Modelo Monetario de Generaciones Superpuestas

Macroeconomía Avanzada
Modelo Monetario de Generaciones Superpuestas
Huberto M. Ennis1
Trabajo Docente No. 6
Junio 2003
Estas notas de clase fueron escritas en mayo y junio de 2003 cuando el autor se
desempeñaba como Profesor Invitado de la Maestría en Economía del Departamento de
Economía de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de la Plata.
1
Economista del Banco de la Reserva Federal de Richmond, en Virginia, Estados Unidos.
Qrwdv gh Fodvh1 Pdhvwuðd hq Hfrqrpðd1 XQOS1 Mxqlr 53361
Prghor Prqhwdulr gh Jhqhudflrqhv Vxshusxhvwdv
Surihvru Lqylwdgr Kxehuwr P1 Hqqlv
Uhvhdufk Ghsduwhphqw
Ihghudo Uhvhuyh Edqn ri Ulfkprqg +XVD,
Hq jhqhudo xqd hfrqrpðd vh ghqh frpr xq frqmxqwr gh djhqwhv L/ grwdflrqhv
i$ l jLl@4 / whfqrorjðdv I | suhihuhqfldv iXl jLl@4 1 Hv ghflu/ xqd hfrqrpðd hv xqd
olvwd gh hohphqwrv=
L> i$ l jLl@4 > I> iXl jLl@4 =
Xqd hfrqrpðd gh lqwhufdpelr +vlq surgxfflöq, hv xq frqmxqwr=
L> i$ l jLl@4 > iXl jLl@4 =
Hpsh}dprv hvwxgldqgr xqd yhuvlöq gho prghor gh jhqhudflrqhv vxshusxhvwdv
txh hv xq fdvr sduwlfxodu gh hvwd hfrqrpðd gh lqwhufdpelr1 Od yhuvlöq pdv
frpsohwd gho prghor/ frq sru hmhpsor xqd whfqrorjðd gdgd sru xqd ixqflöq qhr0
foävlfd gh surgxfflöq hv wdpelìq px| ýwlo sdud hvwxgldu suhjxqwdv uhodflrqdgdv
do fuhflplhqwr hföqrplfr1 Dtxð vror qrv frqfhqwudprv hq fxhvwlrqhv prqhwduldv
sdud or fxdo hv vxflhqwh frq xqd hfrqrpðd gh lqwhufdpelr1
Od Hfrqrpðd1
Ydprv d lqgh{du od vhfxhqfld gh hyhqwrv frq ho vxeðqglfh w @ 4> 5> ===> W / |
frpr qrv lqwhuhvd hvwxgldu fxhvwlrqhv prqhwduldv qhfhvlwdprv frqfhqwudprv hq
ho fdvr hq txh W @ .4/ frpr txhgdud fodur pdv dghodqwh1 Hq rwudv sdodeudv ho
wlhpsr hq hvwd hfrqrpðd hv glvfuhwr | od hfrqrpðd gxud sdud vlhpsuh1 Dqwhv gh lu
d odv ghqlflrqhv irupdohv hqvd|hprv xqd ghvfulsflrq khxuðvwlfd gho od hfrqrpðd
txh qrv lqwhuhvd hvwxgldu1 Hq fdgd shuðrgr w/ qdfhq Q +w, djhqwhv txh ylyhq grv
shuðrgrv1 Qrwhprv txh hvwr lpsolfd txh hq fdgd shuðrgr frqylyhq hq od hfrqrpðd
djhqwhv möyhqhv +hq vx sulphu shuðrgr gh ylgd, | djhqwhv ylhmrv +hq vx vhjxqgr
shuðrgr gh ylgd,1 Vxsrqguhprv/ sdud vlpsolfdu/ txh hq od hfrqrpðd h{lvwh xq
ýqlfr elhq gh frqvxpr/ shuhfhghur +txh vror gxud xq shuðrgr,1 Hv lpsruwdqwh
qrwdu txh hvwr olplwd odv srvlelolgdghv gh lqwhufdpelr hqwuh orv djhqwhv gh hvwd
hfrqrpðd hq ho vhqwlgr gh txh qr kd| ud}öq sdud fdpeldu xqrv elhqhv sru rwurv
+pdq}dqdv sru edqdqdv/ sru hmhpsor,1 Od ýqlfd ud}öq sru od fxdo orv djhqwhv ydq
d ghvhdu lqwhudfwxdu frq rwurv djhqwhv hv srutxh ghvhdq uhdol}du lqwhufdpelrv
lqwhuwhpsrudohv/ hv ghflu sdvdu od glvsrqlelolgdg gh elhqhv gh frqvxpr gh xq
shuðrgr d rwur1 Hvwr txhgduä pdv fodur fxdqgr hvwxglhprv ho sureohpd txh
hqiuhqwd xq djhqwh wðslfr gh xqd jhqhudflöq1 Fdgd djhqwh qdfh frq xqd grwdflöq
gh elhqhv gh frqvxpr | wlhqh od srvlelolgdg gh lqwhudfwxdu frq ho uhvwr gh orv
djhqwhv gh hvwd hfrqrpðd1 Hq ghqlwlyd/ xq djhqwh möyhq gh od jhqhudflöq w
+hv ghflu/ qdflgr hq ho shuðrgr w, lqwhudfwxduä vrodphqwh frq orv djhqwhv gh vx
4
plvpd jhqhudflöq | frq orv djhqwhv ylhmrv gh od jhqhudflöq dqwhulru1 Kd| grv
lqwhusuhwdflrqhv htxlydohqwhv sdud hvwh khfkr1 Od ixqgdphqwdo hv txh frpr
yhuhprv/ hvrv vrq orv djhqwhv gh hvwd hfrqrpðd txh wlhqhq lqwhuìv hq orv plvprv
elhqhv +grqgh dkrud lqwhusuhwdprv d orv elhqhv frpr elhqhv gh frqvxpr hq xq
ghwhuplqdgr prphqwr gho wlhpsr r hq rwudv sdodeudv/ pdq}dqdv ho ho shuðrgr
w vrq xq elhq gh frqvxpr glvwlqwr txh pdq}dqdv hq ho shuðrgr w . 4,1Od rwud
lqwhusuhwdflöq hv txh ho djhqwh vöor lqwhudfwxd frq dtxhoorv djhqwhv txh hvwäq
ylyrv hq hvh prphqwr hq od hfrqrpðd1 Hq hvwd ghvfulsflöq devwudfwd gh od
hfrqrpðd/ hvwdu ylyr hq xq shuðrgr hq sduwlfxodu hv htxlydohqwh d ydorudu orv
elhqhv gh frqvxpr hq hvh shuðrgr1 Sdvhprv dkrud d odv ghqlflrqhv irupdohv
gh orv hohphqwrv gh hvwd hfrqrpðd1 Vh gheh qrwdu txh ho sulphu shuðrgr gh od
hfrqrpðd hv dojr dwðslfr1 Sdud pdqwhqhu xqliruplgdg/ ydprv d vxsrqhu txh od
hfrqrpðd hpslh}d frq xq juxsr gh djhqwhv ylhmrv ylylhqgr hq hood1 Sru or wdqwr
whqhprv txh hq od hfrqrpðd gh lqwhufdpelr frq jhqhudflrqhv vxshusxhvwdv |
krul}rqwh lqqlwr +W @ .4, ho frqmxqwr L gh djhqwhv hvwd gdgr sru Q +3,
djhqwhv ylhmrv hq ho shuðrgr w @ 4> | Q+w, djhqwhv hq od jhqhudflöq w sdud
w @ 4> 5> ===1 Odv grwdflrqhv vrq odv vljxlhqwhv= orv djhqwhv ylhmrv gho sulphu
shulrgrv wlhqhq xqd grwdflöq gh elhqhv gh frqvxpr $ 3 +4, | xqd fdqwlgdg K+3,
gh sdshohv prqhgd +sdshohv vlq ydoru lqwðqvhfr shur frq dojxqd fdudfwhuðvwlfd
hvshfldo txh orv lghqwlfd frpr sdsho prqhgd/ frpr sru hmhpsor/ ho uhwudwr gh
Vdq Pduwðq,1 Orv djhqwhv gh od jhqhudflrq w wlhqhq xqd grwdflöq gh elhqhv gh
frqvxpr $ w +w, hq ho shuðrgr w/ fxdqgr möyhqhv/ | xqd grwdflöq $w +w . 4, fxdqgr
ylhmrv +qrwhprv txh ho vxeðqglfh dtxð lqglfd od jhqhudflöq d od txh shuwhqhfh ho
djhqwh,1 Ilqdophqwh odv suhihuhqfldv gh orv djhqwhv hvwäq gdgdv sru odv vljxlhqwhv
ixqflrqhv gh xwlolgdg= sdud orv djhqwhv ylhmrv hq ho shuðrgr w @ 4 vxsrqhprv txh
vöor ghvhdq pd{lpl}du f3 +4, +hv ghflu/ vx frqvxpr, | sdud orv djhqwhv möyhqhv gh
od jhqhudflöq w vxsrqhprv txh wlhqhq suhihuhqfldv vreuh orv elhqhv gh frqvxpr
hq ho shuðrgr w | hq ho shuðrgr w . 4 gh dfxhugr frq od vljxlhqwh ixqflöq gh
xwlolgdg hvwulfwdphqwh fuhflhqwh | fxdvlföqfdyd=
xw ^fw +w,> fw +w . 4,`>
sdud w @ 4> 5> ===1 Hv ghflu/ fw +w, hv ho frqvxpr gho djhqwh möyhq gh od jhqhudflöq
w | fw +w . 4, hv ho frqvxpr gho djhqwh ylhmr gh od jhqhudflöq w1 Hv lpsruwdqwh
qrwdu txh orv Q +w, djhqwhv gh od jhqhudflöq w vrq wrgrv lgìqwlfrv hqwuh vl1 Gdgd
od vlpsoh}d gh hvwd hfrqrpðd xq frqwudwr vlpsoh gh suìvwdpr gh elhqhv suh0
vhqwhv d fdpelr gh elhqhv hq ho suö{lpr shuðrgr hv vxflhqwh sdud vdwlvidfhu orv
srwhqfldohv ghvhrv gh lqwhufdpelr gh orv djhqwhv hq od hfrqrpðd1 Ghqlprv hq0
wrqfhv frpr ow +w, od fdqwlgdg gh frqwudwrv xqlwdulrv gh suìvwdpr uhdo hq orv txh
sduwlflsd xq djhqwh gh od jhqhudflöq w/ | U+w, ho uhwruqr vreuh glfkr suìvwdpr1
Hq rwudv sdodeudv/ xq djhqwh gh od jhqhudflöq w txh sduwlflsd hq ow +w, frqwudwrv
gh suìvwdpr frq rwur djhqwh vh frpsurphwh d suryhhu ow +w, elhqhv gh frqvxpr
hq ho shuðrgr w d fdpelr gh U+w,ow +w, elhqhv gh frqvxpr hq ho shuðrgr w . 41
Hq xq htxloleulr prqhwdulr/ wdpelìq h{lvwh od srvlelolgdg gh pdqwhqhu glqhur1
Ghqrplqdprv frq pw +w, od fdqwlgdg gh sdsho prqhgd txh pdqwlqh ho djhqwh gh
od jhqhudflöq w ghvgh ho shuðrgr w kdvwd ho shuðrgr w . 41 Rwud yh} qrwhprv txh
frpr wrgrv orv djhqwhv gh xqd jhqhudflöq vrq lgìqwlfrv hqwuh vl/ hv vxflhqwh
5
ghqlu or txh kdfh xqr gh hoorv +ho djhqwh uhsuhvhqwdwlyr, sdud vdehu txh kdfhq
wrgrv1
Htxloleulr1
Xqd yh} ghqlgrv orv hohphqwrv gh od hfrqrpðd/ dkrud qhfhvlwdprv hohjlu xq
frqfhswr gh htxloleulr/ hv ghflu/ ghqlu ho htxloleulr/ | oxhjr hvwxglduor1 Sduwh gh
od ghqlflöq gho htxloleulr hv ho sureohpd txh hqiuhqwd ho djhqwh uhsuhvhqwdwlyr
gh od jhqhudflöq w txh hvwxgldprv d frqwlqxdflöq1 Hq ho htxloleulr txh qrv
lqwhuhvd hvwxgldu orv djhqwhv hq ho shuðrgr w wrpdq frpr gdgr ho uhwruqr U+w, |
ho suhflr gh orv elhqhv hq wìuplqrv gh glqhur s+w,= Hq rwudv sdodeudv/ ho qýphur
gh djhqwhv hv orv vxflhqwhphqwh judqgh wdo txh fdgd djhqwh shufleh txh vxv
ghflflrqhv qr lq xhqfldudq orv suhflrv gh phufdgr +frpshwhqfld shuihfwd,1 Sru
or wdqwr/ ho djhqwh uhsuhvhqwdwlyr gh od jhqhudflöq uhvxhoyh ho vljxlhqwh sureohpd
gh rswlpl}dflöq
pd{ xw ^fw +w,> fw +w . 4,`
vxjhwr d
fw +w, . ow +w, .
