problemas tipo

PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1
Una onda armónica transversal que se propaga a lo largo de la dirección
positiva del eje de las X tiene las siguientes características: Amplitud
5cm,longitud de onda 8π cm y velocidad de propagación 40cm/s. Sabiendo
que la elongación de la partícula de abscisa x = 0, en el instante t = 0, es de
5cm, determinar:
a) El número de onda y la frecuencia angular de la onda.
b) La ecuación que representa el M.V.A.S. de la partícula de abscisa x = 0
c) La ecuación que representa la onda armónica transversal indicada
Solución
Ecuación de la onda transversal: y(x,t) = Acos ( ωt- kx + ϕ)(1)
ω = frecuencia angular de la onda
k = Número de onda
ϕ = Constante en los orígenes de espacio y tiempo
a)
k = 2π/λ = 2π/8π = 0.25 cm –1 (2)
ω = vk = 40 . 0.25 = 10 rad/s (3)
Sustitu. A=5cm, (2) y (3) en (1): y(x,t) = 5cos (10t – 0.25x + ϕ)
b) partir de las condiciones iniciales calcularemos la constante de fase ϕ
y(0,0) = 5 = 5cosϕ ⇒ ϕ = 0º ⇒ y (0,t) = 5cos10t
c) y(x,t) = 5cos (10t – 0.25x)
t en s.
x en cm
y en cm
PROBLEMA 2
Un cuerpo de masa 100 kg está situado en la superficie de la Tierra.
a) ¿Cuál es su peso?
b) Si se duplicara el radio de la Tierra, manteniendo la masa de ésta, ¿cuál
sería entonces el peso del cuerpo?
c) Si se duplicara el radio de la Tierra, manteniendo constante su densidad
media, ¿cuál sería en tal caso el peso del objeto? Ignórese el efecto de la
rotación terrestre. (g = 9.8 m.s-2 )
Solución
a) Peso = F = GMm/R2 = mg = 100 x 9.8 =
980 N
b) Ahora el radio terrestre vale R´= 2 R ⇒F´
= GMm /R´2
Sustituyendo y operando:Peso = F´ = 245 N.
c) R´ = 2R y ρ = M/V = M´/V´ ⇒
M´ = M(4/3)π(2R)3 / (4/3)π(R)3 =8M ⇒
Peso = F” = GM´m/R´2 = 8GMm/4R2 = 2mg = 2 x 100 x 9.8 = 1.960 N.
PROBLEMA 3
Calcular la masa del sol, suponiendo que la órbita de la Tierra en torno a él es
una circunferencia de radio 1.5 x 1011 m. Recuérdese que la Tierra recorre su
órbita en un año y que la constante de gravitación universal vale G = 6.7 x
10-11 N m2/kg2.
Solución
La fuerza gravitatoria ejercida por el Sol sobre la Tierra será igual a la masa de
la misma por la aceleración
centrípeta:
G ms mt / R2 =
m t v2 / R
(1)
La longitud de la órbita de la Tierra es igual al producto de la velocidad
de la Tierra por el periodo:
2 πR = v T
(2)
De (1) y (2) se obtiene:
ms = 4 π2 R3 / 6 T2 = 1.99x1030 kg.
PROBLEMA 4
Cada uno de los electrones que componen un haz tiene una energía cinética
de 1.6 x 10-17 J. a) Calcular su velocidad. b) ¿Cuál será la dirección, sentido
y módulo de un campo eléctrico que haga que los electrones se detengan a
una distancia de 10 cm, desde su entrada en la región ocupada por el campo?
(Carga del electrón e= - 1.6 x 10-19 C. Masa del electrón me = 9.1 x 10-31
kg.)
Solución
a) Despejaremos la velocidad de la energía cinética:
v =√ 2Ec / m
Sustituyendo datos obtendremos: v = 5.93x106 m/s.
b) Para que el electrón se detenga es necesario aplicar un campo eléctrico de
la misma dirección y sentido que las de la velocidad de los electrones
w = Ecf - Eci ⇒ - F . s = - Eci ⇒ E = Eci / e.s
Sustituyendo datos y operando obtendremos: E = 1.103 N/C.
PROBLEMA 5
Tres hilos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos, están situados en el
mismo plano. Los tres conductores están recorridos por corrientes iguales a 1
A, siendo sus sentidos los indicados en la figura.
a) Hallar la fuerza por unidad de longitud (dando el módulo, dirección y
sentido) sobre el conductor central.
b) Si se invierte el sentido de la corriente del conductor de la derecha, ¿cuál
es la fuerza por unidad de longitud sobre el conductor central?.(µo = 4 π. 107 kg m C-2)
Solución
Los conductores
1
y
3
crearán en P dos campos B1 y B3 ,
respectivamente, dados por la ley de Biot y Savart. La dirección y el sentido de
ambos son los indicados en la figura y el valor de su módulo vendrá dado por:
Bi = µ0 I / 2π di
/
i = 1, 3
Cada uno de los campos ejercerán sobre el
conductor 2 una fuerza dada por la ley de Laplace.
