Esquema de los contenidos del tema 13

Análisis de Datos I
Esquema del Tema 13
Tema 13: Variables aleatorias discretas
1. DEFINICIÓN
2. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD, f(x)
3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN, F(x)
4. CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES DISCRETAS
UNA VARIABLE:
Valor Esperado de X, E(X)
Varianza de X, σ2(X)
DOS VARIABLES:
Función de probabilidad conjunta, f (xi, yj)
Covarianza y correlación de X e Y, σ (XY) y ρ (XY)
5. INDEPENDENCIA
__________________
Bibliografía: Tema 10 (pág. 265-283)
Carmen Ximénez
1
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 13
1. DEFINICIÓN
“Una variable aleatoria es una función que asocia un número real y sólo uno, a
cada suceso elemental del espacio muestral (E ) de un experimento aleatorio”.
Se representan mediante letras mayúsculas y pueden tomar N posibles valores:
X = { x1, x 2, ... , xi , ... , xn }
Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzar una moneda al aire dos veces”
Sucesos elementales: E = {CC, CX, XC, XX}. Donde: C (Cara) y X (Cruz)
Se define el suceso X: Nº de caras
Asignación de números reales: (CC, 2); (CX, 1); (XC, 1); (XX, 0)
La variable X viene definida por los valores: 0, 1, 2
Por tanto, X = {0, 1, 2}
Las variables aleatorias discretas “Se definen sobre espacios muestrales finitos o
infinitos y numerables”
2. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD, f (x)
Probabilidad de que la variable X tome un valor concreto: f (xi) = P (X = xi)
Donde: Σ f (xi) = 1.
Gráficamente se representa mediante barras. Con los datos del ejemplo anterior:
.60
X
f (xi)
0
0,25
1
0,50
f (x)
.50
2
0,25
.40
.30
.20
0
1
2
X
3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN, F (x)
Probabilidad de que la variable X tome un valor u otro inferior: F (xi) = P (X ≤ xi)
Donde: F(xmín) = f (x1)
F(xmáx) = 1
Gráficamente resulta ‘la función escalera’. Continuando con el ejemplo anterior:
1.20
1.00
X
F (xi)
0
0,25
1
0,75
2
1,00
F (x)
.80
.60
.40
.20
0.00
0
1
2
X
Carmen Ximénez
2
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 13
4. CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES DISCRETAS
UNA VARIABLE:
Valor esperado: E (X) = μ = Σ [xi · f (xi) ]
Varianza: σ2 (X) = [Σ xi2 · f (xi)] – [E(X)]2
Propiedades:
E (a) = a;
σ2 (a) = 0
(donde a es una constante)
Si Y = X + a ........ E(Y) = E(X) + a .................. σ2(Y) = σ2(X)
Si Y = a · X .......... E(Y) = a · E(X) .................. σ2(Y) = a2 · σ2(X)
DOS VARIABLES:
Cuando trabajamos con dos variables discretas, X e Y, se puede definir la probabilidad
de que ambas tomen ciertos valores (xi e yj) simultáneamente. A esto se le denomina:
Función de probabilidad conjunta, f (xi, yj) = P[(X = xi) ∩ P(Y = yj)]
Y
X
x1
x2
..
.
xn
y1
f (x1, y1)
f (x2, y1)
..
.
f (xn, y1)
f (y1)
y2
f (x1, y2)
f (x2, y2)
..
.
f (xn, y2)
f (y2)
…
…
…
..
.
…
…
ym
f (x1, ym)
f (x2, ym)
..
.
f (xn, ym)
f (ym)
f (x1)
f (x2)
..
.
f (xn)
1,00
Los índices que reflejan la relación lineal entre las variables X e Y son los siguientes:
La Covarianza,
σ ( XY ) = E( XY ) - E( X ) ⋅ E(Y )
Donde, E(XY) = ∑∑ xi ⋅ y j ⋅ f ( xi , y j )
i
La Correlación,
ρ ( XY ) =
j
σ ( XY )
σ ( X ) ⋅ σ (Y )
Propiedades:
Si T = X + Y ......... E(T) = E(X) + E(Y) .......... σ2(T) = σ2(X) + σ2(Y) + 2 σ (XY)
Si T = X - Y .......... E(T) = E(X) - E(Y) ........... σ2(T) = σ2(X) +σ2(Y) - 2 σ (XY)
Si T = X + Y + Z ... E(T) = E(X) + E(Y) + E(Z)
σ2(T) = σ2(X) + σ2(Y) + σ2(Z) + 2 · [σ(XY) + σ(XZ) + σ(YZ)]
5. INDEPENDENCIA
Dos variables aleatorias X e Y son independientes si para todo par de valores (xi, yj) se
cumple que:
f (xi, yj) = f (xi) · f (yj)
Si X e Y son independientes: f (xi / yj) = f (xi)
σ (XY) =ρ(XY) = 0
Nota: Aunque dos sucesos (p.e. x1, y3) sean independientes, para que las variables X e Y lo sean
tienen que serlo todos los restantes sucesos.
Carmen Ximénez
3
Análisis de Datos I
Esquema del Tema 13
EJEMPLO (resuelto)
La variable aleatoria X tiene la siguiente distribución:
0
0,15
X
f (xi)
1
0,40
2
0,30
3
0,15
1. Obtenga la función de distribución para la variable X
2. Represente gráficamente la función de probabilidad y la función de distribución de la
variable X
3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener valores superiores a 1? ¿y menores que 3? ¿y entre 1 y
3 (ambos inclusive)?
4. Obtenga el valor esperado y la varianza de la variable X
5. Obtenga el valor esperado y la varianza de las variables U = X + 2 y W = 3 X
6. La variable X se mide por segunda vez y se obtiene la variable Y:
0
1
2
3
Y
f (yi)
0,35
0,25
0,30
0,10
a) Obtenga la distribución conjunta de X e Y si se asume que son independientes
b) Calcule el valor esperado y la varianza para las variables R = X + Y y S = 2X - Y
si X e Y son independientes
SOLUCIÓN
1.
0
0,15
X
F (xi)
1
0,55
2
0,85
3
1,00
F (x)
f (x)
2.
0
1
2
3
0
X
3. E (X) = 1,45
1
2
3
X
σ (X) = 0,85
2
4. P (X > 1) = P (X ≥ 2) = 1 – F(1) = 0,45
(o también f (2) + f (3) = 0,45)
P (X < 3) = P (X ≤ 2) = F(2) = 0,85 (o también f (0) + f (1) + f (2) = 0,85)
(o también f (1) + f (2) + f (3) = 0,85)
P (1 ≤ X ≤ 3) = F(3)- F(0) = 0,85
5. E (U) = 3,45
σ2 (U) = 0,85;
E (W) = 4,35
σ2 (W) = 7,65
X
6. a)
Y
0
1
2
3
b) E (R) = 2,60
Carmen Ximénez
0
0,052
0,038
0,045
0,015
0,15
1
0,14
0,10
0,12
0,04
0,40
σ2 (R) = 1,87;
2
0,105
0,075
0,090
0,030
0,30
E (S) = 1,75
3
0,052
0,037
0,045
0,015
0,15
0,35
0,25
0,30
0,10
1,00
σ2 (S) = 4,607
4