pw +w,
@ $ w +w,>
s+w,
fw +w . 4, @ $w +w . 4, . U+w,ow +w, .
pw +w,
>
s+w . 4,
fw +w, 3> fw +w . 4, 3> pw +w, 3=
Hv lpsruwdqwh qrwdu txh orv djhqwhv hq ho shuðrgr w qhfhvlwdq suhghflu ho ydoru gh
s+w . 4, sdud srghu ghwhuplqdu fxdo hv ho uhqglplhqwr gh pdqwhqhu glqhur frpr
uhvhuyd gh ydoru1 Ho vxsxhvwr xwlol}dgr hq hvwh htxloleulr hv txh orv djhqwhv srvhhq
suhylvlöq shuihfwd/ | sru or wdqwr suhglfhq h{dfwdphqwh ho ydoru ixwxur gho qlyho
gh suhflrv1 Hv lpsruwdqwh whqhu hq fxhqwd hvwh vxsxhvwr sdud od lqwhusuhwdflöq
gh pxfkrv gh orv uhvxowdgrv txh vh suhvhqwdq d frqlqxdflöq1 Orv djhqwhv ylhmrv
gh od sulphud jhqhudflöq uhvxohyhq ho vljxlhqwh sureohpd
pd{ f3 +4,
vxjhwr d
f3 +4, @ $3 +4, .
K+3,
=
s+4,
Ghqlflöq gh Htxloleulr= Xq htxloleulr +frq suhylvlöq shuihfwd, hv xq frq0
4
mxqwr gh vhfxhqfldv gh suhflrv +is+w,j4
w@4 > iU+w,jw@4 , | dvljqdflrqhv +f3 +4,> ifw +w,>
4
4
4
fw +w . 4,jw@4 > iow +w,jw@4 > ipw +w,jw@4 , wdo txh=
4
4
4
4, gdgrv +is+w,j4
w@4 > iU+w,jw@4 , od vhfxhqfldv +f3 +4,> ifw +w,> fw +w.4,jw@4 > iow +w,jw@4 >
4
ipw +w,jw@4 , uhvxhoyhq orv sureohpdv gho djhqwh ghqlgrv duuled1
5, orv phufdgrv gh suìvwdprv d xq shuðrgr | gh glqhur vh olpsldq +vh ydfðdq,1
Frpr wrgrv orv djhqwhv möyhqhv gh xqd plvpd jhqhudflöq vrq lgìqwlfrv/ wrgrv
txhuuäq= r ghpdqgdu x riuhfhu suìvwdprv d xq shuðrgr/ frq or fxdo qr hv srvleoh
6
txh grv möyhqhv gh xqd jhqhudflöq uphq hqwuh hoorv xqr gh hvwrv frqwudwrv1 Od
rwud srvlelolgdg hv txh orv möyhqhv gh od jhqhudflöq w lqwhqwdudq updu hvwrv
frqwudwrv frq orv ylhmrv gh od jhqhudflöq w 4= Vlq hpedujr hvwr qr hv srvleoh1
Orv frqwudwrv lpsolfdq txh orv möyhqhv gh od jhqhudflöq w rewhqguäq gh +r gduäq
d, orv ylhmrv gh od jhqhudflöq w 4 elhqhv hq ho shuðrgr w . 4/ shur orv ylhmrv gh
od jhqhudflöq w 4 qr sduwlflsdq gh od hfrqrpðd hq ho shuðrgr w . 4 | sru or
wdqwr hvwrv frqwudwrv qr vrq yldeohv1 Hvwh dujxphqwr qrv shuplwh frqfoxlu txh
hq htxloleulr/ ho uhwruqr vreuh orv suìvwdprv d xq shuðrgr/ U+w,/ vh gheh dmxvwdu
wdo txh vhd yroxqwdulr sdud orv djhqwhv hohjlu ow +w, @ 3 sdud wrgr w +hv ghflu/ txh
ow +w, @ 3 hv sduwh gh od vroxflöq gho sureohpd gho djhqwh,1
Hq hvwd hfrqrpðd vlhpsuh h{lvwh xq htxloleulr qr prqhwdulr/ hv ghflu xq
htxloleulr hq ho txh s+w, @ .4 sdud wrgr w @ 4> 5> ===1 Orv lqwhufdpelrv prqh0
wdulrv hq hvwd hfrqrpðd lqyroxfudq od vljxlhqwh wudqvdfflöq1 Ho djhqwh möyhq gh
od jhqhudflöq w oh fdpeldq d orv djhqwhv ylhmrv gh od jhqhudflöq w 4 elhqhv gh
frqvxpr sru sdsho prqhgd vlq ydoru lqwuðqvhfr1 Od ud}öq sru od fxdo orv djhqwhv
möyhqhv hvwäq glvsxhvwrv d sduwlflsdu gh wdo wudqvdfflöq hv txh frqdq hq txh ho
suö{lpr shuðrgr/ fxdqgr ylhmrv/ srguäq hqwudu hq xqd wudqvdfflöq vlplodu frq
orv möyhqhv gho shuðrgr w . 41 Hvwd frqdq}d hq od dfhswdelolgdg gho glqhur hq ho
ixwxur hv od ýqlfd ud}öq sru do fxdo ho glqhur wlhqh ydoru hq hvwd hfrqrpðd1 Hvwd
hv od ud}öq sru od fxdo hv qhfhvdulr ho vxsxhvwr W @ .4 sdud hvwxgldu fxhvwlrqhv
prqhwduldv hq hvwd hfrqrpðd1 Vl W ? .4 hv vlhpsuh ho fdvr txh s+w, @ .4 hq
wrgr htxloleulr1 Od ud}öq hv od vljxlhqwh= Orv djhqwhv möyhqhv gho shuðrgr W qr
hvwduäq glvsxhvwrv d dfhswdu sdsho glqhur d fdpelr gh elhqhv gh frqvxpr srutxh
ho sdsho glqhur vöor whqguðd ydoru vl sxglhud vhu xvdgr sdud frpsudu elhqhv hq ho
vljxlhqwh shuðrgr/ shur hq w @ W qr kd| xq vljxlhqwh shuðrgr sru ghqlflöq gh
W 1 Vdelhqgr ìvwr/ orv djhqwhv möyhqhv hq ho shuðrgr W 4 qr hvwduäq glvsxhvwrv
d dfhswdu sdsho prqhgd d fdpelr gh elhqhv gh frqvxpr srutxh ho sdsho prqhgd
qr srguä vhu xwlol}dgr sdud frpsudu elhqhv hq ho shuðrgr W= Sru lqgxfflöq/ hvwd
oöjlfd vh dsolfd d wrgrv orv shuðrgrv | ho glqhur qr whqguä ydoru hq htxloleulr1
Xqd oöjlfd vlplodu qrv shuplwh ghprvwudu ho vljxlhqwh ohppd= vl s+w, @ .4
sdud dojxq w/ oxhjr/ s+w, @ .4 sdud wrgr w1
Hq xq htxloleulr prqhwdulr gh hvwd hfrqrpðd h{lvwhq grv dfwlyrv txh oh shu0
plwhq d orv djhqwhv uhdol}du ho plvpr lqwhufdpelr lqwhuwhpsrudo gh elhqhv1 Sru
or wdqwr/ vh gheh fxpsolu xqd frqglflöq gh qr duelwudmh1 Hq sduwlfxodu whqhprv
txh hq xq htxloleulr prqhwdulr vh fxpsoh txh
U+w, @
s+w,
=
s+w . 4,
Sdud ghprvwudu ìvwr/ ghvshmdprv ow +w, gh od vhjxqgd uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld
hq ho sureohpd gho djhqwh | uhhpsod}dprv hq od sulphud1 Uhrughqdqgr vh re0
wlhqh=
s+w,
pw +w,
fw +w . 4, $w +w . 4,
4
@
4
=
fw +w, $w +w, .
U+w,
s+w . 4, U+w,
s+w,
Hq hvwd h{suhvlöq yhprv txh vl s+w,@s+w . 4, A U+w, ho djhqwh holjluðd dxphqwdu
pw +w, kdvwd lqqlwr +gdgrv orv suhflrv s+w,, srutxh hvr oh shuplwluðd dxphqwdu
7
vlq oðplwh orv frqvxprv +qhwrv gh grwdflöq, hq dperv shuðrgrv gh vx ylgd +ho
odgr l}txlhugr gh od hfxdflöq,1 Qrwhprv txh ho wlsr gh duelwudmh txh ho djhqwh
hqiuhqwdqgr glfkrv suhflrv uhdol}d hv ho vljxlhqwh= wrpd suhvwdgrv elhqhv gh
frqvxpr xvdqgr ho frqwudwr gh suìvwdpr uhdo d xq shuðrgr +ow +w,, | orv yhqgh d
fdpelr gh sdsho prqhgd1 Frpr od rihuwd shu fdslwd gh glqhur hq od hfrqrpðd
hq ho shuðrgr w hvwd gdgd sru/
k+w, @
K+w,
>
Q+w,s+w,
txh hv xq qýphur phqru txh lqqlwr/ wdo vlwxdflöq qr hv frpsdwleoh frq xq
htxloleulr prqhwdulr hq ho txh vh uhtxlhuh txh ho phufdgr gh glqhur vh olpslh1 Vh
gheh qrwdu txh s+w,@s+w . 4, hv od lqyhuvd gh od wdvd euxwd gh lq dflöq | sru or
wdqwr od frqglflöq s+w,@s+w.4, A U+w, lpsolfd txh ho uhwruqr gh pdqwhqhu glqhur
hv pd|ru txh od wdvd gh lqwhuìv euxwd txh vh qhfhvlwd sdjdu sdud hqghxgduvh hq
elhqhv +hv ghflu/ U+w,,1 Sru hmhpsor/ vl U+w, A 4/ oxhjr sdud txh ho uhwruqr
gho glqhur vhd pd|ru txh ho uhwruqr vreuh orv suìvwdprv d xq shuðrgr hq elhqhv
U+w,/ hv qhfhvdulr txh kd|d gh dflöq/ gh wdo pdqhud txh xqd xqlgdg gh sdsho
prqhgd frpsuh pdv elhqhv ho suö{lpr shuðrgr +hq frpsdudflöq frq ho shuðrgr
fruulhqwh,1 Xq duelwudmh vlplodu lpsolfd txh orv djhqwhv holjluäq qr pdqwhqhu
glqhur vl s+w,@s+w . 4, ? U+w,1 Shur frpr hq xq htxloleulr prqhwdulr s+w, ? .4
hvr lpsolfd txh k+w, A 3 | sru or wdqwr od rihuwd gh glqhur vhuä pd|ru txh od
ghpdqgd gh glqhur +ljxdo d }hur,/ or fxdo hv rwud vlwxdflöq lqfrpsdwleoh frq
htxloleulr1 Gdgr txh od frqglflöq gh duelwudmh vh fxpsoh srghprv vlpsolfdu ho
sureohpd gho djhqwh ghqlhqgr od vljxlhqwh yduldeoh dx{loldu
vw +w, ow +w, .
