Geometr´ıa Riemanniana - Universidad de Granada

Joaquı́n Pérez Muñoz
Geometrı́a Riemanniana
Introducción
Estos son los apuntes de la asignatura Geometrı́a Riemanniana, optativa de
quinto curso de la Licenciatura de Matematicas de la Universidad de Granada. Son de
libre distribución, y pueden bajarse de la página web
http://www.ugr.es/local/jperez/
En ellos encontrarás los enunciados y demostraciones de los resultados contenidos en el
programa de la asignatura, distribuidos por temas tal y como ésta se estructuró y aprobó en
Consejo de Departamento. Algunas veces, las demostraciones están resumidas y dejan que
el lector compruebe los detalles como ejercicio. Además de éstos, al final de cada tema hay
una relación de ejercicios propuestos.
Como siempre en estos casos, los apuntes no estarán libres de errores, y es labor conjunta del autor y de los lectores mejorarlos, un trabajo que nunca se termina. Si encuentras
algún error, envı́a un e-mail a [email protected]
Todo lo que se dice en los apuntes puede encontrarse, a menudo explicado con más profundidad, en numerosos textos básicos. Recomiendo al lector interesado los siguientes:
V.I. ARNOLD, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer 1984.
M. BERGER, A panoramic View of Riemannian Geometry, Springer 2003.
M. DO CARMO, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992).
W. KLINGENGERG, Riemannian Geometry, Walter de Gruyter (1982).
M. SPIVAK, A comprehensive introduction to Differential Geometry I-V, Publish
or Perish (1979).
F. WARNER, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Scott-Foresman
(1971).
Granada, Diciembre de 2004.
Joaquı́n Pérez Muñoz
i
ii
Índice general
1. Variedades Riemannianas.
1.1. Longitudes y distancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Curvas a distancia constante. . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Billares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. El concepto de variedad Riemanniana. . . . . . . . . . . . . .
1.3. Isometrı́as, isometrı́as locales, inmersiones isométricas. . . . .
1.4. Métricas Riemannianas y acciones propiamente discontinuas.
1.5. Variedades Riemannianas en Mecánica clásica. . . . . . . . .
1.5.1. Sistemas con 1 grado de libertad. . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Sistemas con 2 grados de libertad. . . . . . . . . . . .
1.5.3. El péndulo doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4. Formulación general de la mecánica Lagrangiana. . . .
1.5.5. Principios de conservación y el Teorema de Noether. .
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1
3
3
6
10
11
13
13
17
18
19
21
2. Cálculo en variedades Riemannianas.
2.1. Gradiente de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. La conexión de Levi-Civita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Derivada covariante y transporte paralelo. . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Geodésicas y aplicación exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Divergencia de un campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Hessiano de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Laplaciano de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Superficies parametrizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Curvaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Campos de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1. Campos de Jacobi en V.R. de curvatura seccional constante.
2.10.2. Campos de Jacobi y valores conjugados. . . . . . . . . . . . .
2.10.3. Campos de Jacobi y curvatura seccional. . . . . . . . . . . . .
2.10.4. Campos de Jacobi y coordenadas polares. . . . . . . . . . . .
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iv
3. Geometrı́a y curvatura.
3.1. Distancia asociada a una métrica. . . . . . . .
3.2. Entornos totalmente normales. . . . . . . . .
3.3. Completitud. El Teorema de Hopf-Rinow. . .
3.4. Variedades con curvatura seccional constante.
3.4.1. Espacios recubridores Riemannianos. .
3.4.2. Clasificación de las V.R. de c.s.c. . . .
3.5. Variedades de curvatura negativa. . . . . . . .
3.6. Variaciones de la energı́a. . . . . . . . . . . .
3.7. Variedades de curvatura positiva. . . . . . . .
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Capı́tulo 1
Variedades Riemannianas.
Veremos en este primer tema los conceptos fundamentales de la asignatura, y los ejemplos más importantes de variedades, que nos servirán para ilustrar los conceptos. Pero
antes daremos un recorrido por cuestiones de geometrı́a elemental, que nos sugerirán algunas de las cuestiones a estudiar posteriormente en ambientes más generales.
1.1.
Longitudes y distancias.
Cuál es la curva más corta uniendo dos puntos del plano? ¿Y en una superficie
de R3?
Sean S ⊂ R3 una superficie, α : [a, b] → S una curva p.p.a. (la longitud es invariante
frente a reparametrizaciones) y f : [a, b] × (−ε, ε) → S una variación de α (i.e. f ∈
C ∞ ([a, b] × (−ε, ε), R3 ), f (t, 0) = α(t)) con campo variacional V (t) = ∂f
∂s (t, 0). Llamando
L(·) =longitud(·), tenemos
Lema 1.1.1 (Primera fórmula de variación de la longitud) En la situación anterior,
Z b
d L(f
(·,
s))
=
−
hα00(t), V (t)idt + hα0(b), V (b)i − hα0 (a), V (a)i.
ds 0
a
Demostración.
Z
d d L(f (·, s)) =
ds 0
ds 0
=
Z
b
a
hα0 (t),
Z
∂t (t, s) dt =
b ∂f
a
∂ 2f
(t, 0)idt =
∂t∂s
Z
b
b
a
hα0 (t), V 0(t)idt = −
a
d ∂f
(t, s) dt =
ds 0 ∂t
Z
b
a
Z
b
a
hα0 (t),
∂ 2f
(t, 0)idt
∂s∂t
hα00(t), V (t)idt + [hα0(t), V (t)i]ba.
2
1
2
CAPÍTULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Si sólo consideramos curvas que unan dos puntos p, q ∈ S, entonces las variaciones serán
propias (f (a, s) = p, f (b, s) = q ∀s), luego V (a) = V (b) = 0 y
d L(f (·, s)) = −
ds 0
Z
b
hα00(t), V (t)idt.
a
Como lo anterior es cierto ∀V ∈ X(α) con V (a) = V (b) = 0 y de esta forma podemos
“barrer” todos los vectores tangentes a S en puntos de α(a, b), se obtiene que la parte
tangente α00 (t)T de α00(t) es cero ∀t ∈ (a, b) (y por continuidad, también en [a, b]).
Corolario 1.1.1 Si α es una curva con la menor longitud de entre todas las curvas en S
uniendo p, q, entonces (α00 )T ≡ 0.
En el caso particular de S = R2, α00 es tangente a S luego el Corolario 1.1.1 nos dice
que α00 = 0, y por tanto α es un segmento recorrido a velocidad 1. Tenemos entonces el
resultado clásico
Corolario 1.1.2 La curva más corta entre dos puntos del plano es el segmento que los
une.
En general, la condición (α00)T = 0 se enunciará diciendo que α es una geodésica de S.
Nótese que esto no es suficiente para que la curva minimize la longitud entre sus extremos
(pensar en un trozo de cı́rculo máximo en S2 (1) con longitud estrictamente mayor que π).
El concepto de geodésica será uno de los centrales en el curso. Es interesante adelantar que
este concepto y muchos otros que nos aparecerán, son intrı́nsecos: no dependen de cómo
la superficie está metida en R3 . De hecho, los formularemos en ambientes mucho más
generales (variedades Riemannianas), donde el objeto sobre el que se hace geometrı́a no
tiene porqué tener dimensión 2 ni estar metido dentro de un espacio euclı́deo de dimensión
superior.
En el ejemplo anterior hemos visto una herramienta que también usaremos para obtener
otros objetivos: el cálculo de variaciones. Como ilustración, veamos otra situación en el
que el cálculo de variaciones tiene interesantes aplicaciones geométricas y fı́sicas.
Lema 1.1.2 (Primera fórmula de variación de la distancia en R2 ) Sean α, β curvas C 1 (no nec. p.p.a.) en R2 con α(t) 6= β(t) ∀t. Entonces,
d
α(t) − β(t)
|α(t) − β(t)| = hα0(t) − β 0(t),
i.
dt
|α(t) − β(t)|
Demostración. Cálculo directo.
Veamos dos consecuencias del Lema 1.1.2.
2
1.1. LONGITUDES Y DISTANCIAS.
1.1.1.
3
Curvas a distancia constante.
Lema 1.1.3 Sea I ⊂ R un intervalo, R = {Rs}s∈I una familia 1-paramétrica de rectas
(o segmentos) y α, β dos curvas en R2 sin puntos comunes y perpendiculares a las lı́neas
de R, i.e. ∀t ∈ Dom(α), ∃sα (t) ∈ I, ∃t1 (t) ∈ Dom(β) tales que t1 (t) es C 1 y
1.
~ s (t).
α(t) ∈ Rsα (t) y α0 (t) ⊥ R
α
2.
~ s (t) .
β(t1 (t)) ∈ Rsα (t) y β 0 (t1(t)) ⊥ R
α
Entonces, |α(t) − (β ◦ t1 )(t))| es constante en t.
Demostración. Usando el Lema 1.1.2 sobre α, β ◦ t1 ,
α(t) − β(t1 (t))
d
|α(t) − (β ◦ t1 )(t)| = hα0 (t) − t01 (t)β 0 (t1 (t)),
i.
dt
|α(t) − β(t1 (t))|
(1.1)
~ s (t) y α0 (t), β 0(t1(t)) ⊥ R
~ s (t), el miembro de la
Como α(t) − β(t1 (t)) es paralelo a R
α
α
derecha de (1.1) es cero. Ası́, |α − (β ◦ t1 )| es constante.
2
Del Lema 1.1.3, tomando β ≡ origen de R2 y R = {rayos partiendo del origen}, se tiene
que una curva α ⊂ R2 es perpendicular a R si y sólo si es (parte de) una circunferencia
centrada en el origen.
1.1.2.
Billares.
Sea Ω ⊂ R2 un dominio acotado, convexo y con ∂Ω regular. Supongamos que una
partı́cula infinitesimal se mueve con velocidad constante a lo largo de un segmento en Ω,
de forma que al llegar a ∂Ω sale rebotada siguiendo la ley
El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.
Llamaremos una trayectoria a una poligonal como la anterior. Las trayectorias son importantes es mecánica (teorı́a de choques) y en fı́sica atómica (aceleradores de partı́culas).
Dos importantes cuestiones sobre trayectorias son
¿Qué pasa con una trayectoria si el movimiento se considera perpetuo?
Hay resultados que dicen que bajo condiciones naturales, una trayectoria es periódica o
densa. Las trayectorias periódicas son indudablemente interesantes desde el punto de vista
fı́sico (si en un acelerador algunas partı́culas siguen una trayectoria densa, los choques
de éstas con cualquier placa no producirán una nı́tida impresión en la misma; pero si
encontramos una trayectoria periódica, tendremos incidencia una y otra vez en cierta zona
definida de la placa).
4
CAPÍTULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
¿Podemos asegurar la existencia de trayectorias periódicas?
Sea k ∈ N. Considero k puntos p1, . . . , pk ∈ ∂Ω ordenados pero no necesariamente
distintos. Podemos ver P = (p1, . . . , pk ) como los vértices (ordenados cı́clicamente) de una
poligonal periódica en Ω, candidata a trayectoria periódica. Se trata de saber si podemos
situar los vértices de P para que se cumpla la ley de incidencia-reflexión de ángulos. Dada
una lista P como antes, llamaremos m ∈ N al número de vueltas que la poligonal periódica
asociada da alrededor de ∂Ω (en una estrella de 5 puntas con vértices en ∂Ω, es k = 5 y
m = 2). Sea
Ck,m = {poligonales periódicas con k vértices en ∂D que dan m vueltas}
Es posible dotar a Ck,m de una topologı́a natural, basada en cómo se mueven los vértices
de sus poligonales sobre ∂Ω. Como admitimos que dos o más vértices se colapsen en uno,
puede probarse que Ck,m es compacto. La misma idea permite ver Ck,m como variedad
diferenciable de dimensión k. Dada P ∈ Ck,m , se define la longitud L(P ) de P como
la longitud total de los lados de la poligonal asociada. Admitiendo que la aplicación l :
Ck,m → R es C 1 , veamos que
Lema 1.1.4 Si P ∈ Ck,m en un punto crı́tico de l, entonces P produce una trayectoria
periódica.
Demostración. Identificando pk+1 con p1 en P = (p1, . . . , pk ), tenemos
L(P ) =
k
X
|pi+1 − pi |.
i=1
Supongamos ahora que t 7→ Pt = (p1(t), . . . , pk (t)) es una curva C 1 en Ck,m con P0 = P .
Ası́,
k
X
d d L(Pt ) =
|pi+1(t) − pi (t)|.
dt 0
dt 0
i=1
Usando el Lema 1.1.2 (para ello necesitamos la condición técnica de que pi 6= pi+1 para
cada i),
k
X
d pi+1 − pi
L(P
)
=
hp0i+1 (0) − p0i (0),
i.
t
dt 0
|pi+1 − pi |
i=1
Como P en punto crı́tico de l, lo anterior se anula para toda variación de P en Ck,m .
Elegimos tal variación de forma que sólo mueva el vértice p2. Entonces, p0i (0) = 0 siempre
que i 6= 2 luego
d p 2 − p1
p 3 − p2
0 = L(Pt ) = hp02 (0),
−
i.
(1.2)
dt 0
|p2 − p1| |p3 − p2 |
1.1. LONGITUDES Y DISTANCIAS.
5
Veamos que (1.2) implica que se cumple la ley de incidencia-reflexión de ángulos en p2 .
Como dicha ley sólo afecta a ángulos, podemos trasladar en R2 de forma que p2 = 0. Ası́,
p1
p3
p1 p3
p3
0
~ p1 p3 p1
|p1 | + |p3 | es perpendicular a p2 (0). Pero |p1 | , |p3 | son unitarios luego 0, |p1 | , |p3 | , |p1 | + |p3 |
son los vértices de un rombo R, una de cuyas diagonales es d1 = |pp11 | + |pp33 | . Como la otra
diagonal d2 de R es ortogonal a d1 , concluı́mos que d2 es paralela a p02(0), que a su vez
genera Tp2 ∂Ω. De aquı́ es fácil ver que la ley de incidencia-reflexión de ángulos se cumple
en p2 .
Repitiendo lo anterior para todo vértice de α, concluı́mos que α es una trayectoria. 2
Corolario 1.1.3 Para cualesquiera k, m ∈ N, existe al menos una trayectoria periódica
en Ck,m .
Demostración. Por el Lema 1.1.4, basta asegurar que existe al menos un punto crı́tico en
Ck,m de l, y esto está asegurado por ser Ck,m compacto.
