Principio de Invariabilidad de LaSalle y el Método Directo de

Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Principio de Invariabilidad de LaSalle y el
Método Directo de Liapunov
Una introducción a la teorı́a cualitativa de ecuaciones diferenciales
Jorge A. Esquivel-Avila
UAM-Azcapotzalco
Simposio de Análisis Matemático, su Aproximación Numérica y sus Aplicaciones
En memoria de Alfredo Nicolás Carrizosa (1946-2014)
Agosto 20-21, 2015, México, D. F.
Jorge A. Esquivel-Avila
Simposio de Análisis Matemático, Aproximación Numérica y Aplicaciones
Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Contenido
1
Introducción
2
Definiciones
3
Método directo de Liapunov
4
Principio de invariabilidad de LaSalle
5
Ejemplos
6
Referencias
Jorge A. Esquivel-Avila
Simposio de Análisis Matemático, Aproximación Numérica y Aplicaciones
Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Un ejemplo en dimensión finita. Hirsh & Smale,
1974
Considere el sistema de primer orden en R3
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 ,
w ≡ (x, y , z)T , h(w ) ≡ (−2y (z − 1), x(z − 1), z 3 )T .
Jorge A. Esquivel-Avila
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Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Un ejemplo en dimensión finita. Hirsh & Smale,
1974
Considere el sistema de primer orden en R3
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 ,
w ≡ (x, y , z)T , h(w ) ≡ (−2y (z − 1), x(z − 1), z 3 )T .
Para cada condici ón inicial, w0 , existe soluci ón, t 7→ w (t), única.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Un ejemplo en dimensión finita. Hirsh & Smale,
1974
Considere el sistema de primer orden en R3
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 ,
w ≡ (x, y , z)T , h(w ) ≡ (−2y (z − 1), x(z − 1), z 3 )T .
Para cada condici ón inicial, w0 , existe soluci ón, t 7→ w (t), única.
Las soluciones independientes de t, equilibrios, son de particular importancia.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Un ejemplo en dimensión finita. Hirsh & Smale,
1974
Considere el sistema de primer orden en R3
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 ,
w ≡ (x, y , z)T , h(w ) ≡ (−2y (z − 1), x(z − 1), z 3 )T .
Para cada condici ón inicial, w0 , existe soluci ón, t 7→ w (t), única.
Las soluciones independientes de t, equilibrios, son de particular importancia.
En este ejemplo el único equilibrio es el origen.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Un ejemplo en dimensión finita. Hirsh & Smale,
1974
Considere el sistema de primer orden en R3
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 ,
w ≡ (x, y , z)T , h(w ) ≡ (−2y (z − 1), x(z − 1), z 3 )T .
Para cada condici ón inicial, w0 , existe soluci ón, t 7→ w (t), única.
Las soluciones independientes de t, equilibrios, son de particular importancia.
En este ejemplo el único equilibrio es el origen.
Considere la funci ón 2Φ(w ) ≡ x 2 + 2y 2 + z 2 .
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Un ejemplo en dimensión finita. Hirsh & Smale,
1974
Considere el sistema de primer orden en R3
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 ,
w ≡ (x, y , z)T , h(w ) ≡ (−2y (z − 1), x(z − 1), z 3 )T .
Para cada condici ón inicial, w0 , existe soluci ón, t 7→ w (t), única.
Las soluciones independientes de t, equilibrios, son de particular importancia.
En este ejemplo el único equilibrio es el origen.
Considere la funci ón 2Φ(w ) ≡ x 2 + 2y 2 + z 2 . A lo largo de la soluci ón
d
Φ(w (t)) = − < grad Φ(w (t)), h(w (t)) >= −z 4 (t) ≤ 0, ∀t ≥ 0.
dt
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Entonces, t 7→ Φ(w (t)) es decreciente, en particular
Φ(w (t)) ≤ Φ(w0 ), ∀t ≥ 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Entonces, t 7→ Φ(w (t)) es decreciente, en particular
Φ(w (t)) ≤ Φ(w0 ), ∀t ≥ 0. Consecuentemente la solución existe y es
acotada para todo t ≥ 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Entonces, t 7→ Φ(w (t)) es decreciente, en particular
Φ(w (t)) ≤ Φ(w0 ), ∀t ≥ 0. Consecuentemente la solución existe y es
acotada para todo t ≥ 0.
Problemas:
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Entonces, t 7→ Φ(w (t)) es decreciente, en particular
Φ(w (t)) ≤ Φ(w0 ), ∀t ≥ 0. Consecuentemente la solución existe y es
acotada para todo t ≥ 0.
Problemas:
¿Si w0 está cerca del equilibrio, entonces w (t) lo estará
uniformemente para todo t ≥ 0? Esto es, ¿el origen es estable en el
sentido de Liapunov?
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Entonces, t 7→ Φ(w (t)) es decreciente, en particular
Φ(w (t)) ≤ Φ(w0 ), ∀t ≥ 0. Consecuentemente la solución existe y es
acotada para todo t ≥ 0.
Problemas:
¿Si w0 está cerca del equilibrio, entonces w (t) lo estará
uniformemente para todo t ≥ 0? Esto es, ¿el origen es estable en el
sentido de Liapunov?
¿Existe limt→∞ w (t)?
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Entonces, t 7→ Φ(w (t)) es decreciente, en particular
Φ(w (t)) ≤ Φ(w0 ), ∀t ≥ 0. Consecuentemente la solución existe y es
acotada para todo t ≥ 0.
Problemas:
¿Si w0 está cerca del equilibrio, entonces w (t) lo estará
uniformemente para todo t ≥ 0? Esto es, ¿el origen es estable en el
sentido de Liapunov?
¿Existe limt→∞ w (t)?
Si el lı́mite existe, ¿coincide con el equilibrio? Esto es, ¿el origen es
asintóticamente estable en el sentido de Liapunov?
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Entonces, t 7→ Φ(w (t)) es decreciente, en particular
Φ(w (t)) ≤ Φ(w0 ), ∀t ≥ 0. Consecuentemente la solución existe y es
acotada para todo t ≥ 0.
Problemas:
¿Si w0 está cerca del equilibrio, entonces w (t) lo estará
uniformemente para todo t ≥ 0? Esto es, ¿el origen es estable en el
sentido de Liapunov?
¿Existe limt→∞ w (t)?
Si el lı́mite existe, ¿coincide con el equilibrio? Esto es, ¿el origen es
asintóticamente estable en el sentido de Liapunov?
¿La función (de Liapunov), Φ, es suficiente para resolver estos
problemas?
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Entonces, t 7→ Φ(w (t)) es decreciente, en particular
Φ(w (t)) ≤ Φ(w0 ), ∀t ≥ 0. Consecuentemente la solución existe y es
acotada para todo t ≥ 0.
Problemas:
¿Si w0 está cerca del equilibrio, entonces w (t) lo estará
uniformemente para todo t ≥ 0? Esto es, ¿el origen es estable en el
sentido de Liapunov?
¿Existe limt→∞ w (t)?
Si el lı́mite existe, ¿coincide con el equilibrio? Esto es, ¿el origen es
asintóticamente estable en el sentido de Liapunov?
¿La función (de Liapunov), Φ, es suficiente para resolver estos
problemas?
responder a estas preguntas es el tema de la plática.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Hirsh, Smale & Devaney, 2004
Considere ahora
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Hirsh, Smale & Devaney, 2004
Considere ahora
h(w ) ≡ ((x − 2y )(z − 1), (y + x)(z − 1), z 3 )T , 6= 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Hirsh, Smale & Devaney, 2004
Considere ahora
h(w ) ≡ ((x − 2y )(z − 1), (y + x)(z − 1), z 3 )T , 6= 0.
Para cada condici ón inicial t 7→ w (t), existe y es única.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Hirsh, Smale & Devaney, 2004
Considere ahora
h(w ) ≡ ((x − 2y )(z − 1), (y + x)(z − 1), z 3 )T , 6= 0.
Para cada condici ón inicial t 7→ w (t), existe y es única.