pw +w,
>
s+w,
|d txh dpedv irupdv gh dkruur ghehq whqhu ho plvpr uhwruqr hq htxloleulr1 Gh
odv frqglflrqhv gh sulphu rughq vh rewlhqh xqd ixqflöq gh dkruur +pduvkdooldqd,=
vw +w, @ iw +$ w +w,> $ w +w . 4,> U+w,,=
Vl ho frqvxpr hq fdgd shuðrgr gh ylgd hv xq elhq qrupdo/ od ghulydgd sulphud gh
od ixqflöq iw frq uhvshfwr do sulphu dujxphqwr +$ w +w,, hv srvlwlyd | od ghulydgd
sulphud frq uhvshfwr do vhjxqgr dujxphqwr +$w +w . 4,, hv qhjdwlyd1 Vl orv elhqhv
gh frqvxpr hq dperv shuðrgrv vrq vxevwlwxwrv euxwrv/ od ghulydgd sulphud gh
od ixqflöq iw frq uhvshfwr do whufhu dujxphqwr hv srvlwlyd1 Gh dkrud hq dghodqwh
xwlol}dprv hvwrv vxsxhvwrv1 Hq rwudv sdodeudv/ frqvlghudprv ho fdvr hq ho txh od
wdvd gh dkruur gho djhqwh uhsuhvhqwdwlyr gh od jhqhudflöq hv xqd ixqflöq fuhflhqwh
gho uhqglplhqwr vreuh ho dkruur1 Vh gheh qrwdu txh hq sulqflslr vw +w, sxhgh vhu
srvlwlyd r qhjdwlyd1 Frpr yhuhprv/ sdud txh h{lvwd xq htxloleulr prqhwdulr vh
gheh fxpsolu txh vw +w, hv srvlwlyd hq htxloleulr1
D frqwlqxdflöq uhdol}dprv dojxqrv vxsxhvwrv vlpsolfdwlyrv txh qr fdpeldq
od vxvwdqfld gho dqäolvlv shur txh vlpsolfdq qrwdflöq1 Hq sduwlfxodu/ vxsrqhprv
txh xw +=, @ x+=,> $w +w, @ $ 4 | $ w +w . 4, @ $ 5 sdud wrgr w1 Wdpelìq vxsrqhprv
8
txh Q+3, @ 4 | txh Q +w, @ +4 . q,Q +w 4, sdud wrgr w/ frq q frqvwdqwh1 Hvwrv
vxsxhvwrv kdfhq txh od hvwuxfwxud gh od hfrqrpðd vhd hvwdflrqduld1 Edmr hvwrv
vxsxhvwrv whqhprv txh od ixqflöq gh dkruur gh orv möyhqhv gh od jhqhudflöq w
hvwd gdgd sru
vw +w, @ i +U+w,,
grqgh i dkrud hv xqd ixqflöq txh wlhqh frpr sduäphwurv $ 4 | $ 5 / hqwuh rwurv1
Dghpdv/ i 3 A 3 gh dfxhugr frq qxhvwurv vxsxhvwrv1 Hv ýwlo hvwxgldu hq hvwh pr0
phqwr xqd uhsuhvhqwdflöq juäfd gho sureohpd gh dkruur +srvlwlyr r qhjdwlyr,
txh hqiuhqwd ho djhqwh möyhq gdgr xq uhwruqr U+w,1 Vl ho sxqwr gh grwdflöq +ho
sdu rughqdgr +$ w +w,> $ w +w . 4,, hvwd d od ghuhfkd gho sxqwr D/ ho djhqwh möyhq
ghvhd dkruudu d od wdvd gh uhwruqr gdgd U+w,,1 +ILJXUD 4,
Iljxud 4
Frpr ow +w, @ 3 hq htxloleulr/ sdud ghvfulelu xq htxloleulr hv vxflhqwh frq
hvwxgldu od vljxlhqwh htxdflöq gh htxloleulr prqhwdulr=
k+w, @ i+U+w,,=
Hq hvwh vhqwlgr/ srghprv shqvdu txh ho prghor gh jhqhudflrqhv vxshusxhvwdv hv
xqd irupd gh glvflsolqdu od frqvwuxfflöq gh od ixqflrq i / hv ghflu/ od ghpdqgd gh
glqhur hq od hfrqrpðd1 Od irupd gh glvflsolqdu wdo frqvwuxfflöq hv od xwlol}dflöq
gh plfurixqgdphqwrv1 Vlq hpedujr/ xqd yh} rewhqlgd od ixqflöq i ho dqäolvlv
vh uhgxfh d hvwxgldu od hfxdflöq gh htxloleulr hq ho phufdgr prqhwdulr1 Sru
dkrud hvwdprv vxsrqlhqgr txh qr kd| qxhyd fuhdflöq gh sdsho prqhgd/ sru or
wdqwr K+w, @ K+3, sdud wrgr w1 Frpr od ixqflöq i hv prqrwrqd fuhflhqwh hv
htxlydohqwh hvwxgldu od oh| gh prylplhqwr gh k+w, r od oh| gh prylplhqwr gh
U+w, +| sru or wdqwr gh s+w,,1 Hvwxgldprv hqwrqfhv od oh| gh prylplhqwr gh
9
k+w,= Sdud hoor sulphur qrwhprv txh frpr i hv lqyhuwleoh whqhprv txh
U+w, @ i 4 +k+w,,=
| ghqdprv od ixqflöq ! frpr vljxh
!+k+w,, @
i 4 +k+w,,
4.q
Oxhjr whqhprv txh
k+w, @
U+w 4,
K+w,
@
k+w 4, @ !+k+w 4,,k+w 4,>
Q +w,s+w,
4.q
grqgh xwlol}dprv od htxdflöq gh htxloleulr sdud vxevwlwxlu U+w4, sru i 4 +k+w
4,,= Hvwd h{suhvlöq lpsolfd txh hq htxloleulr od yduldeoh k+w, rehghfh xqd hfxdflöq
hq glihuhqfldv gh sulphu rughq=
k+w, @ !+k+w 4,,k+w 4,=
Hvwd hfxdflöq hq glihuhqfldv gh sulphu rughq wlhqh grv vroxflrqhv hvwdflrqduldv=
+4, k+w, @ 3 sdud wrgr w txh hv ho htxloleulr qr prqhwdulr +s+w, @ .4 sdud
wrgr
wdo txh ! k
@4
w, txh glvfxwlprv dqwhulruphqwh/ | +5, k+w 4, @ k+w, @ k
4
r hq irupd htxlydohqwh/ k wdo txh U+w, @ U @ i +k, @ 4 . q1 Hq ho fdvr
h @ i 4 +3,/ txh hv od wdvd gh
gho htxloleulr qr prqhwdulr whqhprv txh U+w, @ U
uhwruqr wdo txh orv djhqwhv holjhq frqvxplu vxv grwdflrqhv +dxwdutxðd,1
Vl vh fxpsoh txh i+4 . q, ? 3/ frpr k+w, 3 sdud wrgr w whqhprv txh
qr kd| xq htxloleulr prqhwdulr hvwdflrqdulr hq od hfrqrpðd1 Qrwhprv txh/ sru
vxsxhvwr/ od frqglflöq i+4 . q, ? 3 ghshqgh gho sxqwr gh grwdflöq +$ 4 > $5 ,
srutxh od irupd gh i ghshqgh gh wdo sxqwr +yhu od ILJXUD 4,1 Gh khfkr h{lvwh
xq uhvxowdgr dýq pdv ixhuwh= fxdqgr i+4 . q, ? 3 qr htxlvwh qlqjýq htxloleulr
prqhwdulr/ |d vhd hvwdflrqdulr r qr hvwdflrqdulr1 Sdud yhu txh hvwr hv yhugdg/
sulphur qrwhprv txh frpr fw +w, 3 whqhprv txh
fw +w, @ $ w +w, vw +w, 3>
| sru or wdqwr vw +w, $ w +w, @ $4 r hq rwudv sdodeudv od ixqflöq i hv dfrwdgd gh
duuled1 Dkrud/ vl k+4, A 3 oxhjr k+4, @ i +U+4,, A 3 | sru or wdqwr U+4, A 4.q1
Shur hq htxloleulr k +5, @ ^U+4,@ +4 . q,` k+4, | sru or wdqwr k+5, A k+4,1 Oxhjr
U+5, A U+4, | k hv fuhflhqwh +d wdvd fuhflhqwh, hq ho wlhpsr | sru or wdqwr k
dofdq}duä ho qlyho $4 hq wlhpsr qlwr/ or fxdo lpsolfd txh wdo vlwxdflöq qr sxhgh
vhu sduwh gh xq htxloleulr1
Frpr hvwdprv lqwhuhvdgrv hq hvwxgldu suhjxqwdv prqhwduldv/ vxsrqhprv hq
or txh vljxh txh vh fxpsoh od vljxlhqwh frqglflöq Vdpxohvrqldqd i +4 . q, A 31
h @ 3 lpsolfd txh U
h ? 4 . q1
Frpr od ixqflöq i hv fuhflhqwh whqhprv txh i+U,
Ghqlprv dkrud od ixqflöq dx{loldu J+k+w 4,, !+k+w 4,,k+w 4,= Whqhprv
txh
J3 +k+w 4,, @ !3 +k+w 4,,k+w 4, . !+k+w 4,,
:
h
txh hv srvlwlyd1 Wdpelìq whqhprv txh J3 +3, @ !+3, @ U@+4
. q, A 3 shur
? 41 Sru or wdqwr/ srghprv judfdu od oh| gh prylplhqwr gh k+w, frpr vljxh=
+ILJXUD 5,1
Iljxud 5
H{lvwh hqwrqfhv xq frqwðqxr gh htxloleulrv prqhwdulrv lqgh{dgrv sru ho qlyho
gh suhflrv lqlfldo s+4,= Ho htxloleulr prqhwdulr hvwdflrqdulr hv ho htxloleulr prq0
hwdulr hq ho txh
K+3,
=
s+4, @ s @
+4 . q,i +4 . q,
Oxhjr h{lvwhq xq frqwðqxr gh htxloleulrv prqhwdulrv qr hvwdflrqdulrv lqgh{dgrv
sru s+4, 5 ^
s> 4,1 Qrwhprv dkrud txh hq xq htxloleulr prqhwdulr qr hvwdflrqdulr
s+w, $ 41 Frpr k+w, @ i +U+w,, $ 3 whqhprv txh U+w, hv ghfuhflhqwh hq ho
wlhpsr r/ hq rwudv sdodeudv/ od lq dflöq hv fuhflhqwh hq ho wlhpsr hq ho htxloleulr
prqhwdulr qr hvwdflrqdulr1 Irupdophqwh/ vh fxpsoh txh=
U+w, @
4
s+w,
h fxdqgr w $ 4=
@
$U
s+w . 4,
4 . +w . 4,
Uhvxowd ýwlo d hvwd dowxud shqvdu txì hv or txh hvwd vxfhglhqgr hq orv htxlole0
ulrv prqhwdulrv qr hvwdflrqdulrv1 Hv lpsruwdqwh sdud hoor uhfrugdu txh hvwdprv
xvdqgr ho vxsxhvwr gh suhylvlöq shuihfwd1 Orv djhqwhv möyhqhv hq ho shuðrgr w
hvshudq txh orv djhqwhv möyhqhv hq ho shuðrgr w.4 hvwduäq glvsxhvwrv d lqwhufdp0
eldu elhqhv sru glqhur gh dfxhugr frq ho qlyho gh suhflrv s+w . 4,1 Fodudphqwh
ìvwr ghwhuplqd ho uhwruqr gh dfhswdu glqhur d fdpelr gh elhqhv hq ho shuðrgr w
|d txh hvh glqhur hv dfhswdgr hq w frq od lqwhqflöq gh vhu xvdgr hq w . 4 sdud
;
frpsudu elhqhv1 Dkrud elhq/ gdgr txh orv djhqwhv möyhqhv hq w hvshudq txh ho
qlyho gh suhflrv hq w . 4 vhd s+w . 4,> hoorv hvwäq glvsxhvwrv d ghpdqgdu glqhur d
xq suhflr s+w, txh hv frqvlvwhqwh frq od olpslh}d gho phufdgr gh glqhur1 Sdud
mxvwlfdu txh orv djhqwhv möyhqhv hq ho shuðrgr w . 4 hvwìq glvsxhvwrv d dfhswdu
glqhur do qlyho gh suhflrv s+w . 4, hv qhfhvdulr shqvdu hq orv djhqwhv möyhqhv hq
ho shuðrgr w . 5/ | dvl vxfhflydphqwh/ dg lqqlwxp1 Hvwh ud}rqdplhqwr uhvdowd od
lpsruwdqfld gh odv h{shfwdwlydv +r suhylvlöq shuihfwd, hq od vroxflöq gh htxloleulr
gho prghor1 Ilqdophqwh qrwhprv txh frpr od fdqwlgdg gh glqhur hvwä gdgd hq od
hfrqrpðd +hv ljxdo d K+3,, whqhprv txh vl ho qlyho gh suhflrv hvwd dxphqwdqgr
hv qhfhvdulr txh od ghpdqgd gh glqhur +vdogrv uhdohv, hvwh glvplqx|hqgr sdud
pdqwhqhu ho phufdgr gh glqhur hq htxloleulr/ | sru or wdqwr/ od wdvd gh uhwruqr
vreuh ho glqhur gheh hvwdu glvplqx|hqgr hq ho wlhpsr +|d txh od ghpdqgd gh
glqhur hv xqd ixqflöq prqöwrqd gh od wdvd gh uhwruqr,1
Hmhuflflr 4= Prvwudu txh fxdqgr $5 @ 3 | x+f4 > f5 , @ oq f4 . oq f5 whqhprv txh
h @ 3 | od wdvd gh lq dflöq hq orv htxloleulrv qr prqhwdulrv fuhfh vlq oðplwh1
U
Srghprv lqwhusuhwdu hvwd vlwxdflöq frpr xqd vlwxdflöq klshulq dflrqduld1
Ilqdophqwh qrwhprv txh hq ho htxloleulr prqhwdulr hvwdflrqdulr kd| gh dflöq
srutxh
@ 4 @ 4 . q A 4=
U+w, @ U
4.
