4.2 Algunas aplicaciones a la Teor´ıa de Números

4.2. Algunas aplicaciones a la Teorı́a de Números
4.2
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Algunas aplicaciones a la Teorı́a de Números
Sabemos que podemos encontrar números racionales tan cerca como queramos de un número irracional dado. En general, si x ∈ R, podemos encontrar
un par de enteros a y b tales que
a x − b
sea tan pequeño como deseemos. Si x es racional, él mismo sirve como
(inmejorable) aproximación, claro; ası́ que el problema que nos interesa es
el de la aproximación de irracionales por racionales. Una manera
habitual de hacer esto es la de truncar el desarrollo decimal del número.
Por ejemplo, si escribimos el número π,
π = 3, 141592 a7 a8 . . .
y nos quedamos con las primeras seis cifras del desarrollo, estamos aproximando π por la fracción
3141592
.
1000000
Y, por supuesto,
π − 3141592 = 0, 000000 a7 a8 . . .
1000000 Obsérvese que el error cometido con esta aproximación es, desde luego,
menor que 10−6 (piénsese en el peor caso, que los dı́gitos a6 , a7 , etc., fueran
casi todos nueves). Para conseguir tal grado de precisión, hemos tenido que
manejar un racional de denominador 106 (quizás menor, si simplificáramos
la fracción). Si quisiéramos mayor exactitud, tendrı́amos que recurrir a
racionales de denominadores cada vez más grandes.
En esta discusión nos estamos limitando a racionales cuyo denominador
es una potencia de 10. ¿Podemos aproximar π más eficientemente con otro
tipo de racionales? Arquı́medes ya sabı́a que
223
22
<π<
.
71
7
Y ambas aproximaciones coinciden con π en las dos primeras cifras decimales; la fracción 22/7, cuyo denominador es del orden de 10, se acerca a π
con un error del orden de 10−2 . Más impresionante aún es la aproximación
de Tsu Chung Chih, del siglo V, la fracción 355/113, que coincide con π en
las primeras seis cifras decimales:
π − 355 < 1 .
113 106
(versión preliminar 4 de abril de 2002)
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Capı́tulo 4. El principio del palomar
Y obsérvese que el denominador es del orden de 102 (por cierto, se tardó
casi un milenio en mejorar esta estimación).
Planteemos el problema en general: tenemos un cierto número irracional
x que queremos aproximar con racionales a/b; el denominador b será el
parámetro que utilizaremos para medir la “bondad” de la estimación. La
aproximación será lineal si
a 1
,
x − ≤
b
Cb
donde C es una cierta constante positiva (que por ahora no nos preocupará).
Esto es lo que conseguı́amos truncando el desarrollo decimal (para obtener,
por ejemplo, seis cifras decimales, nuestra fracción ha de tener, en general,
un denominador del orden de 106 ).
Sea x un cierto irracional y fijemos el valor de b: queremos encontrar
una fracción a/b tal que, por ejemplo,
a 1
.
x − <
b
2b
El número b x estará entre dos enteros; llamemos a al más cercano a él:
bx
a
Este entero a es el que buscábamos, porque
1
|b x − a| <
2
=⇒
a 1
.
x − <
b
2b
Con un argumento un poco más cuidadoso, se puede sustituir la constante
2 de la estimación por cualquier otro número natural. Ası́ es que este tipo
de aproximación lineal no presenta ningún problema.
Ejemplo 4.2.1 Encontrar√aproximaciones por racionales (lineales
con constante 2) al número 3 para cada valor b = 1, 2, . . .
Siguiendo
√ la idea
√ expuesta antes, basta encontrar los enteros más cercanos
√
a 3, 2 3, 3 3, etc. Calculamos los primeros casos:
√
3 = 1, 7320 . . . −→ 1
√
2 3 = 3, 4641 . . . −→ 3
√
3 3 = 5, 1961 . . . −→ 5
√
4 3 = 6, 9282 . . . −→ 7
√
5 3 = 8, 6602 . . . −→ 9
√
6 3 = 10, 3923 . . . −→ 10
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4.2. Algunas aplicaciones a la Teorı́a de Números
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Ası́, por ejemplo, para b = 6, tendrı́amos que
√
√
1
1
10 0, 3923 . . .
|6 3 − 10| = 0, 3923 . . . =⇒ 3 − =
<
=
.
6
6
2×6
12
Obsérvese que las fracciones que obtenemos en este proceso (10/6 en este
caso) podrı́an no ser irreducibles (de hecho, el resultado serı́a falso si exigiéramos que las fracciones a/b lo fueran). Más adelante seremos más cuidadosos con esto.