El único equilibrio es el origen.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Hirsh, Smale & Devaney, 2004
Considere ahora
h(w ) ≡ ((x − 2y )(z − 1), (y + x)(z − 1), z 3 )T , 6= 0.
Para cada condici ón inicial t 7→ w (t), existe y es única.
El único equilibrio es el origen.
d
Φ(w (t)) = −(x 2 (t) + 2y 2 (t))(z(t) − 1) − z 4 (t), ∀t ≥ 0.
dt
Si (z(t) − 1) ≥ 0, entonces t 7→ Φ(w (t)), es decreciente.
En particular , w (t) es acotada ∀ t ≥ 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Hirsh, Smale & Devaney, 2004
Considere ahora
h(w ) ≡ ((x − 2y )(z − 1), (y + x)(z − 1), z 3 )T , 6= 0.
Para cada condici ón inicial t 7→ w (t), existe y es única.
El único equilibrio es el origen.
d
Φ(w (t)) = −(x 2 (t) + 2y 2 (t))(z(t) − 1) − z 4 (t), ∀t ≥ 0.
dt
Si (z(t) − 1) ≥ 0, entonces t 7→ Φ(w (t)), es decreciente.
En particular , w (t) es acotada ∀ t ≥ 0.
Se plantean las mismas preguntas que en el problema con = 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Linealización
El problema lineal alrededor del equilibrio cero es

d
w (t) = [A]w (t), t ≥ 0, w (0) = w0 , [A] =  1
dt
0
Jorge A. Esquivel-Avila
−2
0

0
0 .
0
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Linealización
El problema lineal alrededor del equilibrio cero es

d
w (t) = [A]w (t), t ≥ 0, w (0) = w0 , [A] =  1
dt
0
−2
0

0
0 .
0
√
Los valores caracterı́sticos son 0, ± 2i. El origen no es un punto
hiperbólico. Es necesario un análisis no lineal para determinar la dinámica
alrededor del origen, y en particular su estabilidad.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Un ejemplo en dimensión infinita. Cazenave &
Haraux, 1990
Considere la ecuaci ón de onda semilineal amortiguada,
ü(x, t) + u̇(x, t) − ∆u(x, t) + f (u(x, t)) = 0, t ≥ 0, x ∈ Ω,
con condiciones iniciales y de frontera
u(x, 0) = u0 (x), u̇(x, 0) = u1 (x), x ∈ Ω,
Jorge A. Esquivel-Avila
u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0,
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Un ejemplo en dimensión infinita. Cazenave &
Haraux, 1990
Considere la ecuaci ón de onda semilineal amortiguada,
ü(x, t) + u̇(x, t) − ∆u(x, t) + f (u(x, t)) = 0, t ≥ 0, x ∈ Ω,
con condiciones iniciales y de frontera
u(x, 0) = u0 (x), u̇(x, 0) = u1 (x), x ∈ Ω,
u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0,
donde Ω ⊂ RN es un abierto y acotado.
Además, f es localmente Lipschitz continua,
|f (r ) − f (s)| ≤ C (1 + |r |α + |s|α )|r − s|, r , s ∈ R, α ≥ 0, f (0) = 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Usando la teorı́a de semigrupos, la fórmula de variación de constantes, y
el teorema de punto fijo de Banach, se prueba que si α ≤ 2/(N − 2),
cuando N ≥ 3, entonces existe una función T ∗ = T ∗ (u0 , u1 ) ∈ (0, ∞],
tal que:
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Usando la teorı́a de semigrupos, la fórmula de variación de constantes, y
el teorema de punto fijo de Banach, se prueba que si α ≤ 2/(N − 2),
cuando N ≥ 3, entonces existe una función T ∗ = T ∗ (u0 , u1 ) ∈ (0, ∞],
tal que:
Para cada condición inicial (u0 , u1 ) ∈ H01 (Ω) × L2 (Ω), existe solución
única de la ecuación de onda en H −1 (Ω)) = dual de H01 (Ω),
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Usando la teorı́a de semigrupos, la fórmula de variación de constantes, y
el teorema de punto fijo de Banach, se prueba que si α ≤ 2/(N − 2),
cuando N ≥ 3, entonces existe una función T ∗ = T ∗ (u0 , u1 ) ∈ (0, ∞],
tal que:
Para cada condición inicial (u0 , u1 ) ∈ H01 (Ω) × L2 (Ω), existe solución
única de la ecuación de onda en H −1 (Ω)) = dual de H01 (Ω),
< ü(t), w > + < u̇(t), w > + < ∇u(t), ∇w > + < f (u(t)), w >= 0,
c.p.t. t ≥ 0, y para toda w ∈ H01 (Ω),
u ∈ C 2 ([0, T ]; H −1 (Ω)) ∩ C 1 ([0, T ]; L2 (Ω)) ∩ C ([0, T ]; H01 (Ω)),
para cada T ∈ (0, T ∗ ).
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Usando la teorı́a de semigrupos, la fórmula de variación de constantes, y
el teorema de punto fijo de Banach, se prueba que si α ≤ 2/(N − 2),
cuando N ≥ 3, entonces existe una función T ∗ = T ∗ (u0 , u1 ) ∈ (0, ∞],
tal que:
Para cada condición inicial (u0 , u1 ) ∈ H01 (Ω) × L2 (Ω), existe solución
única de la ecuación de onda en H −1 (Ω)) = dual de H01 (Ω),
< ü(t), w > + < u̇(t), w > + < ∇u(t), ∇w > + < f (u(t)), w >= 0,
c.p.t. t ≥ 0, y para toda w ∈ H01 (Ω),
u ∈ C 2 ([0, T ]; H −1 (Ω)) ∩ C 1 ([0, T ]; L2 (Ω)) ∩ C ([0, T ]; H01 (Ω)),
para cada T ∈ (0, T ∗ ). Donde, solo una de las dos siguientes se satisface
T∗ = ∞
T ∗ < ∞ ⇒ limt%T k(u(t), u̇(t))kH01 (Ω)×L2 (Ω) = ∞.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
La energı́a, Φ, se satisface y es tal que, para t ≥ 0,
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
La energı́a, Φ, se satisface y es tal que, para t ≥ 0,
Z Φ(u(t), u̇(t)) ≡
Ω
1
1
|u̇(x, t)|2 + |∇u(x, t)|2 + F (u(x, t)) dx,
2
2
con
d
Φ(u(t), u̇(t)) =< grad Φ(u(t), u̇(t)), (u̇(t), ü(t)) >= −
dt
donde F (u(x, t)) ≡
R u(x,t)
0
Z
|u̇(x, t)|2 dx.
Ω
f (s) ds.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
La energı́a, Φ, se satisface y es tal que, para t ≥ 0,
Z Φ(u(t), u̇(t)) ≡
Ω
1
1
|u̇(x, t)|2 + |∇u(x, t)|2 + F (u(x, t)) dx,
2
2
con
d
Φ(u(t), u̇(t)) =< grad Φ(u(t), u̇(t)), (u̇(t), ü(t)) >= −
dt
donde F (u(x, t)) ≡
R u(x,t)
0
Z
|u̇(x, t)|2 dx.
Ω
f (s) ds.
Si F (s) ≥ (−λ1 /2 + )s 2 − C , s ∈ R, > 0, C ≥ 0, entonces, u es
global (T ∗ = ∞), y uniformemente acotada en H01 (Ω) × L2 (Ω). Aquı́,
λ1 > 0 es el primer valor caracterı́stico del operador −∆ en Ω, con
condiciones de frontera Dirichlet homogéneas.
Jorge A. Esquivel-Avila
Simposio de Análisis Matemático, Aproximación Numérica y Aplicaciones
Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Los equilibrios son soluciones de la ecuación elı́ptica no lineal
−∆ϕ + f (ϕ) = 0, en Ω,
Jorge A. Esquivel-Avila
ϕ = 0, en ∂Ω.
Simposio de Análisis Matemático, Aproximación Numérica y Aplicaciones
Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Los equilibrios son soluciones de la ecuación elı́ptica no lineal
−∆ϕ + f (ϕ) = 0, en Ω,
ϕ = 0, en ∂Ω.