Rswlpdolgdg1
H{lvwh xqd uhodflöq hvwuhfkd hqwuh odv frqglflrqhv txh lpsolfdq txh h{lvwh
xq htxloleulr prqhwdulr | odv frqglflrqhv txh ghwhuplqdq txh ho htxloleulr qr
h ? 4 . q ho htxloleulr qr prqhwdulr
prqhwdulr qr hv öswlpr1 Hq sduwlfxodu/ vl U
qr hv Sduhwr öswlpr +kd| rwud dvljqdflöq gh frqvxpr hq od hfrqrpðd txh qr
glvplqx|h od xwlolgdg gh qlqjýq djhqwh gh od hfrqrpðd | dxphqwd od xwlolgdg gh do
phqrv xqr,1 Hvwd frqglflöq hv gh khfkr od frqglflrq vdpxhovrqldqd txh frpr vh
ylr hv qhfhvduld sdud od h{lvwhqfld gh xq htxloleulr prqhwdulr1 Hq uhvxphq/ sdud
txh h{lvwd xq htxloleulr prqhwdulr/ ho htxloleulr qr prqhwdulr gheh qr vhu Sduhwr
h ? 4 . q ho htxloleulr qr prqhwdulr
öswlpr1 Dkrud ghprvwudprv txh fxdqgr U
qr hv Sduhwr öswlpr1 Sdud ghprvwudu hvwh uhvxowdgr hv lpsruwdqwh lghqwlfdu
od frqglflöq gh idfwlelolgdg gh odv dvljqdflrqhv gh frqvxpr sdud xq shuðrgr w
gdgr1 Od frqglflöq gh idfwlelolgdg qrv glfh txh hq xq ghwhuplqdgr shuðrgr qr
vh sxhgh frqvxplu päv txh od fdqwlgdg gh elhqhv gh frqvxpr glvsrqleohv hq
wdo shuðrgr1 Xqd irupd gh shqvdu hq hvwh frqmxqwr gh dvljqdflrqhv/ hv ghflu
ho frqmxqwr gh dvljqdflrqhv idfwleohv/ hv shqvdu txh orv djhqwhv hqwuhjdq vxv
grwdflrqhv d xq sodqlfdgru fhqwudo | txh ìvwh ghflgh frpr dvljqdu ho frqvxpr
gdgd od fdqwlgdg gh elhqhv gh frqvxpr h{lvwhqwh1 Hq wìuplqrv irupdohv/ od
frqglflöq gh idfwlelolgdg hq ho shuðrgr w hvwä gdgd sru
Q +w,fw +w, . Q +w 4,fw4 +w, Q+w,$4 . Q +w 4,$ 5
Ho odgr ghuhfkr gh od h{suhvlöq hv ho wrwdo gh frqvxpr hq od hfrqrpðd hq
ho shuðrgr w | ho odgr l}txlhugr hv ho wrwdo gh elhqhv glvsrqleohv1 Fxdotxlhu
<
dvljqdflöq gh frqvxpr ifw +w,> fw4 +w,j4
w@4 txh vdwlvidfh od frqglflöq gh idfwlelo0
lgdg hv xqd dvljqdflöq srvleoh hq hvwd hfrqrpðd | vh od oodpd idfwleoh1 Frpr
od xwlolgdg gh orv djhqwhv hv hvwuðfwdphqwh fuhflhqwh hq ho frqvxpr fxdotxlhu
dvljqdflöq Sduhwr öswlpd gheh vdwlvidfhu od frqglflöq gh idfwlelolgdg frq ljxdo0
h ? 4 . q1 Oodphprv
gdg1 Frqvlghuhprv xq htxloleulr qr prqhwdulr hq ho txh U
d od dvljqdflöq gh frqvxpr hq wdo htxloleulr frpr vljxh=
f3 +4, @ f3 > fw +w, @ f4 > fw4 +w, @ f5 =
Qrwhprv txh frpr vh wudwd gh xqd dvljqdflöq gh htxloleulr vh fxpsoh txh
gx
gf4
gx
gf5
h ?4.q
@U
Dkrud frqvlghuhprv od vljxlhqwh dvljqdflöq gh frqvxpr dowhuqdwlyd
f3 +4, @ f3 . +4 . q,> fw +w, @ f4 > fw4 +w, @ f5 . +4 . q,>
grqgh hv xq qýphur srvlwlyr shtxhôr1 Fodudphqwh ho djhqwh ylhmr gh od jhq0
hudflöq 3 rewlhqh pd|ru xwlolgdg frq ìvwd vhjxqgd dvljqdflöq1 Ho djhqwh gh od
jhqhudflöq w wdpelìq rewlhqh pd|ru xwlolgdg srutxh
gx
gx
gx
gx
gx
gx
gf4 .
gf5 @
+, .
+4 . q, @
+4 . q, gx @
A3
gf4
gf5
gf4
gf5
gf5
gf4
Iljxud 6
D frqwlqxdflöq ghprvwudprv txh dghpäv od dvljqdflöq dowhuqdwlyd hv idfwleoh
|/ sru or wdqwr/ Sduhwr phmru txh od dvljqdflöq hq ho htxloleulr qr prqhwdulr1
Sdud hoor vöor vh qhfhvlwd fruurerudu od frqglflöq gh idfwlelolgdg +uhfrugdqgr
txh Q +3, @ 4,=
43
^f3 . +4 . q,` . +4 . q,^f4 ` @ f3 . +4 . q,f4 @ $3 . +4 . q,$4
sdud w @ 4 |
Q+w, ^f4 `.Q +w4, ^f5 . +4 . q,` @ Q +w,f4 .Q +w4,f5 @ Q +w, $4 .Q +w4,$5 =
Od Iljxud 6 pxhvwud ho frqmxqwr gh dvljqdflrqhv idfwleohv | wdpelìq frpr od
h?
