∈ [0, 1]. Pruebe que {fn } converge puntualmente pero
no uniformemente en el intervalo [0, 1].
P n
17. Pruebe que la serie
x (1 − x) converge
pero no uniformemente en el
P puntualmente
n n
intervalo [0, 1], mientras que la serie (−1) x (1 − x) si converge uniformemente en
el intervalo [0, 1]. ¿Qué ilustra este ejemplo?
2
P
18. Sea fn (x) = 1/(n2 x + 1). ¿Para que valores
de
x
la
serie
fn (x) converge punP
tualmente? ¿Para queP
valores de x la serie
fn (x) converge absolutamente? ¿En
que
fn (x) converge uniformemente?
¿En que intervalos la serie
P intervalos la serie
P
fn (x) no converge P
uniformemente? ¿f (x) =
fn (x) es continua en el conjunto
sobre el cual la serie
fn (x) converge puntualmente? ¿f está acotada sobre dicho
conjunto? Pruebe sus respuestas.
19. Sea fn : A ⊂ Rk → R una sucesión de funciones tal que {fn } converge uniformemente
en B ⊂ A a la función
cero, y tal que 0 ≤ fn+1 (x̂) ≤ fn (x̂) para toda x̂ ∈ B.
P constante
n
Pruebe que la serie (−1) fn (x̂) converge uniformemente en B ⊂ A.
20. Pruebe que la serie
∞ 2n+1
X
xn+1
x
−
2n + 1 2n + 2
n=0
converge puntualmente pero no uniformemente en el intervalo [0, 1].
P∞
P
21. Pruebe que las
series ∞
n=0 an cos(nx) convergen uniformemente en
n=0 an sen(nx) y
P∞
R si la serie n=0 an es absolutamente convergente.
22. Calcule el radio de convergencia de las siguientes series de potencias:
i)
∞
X
k=1
k
xk
k+1
ii)
∞
X
k=2
1 k
x
ln(k)
P
xk
23. Calcule el radio de convergencia de la serie ∞
k=1 k 2 . Encuentre todas las x ∈ R para las
cuales esta serie converge. ¿Esta serie converge uniformemente en el intervalo [−1, 1]?
Pruebe sus respuestas.
24. Sea f : [0, 1] → R continua tal que
Z
1
f (x)xn dx = 0
0
para n = 0, 1, 2, . . .. Pruebe que f (x) = 0 para toda x ∈ [0, 1]. (sugerencia: use el
teorema de Stone-Weierstrass para probar que
Z 1
f 2 (x)dx = 0
0
).
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