En general, existe un número infinito de soluciones, ϕ ∈ H01 (Ω), de este
problema.
En particular,
0 ∈ E ≡ {(ϕ, 0) ∈ H01 (Ω) × L2 (Ω) : −∆ϕ + f (ϕ) = 0}
Jorge A. Esquivel-Avila
Simposio de Análisis Matemático, Aproximación Numérica y Aplicaciones
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Los equilibrios son soluciones de la ecuación elı́ptica no lineal
−∆ϕ + f (ϕ) = 0, en Ω,
ϕ = 0, en ∂Ω.
En general, existe un número infinito de soluciones, ϕ ∈ H01 (Ω), de este
problema.
En particular,
0 ∈ E ≡ {(ϕ, 0) ∈ H01 (Ω) × L2 (Ω) : −∆ϕ + f (ϕ) = 0}
Se plantean las mismas preguntas que en los problemas anteriores
respecto a la estabilidad de los equilibrios, en particular del cero.
Jorge A. Esquivel-Avila
Simposio de Análisis Matemático, Aproximación Numérica y Aplicaciones
Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Sistema (semi)dinámico
Cualquiera de los ejemplos anteriores genera un sistema dinámico,
{S(t)}t≥0 , a través de la solución u(t) ≡ S(t)u0 ,
([u(t), u̇(t)] ≡ S(t)[u0 , u1 ] para la ecuación de onda), sobre un espacio
métrico completo, (Z , d), con las siguientes propiedades
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Sistema (semi)dinámico
Cualquiera de los ejemplos anteriores genera un sistema dinámico,
{S(t)}t≥0 , a través de la solución u(t) ≡ S(t)u0 ,
([u(t), u̇(t)] ≡ S(t)[u0 , u1 ] para la ecuación de onda), sobre un espacio
métrico completo, (Z , d), con las siguientes propiedades
S(t) ∈ C (Z , Z ) (continuidad respecto a los datos iniciales),
t 7→ S(t)z ∈ C ([0, ∞), Z ) (regularidad en el tiempo),
S(0) = Id (condición inicial),
S(t + s) = S(t) ◦ S(s), ∀s, t ≥ 0 (unicidad).
Jorge A. Esquivel-Avila
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Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Conjunto lı́mite
Para investigar el comportamiento del sistema dinámico cuando el tiempo
tiende a infinito, se define para cada z ∈ Z , el conjunto lı́mite
ω(z) ≡ {y ∈ Z : ∃tn → ∞, S(tn )z → y , si n → ∞},
Jorge A. Esquivel-Avila
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Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Conjunto lı́mite
Para investigar el comportamiento del sistema dinámico cuando el tiempo
tiende a infinito, se define para cada z ∈ Z , el conjunto lı́mite
ω(z) ≡ {y ∈ Z : ∃tn → ∞, S(tn )z → y , si n → ∞},
con las propiedades siguientes
ω(S(t)z) = ω(z), S(t)ω(z) ⊂ ω(z) (invariante positivo).
Jorge A. Esquivel-Avila
Simposio de Análisis Matemático, Aproximación Numérica y Aplicaciones
Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Conjunto lı́mite
Para investigar el comportamiento del sistema dinámico cuando el tiempo
tiende a infinito, se define para cada z ∈ Z , el conjunto lı́mite
ω(z) ≡ {y ∈ Z : ∃tn → ∞, S(tn )z → y , si n → ∞},
con las propiedades siguientes
ω(S(t)z) = ω(z), S(t)ω(z) ⊂ ω(z) (invariante positivo).
Si γ(z) ≡ ∪t≥0 S(t)z es relativamente compacta, entonces
S(t)ω(z) = ω(z) 6= ∅ (invariante),
ω(z) es compacto y conexo,
d(S(t)z, ω(z)) → 0, si t → ∞.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Funciones de Liapunov
En los ejemplos anteriores se introdujo una función que permitió
establecer acotación de las soluciones. Una función de Liapunov,
Φ ∈ C 1 (O, R), en un abierto O ⊂ Z , con respecto al sistema dinámico,
{S(t)}t≥0 , generado por la ecuación diferencial ẇ (t) + h(w (t)) = 0, está
caracterizada por
Φ̇(z) ≡
d
Φ(S(t)z)|t=0 = − < grad Φ(z), h(z) > ≤ 0, ∀z ∈ O.
dt
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Funciones de Liapunov
En los ejemplos anteriores se introdujo una función que permitió
establecer acotación de las soluciones. Una función de Liapunov,
Φ ∈ C 1 (O, R), en un abierto O ⊂ Z , con respecto al sistema dinámico,
{S(t)}t≥0 , generado por la ecuación diferencial ẇ (t) + h(w (t)) = 0, está
caracterizada por
Φ̇(z) ≡
d
Φ(S(t)z)|t=0 = − < grad Φ(z), h(z) > ≤ 0, ∀z ∈ O.
dt
Note que si S(t)z ∈ O, ∀t ≥ 0, entonces t → Φ(S(t)z) es decreciente, y
en particular
Φ(S(t)z) ≤ Φ(z), ∀z ∈ O, ∀t ≥ 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Funciones de Liapunov
En los ejemplos anteriores se introdujo una función que permitió
establecer acotación de las soluciones. Una función de Liapunov,
Φ ∈ C 1 (O, R), en un abierto O ⊂ Z , con respecto al sistema dinámico,
{S(t)}t≥0 , generado por la ecuación diferencial ẇ (t) + h(w (t)) = 0, está
caracterizada por
Φ̇(z) ≡
d
Φ(S(t)z)|t=0 = − < grad Φ(z), h(z) > ≤ 0, ∀z ∈ O.
dt
Note que si S(t)z ∈ O, ∀t ≥ 0, entonces t → Φ(S(t)z) es decreciente, y
en particular
Φ(S(t)z) ≤ Φ(z), ∀z ∈ O, ∀t ≥ 0.
Si γ(z) es relativamente compacta, entonces
limt→∞ Φ(S(t)z) = c ∈ R,
Φ(y ) = c, Φ(S(t)y ) = Φ(y ) = c, Φ̇(y ) = 0, ∀y ∈ ω(z).
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Teorema de Liapunov
Considere el sistema dinámico generado por la ecuación diferencial
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, con condición inicial w (0) = w0 . Sea we un
equilibrio ∈ E ≡ {z : h(z) = 0}.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Teorema de Liapunov
Considere el sistema dinámico generado por la ecuación diferencial
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, con condición inicial w (0) = w0 . Sea we un
equilibrio ∈ E ≡ {z : h(z) = 0}. Si existe una función de Liapunov, Φ, en
una bola abierta Br (we ) ∈ Z , tal que
Φ(z) ≥ Φ(we ) + f (d(z, we )), ∀z ∈ Br (we ).
Donde f : [0, r ) → R es monótona, f (0) = 0, f (s) > 0, s 6= 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Teorema de Liapunov
Considere el sistema dinámico generado por la ecuación diferencial
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, con condición inicial w (0) = w0 . Sea we un
equilibrio ∈ E ≡ {z : h(z) = 0}. Si existe una función de Liapunov, Φ, en
una bola abierta Br (we ) ∈ Z , tal que
Φ(z) ≥ Φ(we ) + f (d(z, we )), ∀z ∈ Br (we ).
Donde f : [0, r ) → R es monótona, f (0) = 0, f (s) > 0, s 6= 0. Entonces,
we es estable en el sentido de Liapunov. Esto es, para cada > 0, existe
una δ() > 0, tal que d(w0 , we ) < δ ⇒ d(w (t), we ) < , ∀t ≥ 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
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Referencias
Teorema de Liapunov
Considere el sistema dinámico generado por la ecuación diferencial
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, con condición inicial w (0) = w0 . Sea we un
equilibrio ∈ E ≡ {z : h(z) = 0}. Si existe una función de Liapunov, Φ, en
una bola abierta Br (we ) ∈ Z , tal que
Φ(z) ≥ Φ(we ) + f (d(z, we )), ∀z ∈ Br (we ).