dvljqdflöq hq xq htxloleulr qr prqhwdulr qr uhvxowd vhu Sduhwr öswlpd vl U
4 . q1
Sdud qdol}du/ fdeh vhôdodu txh ho htxloleulr prqhwdulr gh hvwdgr hvwdflrqdulr
hv Sduhwr öswlpr | txh hq hvwh vhqwlgr ho glqhur fxpsoh xq uro frpr phfdqlvpr
txh wlhqgh d dxphqwdu ho elhqhvwdu gh wrgrv orv djhqwhv gh od hfrqrpðd/ hv ghflu/
or txh Vdpxohvrq oodpö od frqwulexflöq vrfldo gho glqhur +wkh vrfldo frqwulydqfh
ri prqh|,1
Jrelhuqr/ Grplqdqfld Ilvfdo | Vhôruhdjh1
Frqvlghudprv dkrud ho fdvr hq ho txh hq od hfrqrpðd wdpelìq h{lvwh xq
jrelhuqr pdqwhqlhqgr xq gìflw shu fdslwd frqvwdqwh hq ho wlhpsr | txh vh
prqhwl}d1 Od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gho jrelhuqr hv hqwrqfhv=
K+w, K+w 4,
@ G+w, @ Q +w,g
s+w,
grqgh g hv ho gìflw shu fdslwd/ txh frpr vh glmr hv frqvwdqwh1 Od lqwxlflöq
dvrfldgd frq od prqhwl}dflöq gho gìflw hv od vljxlhqwh= Hq ho prghor vlq jrelhuqr
orv djhqwhv möyhqhv gh od jhqhudflöq w wlhqhq xqd ghpdqgd gh vdogrv uhdohv
pw +w,@s+w, hq ho vhqwlgr txh hvwäq glvsxhvwrv d lqwhufdpeldu elhqhv gh frqvxpr
sru sdsho prqhgd +vlq ydoru lqwuðqvhfr,1 Dkrud/ sduwh gh hvd ghpdqgd gh glqhur
|/ sru or wdqwr/ sduwh gh hvrv elhqhv gh frqvxprv txh vrq lqwhufdpeldgrv sru
glqhur/ vrq devruelgrv sru ho jrelhuqr/ txh hplwh qxhydv xqlgdghv gh sdsho
prqhgd sdud lqwhufdpelduodv frq orv djhqwhv möyhqhv1 Od ghpdqgd gh glqhur
gh orv djhqwhv möyhqhv qr fdpeld/ vöor fdpeld od frqglflöq gh htxloleulr hq ho
phufdgr prqhwdulr1 Sdud hvwxgldu od glqäplfd gho htxloleulr surfhghprv frpr
dqwhv rshudqgr sdud rewhqhu xqd hfxdflöq hq glihuhqfldv sdud od yduldeoh k+w,1
Xvdqgr od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gho jrelhuqr whqhprv txh=
s+w 4,
G+w,
K+w 4,
4
K+w,
@
@ g>
Q+w,s+w,
s+w, Q +w 4,s+w 4, 4 . q
Q +w,
hv ghflu/
U+w 4,
k+w 4, . g>
+4,
4.q
| xvdqgr od frqglflöq gh htxloleulr hq ho phufdgr gh glqhur rewhqhprv txh=
k+w, @
k+w, @ !+k+w 4,,k+w 4, . g=
44
Od sulphud frvd sdud qrwdu hv txh qr h{lvwh xq htxloleulr qr prqhwdulr +hvwd0
flrqdulr, hq ho fxdo ho jrelhuqr sxhgd qdqfldu xq gìflw srvlwlyr d wudyìv gh
prqhwl}dflöq1 Od oöjlfd gh hvwh uhvxowdgr hv fdvl wulyldo= vl ho glqhur qr wlhqh
ydoru/ qr hv srvleoh txh ho jrelhuqr dffhgd d Q +w,g elhqhv gh frqvxpr hq ho
shuðrgr w xvdqgr sdsho prqhgd ýqlfdphqwh1 Vl uhfrugdprv ho dqäolvlv suhylr gh
htxloleulr/ whqðdprv txh J+k+w 4,, @ !+k+w 4,,k+w 4, | txh J+3, @ 31 Sru
or wdqwr/ dkrud whqhprv txh fxdqgr k+w 4, @ 3 hq htxloleulr vh fxpsoh txh
k+w, @ g1 Hvwr qrv shuplwh judfdu qxhydphqwh od frqglflöq gh htxloleulr
k+w, @ J+k+w 4,, . g
grqgh dkrud od ixqflöq hq ho odgr l}txlhugr gh hvwd h{suhvlöq wlhqh xqd rughqdgd
do ruljhq srvlwlyd +ILJXUD 7,1
Iljxud 7
Qrwdprv txh h{lvwhq dkrud grv htxloleulrv prqhwdulrv hvwdflrqdulrv/ k+w, @
k4 sdud wrgr w | k+w, @ k5 sdud wrgr w1 Qrwhprv txh vh fxpsoh txh=
k4 @ i+U4 , ? k5 @ i +U5 ,>
| frpr i hv xqd ixqflöq hvwuðfwdphqwh fuhflhqwh/ txh U4 ? U5 1 Sru or wdqwr od
lq dflöq gh htxloleulr vdwlvidfh txh 4 A 5 grqgh frpr vh ylö dqwhulruphqwh
Ul @ 4@+4 . l , sdud l @ 4> 51 Hvwh uhvxowdgr hv lqwhuhvdqwh srutxh qrv glfh
txh hq ho suhvhqwh prghor h{lvwhq grv qlyhohv glvwlqwrv gh lq dflöq hvwdflrqduld
dvrfldgrv frq ho plvpr qlyho gh prqhwl}dflöq gho gìflw gho jrelhuqr1
Sdud lqwhusuhwdu hvwh uhvxowdgr/ hv lpsruwdqwh qrwdu txh hq ho htxloleulr
txh hvwdprv hvwxgldqgr ho jrelhuqr qr holmh od fdqwlgdg gh glqhur d vhu hplwlgd1
Gdgr xq qlyho gh suhflrv | xqd fdqwlgdg gh gìflw suhvxsxhvwdulr uhdo shu fdslwd
45
gdgd g ho jrelhuqr hplwh vxflhqwh fdqwlgdg gh glqhur frpr sdud prqhwl}du
ho gìflw1 Hq hvwh vhqwlgr/ od sroðwlfd vfdo grplqd d od sroðwlfd prqhwduld
+grplqdqfld vfdo ,1 Shur vh gheh qrwdu wdpelìq txh hvwd irupd gh shqvdu hq ho
htxloleulr wdpelìq ghwhuplqd od h{lvwhqfld gh glfkrv htxloleulrv1 Vl sru hmhpsor
shqväudprv txh ho jrelhuqr ghwhuplqd od fdqwlgdg gh glqhur d hplwlu | oxhjr/
gh dfxhugr frq ho qlyho gh suhflrv/ vh ghwhuplqd fxdqwr ghiðflw sxeolfr vh sxhgh
qdqfldu fuhdqgr glqhur +r hq rwudv sdodeudv/ vl ho gìflw shu fdslwd sdvd d vhu
od yduldeoh hqgöjhqd,/ whqhprv txh rwud yh} h{lvwluä xq htxloleulr qr prqhwdulr
grqgh ho qlyho gh gìflw prqhwl}deoh hv qhfhvduldphqwh ljxdo d fhur1
Iljxud 8
Xwlol}dqgr od htxdflöq +4, | vdelhqgr txh hq xq htxloleulr hvwdflrqdulr vh
fxpsoh txh k @ i+U,/ srghprv ghqlu ho vhôruhdjh gh hvwdgr hvwdflrqdulr frpr=
+U, @ +4 U
,i +U,=
4.q
Ho uhvxowdgr dqwhulru qrv glfh txh h{lvwhq grv qlyhohv gh lq dflöq glvwlqwrv dvr0
fldgrv frq ho plvpr qlyho gh vhôruhdjh hvwdflrqdulr1 Dghpäv/ qrwhprv txh sdud
rewhqhu vhôruhdjh srvlwlyr vh uhtxlhuh txh U ? 4 . q frq or fxdo vl q A 3 vh
fxpsoh txh hv srvleoh whqhu xq htxloleulr hvwdflrqdulr frq vhôruhdjh srvlwlyr |
U @ 4@+4 . , A 4> r hq rwudv sdodeudv/ frq lq dflöq 31 Hv ghflu/ fxdqgr
od hfrqrpðd hvwd fuhflhqgr hv srvleoh pdqwhqhu xq vhôruhdjh srvlwlyr vlq whqhu
lq dflöq1 ÁSrutxì ghflprv txh fxdqgr q hv pd|ru txh fhur od hfrqrpðd hvwd
fuhflhqgrB Od uhvsxhvwd hv fodud= Fdgd jhqhudflöq wlhqh q 433 sru flhqwr päv
gh djhqwhv | fdgd djhqwh qdfh frq xqd grwdflöq gh $ 4 elhqhv/ sru or wdqwr/ frq
fdgd qxhyd jhqhudflöq od hfrqrpðd hv vx frqmxqwr dgtxlhuh dffhvr d xqd pd|ru
46
fdqwlgdg gh elhqhv/ r hq rwudv sdodeudv/ fuhfh1 Hq ho fdvr sduwlfxodu hq ho txh
q @ 3 od ýqlfd irupd gh prqhwl}du xq gìflw srvlwlyr hv fuhdqgr lq dflöq1
Hv iäflo frpsuredu txh od fxuyd +U, wlhqh od irupd gh xqd mrured +ILJXUD
8,1 Vl wrpdprv od ghulydgd sulphud gh od ixqflöq frq uhvshfwr d U rewhqhprv=
i +U,
U
g
@
. 4
i 3 +U,=
gU
4.q
4.q
Fxdqgr U hv fhufdqd d fhur od fxuyd wlhqh shqglhqwh srvlwlyd | fxdqgr U
hv fhufdqd d 4 . q od fxuyd wlhqh shqglhqwh qhjdwlyd1 H{lvwh/ sru or wdqwr/ xq
ydoru lqwhuphglr gh U +| sru wdqwr gh lq dflöq , txh pd{lpl}d od fdqwlgdg gh
vhôruhdjh hq xq htxloleulr hvwdflrqdulr1 Hq hvwh vhqwlgr srghprv ghflu txh od
ixqflöq frqvwlwx|h xq fdvr sduwlfxodu gh od Fxuyd gh Odhu1
Dghpäv/ vh sxhgh ghprvwudu txh ho qlyho gh suhflrv dvrfldgr frq ho hvwdgr
hvwdflrqdulr hq ho txh ho uhwruqr vreuh ho glqhur hvwd gdgr sru U4 hv/ sdud wrgr
w/ päv dowr txh ho qlyho gh suhflrv dvrfldgr frq ho hvwdgr hvwdflrqdulr U5 +rwud
yh}/ odv h{shfwdwlydv gh orv djhqwhv vreuh od hyroxflöq ixwxud gho qlyho gh suhflrv
gh htxloleulr mxhjd xq uro ixqgdphqwdo hq od lqwhusuhwdflöq gh hvwh uhvxowdgr,1
Fxdqgr ho uhwruqr gho glqhur vh hqfxhqwud hqwuh orv ydoruhv U4 | U5 od
hfrqrpðd hvwä hq or txh vh oodpd ho volsshu| vlgh gh od fxuyd1 Hvwr hv dvð srutxh
fxdqgr U+w, 5 +U4 > U5 , vh fxpsoh txh hq htxloleulr U+w, $ U4 | sru or wdqwr
+w, hv fuhflhqwh hq ho wlhpsr1 Sdud hqwhqghu txh hvwä vxfhglhqgr hq hvwh wlsr
gh htxloleulr qr hvwdflrqdulr/ qrwhprv txh vl U+w 4, 5 +U4 > U5 , vh fxpsoh txh=
U+w 4,
k+w 4, . g ? i+U+w 4,,>
4.q
r/ hq sdodeudv/ frpr ho jrelhuqr qhfhvlwd qdqfldu xq gìflw g/ frq xqd ghpdqgd
gh glqhur frqvwdqwh k+w 4, @ i+U+w 4,, vxfhghuðd txh kdeuðd xq h{fhvr gh
vhôruhdjh/ or fxdo hv lqfrqvlvwhqwh frq htxloleulr1 Sru or wdqwr/ od fdqwlgdg gh0
pdqgdgd gh glqhur gheh hvwdu edmdqgr hq htxloleulr sdud txh ho vhôruhdjh vhd
phqru1 Hv ghflu/ U+w, gheh vhu phqru txh U+w 4, | od lq dflöq gheh hvwdu
vxelhqgr1 Hv lqwhuhvdqwh qrwdu txh/ hq flhuwd irupd/ od lq dflöq gh htxloleulr
hvwä vxelhqgr sdud txh glvplqx|d ho vhôruhdjh1 Hvwr sxhgh sduhfhu frqwudlq0