2
Dejemos ahora el Cálculo de Variaciones para profundizar más en distancias y longitudes de curvas. Supongamos que los habitantes de un mundo imaginario viven sobre
una superficie conexa S ⊂ R3 y que no pueden en ningún momento abandonar S. ¿Cómo
medirı́an la distancia entre dos puntos p, q ∈ S? Pensando en lo que hacemos en el caso
S = R2, es lógico que tomen dicha distancia como la menor longitud de una curva γ en S
que una p con q, si dicha curva existe. Pero ¿existe realmente una curva γ que realiza la
distancia de p a q? Del Lema 1.1.1 se deduce que caso de existir, dicha curva γ será una
geodésica, i.e. (γ 00)T = 0 si parametrizamos γ por el arco. En algunas situaciones, γ no
existe (tomar S = R2 − {(0, 0)} y q = −p 6= (0, 0)), pero aún ası́ tiene sentido definir
d(p, q) = inf{L(α) | α curva C ∞ a trozos uniendo p, q},
∀p, q ∈ S,
ya que el ı́nfimo anterior siempre existe. Estudiaremos a fondo d y veremos que siempre
define una distancia sobre S, y que esto puede generalizarse a variedades Riemannianas.
En el caso de una curva embebida y regular α : I → R3 , la distancia correspondiente
es d : α(I) × α(I) → R+
0 donde
d(p, q) =
|L(α)qp|
Z
= t2
t1
|α (t)| dt ,
0
donde p = α(t1 ), q = α(t2 ) (nótese que no tiene porqué ser t1 ≤ t2 ). Tenemos entonces que
(α(I), d) es un espacio métrico (intrı́nseco, ya que para calcular distancias sólo necesitamos
longitudes de curvas). El diámetro de (α(I), d) es, claramente, la longitud total de α (que
podrı́a ser ∞).
Las variedades Riemannianas vistas como espacios métricos sólo son interesantes a
partir de dimensión 2, como pone de manifiesto el siguiente
6
CAPÍTULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Lema 1.1.5 Todas las curvas α : I → R3 embebidas y regulares con la misma longitud
son isométricas como espacios métricos.
Demostración. Sea α : I → R3 una curva embebida y regular, con parámetro t. Sea
β : J ⊂ R → R3 una reparametrización por el arco de α, con parámetro s. Claramente,
L(α) coincide con la longitud del intervalo J, que a su vez es el diámetro del espacio métrico
(J, d0) donde d0 es la distancia usual de R. El Lema estará probado (por transitividad) si
vemos que los espacios métricos (α(I), d), (J, d0) son isométricos. Definimos F : (J, d0) →
(α(I) = β(J), d) mediante F (s) = β(s) = α(t(s)). Entonces,
t(s )
d(F (s1 ), F (s2)) = |L(α)t(s21) | = |L(β)ss21 | = |s2 − s1 | = d0(s1 , s2),
luego F es una isometrı́a de espacios métricos.
2
Como hemos dicho, a partir de dimensión 2 el Lema 1.1.5 no tiene un enunciado equivalente. De hecho, veremos que la esfera no puede ser isométrica (ni siquiera localmente)
al plano1: la existencia de isometrı́as locales entre variedades Riemannianas estará ı́ntimamente ligada al concepto de curvatura, otro de los conceptos centrales que desarrollaremos
en la asignatura.
Esperamos que las ideas anteriores hayan motivado un estudio más detallado de diversos objetos geométricos como la longitud, la distancia o la curvatura en situaciones más
generales. A continuación empezaremos con este trabajo.
1.2.
El concepto de variedad Riemanniana.
A lo largo del resto del tema, M n denotará una variedad diferenciable.
Definición 1.2.1 Una métrica es una aplicación g : X(M ) × X(M ) → F (M, R) =
{aplics. de M en R} tal que ∀X, Y, X1, X2 ∈ X(M ), ∀f ∈ C ∞ (M, R),
1. g(X, Y ) = g(Y, X),
2. g(X1 + X2, Y ) = g(X1, Y ) + g(X2, Y ), g(f X, Y ) = f g(X, Y ),
3. g(X, X) ≥ 0 en M y si p ∈ M cumple g(X, X)(p) = 0, entonces Xp = 0.
De 1,2 deducimos que g es tensorial en funciones, luego pueden definirse las restricciones
g|U y gp , donde U ⊂ M abierto y p ∈ M , de la siguiente forma:
e Ye )(p), donde X,
e Ye ∈
Dados X, Y ∈ X(U ) y p ∈ U , se define (g|U )(X, Y )(p) = g(X,
e
e
X(M ) cumplen X|Vp = X|Vp , Y |Vp = Y |Vp , siendo Vp un abierto de U con p ∈ Vp.
1
De hecho, éste es el punto de partida de la cartografı́a.
1.2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD RIEMANNIANA.
7
Dados v, w ∈ TpM , se define gp(v, w) = g(V, W )(p) donde V, W ∈ X(M ) con Vp =
v, Wp = w.
La idea para probar que g|U está bien definida es la siguiente:
Lema 1.2.1 Sea g una métrica sobre M , X, Y ∈ X(M ) y U ⊂ M abierto. Si X|U = 0
ó Y |U = 0, entonces g(X, Y )|U = 0.
Demostración. Fijemos p ∈ U y veamos que g(X, Y )(p) = 0. Como {p}, M − U son
cerrados disjuntos, ∃fp ∈ C ∞ (M ) tal que fp |M −U = 1 y fp (p) = 0. Supongamos primero
que X|U = 0. Entonces, X = fp X en M (razonar por separado en U y en M − U ), luego
g(X, Y ) = g(fpX, Y ) = fp g(X, Y ). Evaluando en p y usando que fp (p) = 0, tenemos
g(X, Y )(p) = 0. Como g es simétrica, el caso Y |U = 0 puede reducirse al anterior.
2
e Ye de X, Y ∈ X(U ), ya que
Ahora la definición de g|U no depende de las extensiones X,
b
b
e
b está en las condiciones del
si tomamos otras extensiones X, Y de X, Y , entonces X − X
e −
Lema 1.2.1 sobre el abierto Vp donde ambas extensiones coinciden con X, luego g(X
b Ye )|Vp = 0 y ası́, g(X,
e Ye )(p) = g(X,
b Ye )(p). Aplicando el Lema 1.2.1 a Ye − Yb y razonando
X,
b
b Yb )(p), luego g(X,
e Ye )(p) = g(X,
b Yb )(p).
análogamente concluimos que g(X, Ye )(p) = g(X,
En cuanto a probar que gp esta bien definida, necesitamos otro resultado previo.
Lema 1.2.2 Sea g una métrica sobre M , X, Y ∈ X(M ) y p ∈ M . Si Xp = 0 ó Yp = 0,
entonces g(X, Y )(p) = 0.
Demostración. De nuevo por simetrı́a de g basta suponer que Xp = 0. Tomemos una carta
P
∂
local (U, φ = (x1 , . . ., xn )) de M alrededor de p. Ası́, X|U = ni=1 ai ∂x
con ai ∈ C ∞ (U )
i
∀i. Como g|U está bien definida,
g(X, Y )(p) = (g|U )(X|U , Y |U )(p) = (g|U )(
P
∂
i ai ∂xi , Y |U )(p)
=
P
i
∂
ai (p)(g|U )( ∂x
, Y |U )(p).
i
Lo anterior se anula porque al ser Xp = 0, tenemos ai (p) = 0 ∀i = 1, . . . , n.
2
Y ahora un razonamiento análogo al que hacı́amos para probar que g|U está bien definida
(cambiando el Lema 1.2.1 por el Lema 1.2.2) permite demostrar que gp también lo está.
gp es pues, un producto escalar definido positivo sobre TpM .
Si g es una métrica sobre M y (U, φ = (x1 , . . . , xn)) es una carta local, las funciones
∂
gij = (g|U )( ∂x
, ∂ ) están en F (U, R) y la matriz (gij )i,j se llama la matriz de g respecto
i ∂xj
a (U, φ).
Definición 1.2.2 Una métrica g sobre M n se dice Riemanniana o diferenciable si ∀X, Y ∈
X(M ), g(X, Y ) ∈ C ∞ (M ). Al par (M, g) se le llama una variedad Riemanniana (V.R.)
8
CAPÍTULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Proposición 1.2.1 Sea g una métrica sobre M y {(U α, φα)}α un atlas en M . Son equivalentes:
1.
g es una métrica Riemanniana.
2.
∀U ⊂ M abierto, ∀X, Y ∈ X(U ), (g|U )(X, Y ) ∈ C ∞ (U ).
3.
α
∀α, ∀i, j = 1, . . ., n, gij
∈ C ∞ (U α).
Demostración. Ejercicio.
2
Definición
p 1.2.3 Sea (M, g) una V.R. Dado X ∈ X(M ), la norma de X es la función
kXk = g(X, X) ∈ C ∞ (M − {p ∈ M | Xp = 0}). Dos vectores v, w ∈ Tp M se dicen
ortogonales si lo son respecto a gp. Dos campos X, Y ∈ X(M ) se dicen ortogonales si lo
son en cada p ∈ M .
Ejemplos de variedades Riemannianas.
1. El espacio euclı́deo n-dimensional. M = Rn , g0 (X, Y ) =
(X1, . . . , Xn), Y = (Y1 , . . . , Yn ) ∈ X(Rn ) ≡ C ∞ (Rn , Rn ).
Pn
i=1 Xi Yi
donde X =
2. Métricas conformes y homotéticas. Si (M, g) es una V.R. y f ∈ C ∞ (M, R+ ),
entonces f g es otra métrica Riemanniana sobre M , que se dice conforme a g. Si
f es constante, a f g se le llama métrica homotética a g (ejercicio: probar que “ser
conforme a” y “ser homotética a”definen relaciones de equivalencia en el conjunto
de métricas Riemannianas sobre una variedad diferenciable).
3. El espacio hiperbólico n-dimensional (modelo del semiespacio).
M = (Rn )+ = {x ∈ Rn | xn > 0}, g = x12 g0. Nótese que gx (e1 , e1) = x12 , luego ke1k
n
n
se hace mayor cuanto más nos aproximamos al borde de (Rn )+ .
4. El espacio hiperbólico n-dimensional (modelo de la bola).
4
M = Bn (0, 1) = {x ∈ Rn |kxk0 < 1}, g = (1−kxk
2 )2 g0 . De nuevo ke1 k se hace mayor
0
n
cuanto más nos aproximamos al borde de B (0, 1), y g se acerca a g0 cuando x → 0.
5. El grupo lineal general.
2
M = Mn (R) ≡ Rn , g(B, C)(A) = Traza(B·C t ), ∀A ∈ Mn (R), ∀B, C ∈ X(Mn(R)) ≡
C ∞ (Mn (R), Mn(R)).
6. Métrica producto.
Sean (M1n , g1), (M2m, g2) V.R.. Se define la métrica producto de g1 y g2 como
[(g1 × g2 )(Z1, Z2)] (p1 , p2) =
2
X
i=1
(gi)pi (dπi )(p1,p2 ) (Z1(p1,p2 ) , (dπi)(p1,p2 ) (Z2(p1 ,p2 ) ,
1.2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD RIEMANNIANA.
9
∀Z1 , Z2 ∈ X(M1 × M2 ), (p1, p2) ∈ M1 × M2 , donde π1, π2 son las proyecciones de
M1 × M2 sobre sus factores. Que g1 × g2 es una métrica se deduce directamente de
la ecuación
(g1 × g2 )(p1,p2 ) ((v1, v2), (w1, w2)) =
2
X
(gi)pi (vi , wi),
(1.3)
i=1
donde pi ∈ Mi y vi ∈ Tpi Mi (ejercicio). En cuanto a la diferenciabilidad, usaremos la Proposición 1.2.1: tomemos cartas locales (U, φ = (x1, . . . , xn )), (V, ϕ =
(xn+1 , . . . , xn+m )) en M1 , M2. Ası́, (U × V, φ × ϕ) es una carta en M1 × M2 con
funciones coordenadas zi = xi ◦ π1 si i ≤ n, ai = xi ◦ π2 si i ≥ n + 1, y es posible
construir un atlas de M1 × M2 con cartas producto de esta forma. Bastará entonces
∂
probar que las funciones gij = (g1 × g2)( ∂z
, ∂ ) son C ∞ en U × V . Pero
i ∂zj
(gij )i,j=1,...,n+m =
(g1)ij ◦ π1
0
0
(g2)ij ◦ π2
!
(ejercicio), de donde la diferenciabilidad de gij se deduce directamente. Nótese que
(1.3) implica que vectores del tipo (v1, 0), (0, v2) ∈ Tp1 M1 × Tp2 M2 son siempre
ortogonales en la métrica producto. Además, si los campos Z1 , Z2 ∈ X(M1 × M2)
son proyectables (i.e. Z1 ≡ (X1, X2), Z2 ≡ (Y1, Y2 ) con Xi , Yi ∈ X(Mi ), entonces
(g1 × g2) ((X1, X2), (Y1, Y2 )) =
2
X
gi (Xi, Yi ) ◦ πi .
i=1
7. Métrica pullback por una inmersión.
Sea F : M n → N m una inmersión y g una métrica Riemanniana sobre N . Se define
F ∗ g (métrica pullback de g por F ) mediante
(F ∗ g)(X, Y )(p) = gF (p)(dFp (Xp), dFp(Yp )),
∀X, Y ∈ X(M ), ∀p ∈ M.
F ∗ g es claramente una métrica sobre M . Para ver su diferenciabilidad, tomemos
X, Y ∈ X(M ) y probemos que (F ∗ g)(X, Y ) ∈ C ∞ (M ). Basta que dado p ∈ M ,
exista un abierto U ⊂ M conteniendo a p donde (F ∗ g)(X, Y )|U sea C ∞ . Como F es
inmersión, ∃V ⊂ M abierto conteniendo a p tal que F : V → N es embebimiento.
