Aproximaciones Diofanticas

Aproximaciones Diofanticas
Florian Luca
Supongamos que α es un número real, irracional. Una aproximacion
diofantica de α es un racional p/q tal que |α − p/q| sea muy pequeña. La
teorı́a de las aproximaciones diofanticas estudia que tan pequeña puede ser
la cantitad de arriba, o en otras palabras que tan bien podemos aproximar
el número α por racionales. Un resultado de Dirichlet afirma que hay una
infinidad de racionales p/q tal que |α − p/q| < 1/q 2 . En la practica, estos
racionales se pueden encontrar usando fracciones continuas. Hay números α
tales que para cada
p/q tal que |α − p/q| < 1/q K . Un ejemplo
PK > 0 existen
de tal número es n≥1 1/10n! . Estos números se llaman de Liouville y ellos
son transcendentes, es decir no son soluciones de ecuaciones polinomiales
con coeficientes racionales. Los números que si son soluciones de ecuaciones
polinomiales con coeficientes racionales se llaman algebraicos. Un importante
resultado de Roth afirma que si α es algebraico, entonces para cada ε > 0, hay
cuando mucho un número finito de racionales p/q tal que |α − p/q| < 1/q 2+ε .
En este cursillo, haremos una incursion en los teoremas de Dirichlet, Roth,
y el teorema del subespacio, que es una generalización del teorema de Roth,
y veamos algunas de sus aplicaciones.
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