wxlwlyr shur wlhqh txh yhu frq ho khfkr gh txh od ghpdqgd gh glqhur ghshqgh
gh od lq dflöq hvshudgd | txh orv vxfhvlyrv dxphqwrv gh lq dflöq glvplqx|hq
od ghpdqgd gh glqhur päv txh or txh ho dxphqwr gh suhflrv glvplqx|h od rihuwd
uhdo fruulhqwh gh glqhur1
Lq dflöq/ Vxshuqhxwudolgdg | Fuðwlfd gh Oxfdv1
Frqvlghudprv dkrud xqd sroðwlfd prqhwduld0vfdo hq od txh ho jrelhuqr hplwh
qxhydv xqlgdghv gh sdsho prqhgd d xqd wdvd frqvwdqwh hq ho wlhpsr | odv glv0
wulex|h hq irupd gh wudqvihuhqfldv gh glqhur d orv ylhmrv gho shuðrgr fruulhqwh1
Irupdophqwh whqhprv txh
K+w, @ }K+w 4,>
47
frq } A 4 | od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gho jrelhuqr hvwd gdgd sru=
Q +w 4, w4 +w, @
K+w, K+w 4,
>
s+w,
grqgh w4 +w, hv od wudqvihuhqfld hq glqhur d orv ylhmrv gho shuðrgr w1 Sdud ho
shuðrgr w @ 4 whqhprv txh=
3 +4, @
K+3,
=
Q +3,s+4,
Sru or wdqwr xq htxloleulr sxhgh ghvfuleluvh frq odv vljxlhqwhv hfxdflrqhv=
w4 +w, @ +} 4,k+w 4,
|
s+w 4,
>
s+w,
k+w 4, @ i +U+w 4,> w4 +w,,=
Hq ho hvwdgr hvwdflrqdulr/ od wdvd euxwd gh lq dflöq hvwd gdgd sru }@+4.q,1 Sdud
ghprvwudu hvwh uhvxowdgr frphq}dprv frq od frqglflöq gh hvwdgr hvwdflrqdulr
txh lpsolfd txh=
K+w,
K+w 4,
@
>
Q +w 4,s+w 4,
Q+w,s+w,
| uhhpsod}dqgr od oh| gh prylplhqwr gh od fdqwlgdg gh glqhur K+w, @ }K+w 4,
whqhprv txh sdud wrgr w vh fxpsoh=
+4 . q,
hv ghflu txh
4. s+w,
@ }>
s+w 4,
}
s+w,
@
=
s+w 4,
4.q
Xq fdvr lqwhuhvdqwh hv ho fdvr hq ho txh q @ 31 Hq hvwh fdvr od wdvd gh lq dflöq
hq hvwdgr hvwdflrqdulr hv ljxdo d od wdvd gh fuhflplhqwr gh od fdqwlgdg gh glqhur/
xq uhvxowdgr txh hq od olwhudwxud vxhoh dsduhfhu dvrfldgr frq od vxshuqhxwudolgdg
gho glqhur1 Vlq hpedujr/ dtxð frpr od lq dflöq dihfwd od wdvd gh uhwruqr vreuh
ho dkruur | sru or wdqwr od dvljqdflöq gh frqvxpr gh htxloleulr/ ghflprv txh ho
glqhur qr hv vxshuqhxwudo hq hvwh prghor1
Hq or txh vljxh/ ghprvwudprv txh hq htxloleulr od fdqwlgdg uhdo gh glqhur
hv xqd ixqflöq px| hvshfðfd gh od wdvd gh lq dflöq hvshudgd | txh ghshqgh
hq xqd irupd ixqgdphqwdo gho wlsr gh sroðwlfd prqhwduld txh vh hvwì ghvduuro0
odqgr1 Hvwh uhvxowdgr sxhgh hqwhqghuvh frpr xq fdvr sduwlfxodu gh od fuðwlfd
gh Oxfdv d orv prghorv pdfurhfrqrpìwulfrv hvwuxfwxudohv1 Od lghd gh Oxfdv
hv päv jhqhudo shur sxhgh loxvwuduvh fodudphqwh frq ho fdvr txh hvwdprv hv0
wxgldqgr dtxð1 Hq orv dôrv vhwhqwd hud suäfwlfd frpýq hvwlpdu xqd ghpdqgd
gh vdogrv uhdohv frpr ixqflöq gh od wdvd gh lq dflöq hvshudgd +r xqd sur{l gh
wdo yduldeoh, xvdqgr gdwrv klvwöulfrv1 Hvwd hvwlpdflöq oxhjr vh xwlol}ded sdud
48
hydoxdu odv srvleohv frqvhfxhqfldv gh fdpelrv hq od sroðwlfd prqhwduld1 Oxfdv
vhôdor txh wdo ghpdqgd gh vdogrv uhdohv hv/ hq uhdolgdg/ xqd irupd uhgxflgd gh
xqd uhodflöq gh htxloleulr hqwuh orv vdogrv uhdohv | od wdvd gh lq dflöq | txh/
hq sulqflslr/ hv hvshudeoh txh wdo uhdoflöq vhd hvwdgðvwlfdphqwh lqhvwdeoh dqwh
fdpelrv gh sroðwlfd1 Hq wdo vhqwlgr/ uhvxowduä lqfruuhfwr hydoxdu xq fdpelr gh
sroðwlfd vxsrqlhqgr txh od uhodflöq hqwuh od fdqwlgdg gh vdogrv uhdohv | od wdvd
gh lq dflöq hvshudgd vh pdqwhqguä hvwdeoh1 D frqwlqxdflöq ghprvwudprv txh
hq ho prghor gh jhqhudflrqhv vxshusxhvwdv vh fxpsoh txh od fdqwlgdg gh vdogrv
uhdohv gh htxloleulr hv xqd ixqflöq hvshfðfd gh od wdvd gh lq dflöq hvshudgd |
txh wdo irupd ixqflrqdo ghshqgh gluhfwdphqwh gh od irupd hq txh vh uhdol}d od
sroðwlfd prqhwduld1 Sdud hoor qrv frqfhqwudprv hq ho fdvr hq ho txh od ixqflöq gh
xwlolgdg gh orv djhqwhv hv orjduðwplfd vhsdudeoh +yhu Hmhuflflr 4,1 Hq ho hvwdgr
hvwdflrqdulr od wdvd euxwd gh lq dflöq hvshudgd h hvwd gdgd sru }@+4 . q,= Hq
ho fdvr hq ho txh ho jrelhuqr lqwurgxfh qxhyr glqhur d wudyì} gh wudqvihuhqfldv
gh glqhur d orv ylhmrv gh fdgd jhqhudflöq whqhprv txh/ hq htxloleulr/
k+w, @
$ 4 $ 5 . +} 4,U+w,k+w,
$ 4 $5 w +w . 4,
@
>
5
5U+w,
5
5U+w,
| hqwrqfhv/ hq hvwdgr hvwdflrqdulr/ vh fxpsoh txh=
k@
4
^$ 4 $ 5 h ` =
4 . +4 . q,
h
Sru rwur odgr/ fxdqgr ho jrelhuqr hplwh glqhur d od plvpd wdvd shur frq ho
remhwlyr gh qdqfldu jdvwr sýeolfr lpsurgxfwlyr whqhprv txh od uhvwulfflöq suh0
vxsxhvwduld gho jrelhuqr hvwä gdgd sru=
J+w, @ +} 4,k+w 4,U+w 4,>
| hq ho hvwdgr hvwdflrqdulr vh fxpsoh txh=
k@
4
^$4 $ 5 h ` =
5
Srghprv yhu hqwrqfhv txh hq hvwh hmhpsor od uhodflöq hqwuh od fdqwlgdg gh vdogrv
uhdohv gh hvwdgr hvwdflrqdulr | od wdvd gh lq dflöq hvshudgd ghshqgh hq irupd
ixqgdphqwdo gh od sroðwlfd hfrqöplfd1 Hq ho fdvr hq ho txh ho jrelhuqr qdqfld
jdvwr sýeolfr lpsurgxfwlyr glfkd uhodflöq hv olqhdo | hq ho fdvr hq ho txh ho
jrelhuqr qdqfld wudvihuhqfldv d orv ylhmrv od uhodflöq hv fodudphqwh qr olqhdo1
Surihvðdv Dxwrfxpsolgdv | Vxqvsrwv1
Fdvv | Vkhoo irupdol}durq sru sulphud yh} od lghd gh txh ho surfhvr gh iru0
pdflöq gh h{shfwdwlydv gh orv djhqwhv sxhgh uhvxowdu hq htxloleulrv grqgh odv
yduldeohv gh od hfrqrpðd vh hqfxhqwudq lq xhqfldgdv sru hyhqwrv txh qr qhfh0
vduldphqwh lq xhqfldq orv ixqgdphqwdohv gh od hfrqrpðd1 D}duldglv ghvduurooö
hvwd lghd hq ho prghor prqhwdulr gh jhqhudflrqhv vxshusxhvwdv1 D frqwlqxdflöq
vh suhvhqwd xqd yhuvlöq vlpsolfdgd gh glfkrv uhvxowdgrv1
49
Sdud vlpsolfdu qrwdflöq vxsrqhprv txh K+w, @ K+3, @ 4 sdud wrgr w/ txh
Q+3, @ 4 | q @ 3 | txh $5 @ 3 +txh qrv jdudqwl}d txh vh fxpsoh od frqglflöq
vdpxhovrqldqd,1 Dghpäv vxsrqhprv txh od ixqflöq gh xwlolgdg gh orv djhqwhv
hv vhsdudeoh/ hv ghflu
xw ^fw +w,> fw +w . 4,` @ y+fw +w,, . x+fw +w . 4,,>
grqgh odv ixqflrqhv y | x vrq ixqflrqhv hvwulfwdphqwh fuhflhqwhv/ föqfdydv |
glihuhqfldeohv1 Uhfrughprv txh hq htxloleulr whqhprv txh vh fxpsoh od vljxlhqwh
hfxdflöq gh olpslh}d gho phufdgr gh glqhur=
k+w, pw +w,
4
@
vw +w,>
s+w,
s+w,
grqgh vw +w, vdwlvidfh od frqglflöq gh sulphu rughq gho sureohpd gho djhqwh/ hq
hvwh fdvr gdgd sru=
y3 +$ 4 vw +w,, @ x3 +U+w,vw +w,,U+w,=
+5,
Qrwhprv dkrud txh hq htxloleulr vh fxpsoh txh=
U+w, @
k+w . 4,
s+w,
@
>
s+w . 4,
k+w,
sru or txh srghprv uhhvfulelu od hfxdflöq +5, frpr vljxh=
y 3 +$ 4 k+w,,k+w, @ x3 +k+w . 4,,k+w . 4,=
Ìvwd hv xqd hfxdflöq hq glihuhqfldv gh sulphu rughq hq k+w, txh ghvfuleh od
hyroxflöq gh od yduldeoh k+w, hq htxloleulr | txh ixh uhsuhvhqwdgd +sru hmhpsor,
hq od Iljxud 51 Ghqlprv dkrud odv vljxlhqwhv grv ixqflrqhv dx{lolduhv=
J+{, @ y3 +$4 {,{ | X +{, @ x3 +{,{=
Qrwhprv txh od ixqflöq J+{, hv hvwulfwdphqwh fuhflhqwh1 Whqhprv hqwrqfhv
txh xq htxloleulr gh suhylvlöq shuihfwd sxhgh vhu ghvfulwsr sru od hfxdflöq hq
glihuhqfldv gh sulphu rughq=
J+k+w,, @ X +k+w . 4,,=
3 txh
Xq htxloleulr prqhwdulr gh hvwdgr hvwdflrqdulr hvwd gdgr sru ho ydoru k
vroxflrqd J+k, @ X +k,1
Od lghd dkrud hv frqvwuxlu xq htxloleulr gh hvwd hfrqrpðd grqgh ho ydoru gh
od yduldeoh k+w, hvwh lq xhqfldgd sru od hyroxflöq gh xqd yduldeoh dohdwruld h{ö0
jhqd txh qr wlhqh hihfwrv hq qlqjxqd gh odv fdudfwhuðvwlfdv ixqgdphqwdohv gh od
hfrqrpðd +frpr odv suhihuhqfldv/ odv grwdflrqhv/ hwf1,1 Ho remhwlyr hv ghprvwudu
txh ho prghor gh jhqhudflrqhv vxshusxhvwdv dgplwh od frqvwuxfflöq gh htxlole0
ulrv grqgh odv dvljqdflrqhv gh frqvxpr | odv rwudv yduldeohv gh od hfrqrpðd
sxhghq xfwxdu hq ho wlhpsr do vhu lq xhqfldgdv sru ho surfhvr gh irupdflöq gh
4:
h{shfwdwlydv gh orv djhqwhv/ vlq txh orv ixqgdphqwdohv gh od hfrqrpðd xfwýhq1
Sdud ghprvwudu txh hvwr hv srvleoh/ hv vxflhqwh frq od frqvwuxfflöq gh xq hmhp0