Ası́, F (V ) es una subvariedad de N difeomorfa a V y podemos proyectar los campos
e Ye ∈ X(N ) y
X|V , Y |V a F∗ (X|V ), F∗(Y |V ) ∈ X(F (V )). Como F (p) ∈ F (V ), ∃X,
∃ un entorno abierto de F (p) en F (V ) (que puedo escribir de la forma F (U ) con
abto.
e
e
p ∈ U ⊂ V ) tales que (F∗ X)|F (U ) = X|
F (U ), (F∗ Y )|F (U ) = Y |F (U ). Ahora es fácil
∗
∗
e Ye ) ◦ F en U , luego (F g)(X, Y ) ∈ C ∞ (U ).
ver que (F g)(X, Y ) = g(X,
10
CAPÍTULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
8. La esfera Sn (R).
Dado R > 0, sea Sn (R) = {x ∈ Rn+1 | kxk = R}. Como la inclusión i : Sn (R) ,→
Rn+1 es un embebimiento, tiene sentido g = i∗g0 (métrica canónica sobre Sn (R)). Ası́,
dados p ∈ Sn (R) y v, w ∈ TpSn (R) = hpi⊥ , es gp(v, w) = g0 (v, w) y dados X, Y ∈
X(Sn (R)) = {F ∈ C ∞ (Sn (R), Rn+1 ) | g0(F (p), p) = 0 ∀p ∈ Sn (R)}, g(X, Y ) =
Pn+1
i=1 Xi Yi .
9. El grupo ortogonal.
Dado n ∈ N, el grupo ortogonal es O(n) = {A ∈ Mn (R) | A · At = In }. O(n) es una
subvariedad de dimensión n(n − 1)/2 de Mn (R), con
TA O(n) = {AB | B t = −B}, ∀A ∈ O(n).
Como la inclusión i : O(n) ,→ Mn (R) es un embebimiento y sobre Mn (R) tenemos
la métrica estándar (g0)A (B, C) = Traza(B · C t ), deducimos que g = i∗ g0 es una
métrica Riemanniana sobre O(n), llamada su métrica canónica.
1.3.
Isometrı́as, isometrı́as locales, inmersiones isométricas.
Definición 1.3.1 Una isometrı́a entre dos V.R. (M1n , g1), (M2n, g2) es un difeomorfismo
φ : M1 → M2 tal que ∀p ∈ M1 , dφp es una isometrı́a vectorial entre (TpM1 , (g1)p ) y
(TF (p)M2 , (g2)F (p) ) (esto último equivale a que g1 = φ∗g2 ). En tal caso, (M1n , g1), (M2n, g2)
se dicen variedades Riemannianas isométricas.
“Ser isométrica a” es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las V.R. (ejercicio). El conjunto Iso(M, g) de todas las isometrı́as de una V.R. en sı́ misma tiene estructura
de grupo con la composición.
Ejemplos.
2
1. La aplicación φ : Mn (R) → Rn dada por φ(A) = (a11, . . . , ann ) si A = (aij )i,j
2
es una isometrı́a si en Mn (R), Rn consideramos sus respectivas metricas usuales
(ejercicio).
2. Las V.R. (Sn (R), g) y (Sn (1), R2g) son isométricas (ejercicio).
2i z−1
3. La transformación de Möbius φ(z) = i−1
z+i es una isometrı́a entre los modelos
2 +
D(0, 1) y (R ) del plano hiperbólico (ejercicio).
4. Las traslaciones a izquierda lA : O(n) → O(n), lA (B) = AB y a derecha rA : O(n) →
O(n), rA (B) = BA, son isometrı́as de (O(n), g) en sı́ mı́smo (ejercicio).
1.4. MÉTRICAS RIEMANNIANAS Y ACCIONES PROPIAMENTE DISCONTINUAS.11
Definición 1.3.2 Una isometrı́a local entre dos V.R. (M1n , g1), (M2n, g2) es un difeomorfismo local φ : M1 → M2 tal que g1 = φ∗ g2). En tal caso, (M1n , g1), (M2n, g2) se dicen
variedades Riemannianas localmente isométricas.
Definición 1.3.3 Una inmersión isométrica entre dos V.R. (M1n , g1), (M2m, g2) es una
inmersión φ : M1 → M2 tal que g1 = φ∗ g2). Ası́, una isometrı́a local es una inmersión
isométrica entre variedades de la misma dimensión. Y si F : M n → (N m , g) es una
inmersión, entonces F : (M, F ∗ g) → (N, g) es una inmersión isométrica.
1.4.
Métricas Riemannianas y acciones propiamente discontinuas.
Definición 1.4.1 Sea M n una variedad diferenciable y G un grupo algebraico. Una acción
es una aplicación λ : G × M → M tal que ∀g, g1, g2 ∈ G, ∀p ∈ M ,
1. e · p = p,
2. g1 · (g2 · p) = (g1 · g2 ) · p.
Dado g ∈ G, se define λg : M → M por λg (p) = g · p. Entonces, λg es una biyección, con
inversa λg−1 .
La acción λ se dice diferenciable cuando ∀g ∈ G, λg es un difeomorfismo de M en
sı́ misma (i.e. cuando λg ∈ C ∞ (M, M )), y se dice propiamente discontinua cuando ∀p ∈ M ,
∃U ⊂ M abierto conteniendo a p tal que U ∩ λg (U ) = Ø ∀g ∈ G − {e}.
Toda acción λ sobre M define una relación de equivalencia sobre M :
p ∼G q ⇔ ∃g ∈ G | g · p = q.
Llamemos π : M → M/G = M/ ∼G a la proyección canónica de M en su cociente. π es
continua si en M/G consideramos la topologı́a cociente, y abierta (porque π −1(π(O)) =
∪g∈G λg (O), ∀O ⊂ M ).
Proposición 1.4.1 Si la acción λ es diferenciable y propiamente discontinua, entonces
existe una única estructura diferenciable D sobre M/G que convierte a π en difeomorfismo
local. Además, la topologı́a subyacente a D es la topologı́a cociente.
Demostración. Existencia.
Consideremos en M/G la topologı́a cociente T /G de la topologı́a T de M . Dado p ∈ M ,
sea U un abierto de M conteniendo a p dado por la discontinuidad de la acción λ. Entonces,
π|U : U → π(U ) es un homeomorfismo (es continua, sobreyectiva, inyectiva y abierta).
12
CAPÍTULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Ahora podemos definir las cartas de M/G como la composición de π|U con cartas de M
cuyo abierto coordenado esté contenido en U . Variando U y aplicando este procedimiento,
se obtiene un atlas diferenciable sobre M/G, que genera una estructura diferenciable D
que hace a π difeomorfismo local (ejercicio).
Unicidad.
Si M/G admite una estructura diferenciable D0 que hace de π un difeomorfismo local y
llamamos T 0 a la topologı́a subyacente a D0 , entonces π : (M, T ) → (M/G, T 0 ) es continua, sobreyectiva y abierta, luego identificación. Por tanto, T 0 = T /G. Ahora considero las
1M/G
π
aplicaciones M → (M/G, D) → (M/G, D0), cuya composición es π. Como las dos π son
difeomorfismos locales, concluı́mos que 1M/G es diferenciable de (M/G, D) en (M/G, D0).
El recı́proco es igual, con lo que D = D0 .
2
Teorema 1.4.1 Sea λ : G × M → M una acción diferenciable y propiamente discontinua,
y g una métrica Riemanniana sobre M . Entonces, son equivalentes:
1.
Existe una métrica Riemanniana g 0 sobre M/G que hace a π : (M, g) → (M/G, g 0)
isometrı́a local.
2.
λh ∈ Iso(M, g) ∀h ∈ G.
Además, g 0 es única (cuando exista).
Demostración. Si g 0 existe, entonces dados p ∈ M y u, v ∈ TpM se tendrá gp(u, v) =
0
gπ(p)
(dπp(u), dπp(v)). Como π es sobreyectiva y dπp biyectiva, la última ecuación determina
0
a g . Además dado h ∈ G,
0
gh·p ((dλh)p(u), (dλh)p(v)) = gπ(p)
(d(π ◦ λh )p(u), d(π ◦ λh )p (v))
0
= gπ(p)
(dπp (u), dπp(v)) = gp(u, v)
luego λh ∈ Iso(M, g). Recı́procamente, si λh es una isometrı́a entonces la definición
0
g[p]
(u0, v 0) := gp ((dπp)−1 (u0), (dπp)−1 (v 0))
no depende del representante p ∈ [p]. Es fácil comprobar que g 0 es una métrica (ejercicio).
Su diferenciabilidad se tendrá si vemos que g 0(X 0, Y 0) ∈ C ∞ (M/G) ∀X 0, Y 0 ∈ X(M/G).
Pero X 0, Y 0 producen campos X, Y ∈ X(M ) invariantes por la acción λ (i.e. (λh )∗X =
0
0
X, (λh)∗Y = Y ∀h) tales que Xπ(p)
= dπp(Xp), Yπ(p)
= dπp(Yp ) ∀p. Es fácil ver que
0
0
0
∞
g (X , Y ) ◦ π = g(X, Y ). Como g(X, Y ) ∈ C (M ), tenemos que g 0(X 0, Y 0 ) ∈ C ∞ (M/G).
por último, que π : (M, g) → (M/G, g 0) se hace isometrı́a local es evidente (ejercicio). 2
Ejemplos.
1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MECÁNICA CLÁSICA.
13
1. El espacio proyectivo real RPn .
Si A es la aplicación antı́poda sobre Sn (1), entonces el grupo G = {1Sn (1) , A} actúa
diferenciable, propia y discontinuamente sobre Sn (1), luego existe una única métrica
g 0 sobre Sn (1)/G = RPn que convierte a π en isometrı́a local. A g 0 se le llama la
métrica estándar sobre RPn .
2. Toros llanos TnB .
Dada una base B = {v1, . . . , vn } de Rn , el grupo de traslaciones G = {Tv | v ∈
Zv1 ⊕ . . . ⊕ Zvn } actúa diferenciable, propia y discontinuamente sobre Rn , donde
Tv es la traslación de vector v. El cociente Rn /G = TnB es un toro n-dimensional
(difeomorfo a S1 × .n)
. . ×S1 ), y la métrica g00 inducida sobre TnB por g0 se llama la
métrica llana sobre TnB .
1.5.
Variedades Riemannianas en Mecánica clásica.
Muchos sistemas fı́sicos, sobre todo en Mecánica, pueden modelarse usando una variedad diferenciable, y las ecuaciones de movimiento del sistema resultan ser las ecuaciones de
Euler-Lagrange para un funcional definido sobre curvas en la variedad. Esta formulación,
que en fı́sica se conoco como Mecánica Lagrangiana, a menudo se sustenta en una variedad
Riemanniana, y los principios de conservación clásicos (energı́a, momento angular, etc.)
pueden verse como invarianza del lagrangiano frente a un grupo de difeomorfismos de la
variedad. Veamos algunos ejemplos de este tipo.
1.5.1.
Sistemas con 1 grado de libertad.
Supongamos que una partı́cula se mueve en una trayectoria rectilı́nea x(t) con
ẍ(t) = f (x(t)),
(1.4)
donde f ∈ C ∞ (R) (éste es el caso de, por ejemplo, un movimiento oscilatorio rectilı́neo
como un muelle2. Estamos interesados en describir los movimientos del sistema, que son las
soluciones del EDO anterior. La teorı́a general de EDO nos dice que x(t) está determinada
unı́vocamente por x(0), ẋ(0). Se llama espacio de configuraciones al conjunto cuyos puntos
describen completamente la posición del sistema en un momento dado. En nuestro caso
x(t) ∈ R, luego el espacio de configuraciones es R. La energı́a cinética de x(t) es T =
2
La ley de Hooke dice: “La deformación que experimenta un muelle al ejercer sobre él una cierta fuerza
es directamente proporcional a magnitud de dicha fuerza, i.e. F = −kx donde F es la fuerza aplicada,
k es la constante de elasticidad del muelle y x la posición del extremo móvil del muelle. Como la 2a ley
de Newton asegura que F = mẍ donde m es la masa del objeto móvil suspendido del muelle, tenemos
k
x, que es una ecuación del tipo de (1.4).
ẍ = − m
14
CAPÍTULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
1
2
2 [ẋ(t)] ,
que puede verse como la evaluación en ẋ(t) ∈ R = Tx(t)R de la forma cuadrática
T (p, v) = 12 |v|2, (p, v) ∈ T R. La energı́a potencial sólo depende de la posición:
Z
V (x) = −
x
f (ξ) dξ.
0
Claramente, el potencial V determina a f , luego determina la ecuación (1.4) llamada
ecuación del movimiento. Además, si cambiamos el potencial sumándole una constante,
no cambian ni la EDO (1.4) ni los movimientos. Desde el punto de vista de la mecánica
Lagrangiana, uno considera el lagrangiano L(x, ẋ) = T (ẋ) − V (x) ∈ C ∞ (T R). Fijados
P, Q ∈ R, sea F el espacio de funciones γ : [0, 1] → R de clase C 1 tales que γ(0) =
P, γ(1) = Q. Sobre F tenemos el funcional
Φ(γ) =
Z
1
L(γ, γ̇)dt,
0
cuyos puntos crı́ticos son exactamente las ecuaciones de movimientos del sistema. Para
ver esto, tomemos una variación γs : [0, 1] → R de γ definida en |s| < ε, con γs (0) =
s
P, γs (1) = Q ∀s. Llamando η(t) = ∂γ
∂s (t, 0) al campo variacional de γs ,
d Φ(γs) =
ds 0
=
Z
1
0
=
Z
1
0
d L(γs , γ̇s) dt
ds 0
Z
∂L
∂γs
(γ(t), γ̇(t))
(t, 0) dt +
∂x
∂s
1
0
Z
∂L
∂L
(γ, γ̇)η dt +
(γ, γ̇)η
∂x
∂ ẋ
1
∂L
∂ γ̇s
(γ(t), γ̇(t))
(t, 0) dt
∂ ẋ
∂s
0
1
−
Z
1
0
0
∂
∂t
∂L
(γ, γ̇) η dt.
∂ ẋ
Como la variación es propia, η(0) = η(1) = 0 y
d Φ(γs ) =
ds 0
1 ∂L
Z
0
∂x
−
∂
∂t
∂L
∂ ẋ
(γ, γ̇) η dt.
Por tanto, los puntos crı́ticos de Φ sobre F son las funciones x : [0, 1] → R tales que
∂L
∂
=
∂x
∂t
∂L
.
∂ ẋ
A (1.5) se les llama las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema. En nuestro caso,
∂L
dT
∂2L
− dV
dx = f (x) y ∂ ẋ = dẋ = ˙ lxuego ∂t∂x = ẍ. Ahora de (1.4) y (1.5) deducimos que
Los puntos crı́ticos de Φ en F coinciden con los movimientos del sistema.
(1.5)
∂L
∂x
=
1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MECÁNICA CLÁSICA.