♣
Nos interesa encontrar aproximaciones más eficientes. Por ejemplo, ¿nos
podemos acercar a un irracional x con una fracción a/b con un error de 1/b2 ?
¿Y de 1/b3 ? Serı́a magnı́fico: con un “esfuerzo” del orden de b, obtenemos
estimaciones del orden de 1/b2 , 1/b3 , etc.
Veremos que la respuesta es afirmativa en el primer caso, para cualquier
irracional, mientras que no lo es en el segundo caso. Estos resultados
nos ayudarán a entender en profundidad la naturaleza de los números irracionales; curiosamente, sólo necesitaremos el “sencillo” principio del aplomar
para obtenerlas.
4.2.1
El teorema de Dirichlet
Estamos entonces con el problema de la aproximación de números irracionales por racionales;
nos interesa saber si siempre vamos a tener aproximaciones de tipo cuadrático. La respuesta a este
problema es el resultado, fundamental como veremos, conocido como el teorema de Dirichlet5 .
Fijaremos un parámetro, un número natural
Q, que nos dará el orden de esta aproximación. Y
tendremos cuidado con que las fracciones que obtendremos, que llamaremos p/q, sean irreducibles
(esto es, p y q serán primos entre sı́, aunque no
necesariamente números primos).
Figura 4.1: Dirichlet
Teorema 4.1 (Teorema de Dirichlet) Para todo número real x y todo entero Q > 1, existen
5
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), nacido cerca de Colonia (entonces
parte del Imperio francés), estudió en la Universidad de Parı́s, donde tuvo como profesores a personajes tan destacados como Laplace, Legendre, Poisson, Fourier o Cauchy.
En Berlı́n, donde trabajó durante 30 años, contribuyó a la formación de una potente escuela matemática, junto con ilustres matemáticos como Kronecker o Riemann (alumnos
suyos ambos). Sus aportaciones resultaron fundamentales en la Teorı́a de Números (tanto
analı́tica como algebraica), en el estudio de la convergencia de las series de Fourier o en
la Teorı́a del Potencial (el conocido problema de Dirichlet sobre funciones armónicas con
ciertas condiciones de contorno).
(versión preliminar 4 de abril de 2002)
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Capı́tulo 4. El principio del palomar
enteros p y q, con 0 < q < Q, tales que
|qx − p| ≤
1
.
Q
En particular, podemos encontrar enteros p y q, primos entre sı́, para los
que
x − p < 1 .
q q2
Demostración. Vamos con la primera parte del teorema: dados el número
real x y el número natural Q, empecemos dividiendo el intervalo [0, 1) en Q
intervalos del tipo [j/Q, (j + 1)/Q), para cada 0 ≤ j < Q:
0
2
Q
1
Q
Q−1
Q
3
Q
1
Estos serán nuestros Q “nidos”; definamos ahora las “palomas”. Consideremos los Q − 1 números siguientes:
{x}, {2x}, {3x}, . . . , {(Q − 1)x} ,
donde {a} significa la parte fraccionaria de a (obsérvese que tenemos más
nidos que palomas). Distinguiremos tres casos:
(a) Si alguno de esos números, digamos {kx}, pertenece al último intervalo, se tendrá que
1
|1 − {k x}| ≤ .
Q
Pero {kx} = kx − kx, ası́ que
1
kx − (1 − kx) ≤ ,
Q
donde 0 < k < Q.
Y tendrı́amos el resultado que buscamos tomando q = k y p = 1−kx.
(b) Si uno de los números, {kx}, estuviera en el primer intervalo, tendrı́amos que
|{kx}| ≤
1
Q
=⇒
1
kx − kx ≤ ,
Q
donde 0 < k < Q.
Ahora, q = k y p = kx.
(versión preliminar 4 de abril de 2002)
4.2. Algunas aplicaciones a la Teorı́a de Números
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(c) Si, por el contrario, ninguno de esos Q − 1 números estuviera en
ninguno de los intervalos extremos, por el principio del palomar al
menos dos de ellos tendrı́an que coincidir en uno de los Q − 2 intervalos interiores. Existirı́an entonces 1 ≤ j < k ≤ Q − 1 tales que
1
≥ |{kx} − {jx}| = (k − j)x − (kx − jx).
Q
Ahora q = k − j (que cumple que 0 < q < Q) y p = kx − jx.
La segunda parte del enunciado del teorema es una consecuencia inmediata
de la primera; hemos probado que existen p y q, con q < Q, tales que
p 1
1
1
de donde
x− ≤
< 2,
|qx − p| ≤ ,
Q
q
qQ
q
porque q < Q.