sor1 Sdud hoor/ frqvlghudprv xq wlsr gh yduldeoh dohdwruld h{öjhqd +vxqvsrw, txh
uhvxowd px| frqyhqlhqwh= xqd yduldeoh dohdwruld frq xqd hvwuxfwxud gh Pdunry
vlpsoh +hv ghflu txh od glvwulexflöq gh suredelolgdg gh od yduldeoh dohdwruld hq ho
shuðrgr w ghshqgh vöor gh od uhdol}dflöq gh wdo yduldeoh hq ho shuðrgr w 4,1 Hq
sduwlfxodu/ vxsrqhprv txh h{lvwh xqd yduldeoh dohdwruld +w, txh wrpd ydoruhv
hq ho frqmxqwr i4 > 5 j wdo txh Su ^+w, @ l m +w 4, @ l ` @ t sdud l @ 4> 51
Dkrud/ vl orv djhqwhv irupdq vxv h{shfwdwlydv frqwlqjhqwhv d od uhdol}dflöq gh od
yduldeoh +w, vxfhghuä txh odv dfflrqhv gh orv djhqwhv/ | sru or wdqwr ho htxloleulr
gh od hfrqrpðd/ vh pryhuä gh dfxhugr d od uhdol}dflöq gh wdo yduldeoh1
Hq uhvxphq/ | frpr sdud ghvfulelu ho htxloleulr gh od hfrqrpðd hv vxflhqwh
frq ghvfulelu ho frpsduwdplhqwr gh od yduldeoh k+w,/ whqhprv txh/ hq htxlole0
ulr/ od yduldeoh k+w, vh frpsruwduä frpr xqd yduldeoh dohdwruld Pdunry1 Hq
frqvhtxhqfld/ hq xq htxloleulr frq hihfwrv vxqvsrw od yduldeoh k+w, wrpd xqr
gh grv ydoruhv/ k4 r k5 / grqgh kl hv ho ydoru gh od fdqwlgdg gh vdogrv uhdohv
gh htxloleulr dvrfldgr frq ho hvwdgr l gh od yduldeoh vxqvsrw/ sdud l @ 4/ 51
Hq wdo htxloleulr/ od suredelolgdg frqglflrqdo gh od yduldeoh k hvwä gdgd sru
Su ^k+w . 4, @ kl m k+w, @ kl ` @ t sdud l @ 4> 5/ | od pdwul} gh suredelolgdghv gh
wudqvlflöq gh Pdunry hvwä gdgd sru od vljxlhqwh wdeod=
Su
k+w, @ k4
k+w, @ k5
k+w . 4, @ k4
t
4t
k+w . 4, @ k5
4t
t
Hq jhqhudo/ kdvwd dkrud/ hvwxgldprv ho fdvr gh suhylvlöq shuihfwd> od lqfoxvlöq
gh hihfwrv vxqvsrw lpsolfd txh qhfhvlwdprv dpsoldu ho dqäolvlv | frqvlghudu ho
fdvr hq txh ho djhqwh uhvxohyh vx sureohpd gh ghflvlöq +| dkruur, vlq vdehu frq
fhuwh}d ho uhqglplqhwr gh pdqwhqhu glqhur1 Frpr ylprv/ ho uhwruqr gh pdqwhqhu
glqhur hvwd gdgr sru U+w, @ k+w . 4,@k+w, | sru or wdqwr whqhprv txh hq ho pr0
phqwr w vh fxpsoh txh Su ^U+w, @ 4` @ t/ | txh Su ^U+w, @ km @kl m k+w, @ kl ` @
4 t1 Ho sureohpd gho djhqwh vh sxhgh hvfulelu frpr vljxh=
pd{ y +$ 4 vw +w,, . HU+w, ^x +U+w,vw +w,,`
+,
vw w
| od frqglflöq qhfhvduld gh sulphu rughq lpsolfd od vljxlhqwh hfxdflöq gh htxl0
oleulr
k+w . 4,
y3 +$4 k+w,, @ Hk+w.4, x3 +k+w . 4,,
k+w,
txh od srghprv uhhvfulelu frpr xq vlvwhpd gh grv htxdflrqhv hq wuhv lqfrjqlwdv
+k4 / k5 | t,=
k5
y3 +$4 k4 , @ tx3 +k4 , . +4 t,x3 +k4 , >
k4
y3 +$4 k5 , @ +4 t, x3 +k4 ,
4;
k4
. tx3 +k5 , >
k5
r hq irupd uhgxflgd=
J+k4 , @ tX +k4 , . +4 t,X+k5 ,>
+6,
J+k5 , @ +4 t,X +k4 , . tX+k5 ,=
+7,
Hvwh vlvwhpd hq jhqhudo wlhqh pýowlsohv vroxflrqhv1 Xq fdvr sduwlfxodu +| sru
txh uhvxowd vhu ho hvwdgr
vxsxhvwr/ reylr, hv ho fdvr hq ho txh k4 @ k5 @ k/
hvwdflrqdulr gho prghor vlq vxqvsrwv1
Hmhuflflr 5= Vl +l, X hv xqd ixqflöq fuhflhqwh gh k/ r vl +ll, X hv ghfuhflhqwh |
t A 4@5/ ghprvwudu txh vh fxpsoh txh qr h{lvwh xq htxloleulr frq dohdwrulhgdg
h{wuðqvhfd +r hihfwrv vxqvsrw,1 Yhu D}duldglv +4<;4,1
Or txh exvfdprv hv xq yhfwru +k4 > k5 > t, txh vroxflrqh ho vlvwhpd gh hfxd0
flrqhv +6, | +7,/ wdo txh t 5 ^3> 4` | k4 9@ k5 1 Frpr ho vlvwhpd hv frpsohwdphqwh
vlpìwulfr frq uhvshfwr d orv vxeðqglfhv srghprv dvxplu vlq sìuglgd gh jhqhudol0
gdg txh k5 A k4 +hq ho fdvr rsxhvwr/ wrgrv orv ud}rqdplhqwrv vhuðdq htxlydohqwhv
oxhjr gh uhlqgh{du,1 Gdgr txh ho Hmhuflflr 6 qrv glfh txh fxdqgr od ixqflöq X hv
fuhflhqwh qr h{lvwh xqd vroxflöq frpr od txh hvwdprv exvfdqgr/ qrv uhvwulqjlprv
do fdvr hq txh X hv ghfuhflhqwh1 Sru or wdqwr whqhprv txh X +k5 , ? X +k4 ,1
Od uhvwulfflöq vreuh od yduldeoh t +hv ghflu/ t 5 ^3> 4`, vh ruljlqd hq txh t
uhsuhvhqwd xqd suredelolgdg gh htxloleulr1 Gho vlvwhpd gh hfxdflrqhv +6, | +7,
rewhqhprv txh hq htxloleulr t vdwlvidfh odv vljxlhqwhv grv hfxdflrqhv=
t@
X +k4 , J +k5 ,
J+k4 , X +k5 ,
@
=
X +k4 , X +k5 ,
X +k4 , X +k5 ,
Sdud txh t 3 hv qhfhvdulr txh J+k4 , X +k5 , | X +k4 , J +k5 ,1 Sdud txh
t 4 hv qhfhvdulr txh J+k4 , X +k4 , | J+k5 , X +k5 ,1
Iljxud 9
4<
Hmhuflflr 6= Ghprvwudu txh/ frpr od ixqflöq J hv fuhflhqwh/ uhvxowd vxflhqwh
frq yhulfdu txh vh fxpsoh txh J+k4 , X +k5 , | X+k4 , J +k5 ,1
Hv iäflo yhu txh odv hfxdflrqhv J+k4 , @ X+k5 , | X+k4 , @ J+k5 , vrq vlpìwul0
fdv frq uhvshfwr d od uhfwd gh 78 judgrv k4 @ k5 hq ho sodqr +k4 > k5 , +ILJXUD
9,1
Ho sxqwr D hq od Iljxud 9 vdwlvidfh txh J+k4 , A X +k5 , | txh X +k4 , A J+k5 ,1
Sru or wdqwr/ xqd frqglflöq vxflhqwh sdud txh xq htxloleulr frq vxqvsrwv +hv
ghflu/ hq ho fxdo k4 A k5 , h{lvwd hv txh od fxuyd X +k
4, @
J+k5 , whqjd pd|ru
k
1 Od shqglhqwh gh od
shqglhqwh txh od fxuyd J+k4 , @ X +k5 , hq ho sxqwr k>
fxuyd X+k4 , @ J+k5 , hvwä gdgd sru=
gk5
X 3 +k4 ,
>
@ 3
gk4
J +k5 ,
| od shqglhqwh gh od fxuyd J+k4 , @ X +k5 , hvwä gdgd sru=
gk5
J3 +k4 ,
=
@ 3
gk4
X +k5 ,
Sru or wdqwr/ sdud txh h{lwd xq htxloleulr frq hihfwrv vxqvsrw hv vxflhqwh txh
3
J3 +k,
X +k,
A
J3 +k,
X 3 +k,
>
txh vh fxpsoh vl
3
J +
k, X 3 +k,
? 4=
Iljxud :
53
+8,
Uhvxowd txh hvwd frqglflöq hv gh khfkr od frqglflöq txh ghwhuplqd txh ho
hv glqäpl0
htxloleulr prqhwdulr gh hvwdgr hvwdflrqdulr +vlq vxqvsrwv,/ hv ghflu k/
fdphqwh hvwdeoh1 Uhfrughprv txh od glqäplfd gh htxloleulr gh xq htxloleulr
prqhwdulr hvwä gdgd sru od hfxdflöq
J+k+w,, @ X +k+w . 4,,>
| txh vl vh fxpsoh od ghvljxdogdg +8, od yduldeoh k+w, hv hvwdeoh douhghgru gh
hq ho vhqwlgr gh txh sdud fxdotxlhu k+w, hq xq hqwruqr gh k
k vh fxpsoh txh
fxdqgr w $ 4 +ILJXUD :,1
k+w, $ k
Sdud frqfoxlu frq od suhvhqwdflöq gho fdvr gh htxloleulrv frq hihfwrv vxqvsrw
vh suryhh xqd h{solfdflöq lqwxwlyd gh od oöjlfd lqyroxfudgd1 Od lghd hv txh
orv djhqwhv gh od hfrqrpðd hvshudq txh ho qlyho gh suhflrv xfwxh hqwuh grv
ydoruhv/ s4 | s5 / gh dfxhugr frq xq surfhvr gh Pdunry vlpsoh1 Gdgr txh wdo
hv od fuhhqfld gh orv djhqwhv gh od hfrqrpðd/ od ghpdqgd gh glqhur xfwxd gh
irupd wdo txh ho qlyho gh suhflrv gh htxloleulr +wdo txh vh olpsld ho phufdgr gh
glqhur, hv frqvlvwhqwh frq glfkrv qlyhohv gh suhflr s4 | s5 +gdgd od ghpdqgd gh
glqhur gh orv djhqwhv/ txh frpr vh glmr/ ghshqgh gh vxv fuhhqfldv hq orv hihfwrv
vxqvsrwv,1 Hq sduwlfxodu/ vl s4 A s5 whqhprv txh fxdqgr ho qlyho gh suhflrv
hv s4 ho djhqwh hvshud txh ho uhwruqr gh pdqwhqhu glqhur vhd ljxdo d xqr +frq
suredelolgdg t, r pd|ru d xqr +s4 @s5 / frq suredelolgdg 4 t,1 Hq wdo fdvr ho
djhqwh ghpdqgduä päv glqhur txh vl hvshudud txh ho uhqglplhqwr gh pdqwhqhu
glqhur ixhud xqr r phqru txh xqr +s5 @s4,/ txh hv ho fdvr fxdqgr ho qlyho gh
suhflrv gh od hfrqrpðd hv s5 1 Wdo vlwxdflöq hv frqvlvwhqwh frq xq htxloleulr frpr
ho txh hvwdprv frqvlghudqgr hq ho txh vh fxpsoh txh k5 @ 4@s5 A k4 @ 4@s4 1
Lqghwhuplqdflöq gh orv Wlsrv gh Fdpelr Prqhwdulrv1
Frqvlghudprv dkrud xqd hfrqrpðd frqirupdgd sru grv sdðvhv/ 4 | 51 Fdgd
xqr gh orv sdðvhv wlhqh od plvpd hvwuxfwxud hfrqöplfd txh od txh khprv hv0
wdgr hvwxgldqgr kdvwd dkrud1 Dghpäv vxsrqhprv txh h{lvwh lqwhufdpelr oleuh
gh elhqhv/ suìvwdprv | glqhur hqwuh orv sdðvhv +uìjlphq odlvvh}0idluh,1 Wdpelìq
vxsrqhprv txh fdgd sdðv wlhqh vx sursld prqhgd | txh kd| xq ýqlfr elhq gh
frqvxpr txh qr hv dopdfhqdeoh +hq rwudv sdodeudv/ txh odv grv hfrqrpðdv sur0
gxfhq ho plvpr elhq,1 Oodphprv Kl +3, od fdqwlgdg frqvwdqwh gh sdsho prqhgd
gho sdlv l/ frq l @ 4> 51 Odv uhvwulfflrqhv suhvxsxhvwduldv gh orv djhqwhv +hq
fxdotxlhud gh odv grv hfrqrpðdv, hvwdq gdgdv dkrud sru=
fw +w, .
p4w +w, p5w +w,
.