Las direcciones y los sentidos son los indicados en
la figura y, el valor de sus módulos vendrán dados
por: Fi / l = µ0 I2 / 2 π di
El módulo de la resultante será:
F/l = µ0
I2/2π( 1/ d1 - 1/ d2 ) = 2.7 x 10-6 N/m.
En el segundo caso, ambas fuerzas se ejercerán hacia la derecha, por
haber cambiado el sentido del campo creado por el conductor de la derecha. El
resultado será:
F /l = 16/15 x 10-5 N / m.
PROBLEMA 6
Un carrete de hilo conductor, de 500 espiras de 0.05 m. De radio, está
colocado en un campo magnético uniforme de módulo 0.1 T, de modo que el
flujo que lo atraviesa es máximo. A) Hallar la f.e.m. media inducida en el
carrete si, en un intervalo de 0.o2 s, el campo duplica su valor. B) Hallar la
f.e.m. media inducida, si el carrete gira 180º con respecto a un eje que pasa
por su centro y es perpendicular al campo magnético, en un intervalo de 0.02
s, cuando éste vale 0.1 T.
Solución
a)
φ = N B ° S ; φmáx⇔ α = 0º ⇒ φ = N B S
Ley de Faraday – Lenz :
εm = φ2 -φ1 / t2 – t1
ε = - dφ / dt
= 2φ1 - φ1/∆t = NB1πR2/∆t ⇒
εm = 500 x 0.1 x π x 0.052 / 0.3 = 19.63 V
b)
φ = NBS cos α
εm = 2 x 500 x 0´1 x π x 0.052 / 0.02 = 39.27 V
PROBLEMA 7
Un rayo de luz amarilla, emitido por una lámpara de sodio, tiene una longitud
de onda en el vacío de 589·10-9 m. Determinar:
a)Su frecuencia
b)Su velocidad de propagación y su longitud de onda en el interior de una
fibra de cuarzo, cuyo índice de refracción n = 1.458
c)El ángulo de incidencia mínimo para el rayo de luz que, propagándose por el
interior de la fibra de cuarzo, encuentre la superficie de discontinuidad entre
el cuarzo y el aire y experimente reflexión total.
Dato: velocidad de la luz en el vacío = 3 x 108 m/s.
Solución
Las ondas electromagnéticas al cambiar de medio varían su velocidad,
permaneciendo constante su
frecuencia.
a)
n = c/ v
λ = λ0 = c T
y
λ= v T ⇒ n = c T / λ
⇒ 589 x10-9 = 3 x 108 T ⇒ T = 589/3 x 10-17 s.
f = 1/ T ⇒ f = 5.1 x 1014 Hz.
b)
λ0 = c T
y
λ = v T ⇒ λ0 / λ = c / v = n ⇒
⇒ v = 3 x108 / 1.458 = 2.1 x 108 m/s.
λ = λ0 / n = 589 x10-9 / 1.459 = 4 x 10-7 m.
c) El ángulo de incidencia mínimo para experimentar reflexión total es
el ángulo límite: sen i = naire / ncuarzo ⇒ sen i = 1 / 1.458 = 0.686 ⇒ i =
43º
PROBLEMA 8
Un espejo esférico, cóncavo, ha de formar una imagen invertida de un objeto
en forma de flecha sobre una pantalla situada a una distancia de 420 m.
Delante del espejo. El objeto mide 5 mm. Y la imagen ha de tener una altura
de 30 cm. Determinar:
a)
A qué distancia del espejo debe colocarse el objeto.
b)
El radio de curvatura del espejo.
Efectuar la construcción geométrica de la citada imagen.
Solución
La parte cóncava la colocaremos dirigida hacia la parte izquierda.
Definición de aumento lateral: y´ / y = - s´ / s ⇒ s = - (-420) x 0.5 /
(-30) ⇒
 s = - 7 cm. ⇒ el objeto lo colocaremos a 7 cm. delante del espejo
b) Ecuación de los focos conjugados: 1/ s´ + 1/s = 1/ f
1/-7 = 1/f
⇒ 1/-420 +
⇒ f = - 6.88 cm. ⇒ el foco estará situado a 6.88 cm del vértice del
espejo y delante de él.
R = 2 f = - 13.76 cm.
Construcción gráfica:
Desde el extremo del
objeto tiraremos dos
rayos, uno paralelo al eje
que se reflejará pasando
por el foco y, otro que
pasando por el centro de
curvatura no se desvía. La
intersección de ambos nos
proporciona la posición de la imagen.
PROBLEMA 9
En un conductor metálico los electrones se mueven con una velocidad de
1x10-2 cm/s. Según la hipótesis de De Broglie, ¿cuál será la longitud de onda
asociada a estos electrones?. ¿Toda partícula, sea cual sea su masa y
velocidad, llevará asociada una onda?.