15
La energı́a total del sistema es E = T + V ∈ C ∞ (T R, R), que depende de la posición
y de la velocidad, y el sistema admite una ley de conservación de la energı́a: Si x(t) es un
movimiento, entonces E(x(t), ẋ(t)) es constante (en términos analı́ticos, E es una primera
integral de (1.4)): en efecto,
d
d
E(x(t), ẋ(t)) =
dt
dt
1
[ẋ(t)]2 −
2
Z
x(t)
f (ξ)dξ
!
= ˙ x(t)x(t)
(¨ − f (x(t))) = 0.
0
El sistema (1.4) es una EDO de segundo orden, y por tanto equivalente a un sistema de
dos EDO de primer orden:
(
ẋ = y
(1.6)
ẏ = f (x),
sistema que puede verse sobre el llamado espacio de fases, que en nuestro caso no es más
que T R = R × R y que en general es el fibrado tangente del espacio de configuraciones. El
sistema (1.6) determina un campo X ∈ X(T R), X(x,y) = (y, f (x)). A las curvas integrales
de X se es llama curvas de fases. Ası́, una curva α(t) = (x(t), y(t)) ∈ T R es curva de fase si
y sólo si x(t) es un movimiento del sistema, y encontrar los movimientos de nuestro sistema
equivale a calcular las curvas de fases. Como por cada punto de una variedad para una
única curva integral de un campo dado sobre la misma, tenemos otra forma de justificar el
que para cada x(0), ẋ(0) ∈ R existe una único movimiento con esas condiciones iniciales.
Nótese que una curva de fase podrı́a reducirse a un sólo punto del espacio de fases, y que
esto ocurre precisamente en un cero del campo X. A los ceros de X en el espacio de fases
se las llama posiciones de equilibrio.
La ley de conservación de la energı́a puede enunciarse diciendo que si x(t) es un
movimiento, entonces (x(t), ẋ(t)) cae en un subconjunto {E = c} ⊂ T R (c ∈ R). Cabe
preguntarse cuándo {E = c} es una hipersuperficie de T R (en este caso, cuándo es una
curva regular y embebida). Por el teorema de la función implı́cita, esto ocurre cuando
c ∈ R sea valor regular de E. Dados (x0, y0) ∈ T R, (ẋ, ẏ) ∈ T(x0 ,y0 ) T R,
dE(x0,y0 ) (ẋ, ẏ) = dTy0 (ẏ) + dVx0 (ẋ) = y0 ẏ − ẋf (x0 ).
Si y0 6= 0, entonces dE(x0,y0 ) (0, y0) = y02 6= 0. Si y0 = 0 pero f (x0) =
6 0, tenemos
dE(x0 ,y0 ) (f (x0), 0) = −f (x0 )2 6= 0. Y si y0 = 0 y f (x0) = 0 entonces dE(x0,y0 ) = 0
luego deducimos:
Los únicos puntos crı́ticos de E son las posiciones de equilibrio en el espacio de fases.
Las posiciones de equilibrio están sobre el eje {y = 0} del espacio de fases, y
corresponden a los (x0 , 0) tales que x0 es punto crı́tico de la energı́a potencial (i.e.
dV
dx (x0 ) = 0).
16
CAPÍTULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Figura 1.1: Izquierda: El potencial V = V (x). Derecha: espacio de fases y curvas de fases.
Si (x0, y0) ∈ T R no es una posición de equilibrio, entonces el conjunto de nivel
{E = E(x0, y0)} es una curva regular y embebida alrededor de (x0, y0), cuya primera
componente define el movimiento del sistema con codiciones iniciales x(0) = x0 ,
ẋ(0) = y0 .
Por ejemplo, supongamos que el potencial sigue una gráfica como la de la Figura 1.1
izquierda. V tiene tres puntos crı́ticos: dos mı́nimos locales x0, x2 y un máximo local x1 .
Los puntos (x0, 0), (x1, 0), (x2, 0) del espacio de fases son las posiciones de equilibrio del
sistema. La energı́a total es E(x, ẋ) = 12 (ẋ)2 + V (x). Al recorrer una curva de fase Γ E
se mantiene constante, luego cuanto menor sea la energı́a potencial en un punto de Γ
mayor será la energı́a cinética en tal punto (se recorre la curva más rápido). La geometrı́a
de las curvas de fase {E = c} puede describirse analizando los valores de c próximos a
las posiciones de equilibrio. Por ejemplo, para (x, ẋ) próximo (pero no igual) a (x0, 0), el
potencial se desarrolla V (x) = V (x0) + 12 V 00(x0 )(x − x0)2 + O((x − x0)3 ). Ası́, la ecuación
E = c se transforma en c = 12 (ẋ)2 +V (x0)+ 12 V 00 (x0)(x−x0)2 +O((x−x0 )3 ). Despreciando
el término O((x − x0 )3), tenemos la cónica del (x, ẋ)-plano
(ẋ)2 + V 00(x0)(x − x0 )2 = 2(c − V (x0)).
(1.7)
Nótese que V 00 (x0) ≥ 0 (x0 es mı́nimo local de V ) y que c − V (x0) ≥ 0 (en caso contrario
(1.7) no tiene soluciones en el (x, ẋ)-plano, luego tampoco las tiene {E = c}). Además,
c − V (x0 ) = 0 exactamente cuando la energı́a cinética es cero, lo que ocurre en la posición
de equilibrio, luego podemos suponer c−V (x0) > 0. Suponiendo además V 00(x0 ) 6= 0, (1.7)
es la ecuación de una elipse, luego las curvas de fases {E = c} próximas a la posición de
equilibrio (x0 , 0) son curvas cerradas simples, como en la Figura 1.1 derecha (si V 00(x0) = 0
tendriamos un análisis similar acudiendo a la primera derivada no nula de V en x0, lo cual
eleva el grado de la ecuación polinómica análoga a (1.7)). El estudio para (x, ẋ) ∼ (x2 , 0)
1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MECÁNICA CLÁSICA.
17
es similar al anterior, del que sólo hemos usado V 00 (x0) > 0. Pero en x1 la situación es
diferente, ya que V 00(x1 ) < 0. En este caso, cambiando x0 por x1 en (1.7) tendremos:
Para c − V (x1) = 0 (i.e., para el valor de E dado por la posición de equilibrio), (1.7)
es la ecuación de un par de rectas que se cruzan en (x1 , 0) (el eje {ẋ = 0} biseca el
ángulo formado por estas dos rectas). Por tanto, el conjunto de nivel {E = V (x1 )}
consiste en tres curvas de fases: la posición de equilibrio y dos curvas de fases que
son arcos abiertos con lı́mite (x1, 0), ver Figura 1.1 derecha.
Para c − V (x1 ) < 0, las curvas de nivel {E = c} definen una foliación de los dos
“sectores” opuestos del complemento de {E = V (x1 )} en un disco centrado en (x1 , 0)
que contienen puntos del eje {ẋ = 0} (de igual forma que ramas de hipérbolas folian
los cuadrantes primero y tercero, localmente alrededor del origen).
Para c − V (x1) > 0, el comportamiento es similar al del punto anterior, cambiando
los sectores opuestos por los que no contienen puntos del eje {ẋ = 0}.
1.5.2.
Sistemas con 2 grados de libertad.
Supongamos ahora que nuestra partı́cula se mueve en un plano siguiendo una trayectoria p(t) = (x1 (t), x2(t)) ∈ R2 tal que
p̈(t) = f (p(t)),
(1.8)
donde ahora f ∈ C ∞ (R2, R2). El espacio de configuraciones es ahora R2 y de nuevo la teorı́a
general de EDO nos dice que p(t) está determinada unı́vocamente por p(0), ṗ(0) ∈ R2 . La
energı́a cinética de p(t) es la evaluación en ṗ(t) ∈ R2 = Tp(t)R2 de la forma cuadrática
T (p, v) = T (v) =
1
g0(v, v)
2
(g0 es el producto escalar usual de R2). A diferencia del caso 1-dimensional, la energı́a
potencial no puede definirse siempre (f es ahora un campo, luego integrarlo supone encontrar una función sobre R2 cuyo gradiente sea ese campo). El sistema se dice conservativo
si ∃V ∈ C ∞ (R2 ) tal que f = −∇0 V (gradiente en el sentido del Análisis), lo cual equivale
a que el rotacional del campo f sea cero. De ahora en adelante supondremos que nuestro
sistema es conservativo. De nuevo el potencial determina las ecuaciones de movimiento y
sus soluciones (i.e. los movimientos del sistema) y si sumamos una constante al potencial,
las ecuaciones de los movimientos no cambian. Estas ecuaciones
diferenciales coinciden con
R1
las ecuaciones de Euler-Lagrange del funcional Φ(γ) = 0 L(γ, γ̇)dt, donde L ∈ C ∞ (T R2)
es el lagrangiano L(p, v) = T (v) − V (p), y Φ se aplica a cualquier curva γ : [0, 1] → R2
con extremos prefijados.
18
CAPÍTULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
La energı́a total del sistema es la función E ∈ C ∞ (T R2 , R) dada por E(p, v) = T (v) +
V (p), que también cumple una ley de conservación: E es una primera integral de (1.8)).
Para ver esto, tomemos un movimiento p(t) del sistema. Omitiendo la t,
d
d
E(p, ṗ) =
dt
dt
1
g0 (ṗ, ṗ) + V (p) = g0(ṗ, p̈) + g0(∇0 V )(p), ṗ) = g0(ṗ, p̈ − f (p)) = 0.
2
El espacio de fases es ahora T R2 ≡ R4 y (1.8) equivale al sistema
(
ṗ = q
q̇ = f (p),
(1.9)
El campo asociado al sistema anterior es X ∈ X(T R2 ), X(p,q) = (q, f (p)), y las curvas
integrales α(t) = (p(t), q(t)) ∈ T R2 de X proyectan al primer factor dando movimientos
de (1.8) y viceversa. La ley de conservación de la energı́a se enuncia diciendo que para
cada movimiento p(t), la curva (p(t), ṗ(t)) cae en una hipersuperficie {E = c} c ∈ R
(como en el caso 1-dimensional, éste conjunto es realmente una hipersuperficie a menos
que c = E(p0, 0) = U (p0) con f (p0 ) = 0).
1.5.3.
El péndulo doble.
En los ejemplos anteriores el espacio de configuraciones era un espacio euclı́deo (y
por tanto también el espacio de fases es euclı́deo), y la métrica g cuya forma cuadrática
definı́a la energı́a cinética T era (salvo una constante) el producto escalar usual. Pero
existen situaciones fı́sicas modeladas por espacios de configuraciones que son variedades
diferenciables más generales, o donde la métrica g que define a T es más elaborada. Un
ejemplo es el péndulo doble, que es un sistema compuesto por dos partı́culas B, C de
masas respectivas m1 , m2 > 0 unidas a un punto fijo A por segmentos inextensibles l1 , l2
de longitudes r1, r2 > 0 como en la Figura 1.2 (se supone que los puntos B, C se mueven
un un plano vertical fijo). La posición del sistema en un momento dado queda determinada
por los ángulos θ1 , θ2 ∈ S1 que forman l1 , l2 con la vertical (Figura 1.2), luego el espacio
de configuraciones es ahora M = S1 × S1 . Los movimientos del sistema son curvas γ(t) =
(θ1 (t), θ2(t)) que describen la evolución del doble péndulo partiendo de una posición inicial
γ(0) y de una velocidad inicial γ̇(0). Situando el origen en A, las coordenadas cartesianas
de B, C son
B(θ1 , θ2) = r1(sen θ1 , − cos θ1 ),
C(θ1 , θ2) = r1 (sen θ1 , − cos θ1 ) + r2(sen θ2 , − cos θ2 ).
La energı́a cinética de una curva γ(t) = (θ1 (t), θ2(t)) en M es
T=
i
1
1
1h
(m1 + m2)r12θ̇12 + m2 r22θ̇22 + m2 r1r2 cos(θ1 − θ2 )θ̇1 θ̇2 ,
m1 kḂk2 + m2kĊk2 =
2
2
2
1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MECÁNICA CLÁSICA.
19
Figura 1.2: Un péndulo doble.
que puede verse como la evaluación en γ̇ de una forma cuadrática sobre Tγ M (luego
T ∈ C ∞ (T M )). La energı́a potencial es V (θ1 , θ2) = m1GB2 + m2 GC2 , donde G ∼ 9,8 es
la constante gravitatoria y B2 , C2 son las alturas de B, C. Esto da
V (θ1 , θ2) = −(m1 + m2 )Gr1 cos θ1 − m2 Gr2 cos θ2 .
Alternativamente, los movimientos son los puntos crı́ticos del funcional
Φ(γ) =
Z
1
L(γ, γ̇) dt
0
definido sobre el espacio F de curvas en M que unen dos puntos P, Q dados, donde
L ∈ C ∞ (T M ) es el lagrangiano L = T −V , y por tanto son las soluciones de las ecuaciones
de Euler-Lagrange de Φ,
d
dt
∂L
∂ θ̇1
∂L
=
,
∂θ1
d
dt
∂L
∂ θ̇2
=
∂L
∂θ2
(esto se verá en general en la Sección 1.5.4).
1.5.4.
Formulación general de la mecánica Lagrangiana.
Sea M n una variedad diferenciable. Un lagrangiano sobre M es una función diferenciable L ∈ C ∞ (T M ), y una curva γ : R → M se dice un movimiento del sistema lagrangiano
(M, L) si es un punto crı́tico del funcional
Φ(α) =
Z
1
L(α, α̇) dt
0
definido en el espacio de curvas α : [0, 1] → M tales que α(0), α(1) están prefijados.
20
CAPÍTULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Lema 1.5.1 (Ecuaciones de Euler-Lagrange) Tomemos coordenadas locales (p, v) en
T M donde ahora p = (p1, . . . , pn ) se mueve en un abierto de Rn y v = (v1, . . . , vn) en Rn .
Entonces, γ : R → M es un movimiento del sistema si y sólo si
∂L
∂ 2L
(γ(t), γ̇(t)) =
(γ(t), γ̇(t)).
∂pi
∂t∂vi
∀i = 1, . . ., n,
Demostración. Tomemos una variación propia γu (t) de γ con campo variacional ξ = ξ(t) ∈
X(γ).
Z 1
Z 1
d d L(γ
(t),
γ̇
(t))dt
=
u
u
L(γu (t), γ̇u(t))dt =
du u=0 0
0 du 0
n 1X
∂L
Z
∂γi
∂ γ̇i
∂L
(γu (t), γ̇u(t))
(γu (t), γ̇u(t))
(t, u) +
(t, u)
∂pi
∂u
∂vi
∂u
0 i=1
XZ
0
i
X Z
i
1
0
1
dt =
u=0
!