Donde f : [0, r ) → R es monótona, f (0) = 0, f (s) > 0, s 6= 0. Entonces,
we es estable en el sentido de Liapunov. Esto es, para cada > 0, existe
una δ() > 0, tal que d(w0 , we ) < δ ⇒ d(w (t), we ) < , ∀t ≥ 0.
Si además,
Φ̇(z) ≤ −g (d(z, we )), ∀z ∈ Br (we ).
Donde g es como la función f .
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Teorema de Liapunov
Considere el sistema dinámico generado por la ecuación diferencial
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, con condición inicial w (0) = w0 . Sea we un
equilibrio ∈ E ≡ {z : h(z) = 0}. Si existe una función de Liapunov, Φ, en
una bola abierta Br (we ) ∈ Z , tal que
Φ(z) ≥ Φ(we ) + f (d(z, we )), ∀z ∈ Br (we ).
Donde f : [0, r ) → R es monótona, f (0) = 0, f (s) > 0, s 6= 0. Entonces,
we es estable en el sentido de Liapunov. Esto es, para cada > 0, existe
una δ() > 0, tal que d(w0 , we ) < δ ⇒ d(w (t), we ) < , ∀t ≥ 0.
Si además,
Φ̇(z) ≤ −g (d(z, we )), ∀z ∈ Br (we ).
Donde g es como la función f . Entonces, we es asintóticamente estable
en el sentido de Liapunov. Esto es, es estable y existe η > 0, tal que
d(w0 , we ) < η ⇒ limt→∞ d(w (t), we ) = 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Teorema de Liapunov-Chetaev
Considere el sistema dinámico generado por la ecuación diferencial
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, con condición inicial w (0) = w0 . Sea we un
equilibrio.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Teorema de Liapunov-Chetaev
Considere el sistema dinámico generado por la ecuación diferencial
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, con condición inicial w (0) = w0 . Sea we un
equilibrio. Si existe una función de Liapunov, Φ, en un conjunto G ∈ Z ,
donde
G ⊂ {z : Φ(z) < Φ(we )},
Φ̇(z) ≤ −g (Φ(we ) − Φ(z)), ∀z ∈ G.
G ∩ Br (we ) 6= ∅, para cada r > 0.
Donde g es como la función f del teorema anterior.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Teorema de Liapunov-Chetaev
Considere el sistema dinámico generado por la ecuación diferencial
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, con condición inicial w (0) = w0 . Sea we un
equilibrio. Si existe una función de Liapunov, Φ, en un conjunto G ∈ Z ,
donde
G ⊂ {z : Φ(z) < Φ(we )},
Φ̇(z) ≤ −g (Φ(we ) − Φ(z)), ∀z ∈ G.
G ∩ Br (we ) 6= ∅, para cada r > 0.
Donde g es como la función f del teorema anterior. Entonces, we es
inestable en el sentido de Liapunov. Esto es, existe > 0, tal que para
cada δ > 0, siempre se puede elegir w0 ∈ Bδ (we ) y algún t > 0 con
d(w (t), we ) > .
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Ejemplos en dimensión finita
El primero fue
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 , w ≡ (x, y , z)T ,
con
h(w ) ≡ (−2y (z − 1), x(z − 1), z 3 )T .
Mostramos que existe una función de Liapunov
2Φ(w ) ≡ x 2 + 2y 2 + z 2 ,
Jorge A. Esquivel-Avila
Φ̇(w ) = −z 4 ≤ 0, ∀w ∈ R3 .
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Ejemplos en dimensión finita
El primero fue
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 , w ≡ (x, y , z)T ,
con
h(w ) ≡ (−2y (z − 1), x(z − 1), z 3 )T .
Mostramos que existe una función de Liapunov
2Φ(w ) ≡ x 2 + 2y 2 + z 2 ,
Φ̇(w ) = −z 4 ≤ 0, ∀w ∈ R3 .
Aplicando el método directo de Liapunov para el único equilibrio, el cero,
es inmediato verificar que este es estable. Sin embargo, nada se puede
decir de la estabilidad asintótica.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Ejemplos en dimensión finita
El primero fue
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 , w ≡ (x, y , z)T ,
con
h(w ) ≡ (−2y (z − 1), x(z − 1), z 3 )T .
Mostramos que existe una función de Liapunov
2Φ(w ) ≡ x 2 + 2y 2 + z 2 ,
Φ̇(w ) = −z 4 ≤ 0, ∀w ∈ R3 .
Aplicando el método directo de Liapunov para el único equilibrio, el cero,
es inmediato verificar que este es estable. Sin embargo, nada se puede
decir de la estabilidad asintótica.
Usando la relacionón entre las funciones e Liapunov y los conjuntos
lı́mite, se pueden mejorar notablemente las conclusiones sobre el
comportamiento de las soluciones.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
El segundo fue
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 , w ≡ (x, y , z)T ,
con
h(w ) ≡ ((x − 2y )(z − 1), (y + x)(z − 1), z 3 )T .
Mostramos que la función 2Φ(w ) ≡ x 2 + 2y 2 + z 2 , es tal que
Φ̇(w ) = −(x 2 + 2y 2 )(z − 1) − z 4 .
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
El segundo fue
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 , w ≡ (x, y , z)T ,
con
h(w ) ≡ ((x − 2y )(z − 1), (y + x)(z − 1), z 3 )T .
Mostramos que la función 2Φ(w ) ≡ x 2 + 2y 2 + z 2 , es tal que
Φ̇(w ) = −(x 2 + 2y 2 )(z − 1) − z 4 .
Aplicando el método directo de Liapunov para el único equilibrio, es
inmediato verificar que
cuando < 0, el origen es asintóticamente estable, si z < 1,
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
El segundo fue
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 , w ≡ (x, y , z)T ,
con
h(w ) ≡ ((x − 2y )(z − 1), (y + x)(z − 1), z 3 )T .
Mostramos que la función 2Φ(w ) ≡ x 2 + 2y 2 + z 2 , es tal que
Φ̇(w ) = −(x 2 + 2y 2 )(z − 1) − z 4 .
Aplicando el método directo de Liapunov para el único equilibrio, es
inmediato verificar que
cuando < 0, el origen es asintóticamente estable, si z < 1,
cuando > 0, el origen es inestable.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
El segundo fue
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 , w ≡ (x, y , z)T ,
con
h(w ) ≡ ((x − 2y )(z − 1), (y + x)(z − 1), z 3 )T .
Mostramos que la función 2Φ(w ) ≡ x 2 + 2y 2 + z 2 , es tal que
Φ̇(w ) = −(x 2 + 2y 2 )(z − 1) − z 4 .
Aplicando el método directo de Liapunov para el único equilibrio, es
inmediato verificar que
cuando < 0, el origen es asintóticamente estable, si z < 1,
cuando > 0, el origen es inestable.
Para la segunda aseveración note que 2Ψ(w ) ≡ −x 2 − 2y 2 + z 2 , es una
función de Liapunov en G ≡ {w : z < 1} ∩ {w : x 2 + 2y 2 > z 2 }. En
efecto,
Ψ̇(w ) = (x 2 + 2y 2 )(z − 1) − z 4 < 0, Ψ(w ) < Ψ(0) = 0, ∀w ∈ G.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Principio de invariabilidad de LaSalle
Considere el sistema dinámico generado por la ecuación diferencial
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, con condición inicial w (0) = w0 . Existe una función
de Liapunov, Φ, en un conjunto G ∈ Z , tal que Φ(z) > −∞, ∀z ∈ Ḡ.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Principio de invariabilidad de LaSalle
Considere el sistema dinámico generado por la ecuación diferencial
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, con condición inicial w (0) = w0 . Existe una función
de Liapunov, Φ, en un conjunto G ∈ Z , tal que Φ(z) > −∞, ∀z ∈ Ḡ.
Para cada w0 ∈ G, sólo una de las siguientes alternativas se cumple
∃t > 0 : S(t)w0 ∈
/ G,
γ(w0 ) ⊂ G.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Principio de invariabilidad de LaSalle
Considere el sistema dinámico generado por la ecuación diferencial
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, con condición inicial w (0) = w0 . Existe una función
de Liapunov, Φ, en un conjunto G ∈ Z , tal que Φ(z) > −∞, ∀z ∈ Ḡ.
