Probabilidad y Simulación

Probabilidad y
Simulación
Estı́mulo del Talento Matemático
Real Academia de Ciencias
4 de febrero de 2006
Probabilidad y Simulación
Talento Matemático 2005/2006. Real Academia de Ciencias
Entendiendo el azar
Queremos entender un fenómeno aleatorio (azar, incertidumbre).
Entenderlo lo suficiente como para poder tomar decisiones.
Aparte de los juegos de azar que veremos aquı́, ¿se te ocurren otros
fenómenos que podrı́amos describir como aleatorios?
Planteamos la siguiente cuestión (algo novelesca): nos hemos metido
en lı́os y debemos un millón de euros a la mafia. La deuda vence
mañana por la mañana. Son las 8 de la tarde y disponemos de 10000
euros. El casino está abierto toda la noche. Ası́ que decidimos jugar
a la ruleta.
Parece que tenemos pocas opciones para “sobrevivir”. . . ¿pero
cuántas, realmente? Queremos saber si la probabilidad de que
consigamos nuestro objetivo es del 50 %, del 20 % o si es, quizás,
un objetivo “imposible”.
¿Qué dirı́as?
¿Y cómo apostamos? ¡Es, desde luego, una cuestión de vida o
muerte!
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Talento Matemático 2005/2006. Real Academia de Ciencias
El azar y el ordenador
Una manera de abordar la cuestión consiste en simular muchas
veces la cuestión que nos interesa.
Supongamos que hemos decidido la estrategia de apuestas que
vamos a seguir.
Empezamos a jugar (siguiendo esa estrategia). Los sucesivos
resultados de la ruleta van decidiendo el dinero que vamos
teniendo. Al final, apuntamos si hemos cumplido el objetivo o
no. (¿¿Podrı́a no acabar nunca la partida??)
Esto lo repetimos muchas veces y calculamos la proporción
de veces en que hemos tenido éxito.
Por supuesto, podemos jugar con una ruleta de verdad. Pero también
podemos utilizar el ordenador como laboratorio de simulación.
La primera vez que se utilizó esta técnica fue
en torno a 1940, en el Proyecto Manhattan
(¿te suena?). A veces se le llama el método
Montecarlo (¿se te ocurre por qué?). En
la foto vemos a John von Neumann, uno de
sus creadores, posando junto al ENIAC.
En realidad, como veremos, todo lo que necesitamos es simular
el lanzamiento de una moneda. Por supuesto, siempre está el
experimento “fı́sico” (no muy práctico, por cierto).
Imagina que nos dan un número (“al azar”) entre 0 y 1. ¿Sabrı́as
cómo aprovecharlo para simular el lanzamiento de una moneda?
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¿Y si la moneda estuviera “trucada” (por ejemplo, un 60 % para
cara y un 40 % para cruz)?
Aunque aquı́ no lo utilizaremos: ¿y si lo que quisiéramos simular
fuera un dado?
¿Crees que podremos diseñar “sorteos” en el ordenador cuyos
resultados sean números cualesquiera entre 0 y 1? ¿Y si quisiéramos
generar números entre 0 y 1 con, digamos, 10 cifras decimales?
¿Se te ocurre algún procedimiento (aleatorio) para generar números
entre 0 y 1 con, digamos, 10 cifras decimales? Afortunadamente,
Excel hace el trabajo por nosotros.
Un poquito de Excel
Vamos a utilizar la hoja de cálculo Excel para simular.
Valores y fórmulas.
Los números aleatorios. La instrucción =aleatorio().
Arrastrando para copiar.
Valores condicionales. La instrucción =si( ; ; ).
La herramienta gráfica; las teclas F2, F4 y F9.
Ilustración con Excel:
1. Generamos 1000 números entre 0 y 1. A partir de esta serie,
simulamos 1000 lanzamientos de moneda.
2. Hacemos un histograma de los resultados obtenidos. ¿Y si el
histograma que queremos hacer es el de los números aleatorios
originales?
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En el casino
Ya estamos frente a la ruleta. Decidimos, como primera estrategia,
apostar una cantidad fija, por ejemplo 1 euro, siempre al rojo. Si
sale (un número) rojo, recuperamos el euro apostado y ganamos
otro. Si la bola cae en un número negro (o en la casilla del 0),
entonces perdemos lo apostado.
Observemos que, si quitamos el 0, la ruleta se convierte en una
moneda (equilibrada). Si lo mantenemos, entonces es como una
“moneda trucada”. ¿Cuál es la probabilidad de ganar una apuesta?
Pero no solo nos interesa lo que ocurra en un lanzamiento, sino en
una larga partida.
Ejercicio de simulación. Empezamos con 3 euros, y jugamos
hasta conseguir un objetivo, digamos 20 euros. Si nos quedamos sin
dinero, entonces. . .
Queremos estimar (y comparar)
la probabilidad de conseguir el objetivo si jugamos con una
moneda equilibrada;
la de conseguirlo si jugamos realmente a la ruleta (apostando al
rojo).
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Estrategias
Podemos jugar (apostar) de diversas maneras. Por ejemplo,
Apostar siempre 1 euro al rojo.
Apostar siempre 1 euro al negro.
Apostar siempre al rojo, pero una cantidad mayor (por ejemplo,
3 euros).
Todo o nada: apostar todo nuestro dinero en cada lanzamiento.
¿Se te ocurre alguna mejora sobre la estrategia del todo o nada?
¿Y alguna otra estrategia diferente?
Necesitamos comparar estas estrategias. Recordamos que el objetivo es conseguir 20 euros (a partir de los 3 iniciales).
Cuando hayamos decidido cuál de ellas es la mejor, ya sabremos
algo sobre cómo nos van a ir nuestros tratos con la Mafia.
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