∂L
∂L
∂ 2 γ̇i
(γ(t), γ̇(t))ξi(t) +
(γ(t), γ̇(t))
(t, 0) dt =
∂pi
∂vi
∂u∂t
∂L
(γ, γ̇)ξi dt +
∂pi
Z
1
0
(
)
!
d ∂L
∂ γ̇i
∂ 2L
∂ γ̇i
(γ, γ̇)
(γ, γ̇)
(t, 0) −
(t, 0) dt .
dt ∂vi
∂u
∂t∂vi
∂u
Como la variación es propia, el sumando central anterior se anula por la regla de Barrow
luego
d du u=0
Z
1
L(γu (t), γ̇u(t))dt =
0
X Z
i
=
XZ
i
1
0
1
0
∂L
(γ, γ̇)ξi dt −
∂pi
∂L
∂ 2L
−
∂pi ∂t∂vi
!
Z
1
0
∂ 2L
(γ, γ̇)ξi dt
∂t∂vi
!
(γ, γ̇)ξi dt.
Ahora el Lema se deduce de que podemos elegir el campo variacional arbitrariamente
(siempre que se anule en los extremos).
2
Definición 1.5.1 Sea (M n , g) una V.R. La forma cuadrática v ∈ Tp M 7→ 12 gp (v, v) se
llama la energı́a cinética, T : T M → R. Una energı́a potencial (o simplemente un potencial)
es una función diferenciable V ∈ C ∞ (M ). Un lagrangiano L en M se dice natural si
L= T −V.
En general, las ecuaciones de movimiento de un sistema Lagrangiano (i.e. las ecuaciones
de Euler-Lagrange del Lema 1.5.1) no son las ecuaciones de las geodésicas de una métrica
Riemanniana sobre M . Cuando el potencial es cero (o constante), entonces L = T luego
el funcional Φ cuyos puntos crı́ticos son los movimientos del sistema coincide, salvo una
1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MECÁNICA CLÁSICA.
21
contante multiplicativa, con el funcional energı́a de g y por tanto sus puntos crı́ticos son
las geodésicas de la métrica g. En general, para que las ecuaciones de Euler-Lagrange de
L sean las de las geodésicas de una métrica necesitamos que el potencial V dependa no
sólo de la posición, sino también de la velocidad.
1.5.5.
Principios de conservación y el Teorema de Noether.
En Fı́sica encontramos a menudo una ley de conservación, como en los ejemplos de
las Secciones 1.5.1 y 1.5.2, en los que una cierta cantidad escalar es conservada a lo largo
de cualquier movimiento del sistema fı́sico. Ya que los movimientos son soluciones de un
sistema de EDO de segundo orden sobre el espacio de configuraciones M (o de primer orden
sobre el espacio de fases T M ), que una función I sea constante a lo largo de cualquier
movimiento es equivalente a que I sea una integral primera del sistema de segundo orden.
Hemos visto ejemplos de lagrangianos naturales L = T − V sobre (R, g0) ó (R2 , g0) en
los que E = T + V es una integral primera del sistema. El siguiente criterio nos permite
asegurar la existencia de una integral primera cuando el lagrangiano L no sea natural. Sea
(M n , g) una variedad diferenciable y L ∈ C ∞ (T M ) un lagrangiano sobre ella. Decimos
que un difeomorfismo φ : M → M conserva L si
L(φ(p), dφp(v)) = L(p, v), ∀(p, v) ∈ T M.
Teorema 1.5.1 (Noether) Supongamos que existe una familia 1-paramétrica de difeomorfismos φs : M → M que conservan el lagrangiano L, con φ0 = 1M . Entonces, existe
una función I ∈ C ∞ (T M, R) que es una integral primera del sistema lagrangiano, i.e. todo
movimiento γ del sistema cumple I ◦ γ = cte.
Demostración. Localmente puedo tomar coordenadas (p, v) en T M donde ahora veo p =
(p1 , . . . , pn) en un abierto de Rn y v = (v1 , . . . , vn) en Rn . Tomemos un movimiento γ del
sistema. Como φs conserva L,
L(φs (γ(t)), (dφs)γ(t)(γ̇(t))) = L(γ(t), γ̇(t))
(1.10)
Luego llamando ψ(t, s) = φs (γ(t)) y derivando en s,
0=
=
n
X
i=1
∂
∂
∂ψ
L(γ(t), γ̇(t)) =
L(ψ(t, s),
(t, s))
∂s
∂s
∂t
!
∂L
∂ψ
∂ψ
∂ψ i(t, s) ∂L
∂ 2ψ i(t, s)
(ψ(t, s),
(ψ(t, s),
.
(t, s))
+
(t, s))
∂pi
∂t
∂s
∂vi
∂t
∂s∂t
(1.11)
Fijado s,
z }|
z }|
˙ {
˙ {
∂L
∂L
∂L
∂ 2L
∂ 2L
(φs ◦γ, φs ◦ γ) =
(φs (γ), (dφs)γ (γ̇)) =
(γ, γ̇) =
(γ, γ̇) =
(φs ◦γ, φs ◦ γ),
∂pi
∂pi
∂pi
∂t∂vi
∂t∂vi
22
CAPÍTULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
donde hemos usado (1.10) en la segunda igualdad. Por el Lema 1.5.1, t 7→ ψ(t, s) es un
movimeinto del sistema. Sustituyendo en (1.11) queda
0=
n
X
i=1
∂ψ
∂ψ
∂ψ i(t, s) ∂L
∂ 2ψ i(t, s)
∂ 2L
(ψ(t, s),
(ψ(t, s),
(t, s))
+
(t, s))
∂t∂vi
∂t
∂s
∂vi
∂t
∂s∂t
=
n
X
∂
i=1
donde F (t, s) =
∂t
∂L
∂ψ
∂ψ i(t, s)
(ψ(t, s),
(t, s))
∂vi
∂t
∂s
Pn
∂ψ i(t,s)
∂ψ
∂L
i=1 ∂vi (ψ(t, s), ∂t (t, s)) ∂s .
I(p, v) =
n
X
∂L
i=1
!
=
!
∂F (t, s)
,
∂t
Si ahora definimos
d
(p, v) φis (p)
∂vi
ds 0
en el dominio de la carta de T M que estamos usando, entonces I(γ(t), γ̇(t)) = F (t, 0)
(aquı́ se usa que φ0 = 1M ). Por tanto,
d
∂
I(γ(t), γ̇(t)) = F (t, 0) = 0,
dt
∂t
de donde I(γ, γ̇) es constante. Quedarı́a sólo ver que I es una función globalmente definida
sobre T M , i.e. no depende de la carta de T M usada para definirla. Esto se reduce a un
cambio de cartas en T M .
2
1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MECÁNICA CLÁSICA.
23
Ejercicios.
1. En el semiplano superior (R2 )+ = {(x, y) / y > 0} se considera la métrica hiperbólica
g = y −2 h·, ·i. Demostrar que toda transformación de Möbius que conserve dicho semies2 +
pacio, ϕ(z) = az+b
cz+d , donde a, b, c, d ∈ R con ad − bc > 0, es una isometrı́a de ((R ) , g)
en sı́ mismo. Concluir que dados p, q ∈ (R2)+ , existe una isometrı́a de ((R2)+ , g) en
sı́ mismo que lleva p en q.
2. Dada una base B de Rn , denotemos por TB al toro n-dimensional obtenido como
cociente de Rn por el grupo Zv1 ⊕ . . . ⊕ Zvn , y sea g0 su métrica llana estándar. Por
otro lado, dado r > 0 consideremos la circunferencia S1 (r) ⊂ R2 centrada en el origen y
de radio r, con métrica estándar g inducida por el producto escalar usual de R2 . Probar
que para cualesquiera r1 , . . . , rn > 0, existe una base B de Rn tal que el toro (TB , g0)
es isométrico a (S1 (r1) × . . . × S1 (rn), g× .n). . ×g). ¿Es B única?
3. Se considera el embebimiento dado por el toro de Clifford,
F : S1(1) × S1 (1) −→ S3 (1)
.
F (x1 , x2, x3, x4) =
√1 (x1 , x2, x3 , x4 ).
2
En cada esfera se considera su métrica canónica. Probar que la métrica pullback vı́a F de
la métrica estándar sobre S3 (1) es homotética a la métrica producto sobre S1(1) × S1(1).
4. Se considera la inmersión
Fe : R2 −→ R6
.
F (t1 , t2) =
√1
3
e2πit1 , e2πit2 , e2πi(t1+t2 ) .
Sea Γ el retı́culo de R2 generado por los vectores v1 = (1, 0), v2 = (0, 1). Demostrar
que Fe induce un embebimiento F del toro T = R2 /Γ en S5 (1) (toro equilátero). En
S5 (1), T = R2/Γ se consideran respectivamente la métrica canónica g (inducida por el
producto escalar usual de R6) y la métrica pullback F ∗ g. Encontrar una métrica g1 sobre
R2 que se induzca al cociente T = R2 /Γ y que lo haga isométrico a (T, F ∗ g).
5. Demostrar que el embebimiento de Veronese, inducido en RP2 por la inmersión
√
√ .
Fe : S2 (1) −→ S4(1/ 3)
Fe (x, y, z) = 12 (x2 − y 2), xz, yz, xy, 63 (x2 + y 2 − 2z 2 )
√
es un embebimiento isométrico si en RP2 , S4 (1/ 3) consideramos sus respectivas métricas estándar (cociente de la métrica canónica sobre S2(1) e inducida por el producto
escalar usual de R5 , respectivamente).
6. Se considera el embebimiento de Tai F : RPn −→ S(n+1, R), inducido por la inmersión
Fe : Sn (1) −→ S(n + 1, R) / Fe (p) =t p · p,
24
CAPÍTULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
donde S(n + 1, R) denota el espacio de matrices simétricas reales de orden n + 1. Sea
g1 la métrica estándar sobre RPn (cociente de la métrica canónica sobre la esfera) y
g0 (A, B) = Traza(A · B) la métrica canónica sobre S(n + 1, R). Demostrar que la
métrica pullback F ∗ g0 es homotética a g1.
7. Un difeomorfismo φ : (M1, g1) −→ (M2, g2) entre V.R. se dice una transformación
conforme si la métrica pullback φ∗ g2 es conforme a g1 .
(A) Probar que toda transformación conforme conserva ángulos (si (M, g) es una V.R.
y p ∈ M , el ángulo entre u, v ∈ Tp M − {0} se define como el menor θ ∈ [0, 2π[
que cumple gp(u, v) = kukkvk cos θ).
(B) Demostrar que la proyección estereográfica respecto de un punto a ∈ Sn (1) es una
transformación conforme de (Sn (1) − {a}, g1) en (Rn , g0), donde g1, g0 son las
métricas canónicas de Sn (1) y Rn , respectivamente.
8. Se consideran dos isometrı́as φi : (Mi, gi) −→ (Ni, gei), i = 1, 2. Demostrar que la
aplicación producto φ1 × φ2 : (M1 × M2, g1 × g2 ) −→ (N1 × N2 , ge1 × ge2 ) es una
isometrı́a.
9. Probar que sobre toda variedad diferenciable existe una métrica Riemanniana (Indicación:
usar particiones de la unidad).
Capı́tulo 2
Cálculo en variedades
Riemannianas.
Una forma de encarar el estudio de una V. R. es por medio de los espacios de funciones,
campos o formas que soporta. Sobre estos espacios de funciones, campos y 1-formas actúan
ciertos operadores diferenciales, en términos de los que podemos estudiar ecuaciones diferenciales que nos darán información sobre la V.R. Dedicaremos este tema a introducir
algunos de estos operadores diferenciales sobre una V.R. (M n , g).
2.1.
Gradiente de una función.
Definición 2.1.1 Sea f ∈ C ∞ (M ). Dado p ∈ M , se define (∇f )p ∈ TpM como el único
vector de TpM que cumple
gp((∇f )p, v) = v(f ),
∀v ∈ Tp M.
O equivalentemente, g(∇f, X) = X(f ) ∀X ∈ X(M ).
Lema 2.1.1 ∇f ∈ X(M ).
Demostración. Sólo hay que probar la diferenciabilidad de ∇f , y podemos hacer esto en
coordenadas locales. Dada (U, ψ = (x1, . . . , xn)) carta local para M , no es difı́cil comprobar
que
n
X
∂f ij ∂
∇f =
g
en U,
∂xj ∂xi
i,j=1
donde (g ij )i,j es la matriz inversa de (gij )i,j (ejercicio).
En el caso particular (M n , g) = (Rn , g0), obtenemos la fórmula clásica ∇0f =
25
2
∂f
∂f
∂x1 , . . . , ∂xn
.
26
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Proposición 2.1.1 Sean f, h ∈ C ∞ (M ).
∇(f h) = f ∇h + h∇f ,
∇(1/f ) = − f12 ∇f .
1.
∇(f + h) = ∇f + ∇h,
2.
Si φ : (M1 , g1) → (M2, g2) es una isometrı́a, entonces φ∗ ∇(f2 ◦ φ) = ∇0 f2 , ∀f2 ∈
C ∞ (M2 ).
3.
Si g 0 = λg con λ ∈ C ∞ (N, R+ ), entonces ∇0 f = λ1 ∇f .
4.
El gradiente es ortogonal a las hipersuperficies de nivel: Si a ∈ R es valor regular de
f , entonces (∇f )p ⊥ Tpf −1 ({a}) ∀p ∈ f −1 ({a}).
Demostración. (Ejercicio).
2.2.
2
La conexión de Levi-Civita.
En el espacio euclı́deo sabemos derivar un campo diferenciable Y en la dirección de
otro X (basta usar la derivada direccional dY (X) del Análisis), y obtenemos otro campo
diferenciable. Si intentamos la misma operación sobre una superficie regular S ⊂ R3 , el
resultado no tiene porqué ser tangente a la superficie, luego es natural tomar sólo la parte
tangente dY (X)T de dY (X). Pero si tenemos una variedad abstracta sobre la que no
podemos servirnos de una estructura extrı́nseca, cómo podemos definir el equivalente a
dY (X)T ? Esta cuestión nos llevará a la conexión de Levi-Civita, una herramienta que
nos abrirá una puerta para estudiar geodésicas, curvatura y otros objetos claves de la
Geometrı́a Riemanniana, pero desde el punto de vista intrı́seco. Seguimos denotando por
(M n , g) a una V.R.