Para cada w0 ∈ G, sólo una de las siguientes alternativas se cumple
∃t > 0 : S(t)w0 ∈
/ G,
γ(w0 ) ⊂ G.
En la segunda,
ω(w0 ) ⊂ M+ ,
si γ(z) es relativamente compacta, limt→∞ d(S(t)w0 , M+ ) = 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Principio de invariabilidad de LaSalle
Considere el sistema dinámico generado por la ecuación diferencial
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, con condición inicial w (0) = w0 . Existe una función
de Liapunov, Φ, en un conjunto G ∈ Z , tal que Φ(z) > −∞, ∀z ∈ Ḡ.
Para cada w0 ∈ G, sólo una de las siguientes alternativas se cumple
∃t > 0 : S(t)w0 ∈
/ G,
γ(w0 ) ⊂ G.
En la segunda,
ω(w0 ) ⊂ M+ ,
si γ(z) es relativamente compacta, limt→∞ d(S(t)w0 , M+ ) = 0.
Donde M+ es el conjunto invariante mas grande contenido en el conjunto
M ≡ {z ∈ G : Φ̇(z) = 0} ∩ {z : Φ(z) = β}.
Aquı́, β ≡ limt→∞ Φ(S(t)w0 ). Si M = ∅, se cumple la primera
alternativa.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Ejemplos en dimensión finita. Conclusión
Para el primero
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 , w ≡ (x, y , z)T ,
con
h(w ) ≡ (−2y (z − 1), x(z − 1), z 3 )T ,
se mostró que el origen es estable con la función de Liapunov
2Φ(w ) ≡ x 2 + 2y 2 + z 2 ,
Φ̇(w ) = −z 4 ≤ 0, ∀w ∈ R3 .
También, se mostró que γ(w0 ) es compacta.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Ejemplos en dimensión finita. Conclusión
Para el primero
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 , w ≡ (x, y , z)T ,
con
h(w ) ≡ (−2y (z − 1), x(z − 1), z 3 )T ,
se mostró que el origen es estable con la función de Liapunov
2Φ(w ) ≡ x 2 + 2y 2 + z 2 ,
Φ̇(w ) = −z 4 ≤ 0, ∀w ∈ R3 .
También, se mostró que γ(w0 ) es compacta. Para aplicar el principio de
invariabilidad de LaSalle, se obtiene
M ≡ {w : Φ̇(w ) = 0} = {w : z = 0}.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Ejemplos en dimensión finita. Conclusión
Para el primero
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 , w ≡ (x, y , z)T ,
con
h(w ) ≡ (−2y (z − 1), x(z − 1), z 3 )T ,
se mostró que el origen es estable con la función de Liapunov
2Φ(w ) ≡ x 2 + 2y 2 + z 2 ,
Φ̇(w ) = −z 4 ≤ 0, ∀w ∈ R3 .
También, se mostró que γ(w0 ) es compacta. Para aplicar el principio de
invariabilidad de LaSalle, se obtiene
M ≡ {w : Φ̇(w ) = 0} = {w : z = 0}.
Note que es M invariante: si w0 = (x0 , y0 , 0), entonces z(t) = 0, ∀t ≥ 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Ejemplos en dimensión finita. Conclusión
Para el primero
ẇ (t) + h(w (t)) = 0, t ≥ 0, w (0) = w0 , w ≡ (x, y , z)T ,
con
h(w ) ≡ (−2y (z − 1), x(z − 1), z 3 )T ,
se mostró que el origen es estable con la función de Liapunov
2Φ(w ) ≡ x 2 + 2y 2 + z 2 ,
Φ̇(w ) = −z 4 ≤ 0, ∀w ∈ R3 .
También, se mostró que γ(w0 ) es compacta. Para aplicar el principio de
invariabilidad de LaSalle, se obtiene
M ≡ {w : Φ̇(w ) = 0} = {w : z = 0}.
Note que es M invariante: si w0 = (x0 , y0 , 0), entonces z(t) = 0, ∀t ≥ 0.
Esto es, el plano z = 0 es un atractor: limt→∞ d(w (t), M) = 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
La dinámica en el plano z = 0, está regida por el sistema
ẋ(t) + 2y (t) = 0, ẏ (t) − x(t) = 0, t ≥ 0,
cuyas soluciones son órbitas periódicas elı́pticas.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
La dinámica en el plano z = 0, está regida por el sistema
ẋ(t) + 2y (t) = 0, ẏ (t) − x(t) = 0, t ≥ 0,
cuyas soluciones son órbitas periódicas elı́pticas. De hecho, el problema
en R3 es tal que
d 1 2
2
x (t) + y (t) = 0, ∀t ≥ 0.
dt 2
Esto es, los cilindros de sección elı́ptica 21 x 2 + y 2 = c, son invariantes.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
La dinámica en el plano z = 0, está regida por el sistema
ẋ(t) + 2y (t) = 0, ẏ (t) − x(t) = 0, t ≥ 0,
cuyas soluciones son órbitas periódicas elı́pticas. De hecho, el problema
en R3 es tal que
d 1 2
2
x (t) + y (t) = 0, ∀t ≥ 0.
dt 2
Esto es, los cilindros de sección elı́ptica 21 x 2 + y 2 = c, son invariantes.
Consecuentemente,
lim d(w (t), M ∩ Φ−1 (β)) = 0,
t→∞
con
β = lim Φ(w )(t) = lim
t→∞
t→∞
Jorge A. Esquivel-Avila
1 2
1
x (t) + y 2 (t) = x02 + y02 .
2
2
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Resumiendo, las soluciones se enredan en cilindros de sección elı́ptica, y
cuando t → ∞, convergen a órbitas periódicas contenidas en la
intersección del cilindro, en donde viven, con el plano z = 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Resumiendo, las soluciones se enredan en cilindros de sección elı́ptica, y
cuando t → ∞, convergen a órbitas periódicas contenidas en la
intersección del cilindro, en donde viven, con el plano z = 0.
El origen es estable, pero no asintóticamente estable.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Resumiendo, las soluciones se enredan en cilindros de sección elı́ptica, y
cuando t → ∞, convergen a órbitas periódicas contenidas en la
intersección del cilindro, en donde viven, con el plano z = 0.
El origen es estable, pero no asintóticamente estable.
Las únicas soluciones tales que
lim w (t) = 0,
t→∞
son aquellas con condición inicial en el eje z, esto es, w0 = (0, 0, z0 ).
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Un ejemplo más en dimensión finita
ẋ(t) − x(t) + (x(t) + y (t))g (x(t), y (t)) = 0,
ẏ (t) − x(t)g (x(t), y (t)) = 0, t ≥ 0,
Jorge A. Esquivel-Avila
con g (x, y ) ≡ x 2 + 2y 2 .
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Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Un ejemplo más en dimensión finita
ẋ(t) − x(t) + (x(t) + y (t))g (x(t), y (t)) = 0,
ẏ (t) − x(t)g (x(t), y (t)) = 0, t ≥ 0,
con g (x, y ) ≡ x 2 + 2y 2 .
El único equilibrio es el origen.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Un ejemplo más en dimensión finita
ẋ(t) − x(t) + (x(t) + y (t))g (x(t), y (t)) = 0,
ẏ (t) − x(t)g (x(t), y (t)) = 0, t ≥ 0,
con g (x, y ) ≡ x 2 + 2y 2 .
El único equilibrio es el origen. Considere la función
2Φ(x, y ) ≡ x 2 + y 2 ,
Φ̇(x, y ) = x 2 (1 − g (x, y )), ∀(x, y ) ∈ R2 .
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
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Referencias
Un ejemplo más en dimensión finita
ẋ(t) − x(t) + (x(t) + y (t))g (x(t), y (t)) = 0,
ẏ (t) − x(t)g (x(t), y (t)) = 0, t ≥ 0,
con g (x, y ) ≡ x 2 + 2y 2 .
