Agua pesada

Agua pesada
Estudiar como influye el movimiento del protón en la energı́a de ligadura del
átomo de hidrógeno. Calcular la diferencia que existe entre el hidrógeno y el deuterio
para la lı́nea espectral correspondiente a la transición de n = 2 a n = 1.
Solución
Datos:
mp = 1, 67262 · 10−27 kg
me = 9, 10939 · 10−31 kg
md = 3, 34359 · 10−27 kg
e = 1, 60218 · 10−19 C
C2
0 = 8, 85418 · 10
N · m2
h = 6, 62608 · 10−34 J · s
m
c = 2, 99793 · 108
s
−12
1
Si ponemos el sistema de referencia en el centro de masas C del átomo de
hidrógeno, la energı́a del protón y electrón es
1
1
e2
E = mp vp2 + me ve2 −
2
2
4π0 r
donde vp , ve son las velocidades respectivas y r es la distancia entre las dos partı́culas.
En este sistema de referencia el momento total es nulo, por lo que se cumple
mp vp = me ve ⇒ vp =
ve
1
e2
me
ve '
⇒ E ' me ve2 −
mp
2000
2
4π0 r
esto es, al ser el protón unas dos mil veces más pesado, su velocidad es mucho menor
y en una primera aproximación se desprecia, que fue lo que hizo Bohr en su modelo
de 1913 para obtener la energı́a cuantizada
me e4
En = − 2 2 2
80 h n
Ahora vamos a tener en cuenta el movimiento del núcleo para refinar el modelo.
Para ello escribimos la segunda ley de Newton para cada partı́cula
me
d2~re
e2
=
−
~ur
dt2
4π0 r2
e2
d2~rp
=
~ur
dt2
4π0 r2
siendo ~re , ~rp las respectivas posiciones respecto al centro de masas y ~ur el vector
unitario que apunta en la dirección que va del protón al electrón. Dividiendo por las
masas y restando la segunda ecuación de la primera, se tiene
e2
e2
1
1
e2
d2~re d2~rp
− 2 =−
~ur −
~ur = −
+
~ur
dt2
dt
me 4π0 r2
mp 4π0 r2
me mp 4π0 r2
mp
Poniendo
d2~re d2~rp
d2~r
−
=
dt2
dt2
dt2
y llamando
1
1
1
=
+
µh
me mp
con µh = 9, 10436 · 10−31 kg la masa reducida del átomo de hidrógeno, se tiene
d2~r
e2
d2~r
e2
=
−
~
u
⇒
µ
=
−
~ur
r
h
dt2
µh 4π0 r2
dt2
4π0 r2
Ası́ pues, el problema de las dos partı́culas en mutua interacción se ha reducido
al de una sola partı́cula sometida a la misma fuerza pero con la masa reducida.
2
Entonces, para la energı́a del sistema podemos usar la fórmula de Bohr, pero sustituyendo la masa del electrón por la masa reducida, esto es
Enh = −
µh e4
820 h2 n2
De aquı́ obtenemos la energı́a del fotón emitido correspondiente a la transición
n = 2 −→ n = 1
µh e4
1
3µh e4
h
h
∆Eh = E2 − E1 = 2 2 1 − 2 =
= 1, 63401 · 10−18 J
2 2
80 h
2
320 h
Análogamente podemos encontrar la energı́a para la misma transición en el deuterio, pero poniendo ahora la masa reducida correspondiente
µd =
me md
= 9, 10684 · 10−31 kg
me + md
con md la masa del deuterón.
∆Ed =
3µd e4
= 1, 63446 · 10−18 J
3220 h2
Para estas transiciones las longitudes de onda de la radiación emitida son
λh =
hc
hc
, λd =
∆Eh
∆Ed
y por tanto, entre las lineas de emisión de estos dos isótopos existe una pequeña
diferencia
1
1
∆λ = λh − λd = hc
−
= 3, 34705 · 10−11 m
∆Eh ∆Ed
que se denomina desplazamiento isotópico.
Aunque es muy pequeño, el desplazamiento isotópico fue observado en los espectros de emisión por primera vez en 1932 por Harold Urey, lo que le llevó a descubrir
el deuterio y el agua pesada.
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