Falta un pequeño detalle, el que podemos suponer que la fracción p/q es
irreducible. Nótese que, desde el punto de vista de la aproximación, ése es el
peor caso (si fuera reducible, con un denominador más pequeño seguirı́amos
consiguiendo el error de 1/q 2 ).
Supongamos entonces que los p y q para los que tenemos la aproximación cuadrática no son primos entre sı́, y escribamos p = mcd(p, q) p y
q = mcd(p, q) q ; obsérvese que q < q. Ahora reescribamos nuestra aproximación:
1
p p > x − = x − .
q2 q
q
Pero claro, como q < q, obtenemos que podemos encontrar (a partir de los
p y q originales) dos enteros p y q , primos entre sı́, tales que
x − p < 1 ,
q q 2
lo que afirmaba la segunda parte del teorema.
✷
Las siguientes subsecciones están dedicadas a extraer (jugosas) consecuencias de este resultado. Hacemos notar que el teorema de Dirichlet es
válido para cualquier número real, tanto racional como irracional.
4.2.2
Otra prueba de la identidad de Bezout
Recordemos la identidad de Bezout: si a y b son dos enteros primos entre
sı́, entonces podemos encontrar enteros x e y tales que
ax + by = 1 .
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Capı́tulo 4. El principio del palomar
En su momento dimos una prueba constructiva, vı́a el algoritmo de Euclides; ahora podremos dar un elegante argumento, basado en el teorema de
Dirichlet.
Consideremos dos enteros a y b primos entre sı́ (supongamos6 b ≥ 2)
y apliquemos el teorema de Dirichlet para x = a/b y Q = b. Podremos
encontrar enteros p y q, con 0 < q < b tales que
1
a
q − p ≤ .
b
b
Esto es, se cumplirá que
|a q − b p| ≤ 1 .
La cantidad aq − bp no puede valer 0, porque eso supondrı́a que
a
p
=
b
q
con q < b,
algo contrario a la hipótesis de que a y b eran primos entre sı́. Ası́ que
tendremos que
a q − b p = ±1 .
En el caso en que el segundo miembro sea 1, tomamos x = q e y = −p. Si
fuera −1, tomarı́amos x = −q e y = p.
4.2.3
Una caracterización de los números irracionales
Sabemos que en el conjunto de los números reales R hay números racionales
e irracionales. El conjunto de los racionales Q tiene cardinal ℵ0 , porque se
puede poner en biyección con los naturales, N, y eso es algo que no podemos
hacer con los irracionales. Es decir, con las precauciones que hay que tomar
a la hora de entender tamaños infinitos, hay muchos más irracionales que
racionales. Si tomáramos un número real al azar, entonces con probabilidad 1 encontrarı́amos un irracional7 . Sorprendentemente, mientras que dar
ejemplos de números racionales es una labor trivial, decidir si un número es
irracional es un problema muy difı́cil, en general.
Hasta ahora, un número irracional era aquél cuyo desarrollo decimal ni
era finito ni era recurrente; y claro, no es una definición muy útil a la hora
de decidir si un cierto número es racional o no. Algunos argumentos
hoc
√ √ ad √
nos permitı́an demostrar la irracionalidad de números como 2, 5, 3 2,
etc. Pero se basaban en la forma especial de esos números (raı́ces cuadradas,
raı́ces cúbicas). ¿Qué podemos decir de números como e ó π?
El teorema de Dirichlet nos proporciona una caracterización alternativa.
6
Si b = 1, la ecuación ax + y = 1 tiene una solución inmediata, x = 0 e y = 1.
Obsérvese que ahora el tener un suceso de probabilidad nula, como es el de obtener
un racional, no quiere decir que no haya racionales.
7
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4.2. Algunas aplicaciones a la Teorı́a de Números
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Teorema 4.2 El número x es irracional si y sólo si existen infinitas fracciones pn /qn , con mcd(pn , qn ) = 1, tales que
x − pn < 1 .
qn qn2
Demostración. Supongamos que x es un irracional. Por el teorema de
Dirichlet (en la versión que exhibı́amos en la demostración del teorema),
sabemos que para cada n existe una fracción pn /qn (podemos suponer que
pn y qn son primos entre sı́) que cumple que
x − pn ≤ 1 , con 0 < qn < n .
qn qn n
Y, por tanto,
x − pn ≤ 1 ,
qn qn2
con 0 < qn < n .
Pero ahora supongamos que, en realidad, en la sucesión de fracciones pn /qn
sólo hay un número finito de ellas distintas; queremos llegar a una contradicción.
El principio del palomar, en su versión infinita, nos dice que al menos
una de esas fracciones distintas, que llamaremos p/q, se repite un número
infinito de veces. Esto es, hay infinitos valores de n para los que se cumple
que
p
x − ≤ 1 .
q qn
Pero el que esta desigualdad sea cierta para n arbitrariamente grande sólo
deja una posibilidad: que x coincida con p/q; y eso contradice el que x sea
irracional.