El único equilibrio es el origen. Considere la función
2Φ(x, y ) ≡ x 2 + y 2 ,
Φ̇(x, y ) = x 2 (1 − g (x, y )), ∀(x, y ) ∈ R2 .
Es de Liapunov en {(x, y ) : x 2 + 2y 2 ≥ 1}. En particular, en el
subconjunto Oβ ≡ {(x, y ) : 1 < 2Φ(x, y ) < β}, β > 1.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Un ejemplo más en dimensión finita
ẋ(t) − x(t) + (x(t) + y (t))g (x(t), y (t)) = 0,
ẏ (t) − x(t)g (x(t), y (t)) = 0, t ≥ 0,
con g (x, y ) ≡ x 2 + 2y 2 .
El único equilibrio es el origen. Considere la función
2Φ(x, y ) ≡ x 2 + y 2 ,
Φ̇(x, y ) = x 2 (1 − g (x, y )), ∀(x, y ) ∈ R2 .
Es de Liapunov en {(x, y ) : x 2 + 2y 2 ≥ 1}. En particular, en el
subconjunto Oβ ≡ {(x, y ) : 1 < 2Φ(x, y ) < β}, β > 1.
El conjunto invariante más grande de
M ≡ {(x, y ) ∈ Oβ : Φ̇(x, y ) = 0},
es el vacı́o. Aplicando el principio de invariabilidad de LaSalle, se
concluye que ∃t > 0 : (x(t), y (t)) ∈
/ Oβ , β > 1.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
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Referencias
Un ejemplo más en dimensión finita
ẋ(t) − x(t) + (x(t) + y (t))g (x(t), y (t)) = 0,
ẏ (t) − x(t)g (x(t), y (t)) = 0, t ≥ 0,
con g (x, y ) ≡ x 2 + 2y 2 .
El único equilibrio es el origen. Considere la función
2Φ(x, y ) ≡ x 2 + y 2 ,
Φ̇(x, y ) = x 2 (1 − g (x, y )), ∀(x, y ) ∈ R2 .
Es de Liapunov en {(x, y ) : x 2 + 2y 2 ≥ 1}. En particular, en el
subconjunto Oβ ≡ {(x, y ) : 1 < 2Φ(x, y ) < β}, β > 1.
El conjunto invariante más grande de
M ≡ {(x, y ) ∈ Oβ : Φ̇(x, y ) = 0},
es el vacı́o. Aplicando el principio de invariabilidad de LaSalle, se
concluye que ∃t > 0 : (x(t), y (t)) ∈
/ Oβ , β > 1. Como t 7→ Φ(t) es
decreciente, la solución sale por 2Φ(x, y ) = 1.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
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Considere ahora, la función −Φ(x, y ).
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Considere ahora, la función −Φ(x, y ).
Es de Liapunov en {(x, y ) : x 2 + 2y 2 ≤ 1}. En particular, en el
subconjunto P ≡ {(x, y ) : 4Φ(x, y ) < 1}.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Considere ahora, la función −Φ(x, y ).
Es de Liapunov en {(x, y ) : x 2 + 2y 2 ≤ 1}. En particular, en el
subconjunto P ≡ {(x, y ) : 4Φ(x, y ) < 1}.
El conjunto invariante más grande de
M ≡ {(x, y ) ∈ Pβ : Φ̇(x, y ) = 0},
es el origen.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Considere ahora, la función −Φ(x, y ).
Es de Liapunov en {(x, y ) : x 2 + 2y 2 ≤ 1}. En particular, en el
subconjunto P ≡ {(x, y ) : 4Φ(x, y ) < 1}.
El conjunto invariante más grande de
M ≡ {(x, y ) ∈ Pβ : Φ̇(x, y ) = 0},
es el origen.
Como t 7→ Φ(t) es creciente, la solución no puede acercarse al origen
cuando t → ∞. Aplicando el principio de invariabilidad de LaSalle, se
concluye que ∃t > 0 : (x(t), y (t)) ∈
/ P. La solución sale por 4Φ(x, y ) = 1.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
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Resumiendo, para cada
(x0 , y0 ) ∈
/ A ≡ {(x, y ) : 1 ≤ 4Φ(x, y ) ≤ 2}, ∃t > 0 : (x(t), y (t)) ∈ A.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Resumiendo, para cada
(x0 , y0 ) ∈
/ A ≡ {(x, y ) : 1 ≤ 4Φ(x, y ) ≤ 2}, ∃t > 0 : (x(t), y (t)) ∈ A.
Además, el anillo A es invariante positivo. Esto es, la solución que entra
al anillo, ya no sale.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Resumiendo, para cada
(x0 , y0 ) ∈
/ A ≡ {(x, y ) : 1 ≤ 4Φ(x, y ) ≤ 2}, ∃t > 0 : (x(t), y (t)) ∈ A.
Además, el anillo A es invariante positivo. Esto es, la solución que entra
al anillo, ya no sale.
Del Teorema de Poincaré-Bendixon, ya que A es un compacto y no tiene
equilibrios, debe existir al menos una órbita periódica contenida en el
anillo.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Resumiendo, para cada
(x0 , y0 ) ∈
/ A ≡ {(x, y ) : 1 ≤ 4Φ(x, y ) ≤ 2}, ∃t > 0 : (x(t), y (t)) ∈ A.
Además, el anillo A es invariante positivo. Esto es, la solución que entra
al anillo, ya no sale.
Del Teorema de Poincaré-Bendixon, ya que A es un compacto y no tiene
equilibrios, debe existir al menos una órbita periódica contenida en el
anillo.
Si es única, atrae a todas las soluciones cuando t → ∞.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Resumiendo, para cada
(x0 , y0 ) ∈
/ A ≡ {(x, y ) : 1 ≤ 4Φ(x, y ) ≤ 2}, ∃t > 0 : (x(t), y (t)) ∈ A.
Además, el anillo A es invariante positivo. Esto es, la solución que entra
al anillo, ya no sale.
Del Teorema de Poincaré-Bendixon, ya que A es un compacto y no tiene
equilibrios, debe existir al menos una órbita periódica contenida en el
anillo.
Si es única, atrae a todas las soluciones cuando t → ∞.
El origen es inestable.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
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Ejemplo en dimensión infinita: ecuación de onda
Para cada condición inicial (u0 , u1 ) ∈ H01 (Ω) × L2 (Ω), existe solución
única de la ecuación de onda en H −1 (Ω)) = dual de H01 (Ω)
< ü(t), w > + < u̇(t), w > + < ∇u(t), ∇w > + < f (u(t)), w >= 0,
c.p.t. t ≥ 0, y para toda w ∈ H01 (Ω),
u ∈ C 2 ([0, T ]; H −1 (Ω)) ∩ C 1 ([0, T ]; L2 (Ω)) ∩ C ([0, T ]; H01 (Ω)),
para cada T ∈ (0, T ∗ (u0 , u1 )). La energı́a es una función de Liapunov
Z
1
1
2
2
Φ(u, u̇) ≡ ku̇kL2 (Ω) + k∇ukL2 (Ω) +
F (u) dx,
2
2
Ω
con
Φ̇(u, u̇) = −ku̇k2L2 (Ω) .
Ru
donde F (u) ≡ 0 f (s) ds.
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Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Acotación uniforme
Si F (s) ≥ (−λ1 /2 + )s 2 − C , s ∈ R, > 0, C ≥ 0, entonces T ∗ = ∞,
la solución es global, y t 7→ (u(t), u̇(t)) es uniformemente acotada en
H01 (Ω) × L2 (Ω).
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Acotación uniforme
Si F (s) ≥ (−λ1 /2 + )s 2 − C , s ∈ R, > 0, C ≥ 0, entonces T ∗ = ∞,
la solución es global, y t 7→ (u(t), u̇(t)) es uniformemente acotada en
H01 (Ω) × L2 (Ω). En efecto, de la desigualdad de Poincaré, para cualquier
u ∈ H01 (Ω),
k∇uk2L2 (Ω) ≥ λ1 kuk2L2 (Ω) .
