INTEGRACI´ON COMPLEJA. TEORÍA LOCAL DE CAUCHY 1.

INTEGRACIÓN COMPLEJA. TEORÍA LOCAL DE CAUCHY
1.- Si f (z) = (Re z)2 − i(Im z)2 , calcular
R
γ
f (z) dz, donde γ es:
i) el arco de parábola y = 2x2 entre los puntos 1 + 2i, 2 + 8i,
ii) [1 + 2i, 1 + 8i] ∪ [1 + 8i, 2 + 8i],
iii) [1 + 2i, 2 + 8i].
R
En general, probar que Re γ f (z) dz = 0 para todo camino cerrado γ con soporte en
C. ¿Cuál es la relación de este hecho con los resultados de i), ii) y iii)?
Z
2.- Calcular
z 2 dz, donde γ es: i) la circunferencia |z| = 1, ii) la circunferencia |z − 1| =
γ
1, orientadas en sentido positivo.
Z
Pn (z) dz
= 0, si Pn es un polinomio de grado menor o igual
3.- Demostrar que
n+1
(z − a)
|z|=r z
que n y a ∈ D(0, r).
Z
©
ª
Log3 z
4.- Calcular
dz, donde γ es el arco z ∈ C; |z| = 1, 0 ≤ Arg z ≤ π2 .
z
γ
Z
z+1
z 2 Log
dz.
5.- Hallar
z−1
|z|=2
6.- Probar que sen(πz) Log z es integrable en {z ∈ C; |z| = 1}. Hallar
Z
sen(πz) Log z dz.
|z|=1
R 2π
R 2π
7.- Demostrar que 0 ecos t sen(sen t)dt = 0 y 0 ecos t cos(sen t) dt = 2π.
Z
ezt
8.- Hallar
dz, donde γ = {z ∈ C; |z| = 3} y t ∈ R.
2
γ z +1
Z
e3z
9.- Hallar
dz, donde γ es la elipse {z ∈ C; |z − 2| + |z + 2| = 6}, de forma que
γ z − πi
Indγ (0) = 1.
Z
zez
10.- Sea γ una circunferencia que rodea el punto −1. Calcular
dz.
3
γ (z + 1)
11.- Sea R > 1 y f ∈ H({z ∈ C; |z| < R}). Hallar
Z
1 f (z)
(2 + z + )
dz.
z z
|z|=1
Z
2 2π
θ
Deducir de aquı́ que
f (eiθ ) cos2 dθ = 2f (0) + f 0 (0).
π 0
2
Z
sen z sen(z − 1)
dz.
z2 − 2
|z|=2
Z
sen(πz 2 ) + cos(πz 2 )
13.- Hallar según los valores de r
dz.
(z − 1)(z − 2)
|z|=r
µ
¶n
Z
z
14.- Dado n ∈ N, hallar
dz.
z−1
|z−1|=1
12.- Calcular
z
y 0 < r < 1. Probar que
(1 − z)2
Z 2π
Z
1
r
1
it
|f (re )| dt =
dz,
2π 0
2iπ |z|=r (z − 1)(r2 − z)
Z 2π
1
r
y deducir que
|f (reit )| dt =
.
2π 0
1 − r2
15.- Sea f (z) =
16.- Sea u una función armónica en un abierto Ω. Si D(a, r) ⊂ Ω, probar que u(a) =
Z 2π
1
u(a + reit ) dt.
2π 0
17.- Sea
a)
b)
c)
f una función entera. Probar que:
Si |f | ≥ 1, f es constante.
Si Re f ≤ 0 ó Im f ≤ 0, f es constante.
Si Re f ó Im f no tienen ceros, f es constante.
18.- Sean f una función entera y A una constante tales que |f (z)| ≤ A(1 + |z|)m . Probar
que f es un polinomio de grado menor o igual que m.
19.- Sean f ∈ H(C) y A, M > 0 tales que |f (z)| ≤ M eA|z| . Probar que
|f 0 (z)| ≤ M AeA|z|+1 .
20.- Sean Ω abierto convexo y f ∈ H(Ω) tal que f (z) 6= 0 para todo z ∈ Ω. Probar que
existe una g ∈ H(Ω) tal que eg(z) = f (z) para todo z ∈ Ω.
21.- Sea f (z) =
∞
X
an (z − a)n en D(a, R).
n=0
a) Demostrar la identidad de Parseval: si 0 < r < R,
Z 2π
∞
X
1
it 2
|f (a + re )| dt =
|an |2 r2n .
2π 0
0
b) Probar que
∞
X
|an |2 r2n ≤ M (r)2 ,
n=0
donde M (r) = sup{|f (z)|; |z − a| = r}.