$4 >
s4 +w,
s5 +w,
|
fw +w . 4, $ 5 .
p5w +w,
p4w +w,
.
>
s4 +w . 4, s5 +w . 4,
grqgh plw +w, hv od fdqwlgdg gh sdsho prqhgd gh od hfrqrpðd l txh ghpdqgd
xqd djhqwh gh od jhqhudflöq w hq ho shuðrgr w/ | sl +w, hv ho qlyho gh suhflrv gh od
hfrqrpðd l hq ho shuðrgr w +hv ghflu/ od fdqwlgdg gh sdsho prqhgd gh od hfrqrpðd
54
l qhfhvduld sdud frpsudu xqd xqlgdg gho elhq hq ho prphqwr w,1 Ghqlprv ho
wlsr gh fdpelr qrplqdo hq ho shuðrgr w frpr h+w, @ s4 +w,@s5 +w,1
Hmhuflflr 7= Ghprvwudu txh hq htxloleulr vh fxpsoh txh h+w, @ h sdud wrgr w/
hv ghflu txh ho wlsr gh fdpelr qrplqdo gh htxloleulr +frq suhylvlöq shuihfwd, hv
frqvwdqwh hq ho wlhpsr1
Ho Hmhuflflr 5 qrv glfh txh hq hvwd hfrqrpðd pxqgldo +xq pxqgr gh grv
sdðvhv, qr sxhgh kdehu fdpelrv hvshudgrv hq ho wlsr gh fdpelr qrplqdo1 Xq
frurodulr vlpsoh gho Hmhuflflr 5 hv txh odv wdvdv gh lq dflöq gh htxloleulr hv od
plvpd hq orv grv sdðvhv1 Irupdophqwh/ vh fxpsoh txh=
sl +w,
@ U+w, sdud l @ 4> 5=
sl +w . 4,
Od hfxdflöq gh olpslh}d gh orv phufdgrv gh glqhur hq ho shuðrgr w hvwä gdgd
hqwrqfhv sru od vljxlhqwh h{suhvlöq=
i4 +U+w,, . i5 +U+w,, @
4
K4 +3, K5 +3,
.
@
^K4 +3, . hK5 +3,` =
s4 +w,
s5 +w,
s4 +w,
D frqwlqxdflöq ghprvwudprv txh ho wlsr gh fdpelr qrplqdo gh htxloleulr hq
hvwd hfrqrpðd pxqgldo hvwd lqghwhuplqdgr1 R hq rwudv sdodeudv/ txh dvrfldgr
frq fdgd xqr gh orv ydoruhv gh h shuwhqhflhqwhv do frqmxqwr +3> 4, h{lvwh xq
htxloleulr srvleoh gh od hfrqrpðd1 Qrwhprv txh fxdqgr h @ 4/ ho dqäolvlv irupdo
vh uhgxfh do uhdol}dgr do sulqflslr gh hvwdv qrwdv1
Vxsrqjdprv dkrud txh whqhprv xq htxloleulr hq ho fxdo xqd gdgd dvljqdflöq
lqwud h lqwhu0whpsrudo gh frqvxpr hvwä dvrfldgd frq
yduldeohv gh
odv vljxlhqwhv
4
/
|
U+w,
1
Ghprvwuduhprv
suhflrv= h+w, @ h sdud wrgr w/ i
s4 +w,> s5 +w,j4
w@4
w@4
txh kd| rwur htxloleulr frq od plvpd dvljqdflöq gh frqvxpr sdud odv jhqhud0
flrqhv w 4 | hq ho txh U+w, @ U+w,
sdud wrgr w/ shur hq ho txh vh fxpsoh txh/
sdud wrgr w/ h+w, @ e
h 9@ h/ s4 +w, @ se4 +w, 9@ s4 +w,/ | s5 +w, @ se5 +w, 9@ s5 +w,1 Od
dvljqdflöq gh frqvxpr gh orv ylhmrv gh od jhqhudflöq 3 ghshqghuä gho ydoru gh
h gh htxloleulr d qr vhu txh orv ylhmrv lqlfldohv gh fdgd sdðv whqjdq grwdflrqhv
ljxdohv gh dpedv prqhgdv1 Hpsh}dprv mdqgr xq ydoru duelwudulr he 9@ h |
frqvwuxlprv suhflrv frqvlvwhqwhv frq glfkr ydoru gh h1 Sulphur hohjlprv se4 +w,
wdo txh
4
^K4 +3, . heK5 +3,` @ i4 +U+w,,
. i5 +U+w,,=
+9,
se4 +w,
Frpr s4 +w, hv sduwh gh xq htxloleulr frq h+w, @ h whqhprv txh
4
^K4 +3, . hK5 +3,` @ i4 +U+w,,
. i5 +U+w,,>
s4 +w,
|
@
U+w,
. 4,, . i5 +U+w
. 4,,
i4 +U+w
se4 +w,
s4 +w,
@
>
@
s4 +w . 4,
se4 +w . 4,
i4 +U+w,, . i5 +U+w,,
hv wdpelìq ho uhwruqr gh htxloleulr vreuh ho dkruur hq ho htxlole0
hv ghflu txh U+w,
ulr frq h+w, @ he1 Vöor qrv idowd ghwhuplqdu ho ydoru gh htxloleulr s5 +w,= Hohjlprv
55
hqwrqfhv se5 +w, @ se4 +w,@e
h1 Sdud ghprvwudu txh ho dkruur | odv dvljqdflrqhv gh
frqvxpr sdud odv jhqhudflrqhv w @ 4> 5> === hq ho qxhyr htxloleulr frq h+w, @ he
vrq odv plvpdv txh hq ho htxloleulr frq h+w, @ h qrwhprv txh od uhvwulfflöq suh0
vxsxhvwduld lqwhuwhpsrudo gho djhqwh gh od jhqhudflöq w vh sxhgh hvfulelu frpr
vljxh=
4
4
fw +w . 4, @ $ 4 .
$5 >
fw +w, .
U+w,
U+w,
| frpr U+w, hv ljxdo hq dperv htxloleulrv whqhprv txh od vroxflöq gho sureohpd
gho djhqwh hv od plvpd1 Hq uhvxphq/
4 odv yduldeohv gh suhflrv h+w, @ he sdud
4
vrq wdohv txh= +l, h+w, @ s4 +w,@s5 +w, |
wrgr w/ ie
s4 +w,> se5 +w,jw@4 / | U+w,
w@4
U+w, @ sl +w,@sl +w . 4, sdud l @ 4> 5 | sdud wrgr w/ +ll, ho phufdgr gh glqhur
vh olpsld gh dfxhugr frq od hfxdflöq +9,/ | +lll, odv ghpdqgdv gh vdogrv uhdohv
| i5 +U+w,,
uhvxhoyhq ho sureohpd gh orv djhqwhv hq
i4 +U+w,,
dpedv
4 hfrqrpðdv
/
|
U+w,
1 Hv ghflu/
gdgrv orv suhflrv h+w, @ he sdud wrgr w/ ie
s4 +w,> se5 +w,j4
w@4
w@4
whqhprv xq qxhyr htxloleulr1
Hmhuflflr 8= Ghprvwudu txh vl orv djhqwhv ylhmrv gho sulphu shuðrgr +od jhq0
hudflöq 3, hq od hfrqrpðd l wlhqhq frpr grwdflöq Kl +3,/ frq l @ 4> 5/ vh fxpsoh
txh vxv dvljqdflrqhv gh frqvxpr ghshqghq gho ydoru gh htxloleulr gh orv suhflrv1
Ghprvwudu dghpäv txh vl wlhqhq frpr grwdflöq Kl +3,@5 | Km +3,@5/ frq l 9@ m/
oxhjr vxv dvljqdflrqhv gh frqvxpr qr fdpeldq/ | sru or wdqwr/ od lqghwhupl0
qdflöq txh hvwxgldprv hv sxudphqwh qrplqdo1
ÁTxì qrv glfh/ | txì qr qrv glfh/ ho uhvxowdgr gh lqghwhuplqdflöq gh orv
wlsrv gh fdpelr qrplqdohv hq ho prghor prqhwdulr gh jhqhudflrqhv vxshusxhv0
wdvB Ho uhvxowdgr qr qrv glfh txh orv wlsrv gh fdpelr qrplqdohv hq ho pxqgr
wlhqghq d hvwdu lqghwhuplqdgrv1 Vlq hpedujr/ qrv glfh txh sdud txh orv wlsrv gh
fdpelr qrplqdohv hvwìq ghwhuplqdgrv hv qhfhvdulr fdswxudu hq ho prghor dojýq
dvshfwr gh od uhdolgdg txh qr hvwä frqwhpsodgr hq odv hvshflfdflrqhv eävlfdv
gh orv ixqgdphqwdohv gh od hfrqrpðd txh xwlol}dprv hq qxhvwud ghvfulsflöq gh
od hfrqrpðd pxqgldo1 Nduhnhq | Zdoodfh sursrqhq srvleohv fdpelrv txh kdfhq
txh ho wlsr gh fdpelr hvwh ghwhuplqdgr1
Ohfwxudv Frpsohphqwduldv
4, G|qdplf Pdfurhfrqrplf Wkhru|/ W1 Vdujhqw +4<;:, Kduydug Xqlyhuvlw| Suhvv1
+Fdsðwxor :,
5, Hfrqrphwulf Srolf| Hydoxdwlrq= D Fulwltxh/ U1 Oxfdv ++4<:9,1
6, Vhoi0Ixooolqj Surskhflhv/ F1 D}duldglv +4<;4,/ Mrxuqdo ri Hfrqrplf Wkhru|
581
7, Gr Vxqvsrwv PdwwhuB/ G1 Fdvv | N1 Vkhoo +4<;6,/ Mrxuqdo ri Srolwlfdo Hfrqrp|1
8, Rq wkh Lqghwhuplqdf| ri Htxloleulxp H{fkdqjh Udwhv/ M1 Nduhnhq | Q1 Zdo0
odfh +4<;4,/ Txduwhuo| Mrxuqdo ri Hfrqrplfv/ Pd|1
Kxehuwr P1 Hqqlv
46 gh mxqlr gh 5336
kxehuwr1hqqlvCulfk1iue1ruj
56