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Acotación uniforme
Si F (s) ≥ (−λ1 /2 + )s 2 − C , s ∈ R, > 0, C ≥ 0, entonces T ∗ = ∞,
la solución es global, y t 7→ (u(t), u̇(t)) es uniformemente acotada en
H01 (Ω) × L2 (Ω). En efecto, de la desigualdad de Poincaré, para cualquier
u ∈ H01 (Ω),
k∇uk2L2 (Ω) ≥ λ1 kuk2L2 (Ω) .
Entonces, si 0 < η ≤ 2/λ1 < 1,
Z
1
F (u) dx ≥ (−λ1 /2 + )kuk2L2 (Ω) − C |Ω| ≥ − (1 − η)k∇uk2L2 (Ω) − C |Ω|.
2
Ω
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Acotación uniforme
Si F (s) ≥ (−λ1 /2 + )s 2 − C , s ∈ R, > 0, C ≥ 0, entonces T ∗ = ∞,
la solución es global, y t 7→ (u(t), u̇(t)) es uniformemente acotada en
H01 (Ω) × L2 (Ω). En efecto, de la desigualdad de Poincaré, para cualquier
u ∈ H01 (Ω),
k∇uk2L2 (Ω) ≥ λ1 kuk2L2 (Ω) .
Entonces, si 0 < η ≤ 2/λ1 < 1,
Z
1
F (u) dx ≥ (−λ1 /2 + )kuk2L2 (Ω) − C |Ω| ≥ − (1 − η)k∇uk2L2 (Ω) − C |Ω|.
2
Ω
Ya que t 7→ Φ(u(t), u̇(t)) es decreciente, la acotación es inmediata
Φ(u0 , u1 )+C |Ω| ≥ Φ(u(t), u̇(t))+C |Ω| ≥
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1
η
ku̇(t)k2L2 (Ω) + k∇u(t)k2L2 (Ω) .
2
2
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Estabilidad del cero y de oros equilibrios
Si C = 0, la estabilidad del cero se sigue del teorema de Liapunov
aplicado a Φ.
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Estabilidad del cero y de oros equilibrios
Si C = 0, la estabilidad del cero se sigue del teorema de Liapunov
aplicado a Φ.
Si se quiere estudiar la estabilidad de 0 6= ϕ ∈ E, se puede estudiar la
estabilidad del equilibrio cero de la ecuación
u¨ϕ (x, t) + u˙ϕ (x, t) − ∆uϕ (x, t) + fˆ(uϕ (x, t)) = 0, t ≥ 0, x ∈ Ω,
con
fˆ(uϕ (x, t)) ≡ f (u(x, t)) − f (ϕ(x)), uϕ (x, t) ≡ u(x, t) − ϕ(x).
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Atractor
Para aplicar el principio de invariabilidad de LaSalle, se obtiene
M ≡ {(u, u̇) : Φ̇(u, u̇) = 0} = E.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Atractor
Para aplicar el principio de invariabilidad de LaSalle, se obtiene
M ≡ {(u, u̇) : Φ̇(u, u̇) = 0} = E.
Note que es M invariante.
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Atractor
Para aplicar el principio de invariabilidad de LaSalle, se obtiene
M ≡ {(u, u̇) : Φ̇(u, u̇) = 0} = E.
Note que es M invariante. Esto es, el conjunto de equilibrios
E ≡ {(ϕ, 0) ∈ H01 (Ω) × L2 (Ω) : −∆ϕ + f (ϕ) = 0}
es un atractor: limt→∞ d((u, u̇), E) = 0, siempre que γ(u0 , u1 ) sea
relativamente compacta en H01 (Ω) × L2 (Ω).
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Atractor
Para aplicar el principio de invariabilidad de LaSalle, se obtiene
M ≡ {(u, u̇) : Φ̇(u, u̇) = 0} = E.
Note que es M invariante. Esto es, el conjunto de equilibrios
E ≡ {(ϕ, 0) ∈ H01 (Ω) × L2 (Ω) : −∆ϕ + f (ϕ) = 0}
es un atractor: limt→∞ d((u, u̇), E) = 0, siempre que γ(u0 , u1 ) sea
relativamente compacta en H01 (Ω) × L2 (Ω). Además,
lim d((u, u̇), Eβ ) = 0,
t→∞
donde Eβ ≡ {(ϕ, 0) ∈ E : Φ(ϕ, 0) = β}, β ≡ limt→∞ Φ(u(t), u̇(t)).
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Compacidad relativa de γ(u0 , u1 ). Webb, 1979
Al escribir la ecuación de onda como un sistema de primer orden, se
define U(t) ≡ (u(t), v (t)) ≡ T (t)U0 , U0 ≡ (u0 , u1 ), v (t) ≡ u̇(t).
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Compacidad relativa de γ(u0 , u1 ). Webb, 1979
Al escribir la ecuación de onda como un sistema de primer orden, se
define U(t) ≡ (u(t), v (t)) ≡ T (t)U0 , U0 ≡ (u0 , u1 ), v (t) ≡ u̇(t). Se sabe
que la ecuación lineal
U̇(t) − AU(t) = 0, t ≥ 0, x ∈ Ω,
con AU(t) ≡ (v (t), ∆u(t) − v (t)), genera un sistema dinámico
{T (t)}t≥0 en H ≡ H01 (Ω) × L2 (Ω), tal que
kT (t)kL(H) ≤ Me −σt , ∀t ≥ 0, M > 0, σ > 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
También es sabido que U es solución global del problema semilineal
U̇(t) − AU(t) = F(U(t)), t ≥ 0, x ∈ Ω,
si y sólo si U ∈ C ([0, ∞); H), y satisface la fórmula de variación de
constantes
Z t
T (s)F(U(t − s)) ds, ∀t ≥ 0.,
U(t) = T (t)U0 +
0
donde F(U(t)) ≡ (0, −F (u(t)), ∀t ≥ 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
También es sabido que U es solución global del problema semilineal
U̇(t) − AU(t) = F(U(t)), t ≥ 0, x ∈ Ω,
si y sólo si U ∈ C ([0, ∞); H), y satisface la fórmula de variación de
constantes
Z t
T (s)F(U(t − s)) ds, ∀t ≥ 0.,
U(t) = T (t)U0 +
0
donde F(U(t)) ≡ (0, −F (u(t)), ∀t ≥ 0.
Si W(t) ≡
Rt
0
T (s)F(U(t − s)) ds, se tiene
U(t) = T (t)U0 + W(t), ∀t ≥ 0.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
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Ejemplos
Referencias
También es sabido que U es solución global del problema semilineal
U̇(t) − AU(t) = F(U(t)), t ≥ 0, x ∈ Ω,
si y sólo si U ∈ C ([0, ∞); H), y satisface la fórmula de variación de
constantes
Z t
T (s)F(U(t − s)) ds, ∀t ≥ 0.,
U(t) = T (t)U0 +
0
donde F(U(t)) ≡ (0, −F (u(t)), ∀t ≥ 0.
Si W(t) ≡
Rt
0
T (s)F(U(t − s)) ds, se tiene
U(t) = T (t)U0 + W(t), ∀t ≥ 0.
De la propiedad disipativa del sistema dinámico, existe un compacto K1
tal que ∪t≥0 {T (t)U0 } ⊂ K1 .
Jorge A. Esquivel-Avila
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Método directo de Liapunov
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Ejemplos
Referencias
También es sabido que U es solución global del problema semilineal
U̇(t) − AU(t) = F(U(t)), t ≥ 0, x ∈ Ω,
si y sólo si U ∈ C ([0, ∞); H), y satisface la fórmula de variación de
constantes
Z t
T (s)F(U(t − s)) ds, ∀t ≥ 0.,
U(t) = T (t)U0 +
0
donde F(U(t)) ≡ (0, −F (u(t)), ∀t ≥ 0.
Si W(t) ≡
Rt
0
T (s)F(U(t − s)) ds, se tiene
U(t) = T (t)U0 + W(t), ∀t ≥ 0.
De la propiedad disipativa del sistema dinámico, existe un compacto K1
tal que ∪t≥0 {T (t)U0 } ⊂ K1 .