Definición 2.2.1 Dados X, Y ∈ X(M ), se define ∇X Y ∈ X(M ) como el único campo
que cumple la fórmula de Koszul,
2g(∇X Y, Z) = X(g(Y, Z)) + Y (g(Z, X)) − Z(g(X, Y ))
+ g([X, Y ], Z) + g(Y, [Z, X]) − g(X, [Y, Z]),
∀Z ∈ X(M ),
donde [·, ·] es el corchete de Lie de campos en M .
Justificaremos más adelante la fórmula anterior. Hemos dicho que ∇X Y ∈ X(M ). La
diferenciabilidad de ∇X Y se deduce de su expresión en coordenadas locales: si (U, ψ =
(x1 , . . . , xn)) es una carta local de M , entonces
∇
∂
∂xi
n
X
∂
∂
=
Γkij
,
∂xj
∂xk
k=1
2.2. LA CONEXIÓN DE LEVI-CIVITA.
27
donde los coeficientes Γkij (llamados sı́mbolos de Christoffel de g) vienen dados por
n
1X
Γkij =
2 h=1
∂gjh ∂gih ∂gij
+
−
∂xi
∂xj
∂xh
!
g hk .
(2.1)
(Probar (2.1) como ejercicio). En particular, Γkij ∈ C ∞ (U ) ∀i, j, k, de donde es fácil probar
que ∇X Y ∈ X(M ) ∀X, Y ∈ X(M ).
Proposición 2.2.1 La aplicación ∇ : X(M )× X(M ) → X(M ), ∇(X, Y ) = ∇X Y , cumple
las siguientes propiedades:
1.
∇f X1 +X2 Y = f ∇X1 Y + ∇X2 Y,
una conexión afı́n sobre M ).
2.
∇X Y − ∇Y X = [X, Y ] (∇ es libre de torsión).
3.
X(g(Y, Z)) = g(∇X Y, Z) + g(Y, ∇X Z) (∇ paraleliza a la métrica).
4.
∇ es la única conexión afı́n sobre M libre de torsión y que paraleliza a la métrica.
∇X (f Y1 + Y2 ) = X(f )Y1 + f ∇X Y1 + ∇X Y2 (∇ es
Demostración. 1,2,3 son consecuencia directa de la fórmula de Koszul. En cuanto a 4, si
∇ es una conexión afı́n sobre M libre de torsión y que paraleliza a g, entonces
X(g(Y, Z)) = g(∇X Y, Z) + g(Y, ∇X Z),
Y (g(Z, X)) = g(∇Y Z, X) + g(Z, ∇Y X),
Z(g(X, Y )) = g(∇Z X, Y ) + g(X, ∇Z Y ).
Sumando las dos primeras ecuaciones, restando la tercera y usando que ∇ es libre de
torsión, obtenemos
X(g(Y, Z))+Y (g(Z, X))−Z(g(X, Y )) = g(2∇X Y +[Y, X], Z)+g(Y, [X, Z])+g(X, [Y, Z]),
luego ∇ también cumple la fórmula de Koszul, de donde ∇ = ∇.
2
La demostración anterior justifica la Definición 2.2.1.
Definición 2.2.2 En la situación anterior, a ∇ se le llama la conexión de Levi-Civita de
(M n , g).
Ejemplos.
1. La conexión de Levi-Civita de (Rn , g0) es ∇X Y = dY (X) (esto se deduce de la
expresión local de ∇ y de (2.1) con gij = δij ).
28
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
2. Si S ⊂ R3 es una superficie regular con métrica inducida g, entonces su conexión de
Levi-Civita es
(∇X Y )p = dYp (Xp) − gp (Xp, ApYp )Np = (dYp(Xp))T ,
donde N es la aplicación de Gauss (localmente definida) de S y A = −dN es el
endomorfismo de Weingarten asociado a N (se deduce del apartado 4 de la Proposición 2.2.1).
3. La conexión de Levi-Civita de (Sn (1), g = i∗ h·, ·i) es
(∇X Y )p = dYp(Xp) + hXp , Ypip
(también se deduce del apartado 4 de la Proposición 2.2.1). Esta fórmula tiene un
análogo para el espacio hiperbólico Hn con el modelo del paraboloide en el espacio
de Lorentz-Minkowski, consultar el ejercicio 4.
4. Si φ : (M1 , g1) → (M2, g2) es una isometrı́a entre V.R. y ∇1, ∇2 son respectivamente
las conexiones de Levi-Civita de (M1 , g1), (M2, g2), entonces
∇2φ∗ X φ∗Y = φ∗(∇1X Y ),
∀X, Y ∈ X(M1 ).
(Ejercicio).
5. Conexión de Levi-Civita y métricas conformes.
Sea g 0 = e2u g una métrica conforme a g sobre M , donde u ∈ C ∞ (M ). Entonces, la
fórmula de Koszul da la siguiente relación entre las conexiones de Levi-Civita ∇ de
g y ∇0 de g 0:
∇0X Y = ∇X Y + X(u)Y + Y (u)X − g(X, Y )∇u,
donde ∇u es el gradiente de u respecto de g (ejercicio).
2.3.
Derivada covariante y transporte paralelo.
Sea α ∈ C ∞ (]a, b[, M ) una curva y t0 ∈]a, b[ tal que α0 (t0 ) 6= 0. Dado X ∈ X(α), existe
e ∈ X(M ) con X
e
ε > 0 y ∃X
α(t) = X(t) siempre que |t − t0 | < ε.
e no depende de la extensión X
e de X.
Lema 2.3.1 ∇α0 (t0 ) X
Demostración. Expresar X como combinación lineal de una base local de campos asociada
a una carta. Las propiedades de tensorialidad de una conexión nos llevarán a que la
e no depende más que del comportamiento de X
e a lo largo de α en
expresión de ∇α0 (t0) X
un entorno de α(t0 ), donde coincide con X (ejercicio).
2
El Lema 2.3.1 nos permite hacer la siguiente definición.
2.3. DERIVADA COVARIANTE Y TRANSPORTE PARALELO.
29
Definición 2.3.1 En la situación anterior, la derivada covariante de X en t0 es el vector
DX
e
(t0 ) = ∇α0 (t0) X.
dt
Proposición 2.3.1 La derivada covariante tiene las siguientes propiedades:
DX
dt
1.
∀X ∈ X(α),
∈ X(α).
2.
∀X, Y ∈ X(α), f ∈ C ∞ (]a, b[),
3.
d
dt (gα(X, Y ))
D(f X+Y )
dt
= f 0 X + f DX
dt +
DY
dt
.
DY
= gα ( DX
dt , Y ) + gα(X, dt ).
Demostración. 1 es consecuencia de la expresión local de
(x1 , . . . , xn)):


DX
dt
en una carta (U, ψ =
n
n
X
X
DX
∂
 a0 +
(xi ◦ α)0aj (Γkij ◦ α)
=
k
dt
∂x
k
i,j=1
k=1
P
,
(2.2)
α
∂
donde X = i ai ∂x
y Γkij son los sı́mbolos de Christoffel en dicha carta. 2 es una
i α
aplicación directa de las propiedades de una conexión (en realidad, 1,2 son válidas para
cualquier conexión afı́n), y 3 se deduce de que la conexión de Levi-Civita paraleliza a la
métrica.
2
Definición 2.3.2 Sea α :]a, b[→ M una curva regular. Un campo X ∈ X(M ) se dice
paralelo si DX
dt = 0.
Como los campos paralelos son el núcleo del operador D
dt : X(α) → X(α), forman un sube∞
spacio vectorial de X(α) (pero no un C (]a, b[)-módulo). Del apartado 3 de la Proposición 2.3.1 se sigue que
Lema 2.3.2 Si X, Y ∈ X(α) son paralelos, entonces gα(X, Y ) es constante en ]a, b[. En
particular, la norma de un campo paralelo es constante.
Una consecuencia de (2.2) es que los campos paralelos son localmente las soluciones del
sistema de EDO en ]a, b[
a0k +
n
X
(xi ◦ α)0aj (Γkij ◦ α) = 0 ∀k = 1, . . . , n.
(2.3)
i,j=1
Teorema 2.3.1 Sea α : [a, b] → M una curva regular1. Dado t0 ∈ [a, b] y v ∈ Tα(t0) M ,
∃!X ∈ X(α) paralelo tal que X(t0) = v.
1
α es restricción a [a, b] de una curva regular definida en un intervalo abierto que contiene a [a, b].
30
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Demostración. Si la traza de α está contenida en un abierto coordenado, entonces el
teorema es consecuencia directa de la teorı́a general de EDO. En el caso general, se recubre
α([a, b]) por abiertos coordenados y se usa la unicidad de solución de un p.v.i. para probar
que los campos paralelos dados por el caso anterior coinciden en la intersección de dos
parches.
2
Definición 2.3.3 Sea α :]a, b[→ M una curva regular y [t0, t1 ] ⊂]a, b[. El traslado paralelo
de t0 a t1 lo largo de α es la aplicación τtt01 : Tα(t0) M → Tα(t1) M tal que τtt01 (v) es el valor
en t1 del único campo X ∈ X(α) paralelo con X(t0) = v.
Proposición 2.3.2 En la situación anterior,
1.
τtt01 es una isometrı́a vectorial de (Tα(t0) M, gα(t0) ) en (Tα(t1) M, gα(t1)), con inversa
(τtt01 )−1 = τtt10 .
2.
τtt12 ◦ τtt01 = τtt02 .
Demostración. La linealidad de τtt01 es consecuencia directa de que estructura de espacio
vectorial en el conjunto de campos paralelos y de la unicidad del campo paralelo a partir
de una condición inicial. Para ver que τtt01 es biyectiva, primero hay que dar sentido a τtt10
cuando t1 > t0 . Sea β : [t0, t1 ] → M la reparametrización β(s) = α(t0 +t1 −s) de α recorrida
al revés. Entonces, tenemos un isomorfismo de C ∞ ([t0 , t1])-módulos ∗ : X(α) → X(β)
donde X ∗(s) = X(t0 + t1 − s), que cumple
DX ∗
DX
=−
ds
dt
∗
(probarlo usando coordenadas locales). Por tanto, ∗ lleva campos paralelos a lo largo de
α en campos paralelos a lo largo de β (y viceversa). De aquı́ se deduce fácilmente que
τtt01 (α) ◦ τtt01 (β) = 1Tα(t1 ) M ,
τtt01 (β) ◦ τtt01 (α) = 1Tα(t0) M ,
que es el sentido riguroso de la igualdad (τtt01 )−1 = τtt10 del enunciado. Que τtt01 respeta las
métricas es consecuencia del Lema 2.3.2.
2
Si α :]a, b[→ M es una curva regular, [t0, t1 ] ⊂]a, b[ y {v1 , . . ., vn } es una base de
Tα(t0) M , entonces los campos Pi ∈ X(α|[t0,t1 ] ) paralelos definidos por Pi (t0 ) = vi o equivalentemente Pi (t) = τtt0 (vi ), forman base de cada Tα(t)M en cada t ∈ [t0, t1 ], y se llaman
la base de campos paralelos que extiende a {v1, . . . , vn }. Además, si {v1, . . . , vn } es gα(t0) ortonormal, entonces {P1 (t), . . . , Pn(t)} es gα(t)-ortonormal ∀t ∈ [t0 , t1], luego todo campo
X ∈ X(α|[t0,t1 ] ) se expresará
X=
n
X
i=1
gα(X, Pi)Pi .
2.4. GEODÉSICAS Y APLICACIÓN EXPONENCIAL.
31
Lema 2.3.3 Sea {P1 , . . ., Pn } ⊂ X(α|[t0,t1 ] ) la base de campos paralelos que extiende a
una base {v1, . . . , vn } de Tα(t0) M (no necesariamente ortonormal). Entonces, un campo
P
X : [t0 , t1] → M a lo largo de α es diferenciable si y sólo si X = ni=1 ai Pi con ai ∈
C ∞ ([t0, t1]), 1 ≤ i ≤ n.
Demostración. Ejercicio.
2
La expresión de un campo X ∈ X(α) en función de una base de campos paralelos permite
probar el siguiente
Teorema 2.3.2 Sean X, Y ∈ X(M ), p ∈ M tal que Xp 6= 0 y α :] − ε, ε[→ M una curva
regular con α(0) = p, α0 (0) = Xp. Entonces,
i
1 h t −1
(τ0) (Yα(t)) − Yα(0) ,
t→0 t
(∇X Y )p = lı́m
donde τ0t es el traslado paralelo a lo largo de α.
Demostración. Sea {P1 , . . ., Pn } la base de campos paralelos a lo largo de α que extiende
P
a una base {v1, . . . , vn } de Tα(0)M . Como Y ◦ α ∈ X(α), tendremos Y ◦ α = i ai Pi para
ciertas ai ∈ C ∞ (] − ε, ε[), 1 ≤ i ≤ n. Por definición de derivada covariante,
X
D(Y ◦ α)
D (∇X Y )p =
ai Pi
(0) = dt
dt t=0 i
=
X
i
!
=
"
a0i (0)vi
i
#
1
1 X
lı́m [ai (t) − ai (0)] vi = lı́m
ai (t)(τ0t)−1 (Pi (t)) − Yα(0) ,
t→0 t
t→0 t
i
de donde el Teorema se deduce directamente.
2.4.
X
2
Geodésicas y aplicación exponencial.
Seguimos con nuestra V.R. (M n , g).
Definición 2.4.1 Una γ :]a, b[→ M una curva regular se dice geodésica si γ 0 es paralelo,
i.e.
Dγ 0
= 0 en ]a, b[.
dt
Del Lema 2.3.2 tenemos que la velocidad de una geodésica es siempre constante en norma.
Esto nos dice que “ser geodésica” dependerá de la parametrización de la curva.
Más
dφ dγ
d
precisamente, si φ :]c, d[→]a, b[ es un difeomorfismo entonces ds (γ ◦φ) = ds dt ◦ φ , luego
32
D
ds
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
d
ds (γ
◦ φ) =
d2 φ
ds2
dγ
dt
◦φ +
dφ D
ds ds
segundo sumando anterior, tenemos
dγ
el apartado b) del Ejercicio 8 al
dt ◦ φ . Aplicando
h i
dφ D dγ
D dγ
◦
φ
=
◦
φ
, que se anula por ser
ds dt
ds dt dt
2
a ser geodésica si y sólo si ddsφ2 = 0 en ]a, b[, i.e. φ(s)
γ geodésica. Por tanto, γ ◦ φ vuelve
es una función afı́n.
