Producto de números enteros - ESO Bachillerato Universidad

Matemáticas - 1o ESO
1
Producto de números enteros
El producto es el equivalente a sumar varias veces una misma cantidad.
5 veces
z
}|
{
Ejemplo: 3 · 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
Si se trata entonces de multiplicar por un número positivo es fácil ver que el signo será el del primer
factor. Veámoslo con un ejemplo.
5 veces
z
}|
{
Ejemplo: (−3) · 5 = (−3) + (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −15
Vemos a través de los dos ejemplos anteriores que cuando multiplicamos dos enteros el producto
será en valor absoluto el mismo que el producto de ambos factores en valor absoluto. El signo
será positivo si los signos de ambos factores son iguales y negativo si los signos son diferentes. Lo
resumimos en el siguiente cuadro.
(+a) · (+b) = +(a · b)
(+a) · (−b) = −(a · b)
(−a) · (+b) = −(a · b)
(−a) · (−b) = +(a · b)
Nota: A menudo no es necesario poner ni paréntesis, (excepto cuando aparecen dos signos consecutivos), ni el punto en los productos.
(+2) · (+6) = +(2 · 6) = +12 = 12
3 · (−5) = −(3 · 5) = −15
Ejemplos:
(−1) · (+3) = −(1 · 3) = −3
(−2) · (−4) = +(2 · 4) = 8
¿Resta, negativo o producto?
En matemáticas es frecuente encontrar normas orientadas a reducir expresiones cuando no hay
ambigüedad que confunden a menudo a los alumnos. Veamos una de ellas.
(−1) · a = −a
Si no hay 2 signos seguidos puedo omitir tanto paréntesis como el sı́mbolo del producto, (·). Además,
si estoy multiplicando por 1, puedo omitir dicho número 1.
Esto hace que cuando me encuentro con una operación como la siguiente: b − a, no solo pueda
interpretarla como una
resta, (b − a). También puedo interpretarla como una suma con un número
negativo, b + (−a) , e incluso puedo ver un producto dentro de la operación, b + (−1) · a . Las
tres interpretaciones son correctas y puedo cambiar de una a la otra.
www.EsoBachilleratoUniversidad.Com.Es
Matemáticas - 1o ESO
−2
2
−2
z }| {
z }| {
Ejemplo: −3 + (−1) · 2 = −3 +(−2) = −3 − 2 = −5
Propiedades del producto de números enteros
La multiplicación de números enteros cumple las propiedades que la multiplicación de números
naturales:
Operación interna
Del producto de dos números enteros siempre se obtiene un resultado entero.
Propiedad conmutativa, a · b = b · a
El orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo: 3 · (−2) = −2 · 3 = −6
Propiedad asociativa, (a · b) · c = a · (b · c)
No importa como agrupemos las operaciones. El resultado siempre es el mismo.
(3 · (−5) · (−7)
= −15(−7) = +105
Ejemplo:
3 · −5 · (−7)
= 3 · (+35) = +105
Elemento neutro o elemento identidad: 1
El elemento neutro de producto de número enteros es el 1, ya que a · 1 = a.
Ejemplos: +3 · 1 = +3; −5 · 1 = −5
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma
La propiedad distributiva se cumple en los enteros igual que en los naturales.
a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo: −3 · (−5 + 2) = −3 · 5 + (−3) · 2;
−3 · (5 + 2) = −3 · 7 = −21;
−3 · 5 + (−3) · 2 = −15 + (−6) = −21
La propiedad distributiva también puede usarse en sentido contrario para sacar factor común.
a · b + a · c = a · (b + c)
Ejemplo: 7 · (−2) + 7 · 5 = 7 · (−2 + 5) = 7 · 3 = 21.
www.EsoBachilleratoUniversidad.Com.Es