Basta mostrar que existe un compacto K2 , tal que ∪t≥0 {W(t)} ⊂ K2 .
Jorge A. Esquivel-Avila
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Ejemplos
Referencias
Por la propiedad disipativa del sistema dinámico, dado > 0 existe
T > 0 tal que
Z ∞
kT (s)kL(H) ds < .
kF(U)kL∞ ([0,∞);H)
T
Jorge A. Esquivel-Avila
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Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Por la propiedad disipativa del sistema dinámico, dado > 0 existe
T > 0 tal que
Z ∞
kT (s)kL(H) ds < .
kF(U)kL∞ ([0,∞);H)
T
Entonces,
T
Z
kW(t) −
T (s)F(U(t − s)) dskH < , ∀t ≥ T .
0
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Por la propiedad disipativa del sistema dinámico, dado > 0 existe
T > 0 tal que
Z ∞
kT (s)kL(H) ds < .
kF(U)kL∞ ([0,∞);H)
T
Entonces,
T
Z
kW(t) −
T (s)F(U(t − s)) dskH < , ∀t ≥ T .
0
De donde,
∪t≥T {W(t)} ⊂ K3 + B (0),
RT
con K3 ≡ ∪t≥T { 0 T (s)F(U(t − s)) ds}.
Jorge A. Esquivel-Avila
(∗)
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Referencias
El operador no lineal, F : H01 (Ω) → L2 (Ω), es localmente Lipschitz
continuo si α ≤ 2/(N − 2), cuando N ≥ 3, y es compacto, si
α < 2/(N − 2), cuando N ≥ 3.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Ejemplos
Referencias
El operador no lineal, F : H01 (Ω) → L2 (Ω), es localmente Lipschitz
continuo si α ≤ 2/(N − 2), cuando N ≥ 3, y es compacto, si
α < 2/(N − 2), cuando N ≥ 3.
En este caso, existe un compacto K4 , tal que {F(U(t))}t≥0 ⊂ K4 , ya
que {U(t)}t≥0 es acotado.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Ejemplos
Referencias
El operador no lineal, F : H01 (Ω) → L2 (Ω), es localmente Lipschitz
continuo si α ≤ 2/(N − 2), cuando N ≥ 3, y es compacto, si
α < 2/(N − 2), cuando N ≥ 3.
En este caso, existe un compacto K4 , tal que {F(U(t))}t≥0 ⊂ K4 , ya
que {U(t)}t≥0 es acotado.
Por la continuidad del sistema dinámico, V ≡ ∪0≤t≤T {T (t)K4 } es un
compacto, para cada T < ∞. Entonces, T · conv (V)(envolvente
convexa) es relativamente compacta.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
El operador no lineal, F : H01 (Ω) → L2 (Ω), es localmente Lipschitz
continuo si α ≤ 2/(N − 2), cuando N ≥ 3, y es compacto, si
α < 2/(N − 2), cuando N ≥ 3.
En este caso, existe un compacto K4 , tal que {F(U(t))}t≥0 ⊂ K4 , ya
que {U(t)}t≥0 es acotado.
Por la continuidad del sistema dinámico, V ≡ ∪0≤t≤T {T (t)K4 } es un
compacto, para cada T < ∞. Entonces, T · conv (V)(envolvente
convexa) es relativamente compacta.
RT
Como K3 ≡ ∪t≥T { 0 T (s)F(U(t − s)) ds} ⊂ T · conv (V), se sigue que
K3 es relativamente compacto.
Jorge A. Esquivel-Avila
Simposio de Análisis Matemático, Aproximación Numérica y Aplicaciones
Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
El operador no lineal, F : H01 (Ω) → L2 (Ω), es localmente Lipschitz
continuo si α ≤ 2/(N − 2), cuando N ≥ 3, y es compacto, si
α < 2/(N − 2), cuando N ≥ 3.
En este caso, existe un compacto K4 , tal que {F(U(t))}t≥0 ⊂ K4 , ya
que {U(t)}t≥0 es acotado.
Por la continuidad del sistema dinámico, V ≡ ∪0≤t≤T {T (t)K4 } es un
compacto, para cada T < ∞. Entonces, T · conv (V)(envolvente
convexa) es relativamente compacta.
RT
Como K3 ≡ ∪t≥T { 0 T (s)F(U(t − s)) ds} ⊂ T · conv (V), se sigue que
K3 es relativamente compacto. Entonces, (∗) implica que
∪t≥T {∪t≥T {W(t)}(t)} se puede cubrir con la unión finita de bolas de
radio 2.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
El operador no lineal, F : H01 (Ω) → L2 (Ω), es localmente Lipschitz
continuo si α ≤ 2/(N − 2), cuando N ≥ 3, y es compacto, si
α < 2/(N − 2), cuando N ≥ 3.
En este caso, existe un compacto K4 , tal que {F(U(t))}t≥0 ⊂ K4 , ya
que {U(t)}t≥0 es acotado.
Por la continuidad del sistema dinámico, V ≡ ∪0≤t≤T {T (t)K4 } es un
compacto, para cada T < ∞. Entonces, T · conv (V)(envolvente
convexa) es relativamente compacta.
RT
Como K3 ≡ ∪t≥T { 0 T (s)F(U(t − s)) ds} ⊂ T · conv (V), se sigue que
K3 es relativamente compacto. Entonces, (∗) implica que
∪t≥T {∪t≥T {W(t)}(t)} se puede cubrir con la unión finita de bolas de
radio 2.
Como W ∈ C ([0, ∞); H), entonces también ∪0≤t≤T {∪t≥T {W(t)}(t)}
se puede cubrir con la unión finita de bolas de radio 2.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Introducción
Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
El operador no lineal, F : H01 (Ω) → L2 (Ω), es localmente Lipschitz
continuo si α ≤ 2/(N − 2), cuando N ≥ 3, y es compacto, si
α < 2/(N − 2), cuando N ≥ 3.
En este caso, existe un compacto K4 , tal que {F(U(t))}t≥0 ⊂ K4 , ya
que {U(t)}t≥0 es acotado.
Por la continuidad del sistema dinámico, V ≡ ∪0≤t≤T {T (t)K4 } es un
compacto, para cada T < ∞. Entonces, T · conv (V)(envolvente
convexa) es relativamente compacta.
RT
Como K3 ≡ ∪t≥T { 0 T (s)F(U(t − s)) ds} ⊂ T · conv (V), se sigue que
K3 es relativamente compacto. Entonces, (∗) implica que
∪t≥T {∪t≥T {W(t)}(t)} se puede cubrir con la unión finita de bolas de
radio 2.
Como W ∈ C ([0, ∞); H), entonces también ∪0≤t≤T {∪t≥T {W(t)}(t)}
se puede cubrir con la unión finita de bolas de radio 2.
De donde, existe un compacto K2 , tal que ∪t≥0 {W(t)} ⊂ K2 .
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Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Referencias básicas
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Referencias básicas
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Webb G. F., Compactness of bounded trajectories of dynamical
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vol. 84A, 1979, 19-33.
Jorge A. Esquivel-Avila
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
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Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. A., vol. 10, 2004, 31-52.
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dynamical systems, and introduction to chaos, Academic Press,
2004.
LaSalle J., The stability of dynamical systems, SIAM, 1976.
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Academic Press, 1961.
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Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Más referencias
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Definiciones
Método directo de Liapunov
Principio de invariabilidad de LaSalle
Ejemplos
Referencias
Más referencias
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Handbook of dynamical systems, vol. 1B, B. Hasselblatt, A. Katok
(eds.), North-Holland, 2006, 983-1086.
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differential equations. Evolutionary equations, vol. 4, C. M.
Dafermos, M. Pokorny (eds.), North-Holland, 2008, 103-200.
Raugel G., Global attractors of partial differential equations, en
Handbook of dynamical systems, vol. 2, B. Fiedler (ed.),
North-Holland, 2002, 885-982.
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equations: some results, en Handbook of differential equations.
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North-Holland, 2007,527-621. and Open Problems
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Referencias
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