En el otro sentido, supongamos que existen infinitas fracciones pn /qn (pn
y qn primos entre sı́) tales que
x − pn < 1 .
qn qn2
Supongamos que, a pesar de eso, x es un número racional, digamos x =
a/b (podemos suponer que mcd(a, b) = 1 y que x es positivo); de nuevo,
queremos llegar a una contradicción.
Se tendrı́a que
a pn |a qn − b pn |
1
1
> − =
≥
,
qn2
b
qn
b qn
b qn
porque a qn − b pn es un entero distinto de 0 (excepto, quizás, para un valor
de n). Es decir, que
1
1
≤ 2 ⇒ b ≥ qn .
b qn
qn
(versión preliminar 4 de abril de 2002)
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Capı́tulo 4. El principio del palomar
Y si todos los qn han de ser menores o iguales que b, entonces es imposible
✷
que haya infinitas aproximaciones pn /qn distintas.
4.2.4
El número e es irracional
Vamos a aplicar el resulatdo anterior a un número famoso: el número e. Y
empecemos con una caracterización alternativa de los números irracionales,
que se deduce de la anterior.
Corolario 4.1 El número x es irracional si y sólo si para cada ε > 0 podemos encontrar enteros p y q tales que
0 < |q x − p| < ε .
Demostración. El teorema anterior garantiza que podemos encontrar infinitas fracciones pn /qn tales que
x − pn < 1 ,
qn qn2
y donde los denominadores qn forman una sucesión estrictamente creciente.
Dado un ε > 0, elegimos un n lo suficientemente grande como para que
qn > 1/ε. Y entonces
1
< ε.
|qn x − pn | <
qn
Recı́procamente, aceptemos que, dado el número x, para cada ε > 0 podemos encontrar enteros p y q tales que 0 < |qx − p| < ε. Y supongamos que
x es de la forma a/b, con b un número natural. Tomando como ε = 1/b,
encontrarı́amos un par de enteros p1 y q1 tales que
a
1
0 < q1 − p 1 <
=⇒ 0 < |a q1 − b p1 | < 1 .
b
b
Y esto no puede ocurrir si p1 y q1 son enteros.
✷
Apliquemos esta caracterización a probar que el número e es, efectivamente, un número irracional. La base de los logaritmos naturales, e, se
define como el valor de la serie
∞
1
.
e=
n!
n=0
Consideremos, para cada valor de N , las sumas parciales de esta serie, que
escribimos de una forma conveniente:
N
p
1
1 N! N!
N!
N
=
N! +
+
+ ··· +
+1 =
n!
N!
2!
3!
(N − 1)!
N!
n=0
pN
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4.2. Algunas aplicaciones a la Teorı́a de Números
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(nótese que todos los pN son enteros). Entonces, utilizando que sabemos
sumar la serie geométrica,
∞
N
1 1 1
1
+
+ · · · 0 < e −
= =
n! n! (N + 1)! (N + 2)!
n=0
n=N +1
1
1
1
1+
+
+ ···
=
(N + 1)!
(N + 2) (N + 2)(N + 3)
1
1
1
1+
+
<
+ ···
(N + 1)!
(N + 1) (N + 1)2
∞
1
1
1
1
1
,
=
=
=
1
j
(N + 1)!
(N + 1)
(N + 1)! 1 − N +1
N N!
j=0
de donde
pN 1
0 < e −
<
N!
N N!
=⇒
0 < |e N ! − pN | <
1
.
N
Para cada ε > 0 podemos encontrar N lo suficientemente grande como para
que 1/N < ε. Los enteros N ! y pN correspondientes son los que pedı́a
obtener el criterio de irracionalidad expuesto antes.
La demostración de que el número π es irracional, aunque más complicada, puede hacerse siguiendo estas ideas. Pero, como ya hemos advertido
varias veces, probar la irracionalidad de un número determinado puede ser
un problema arduo. Por ejemplo, un número famoso, la llamada constante
de Euler,
k
1
− log k ,
γ = lim
k→∞
n
k=1
todavı́a no se sabe si es irracional. Otro caso importante son los números
∞
1
ζ(k) =
,
nk
n=1
los valores de la función zeta de Riemann en los enteros positivos. Para k es
par, ya Euler sabı́a sumar esta serie , y el resultado es un número irracional;
pero si k es impar, apenas se sabe nada. De hecho, sólo en el caso de ζ(3) se
ha podido establecer la irracionalidad (y es un resultado de Apéry de 1978).
(versión preliminar 4 de abril de 2002)