P
∂
Del sistema de EDO (2.3) y de que localmente γ 0 = i (xi ◦ γ)0 ∂x
en términos de
i
γ
una carta local (U, ψ = (x1 , . . ., xn )) de M se deduce el siguiente
Lema 2.4.1 γ :]a, b[→ M es geodésica si y sólo si
(xk ◦ γ)00 +
X
(xi ◦ γ)0(xj ◦ γ)0(Γkij ◦ γ) = 0 en ]a, b[, ∀k = 1, . . ., n.
(2.4)
i,j
Lo anterior es un sistema de EDO de segundo orden, luego tiene solución única para cada
elección de (xk ◦ γ)(t0), (xk ◦ γ)0(t0 ) ∈ R, 1 ≤ k ≤ n (siendo t0 ∈]a, b[). Como lo primero
son las coordenadas de p = γ(0) y lo segundo las de γ 0(0), deducimos
Teorema 2.4.1 Dados p ∈ M , v ∈ TpM , ∃! geodésica γ de (M, g) definida en un entorno
de 0 ∈ R, tal que γ(0) = p, γ 0(0) = v. Esta unicidad significa que si β es una geodésica en
(M, g) con γ(0) = β(0) y γ 0(0) = β 0(0), entonces γ = β en Dom(γ)∩Dom(β).
Recordemos que los movimientos de un sistema fı́sico podı́an verse como las proyecciones sobre el primer factor de las curvas integrales de cierto campo en el espacio de fases,
y que esta construcción se basaba en que un sistema de EDO de segundo orden sobre una
variedad M puede convertirse en un sistema de EDO sobre T M . Ahora usaremos esta
misma idea para ver las geodésicas de (M, g) como las proyecciones sobre el primer factor
del flujo geodésico.
Sea (U, ψ
local para M . Asociada a (U, ψ) tenemos la car = (x1, . . . , xn )) una carta
ta de T M π −1(U ), (ψ × 1Rn ) ◦ ψe , donde π : T M → M es la proyección π(p, v) = p
e v) = (p, v(x ), . . . , v(x )). Llamemos
y ψe : π −1 (U ) → U × Rn viene dada por ψ(p,
1
n
e i.e. q (p, v) = x (p),
(q1 , . . . , qn , q̇1, . . . , q̇n ) a las funciones coordenadas de (ψ × 1Rn ) ◦ ψ,
i
i
q̇i (p, v) = v(xi), 1 ≤ i ≤ n. Consideremos el campo que en coordenadas locales se escribe
n
X


n
n
X
X
∂
∂

XG =
q̇k
−
q̇i q̇j (Γkij ◦ π)
∈ X(π −1(U )).
∂q
∂
q̇
k
k
k=1
k=1 i,j=1
(2.5)
e :]a, b[→ π −1(U ) es curva integral de X G , entonces γ
e es de la forma
Lema 2.4.2 Si γ
0
γe = (γ, γ ) para cierta curva γ :]a, b[→ U .
2.4. GEODÉSICAS Y APLICACIÓN EXPONENCIAL.
33
e será del tipo (γ, W ), donde γ :]a, b[→ U y W ∈ X(γ). Pero
Demostración. En principio, γ
G
e 0(t) = Xe
γ
=
γ (t)
=
X
k
X
q̇k (γ, W )
k
∂
[W (t)](xi)
∂qk
∂
∂qk
(γ,W )
−
(γ,W )
−
X
X
q̇i (γ, W )q̇j (γ, W )Γkij (γ)
i,j,k
[W (t)](xi)[W (t)](xj )Γkij (γ)
i,j,k
∂
∂ q̇k
∂
∂ q̇k
(γ,W )
.
(γ,W )
Por tanto,
0
0
0
e)=
γ = (π ◦ γe) = dπeγ (γ
−
X
X
[W (t)](xi)dπ(γ,W )
k
[W (t)](xi)[W (t)](xj )Γkij (γ)dπ(γ,W )
i,j,k
∂
∂ q̇k
∂
∂qk
!
(γ,W )
!
.
(γ,W )
Si vemos que
dπ(p,v)
∂
∂qk
!
=
(p,v)
entonces tendremos
γ0 =
X
∂
∂xk
[W (t)](xi)
k
,
dπ(p,v)
p
∂
∂xk
∂
∂ q̇k
!
= 0,
(2.6)
(p,v)
= W (t),
γ
como deseábamos. La demostración de (2.6) es como sigue: Sabemos que los campos básicos
asociados a una carta en T M son la imagen inversa por la diferencial de la carta de los
e es fácil llegar a
vectores de la base canónica de R2n . Usando esto para (ψ × 1) ◦ ψ,
dπ(p,v)
dπ(p,v)
∂
∂qk (p,v)
∂
∂ q̇k (p,v)
= d(π ◦ ψe−1)(p,(ai))
∂
∂xk p , 0
,
= d(π ◦ ψe−1)(p,(ai)) (0, ek ) ,
donde (a1 , . . ., an ) son las coordenadas de v respecto de la base de campos de ψ en p. Pero
π ◦ ψe−1 es la proyección de U × Rn sobre su primer factor, luego
d(π ◦ ψe−1 )
(p,(ai))
∂
∂xk p , 0
=
∂
∂xk p
,
d(π ◦ ψe−1)(p,(ai)) (0, ek ) = 0.
2
Proposición 2.4.1 En la situación anterior, se tiene:
34
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
1.
e = (γ, γ 0) siendo γ una geodésica de (M, g).
Si γe es curva integral de X G , entonces γ
2.
Si γ :]a, b[→ U es geodésica de (M, g), entonces γe = (γ, γ 0) es curva integral de X G .
e es curva integral de X G , entonces γ
e = (γ, γ 0) por el Lema 2.4.2.
Demostración. Si γ
e 0 = X G en combinación lineal de ∂q∂ , ∂∂q̇ e igualando coeficientes
Expresando la igualdad γ
e
γ
k
k
e )0 = ˙k q◦ γ
ey
obtenemos (qk ◦ γ
e )0 = −
(q̇k ◦ γ
n
X
i,j=1
e )(q̇j ◦ γ
e )(Γkij ◦ π ◦ γ
e ),
(q̇i ◦ γ
1 ≤ k ≤ n.
(2.7)
Comparando lo anterior con (2.4) deducimos que γ es una geodésica. Recı́procamente, si
γ es geodésica de (M, g) entonces, la ecuación (2.4) nos dice que (2.7) se cumple. Como
e )0 = ˙k q◦ γ
e se da porque γ
e = (γ, γ 0), deducimos que γ
e 0 = X G.
(qk ◦ γ
2
e
γ
Corolario 2.4.1 X G no depende de la carta (U, ψ) usada en la ecuación (2.5), y define
un campo X G ∈ X(T M ) (llamado flujo geodésico).
Demostración. Sean (U, ψ), (V, φ) dos cartas locales para M , y X G , Y G los campos respectivos en π −1 (U ), π −1(V ). Supongamos que U ∩ V 6= Ø y sea (p, v) ∈ π −1(U ∩ V ).
e a las únicas curvas integrales de X G , Y G pasando por (p, v) en t = 0.
e, Γ
Llamemos γ
e = (Γ, Γ0) con γ, Γ geodésicas de (M, g). Además,
Por la Proposición 2.4.1, γe = (γ, γ 0), Γ
e implican que γ(0) = Γ(0) = p, γ 0(0) = Γ0 (0) = v luego
e, Γ
la condiciones iniciales de γ
e Derivando y evaluando en t = 0 obtenemos
γ = Γ por el Teorema 2.4.1, de donde γe = Γ.
G
G
X(p,v) = Y(p,v) .
2
G
Dado (p, v) ∈ T M , sea γ(p,v)
: I(p,v) → T M la curva integral maximal de X G con
G
condición inicial γ(p,v)
(0) = (p, v). Ası́, el grupo local uniparamétrico de X G es {ϕG
t }t donde
G
G
G
G
G
G
ϕt : Dt → D−t es el difeomorfismo ϕt (p, v) = γ(p,v)(t) y Dt = {(q, w) ∈ T M | t ∈ I(q,w) },
abierto de T M .
Teorema 2.4.2 Dado (p, v) ∈ T M , se tienen:
1.
G
La curva γ(·, p, v) = π ◦ γ(p,v)
: I(p,v) → M es la única geodésica de (M, g) con
condiciones iniciales γ(0, p, v) = p, γ 0(0, p, v) = v e I(p,v) es su intervalo maximal de
definición.
2.
∃ε > 0, ∃V(p,v) abierto de T M con (p, v) ∈ V(p,v) tales que γ :] − ε, ε[×V(p,v) → M
dada por
G
γ(t, q, w) = (π ◦ γ(q,w)
)(t) = (π ◦ ϕG
t )(q, w)
está definida y es diferenciable.
2.4. GEODÉSICAS Y APLICACIÓN EXPONENCIAL.
35
Demostración. 1 es consecuencia de los resultados anteriores, y 2 de la teorı́a general del
grupo uniparamétrico local asociado a un campo.
2
Lema 2.4.3 (Homogeneidad de las geodésicas) Dados (p, v) ∈ T M y λ > 0, se tiene
I(p,λv) = λ1 I(p,v) y γ(t, p, λv) = γ(λt, p, v), ∀t ∈ I(p,λv).
Demostración. Como α(t) = γ(λt, p, v) es una reparametrización proporcional al arco de
una geodésica, α es también geodésica. Sus condiciones iniciales son α(0) = p, α0 (0) =
λv, luego a(·) = γ(·, p, λv) por unicidad de las geodésicas. De aquı́ el Lema se deduce
fácilmente.
2
Ejemplos de V.R. y sus geodésicas.
1. Geodésicas en (Rn , g0).
Las geodésicas son las rectas afines recorridas con velocidad constante.
2. Geodésicas en (Sn (1), g).
Dados p ∈ Sn (1) y v ∈ Tp Sn (1) = hpi⊥, kvk = 1. Sea γ : R → Sn (1) el cı́rculo
máximo γ(t) = cos t · p + sen t · v. La conexión de Levi-Civita de la esfera implica que
Dγ 0
n
0
0
0
dt = dXγ (γ ) + hγ , Xγ iγ, donde X ∈ X(S (1)) cumple Xγ = γ localmente. Ası́,
0
Dγ
00
0 2
dt = γ + kγ k γ = −γ + γ = 0, luego γ es geodésica. Si ahora tomamos cualquier
n
v ∈ Tp S (1) − {0}, entonces el Lema de homogeneidad implica que γ(t, p, v) =
v
v
γ(kvkt, p, kvk
) = cos(kvkt) · p + sen(kvkt) · kvk
. Estas son todas las geodésicas en la
esfera (además de las constantes).
3. Geodésicas en RPn .
Como una isometrı́a local conserva las conexiones de Levi-Civita (apartado 4 de la
página 28), el punto anterior nos dice que las geodésicas no triviales de RPn son
las proyecciones a RPn de los cı́rculos máximos de Sn (1), recorridos con velocidad
constante en norma.
4. Geodésicas en el plano hiperbolico con el modelo del semiplano.
A continuación determinaremos todas las geodésicas del plano hiperbólico usando
transformaciones de Möbius. El estudio que sigue puede hacerse en dimensión n,
donde hay también un concepto de transformación de Möbius (entendida como una
composición de inversiones respecto a (n − 1)-esferas o (n − 1)-planos de Rn ) aunque
no tengamos la ayuda del Análisis complejo. En el ejercicio 4 pueden encontrarse las
geodésicas del espacio hiperbólico Hn con el modelo del paraboloide en el espacio de
Lorentz-Minkowski.
Consideremos sobre (R2 )+ = {(x, y) ∈ R2 | y > 0} la métrica hiperbólica g = y12 g0
y la carta global ((R2 )+ , 1d). Los sı́mbolos de Christoffel de g respecto a esta carta
36
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
son (ver ejercicio 5):
Γ111 = Γ212 = Γ221 = Γ122 = 0,
Γ211 = −Γ112 = −Γ121 = −Γ222 =
1
,
y
luego la ecuación (2.4) de las geodésicas γ = (γ1, γ2) se transforma en el sistema de
EDO

0 0
 γ 00 − 2 γ1 γ2 = 0,
1
γ2
(2.8)
0 2
0 2
 γ 00 + (γ1 ) − (γ2 ) = 0
2
γ2
γ2
Empezamos buscando soluciones de (2.8) de la forma γ(t) = (a, γ2(t)) con a ∈ R
(rectas verticales). La primera ecuación de (2.8) ahora no dice nada, y la segunda
γ 00
γ0
se transforma en γ20 = γ22 . Integrando dos veces tenemos γ2(t) = eb+ct , luego salvo
2
un cambio de parámetro afı́n, γ(t) = (a, et). Nótese que gγ (γ 0, γ 0) = 1, luego esta geodésica está normalizada, y definida para todo valor del parámetro. Su traza
coincide con una geodésica en la métrica g0 de R2 , pero no su parametrización. Si
hacemos algo parecido buscando geodésicas del tipo γ(t) = (γ1(t), b) llegaremos a γ
constante.
En cuanto al resto de geodésicas, sabemos por el ejercicio 1 del Tema 1 que toda
transformación de Möbius ϕ(z) = az+b
cz+d con a, b, c, d ∈ R, ad−bc > 0, es una isometrı́a
2 +
de (R ) , g) en sı́ mismo. Sea L una recta vertical en C, y ϕ una transformación de
Möbius del tipo anterior. ϕ(L) será una recta o circunferencia en C que corta ortogonalmente a ϕ(R) = R, luego o bien ϕ(L) es una recta vertical (que ya hemos estudiado como geodésica del plano hiperbólico) o ϕ(L) es una circunferencia centrada en
un punto de R. Además como γ(t) = (a, et) es una parametrización como geodésica
de una semirrecta vertical y ϕ es isometrı́a, concluı́mos que (ϕ ◦ γ)(t) = ϕ(a + iet)
es una geodésica de (R2 )+ , g), definida ∀t ∈ R. De forma que toda recta vertical o
circunferencia centrada en un punto de R ⊂ C, cortada con el semiplano superior,
admite una parametrización como geodésica de ((R2)+ , g). Geométricamente es claro
que dados p ∈ (R2 )+ y v ∈ R2 = Tp(R2 )+ , ∃! recta vertical ó circunferencia centrada un un punto de R que pasan por p y son tangentes a v, luego por unicidad de
las geodésicas éstas son todas las geodésicas de ((R2 )+ , g). Otro hecho gráficamente
evidente es que dados p, q ∈ (R2 )+ distintos, existe una única geodésica que los une
(esto será generalizable a variedades de Cartan-Hadamard, ver Teorema 3.5.1).
