definición de R

Capı́tulo 2
Definición de R
El conjunto Q de los racionales posee propiedades algebraicas y de orden
muy interesantes: es cuerpo ordenado. De hecho, el cuerpo ordenado fundamental pues cualquier otro lo contiene. Es suficiente conocerlo sólo a él para el
manejo práctico de la ingenierı́a, ya que finalmente cualquier medida tangible
se expresa como un número racional. Sin embargo muchas de las aplicaciones
tecnológicas (sustentadas en elegantes teorı́as matemáticas) involucran números
tan tradicionales, pero muy especiales, como lo son e y ⇡, que pertenecen a un
conjunto de “más jerarquı́a” que el de los números racionales: el de los reales. El
conjunto de los números reales se ha construido para llevar a cabo el desarrollo
de la teorı́a del análisis y su principal diferencia con el de los racionales es su
completitud. Informalmente, el conjunto de racionales, cuando se sitúa sobre
una recta, deja puntos de la misma sin cubrir o, dicho de otro modo, Q tiene
“huecos”. La construcción de R consiste en llenar dichos “huecos” para cubrir
completamente la recta.
Existen varias formas de lograr este objetivo a partir de Q. En el presente
capı́tulo presentaremos las más tradicionales: por medio de cortaduras, primero,
y por medio de sucesiones de Cauchy, después.
Sin embargo estas construcciones resultan en conjuntos que comparten las
propiedades que nos interesan de los reales: son cuerpos ordenados y completos.
Son estas tres propiedades las que dan su esencia a R y por ello finalmente se
deslinda la definición de una construcción concreta y se deja como una definición
axiomática.
2.1.
Construcción de R por cortaduras
Esta construcción se debe a Dedekind y ataca el problema de los “huecos”
directamente, definiendo un objeto llamado cortadura, el cual pone de manifiesto
los “huecos” de Q. Una cortadura es una escisión de Q en dos clases de modo
ambas quedan separadas por un sólo número racional o separadas sin que haya
un número racional en medio. Éste último caso define un hueco. El conjunto de
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CAPÍTULO 2. DEFINICIÓN DE R
los reales será, precisamente, el conjunto de cortaduras. En el lenguaje moderno
de la topologı́a una cortadura no es otra cosa que una desconexión de Q respecto
a su topologı́a de orden. Sin embargo en este caso hemos preferido mantener el
lenguaje original.
Definición 2.1. Llamaremos cortadura a un conjunto ↵ de números racionales
que satisface:
i) ↵ 6= ; y ↵ 6= Q.
ii) Si r 2 ↵ y s > r, entonces s 2 ↵.
iii) ↵ no tiene mı́nimo.
El complemento de ↵, denotado por ↵c , posee las siguiente propiedad:
si r 2 ↵c y s 2 ↵, entonces r < s.
Denotaremos en adelante las cortaduras con letras griegas ↵, . . . , y a los
elementos de cada una de ellas por las letras A, B, . . . y a los de sus respectivos
complementos por a, b . . . etc.
Definición 2.2. Una cortadura ⇢ es una cortadura racional si
⇢ = {x 2 Q|r < x para algún r racional }.
Bajo la definición anterior es claro que todos los números racionales pueden
ser vistos como una cortadura (cortadura racional).
A continuación exhibimos dos ejemplos de cortadura, una racional y una no
racional, a fin de ilustrar cómo es que el conjunto de cortaduras posee algunos
elementos más que las cortaduras racionales.
1o es trivial que el conjunto de los números racionales mayores que cero. el
cual denotaremos por 0+ es una cortadura.
2o Denotemos ahora por ↵p2 al conjunto de los numeros racionales r que
satisfacen r2 > 2. Cualquiera de los números en este conjunto es mayor
que 1 y además, si r 2 ↵p2 , la relación s > r implica que s 2 ↵p2 . También
es claro que ↵p2 es un conjunto no vacı́o y tampoco lo es su complemento.
Sólo falta probar que ↵p2 no tiene mı́nimo. En efecto, dado r 2 ↵p2 si
0 < < 1, entonces tendremos r
> 0 y además:
(r
)2 = r2
2 r+
2
> r2
2r .
2
El último número es mayor que 2 siempre que se cumpla que r 2r 2 > .
Ahora, un número entre 0 y 1 que cumpla la última condición es, por
ejemplo,
r2 2
= 2
.
r
2 + 2r
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2.1. CONSTRUCCIÓN DE R POR CORTADURAS
Este número verifica las condiciones que se requieren para que r
tenezca a ↵p2 , a saber:
> 0 y (r
r
2
per-
> 2).