Datos: Masa del electrón : me = 9.109 x 10-31 kg.
Constante de Planck: h = 6.626 x 10-34 J.s
Solución
Hipótesis de De Broglie: Toda partícula en movimiento lleva
asociada
una onda, cuya longitud de onda viene dada por:
4
λ= h / m v
⇒ λ = 6.626 x 10-34 / 9.109 x10-31 x 1.10-
λ = 7.274 m.
En partículas de gran masa no se podrá apreciar esta dualidad, sólo en el
mundo microscópico apreciaremos este doble comportamiento.
CUESTIONES
CU E S TIÓ N 1
Un niño está sentado en una noria de feria que gira en un plano vertical.
¿Qué trabajo realizan sobre él las fuerzas gravitatorias en una vuelta
completa? Razone la respuesta.
Solución
Al ser las fuerzas gravitatorias conservativas el trabajo que realizarán no
dependerá del camino seguido sino de la posición inicial y final por lo que su
valor será cero.
CU E S TIÓ N 2
Dos satélites artificiales 1 y 2, de igual masa, se hallan en órbitas circulares
estacionarias de radios R1 y R2 ( R1 < R2) alrededor de la Tierra. ¿Qué
satélite tiene mayor a) el radio de la órbita y b) energía potencial
gravitatoria?
Solución
Ley de la Gravitación Universal: La fuerza gravitatoria
ejercida por la Tierra sobre ellos, radial y dirigida hacia el
centro de la misma, les comunicará una aceleración
centrípeta:
F1 = G mT m1/R21 = m1 v21 / R1
(1)
F2 = GmT m2 / R22 = m2 v22 /R2
(2)
Ec1 = m1 v21 /2
Ec2 = m2 v22 /2
De (1), (2), (3) y (4) obtendremos:
(3)
(4)
Ec1 /Ec2 = R2/R1⇒
⇒ Ec1 > Ec2
Ep1 = - Gm1mT /R1 + Ep∞
Ep2 = - Gm2mT /R2 + Ep∞
Basándonos en que m1 = m2 y que R2 > R1⇒ Ep1 > Ep2
CU E S TIÓ N 3
Dos cargas positivas de magnitudes Q y 2Q se encuentran separadas una
distancia d. ¿En qué punto una tercera carga cualquiera no experimentará
fuerza neta alguna?.
Solución
Para que una tercera carga no experimente ninguna fuerza en un punto, debe
anularse el campo eléctrico creado por las dos cargas positivas en dicho punto.
Esto sólo puede ocurrir si el punto está en la línea de unión de las dos
cargas.
Q / x2 = 2Q / (d –x )2 ⇒ x =
0.41. d
CU E S TIÓ N 4
Una carga eléctrica penetra con velocidad v en una zona, donde existe un
campo magnético perpendicular a su trayectoria inicial. Describir
razonadamente los movimientos que podrá describir la partícula en función
del signo de la carga y de la magnitud de su velocidad. Elija arbitrariamente
el sentido del campo magnético.
Solución
La carga estará sometida a la fuerza de Lorentz F = q v x B por lo que al
ser F perpendicular a v, describirá una circunferencia. El signo de la carga
hará que si la partícula entra con dirección horizontal, la partícula se desvíe
hacia abajo o hacia arriba. El radio de la trayectoria descrita vendrá dado por:
R=mv/qB
Por lo que a mayor velocidad, mayor radio de la trayectoria descrita.
CU E S TIÓ N 5
Explique razonadamente, poniendo como ejemplo lo que le sucede a una
espira circular en el seno de un campo magnético, en qué ley del
electromagnetismo se fundamenta la generación de corriente alterna.
Solución
La generación de corriente alterna se fundamenta en el fenómeno de la
inducción, regido por la ley de Faraday-Lenz: ε = dφ / dt.
Cuando una espira gira en el interior de un B uniforme, el flujo variará
debido a la variación del ángulo que formarán B y S (vectór superficie,
perpendicular a la superficie de la espira ,que representa, y hacia fuera)
φ = B S cosα = B S cosω t ⇒ ε = B S ω sen ω t ⇒ que aparecerá una f.e.m.
en la espira, de amplitud B S ω y frecuencia ω / 2π
CU E S TIÓ N 6
Por el circuito E1 se hace pasar una corriente I aplicándole una
d.d.p. mediante una batería. Se aumenta lentamente la
resistencia variable R del circuito E1. R es mucho más grande
que la resistencia óhmica de la espira E1. Describa que sucede
en la espira E2
Solución
Al aumentar R descenderá I1 que originará, según la ley de Biot y Savart, un
campo magnético variable creador de un flujo magnético variable. Por ley de
Faraday-Lenz se inducirá en E2 una corriente I2 que compensará el descenso
de flujo magnético creado por I1.