Luego ↵p2 es una cortadura.
Ası́ ha quedado de manifiesto que ↵p2 no tiene mı́nimo, pero hay otro
hecho que es fundamental para el estudio del conjunto de cortaduras, el
c
que su clase complementaria, ↵p
no tiene máximo. Esto prueba que el
2
conjunto de cortaduras contiene también cortaduras que no son racionales.
c
Lema 2.3. ↵p
no tiene máximo.
2
Demostración. Sea r un número postivo que verifica r2 < 2. Entonces
podemos hallar un número entre 0 y 1 que verifique (r + )2 < 2. Pues
si 0 < < 1, tendremos:
(r + )2 = r2 + 2r +
lo cual se cumple si
<
=
2
< r2 + 2r + = r2 + (2r + 1) < 2
(2 r 2 )
2r+1 .
2
Basta entonces elegir
2 r2
2 r2
=
r2 + 2r + 1
3 r2 + 2r
c
y queda probado que ↵p
no tiene máximo.
2
Definición 2.4. (Orden) Dadas dos cortaduras ↵, ,
 ↵ si ↵ ⇢ .
Lema 2.5. La relación  es una relación de orden total en el conjunto de
cortaduras.
Demostración. Las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva son inmediatas de la definición del orden como la inclusión de cortaduras. Para ver que
el orden es total supongamos, sin pérdida de generalidad, que ↵ no está incluida
en . Entonces existe un número A en ↵ pero que no pertenece a , luego A = b
para algún b en c . Por tanto cualquier número racional B 2
verifica que
B > A, de donde se tiene que B 2 ↵.
Puesto que tenemos un orden total en el conjunto de cortaduras, los conceptos habituales de cota superior o inferior tienen plena validez en este contexto.
La gran ventaja del conjunto de cortaduras frente al de los racionales es que
aquél sı́ verifica la propiedad del ı́nfimo.
Teorema 2.6. Sea G un conjunto de cortaduras no vacı́o y acotado inferiormente. Entonces G tiene ı́nfimo, es decir, existe una cortadura tal que:
a)
b) Si
es cota inferior de G.
es una cota inferior de G, entonces
 .
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CAPÍTULO 2. DEFINICIÓN DE R
En otras palabras,
es la máxima de las cotas inferiores de G.
Demostración. Definamos el conjunto
como
[
=
↵.
↵2G
Es fácil ver que es una cortadura y, además, que ↵ 2 G implica que ↵ ⇢ , es
decir, < ↵, luego es cota inferior de G.
Si ahora es una cota inferior de G arbitraria, notemos que por construcción
< , por tanto es la cota inferior máxima.
Como es sabido, de la propiedad del ı́nfimo se deduce inmediatamente la
propiedad del supremo.
Corolario 2.7. Sea G un conjunto de cortaduras no vacı́o acotado superiormente, entonces G tiene supremo.
Ahora estamos en vı́speras de definir las operaciones de cuerpo para el conjunto de las cortaduras. Sin embargo hace falta una herramienta adicional que
se enuncia en el siguiente lema.
Lema 2.8. Dados una cortadura ↵, un número a0 2 ↵c y un número racional
t > 0, existen un par de números racionales A 2 ↵ y a 2 ↵c , tales que
a0  a y A
a < t.
Demostración. Tomemos un número A0 en ↵ y un número natural n tales que
A0
a0
n
< t.
Tomemos ahora el mı́nimo entero k tal que a0 + k A0 n a0 2 ↵. Nótese que para
k = n se obtiene A0 y para k = 0 se obtiene a0 . Luego A = a0 + k A0 n a0 y
a = a0 + (k 1) A0 n a0 satisfacen las condiciones del lema.
Procederemos ahora a definir las operaciones de suma y producto de cortaduras a través de las operaciones de Q.
Por comodidad denotaremos en adelante al conjunto de cortaduras mediante
el sı́mbolo D.
Definición 2.9. (Suma de cortaduras) Sean ↵,
↵+
2 D definimos
= {A + B|A 2 ↵, B 2 }.
Proposición 2.10. D con la suma definida y la cortadura 0+ como neutro es
un grupo abeliano.
Demostración. Hay que probar las siguientes propiedades:
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2.1. CONSTRUCCIÓN DE R POR CORTADURAS
i) Asociatividad,
↵ + ( + ) = (↵ + ) + .
ii) Conmutatividad,
↵+
iii) Neutro,
=
+ ↵.
↵ + 0+ = ↵.
iv) Opuestos,
Dado ↵ 2 D existe
2 D tal que, ↵ +
= 0+ .
Los incisos i), ii), iii) son triviales a partir de la definición de cortadura. Mostraremos sólo el último.
Tomemos ↵ 2 D y definamos
= {B|B >
a para algún a en ↵c }.
El conjunto es no vacı́o pues basta tomar B = a + 1 para algún a 2 ↵c .
Ahora, si tomamos A 2 ↵ el número A no pertenece a . Si ası́ ocurriera
tendrı́amos que A > a y, por tanto, A < a lo cual es una contradicción.
De la definición de se tiene que si B 2 y f > B entonces f 2 . Además
si B > a, podemos elegir siempre un número B 0 tal que B > B 0 > a, lo cual
implica que no tiene mı́nimo. Luego es una cortadura.
Probaremos ahora que ↵ + = 0+ . En efecto un elemento de ↵ + tiene la
forma A + B, donde A 2 ↵ y B > a para algún a 2 ↵c . Luego
A + B > A + ( a) = A
a > 0,
lo cual muestra que A + B 2 0+ .
Recı́procamente, dado t 2 0+ , se tiene que t > 0, y en virtud del lema
2.8 existen números A y a tales que A a < t. Luego existe s > 0 tal que
t = A a + s = A + ( a + s).
La cortadura
definida en el teorema se denota por
Corolario 2.11. Dadas dos cortaduras ↵ y , si ↵ +
Corolario 2.12. Dadas ↵, ,
Definición 2.13.
↵=
↵.
= 0 entonces
2 G si ↵  , entonces ↵ +

=
↵.
+ .
+ ( ↵).
Ahora definiremos el producto de cortaduras pues nuestro objetivo es probar
que D es un cuerpo. Sin embargo definir el producto no es tan sencillo como lo
fue la suma. Hay que dividir en casos introduciendo la regla de los signos en la
definición.
Definición 2.14. ↵ es positiva si ↵ > 0.
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CAPÍTULO 2. DEFINICIÓN DE R
Definición 2.15. (Producto de cortaduras positivas) Dadas ↵,
sitivas, definimos ↵ como sigue:
cortaduras po-
↵ = {AB|A 2 ↵, B 2 }.
En la siguiente proposición se prueba que ↵ es, efectivamente, una cortadura.
Proposición 2.16. ↵ es una cortadura.
Demostración. Claramente ↵ es no vacı́a ya que existe en ella un elemento
de la forma AB ya que ↵ y tampoco lo son; su complemento, que incluye al
cero y a todos los numeros racionales negativos, tampoco es vacı́o. Ahora, si un
número r > AB para algún AB 2 ↵ , entonces existe s > 0 tal que
⇣
s⌘
r = AB + s = A B +
= AB 0 ,
A
lo que muestra que r está en la clase ↵ . Probar que ↵ no tiene mı́nimo es
sencillo. Sea AB, con A 2 ↵ y B 2 un elemento arbitrario de ↵ . Puesto
que ↵ y son cortaduras no tienen mı́nimo, luego existen racionales A0 < A
y B 0 < B cada uno en su respectiva cortadura. Por otro lado, siendo ↵ y
cortaduras positivas tenemos que 0 < A0 ası́ como 0 < B 0 , de donde llegamos a
que A0 B 0 < AB y, por tanto, ↵ no tiene mı́nimo.
Ahora probaremos la ley distributiva, conmutativa y asociativa para las cortaduras positivas.
Proposición 2.17. Sean ↵, ,
i) ↵(
cortaduras positivas, entonces:
) = (↵ ) .
ii) ↵ = ↵.
iii) ↵( + ) = ↵ + ↵ .
Demostración. Probar i) y ii) es trivial si recordamos que el producto en Q es
asociativo y conmutativo. Para probar iii) notemos que cualquier miembro del
conjunto ↵( + ) es de la forma A(B + G) = AB + AG que es un elemento
del conjunto ↵ + ↵ . De manera recı́proca un número del conjunto ↵ + ↵
es de la forma AB + A0 G. Supongamos que A < A0 , entonces AB + A0 G
AB + AG = A(B + G), el cual es un elemento del conjunto ↵( + ).
Corolario 2.18. Si 1 denota la cortadura de los numeros racionales mayores
que 1 y ↵ es una cortadura positiva entonces
↵1 = ↵.
Corolario 2.19. Si ↵ una cortadura positiva entonces
↵0 = 0.