D1G
G
G
Volvamos al grupo uniparamétrico {ϕG
t : Dt → D−t }t del flujo geodésico. Sea A =
= {(p, v) ∈ T M | 1 ∈ I(p,v) }, abierto de T M
Lema 2.4.4 En la situación anterior,
1.
A contiene a la sección cero de T M .
2.4. GEODÉSICAS Y APLICACIÓN EXPONENCIAL.
2.
37
Dado p ∈ M , el conjunto A(p) = {v ∈ Tp M | (p, v) ∈ A} es un abierto estrellado
respecto del origen de TpM .
Demostración. 1 se deduce de que ∀p ∈ M , I(p,0) = R porque γ(·, p, 0) ≡ p. En cuanto
a 2, A(p) es abierto de la subvariedad TpM de T M porque A(p) = A ∩ Tp M , A(p)
contiene al origen por el punto 1 anterior y es estrellado respecto del origen por el Lema
de Homogeneidad.
2
Definición 2.4.2 En la situación anterior, se define la aplicación exponencial de (M, g)
como exp : A → M donde
exp(p, v) = γ(1, p, v),
∀(p, v) ∈ A.
∞
Ası́, exp = π ◦ ϕG
1 luego exp ∈ C (A, M ). Fijado p ∈ M , se define la exponencial en p
como expp : A(p) → M ,
expp(v) = exp(p, v), v ∈ A(p),
que es diferenciable en A(p) por ser la restricción a la subvariedad A(p) de una aplicación
diferenciable en A.
De la definición anterior se deduce que las geodésicas radiales en p ∈ M se obtienen
proyectando vı́a expp las semirrectas que parten del origen en Tp M , cortadas con A(p).
Lema 2.4.5 Dado p ∈ M , la diferencial de expp en 0 ∈ TpM es la identidad en TpM .
Demostración. Dado v ∈ TpM ,
d
dt 0 exp p (tv)
=
d
dt 0 γ(t, p, v)
= γ 0(0, p, v) = v.
2
Por el Lema 2.4.5 y el Teorema de la función inversa, ∃V0 entorno abierto de 0 en TpM y
∃Up entorno abierto de p en M tales que expp : V0 → Up es un difeomorfismo.
Definición 2.4.3 Dado p ∈ M , un entorno normal de p es un entorno abierto de p que
es imagen difeomórfica vı́a expp de un entorno abierto de 0 en A(p) ⊂ TpM .
Lo anterior nos dice que siempre existe un entorno normal Up = exp(V0) de cada punto
p ∈ M . Si fijamos una base B = {v1, . . . , vn } de Tp M , podemos construir la carta local
ψB : λB ◦ (expp )−1 : Up → λB (V0), donde λB : TpM → Rn es el isomorfismo de espacios
vectoriales que lleva cada vector de TpM en sus coordenadas respecto a B.
Proposición 2.4.2 En la situación anterior, los sı́mbolos de Christoffel de (M, g) respecto
a (Up , ψB ) se anulan en p.
38
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Demostración. Sea v =
P
i λi
∂
∂xi p
∈ TpM . La expresión local de la geodésica α(t) =
γ(t, p, v) respecto a ψB es (ψB ◦ α)(t) = (tλ1, . . . , tλn), luego la ecuación de las geodésicas
P
(2.4) se escribe ahora i,j λiλj Γkij (α(t)) = 0 en cierto intervalo ] − ε, ε[, 1 ≤ k ≤ n. Tras
evaluar en t = 0 y usar que (λ1, . . . , λn) es arbitrario en Rn obtendremos Γkij (p)+Γkji (p) = 0,
∀i, j, k. Como la conexión de Levi-Civita es libre de torsión, Γkij = Γkji , de donde se sigue
el enunciado.
2
Una consecuencia de la Proposición 2.4.2 es el siguiente
Corolario 2.4.2 Dado p ∈ M y w ∈ TpM , ∃W ∈ X(M ) tal que Wp = w y ∇v W = 0
∀v ∈ TpM .
Demostración. Sea B una base de TpM , y (a1, . . . , an ) ∈ Rn las coordenadas de w respecto
a B. Consideremos una carta (Up, ψB ) definida sobre un entorno normal de p como la de
P
∂
la Proposición 2.4.2. Definimos X = j aj ∂x
∈ X(Up ). Por resultados de extensión de
j
campos, ∃Vp ⊂ Up abierto de M conteniendo a p y ∃W ∈ X(M ) tales que W |Vp = X|Vp .
Ası́, Wp = Xp = w y sólo resta comprobar que ∇v W = 0 ∀v ∈ TpM :

∇v W = (∇|Vp )v 
X
j

∂  X
∂
aj
=
aj ∇ v
.
∂xj
∂xj
j
∂
Ahora sólo hay que expresar ∇v ∂x
en combinación lineal de
j
∂
∂x1 p , . . . ,
∂
∂xn p
y usar
la Proposición 2.4.2 para terminar.
2
Con la misma notación de la demostración anterior, si aplicamos el proceso de ortonor∂
malización de Gram-Schmidt a la base local de campos { ∂x
, . . . , ∂x∂n } obtendremos que
1
Existe una base ortonormal de campos {E1, . . . , En} ⊂ X(Up ), que también
cumplen ∇v Ej = 0, 1 ≤ j ≤ n.
La razón de esto es que en el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt cambiamos los
campos originales por otros combinación lineal de los primeros, y las funciones coeficientes
de dicha combinación lineal se calculan a partir de productos escalares de los campos
originales. Como la conexión de Levi-Civita paraleliza a la métrica, si los campos originales
∂
cumplen ∇v ∂x
= 0, entonces estas funciones coeficientes f cumplen v(f ) = 0 para todo
j
v ∈ Tp M , de donde ya es fácil deducir que ∇v Ej = 0, 1 ≤ j ≤ n. Este resultado es muy
útil a la hora de hacer cálculos sobre una V.R.
Proposición 2.4.3 Sea φ : (M1 , g1) → (M2 , g2) una isometrı́a local, y p1 ∈ M1 ,r > 0
tales que expp1 está definida en B1 (0, r) = {v1 ∈ Tp1 M1 | (g1)p1 (v1 , v1) < r2 }. Entonces,
expp2 está definida en B2 (0, r) = {v2 ∈ Tp2 M2 | (g2)p2 (v2, v2) < r2 } y expp2 ◦dφp =
expp1 ◦φ en B1(0, r). Si además φ es isometrı́a, entonces expp1 es biyectiva en B1 (0, r) si
y sólo si expp2 es biyectiva en B2 (0, r).
2.4. GEODÉSICAS Y APLICACIÓN EXPONENCIAL.
39
Demostración. Ejercicio.
2
Ejemplos de exponenciales y entornos normales.
1. El espacio euclı́deo (Rn , g0).
Como las geodésicas son las rectas afines parametrizadas proporcionalmente al arco,
tenemos γ(t, p, v) = p + tv, ∀p, v ∈ Rn , ∀t ∈ R. Ası́, la exponencial exp está definida
en todo T Rn = Rn × Rn y vale
exp(p, v) = γ(1, p, v) = p + v,
∀p, v ∈ Rn .
esto nos dice que fijado p ∈ Rn , la exponencial expp es la traslación de vector p en
Rn , luego el mayor entorno normal de cualquier punto de (Rn , g0) es todo Rn .
2. La esfera (Sn (1), g).
v
Tenı́amos γ(t, p, 0) = p y γ(t, p, v) = cos(kvkt) · p + sen(kvkt) · kvk
si v 6= 0. Como
estas geodésicas están definidas ∀t ∈ R, tenemos que exp está definida en T S1(1) y
exp(p, v) = cos kvk · p + sen kvk ·
v
,
kvk
∀p ∈ Sn (1), ∀v ⊥ p.
Además, fijado p ∈ Sn (1), expp está definida en todo hpi⊥. Para ver cuál es el
mayor entorno normal de p en Sn (1), empezamos estudiando los puntos crı́ticos de
v
expp(v) = cos kvk · p + sen kvk · kvk
, que son los v ∈ hpi⊥ tales que ker(d expp )v 6= 0.
Como (d expp)0 es la identidad, podemos suponer v 6= 0. Dado w ∈ Tv (TpSn (1)) ≡
Tp Sn (1), un cálculo sencillo lleva a
(d expp )v (w) =
d
dt 0 exp p (v
+ tw) = − hv,wi
kvk sen kvkp +
hv,wi
kvk2
h
cos kvk −
sen kvk
kvk
i
v+
sen kvk
kvk w.
Como p ⊥ v y p ⊥ w, obtenemos
ker(d expp )v =
)
hv, wi sen kvk = 0
(∗),
h
i
w ∈ TpS (1) hv,wi
.
kvk
kvk cos kvk − sen
v + sen kvkw = 0 (∗∗)
kvk
(
n
Supongamos que w ∈ ker(d expp )v − {0}. Entonces, (∗) implica hv, wi = 0 ó bien
sen kvk = 0. En el primer caso, (∗∗) implica sen kvk = 0, luego esta última ecuación
es cierta en cualquier caso, y por tanto kvk = kπ, k ∈ N, y de nuevo (∗∗) nos dice
que hv, wi = 0. Por tanto, en este caso ker(d expp )v ⊆ {w ∈ TpSn (1) | hv, wi = 0}.
De hecho, la expresión general de (d expp)w obtenida arriba nos dice que se la la
igualdad en la inclusión anterior. De aquı́ se concluye que expp es un difeomorfismo
local en B(0, π) = {v ∈ TpSn (1) | kvk < π}. Cuando aplicamos expp a esta bola del
espacio tangente, estamos recorriendo las geodésicas radiales que parten de p hasta
40
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
llegar al punto antı́poda −p, pero sin tomar este valor. Es geométricamente claro
que estos medios cı́rculos máximos no se cortan, de donde concluı́mos que expp es
inyectiva en B(0, π). Por tanto,
El mayor entorno normal de p ∈ Sn (1) es expp (B(0, π)) = Sn (1) − {−p}.
3. El espacio proyectivo RPn .
Por la Proposición 2.4.3 aplicada a la proyección canónica π : Sn (1) → RPn , la exponencial exp de RPn está definida en todo T RPn y dado [p] ∈ RPn , exp[p] está definida
en todo T[p]RPn . Además, exp[p] ◦dπp = π ◦ expp , ∀p ∈ Sn (1). Pasando a diferenciales
esta igualdad se deduce fácilmente que los únicos v ∈ T[p]RPn donde (d exp[p])v
tiene núcleo son lor proyectados por dπp de aquellos v ∈ Tp Sn (1) para los que
(d expp )v tiene núcleo. Por tanto, exp[p] : B(0, π) ⊂ T[p]RPn → RPn es un difeomorfismo local. Como π es un difeomorfismo de B(0, π2 ) ⊂ TpSn (1) sobre la imagen
por exp[p] de B(0, π2 ) ⊂ T[p]RPn , concluı́mos que exp[p](B(0, π2 )) es un entorno normal de [p] en RPn . Además, exp[p] (B(0, π2 )) = π(expp (B(0, π2 )) = π(Hp+), donde
Hp+ = {q ∈ Sn (1) | hp, qi > 0}. Nótese que π(Hp+) = π(Hp−) y que RPn − π(Hp+) '
RPn−1 . Además, si v ∈ TpSn (1) tiene kvk = π2 , entonces expp (−v) = − expp v, luego
exp[p](dπp(v)) = exp[p] (−dπp(v)). Esto nos dice que exp[p] deja de ser inyectiva en
dπp (∂ B(0, π2 )). De todo ello se obtiene que
El mayor entorno normal de [p] ∈ RPn es π(Hp+ ) = exp[p](B(0, π2 )) '
RPn − RPn−1 .
4. El plano hiperbólico.
A continuación probaremos que la exponencial expp es un difeomorfismo sobre todo
el espacio tangente en un punto p al plano hiperbólico. Este resultado es válido en
dimensión n (ver ejercicio 4), aunque aquı́ nos reduciremos a dimensión dos para
usar transformaciones de Möbius.
Sabemos que las geodésicas del plano hiperbólico con el modelo del semiplano son
γ(t) = (a, et) en el caso de una semirrecta vertical, o bien γ(t) = ϕ(a+ieit) cuando la
traza es una circunferencia centrada en un punto de R ⊂ C cortada con (R2 )+ , donde
A ∈ R, ϕ(z) = az+b
cz+d con a, b, c, d ∈ R, ad − bc > 0 y en ambos casos γ está definida
∀t ∈ R. En particular, exp está definida en todo T (R2 )+ , o equivalentemente, expp
está definida en Tp(R2 )+ ≡ R2 ∀p ∈ (R2 )+ . Como desde este modelo del semiplano
hasta el modelo del disco D(0, 1) existe una isometrı́a (punto 3 de los ejemplos de la
página 10), la misma conclusión sobre exp, expp se extraerá para el modelo del disco.
En cuanto al mayor entorno normal de cualquier punto, también podemos elegir
arbitrariamente el modelo (o pasar de uno a otro según convenga) por la Proposición 2.4.3. Primero notemos que si estudiamos nuestro problema en un punto p ∈
2.4. GEODÉSICAS Y APLICACIÓN EXPONENCIAL.
41
(R2)+ , entonces la misma conclusión será válida ∀q ∈ (R2 )+ . Esto es consecuencia de que ∀p, q ∈ (R2 )+ , ∃ϕ : ((R2)+ , g) → ((R2 )+ , g) isometrı́a tal que ϕ(p) = q
(esto es lo que se llama una variedad homogénea). En efecto, la isometrı́a deseada
ϕ es composición de dos transformaciones de Möbius que conservan el semiplano
superior: primero una homotecia ϕ1 que lleve p en un punto con la misma segunda
coordenada que q, y luego una traslación horizontal ϕ2 que lleve ϕ1 (p) en q. Ası́ que
se trata de elegir un punto especial en el plano hiperbólico donde los cálculos sean
más sencillos. Pero el modelo del semiplano no tiene ningún punto “distinguido”, al
contrario del modelo del disco, que tiene al origen y una simetrı́a radial (recordemos
4
que la métrica hiperbólica sobre D(0, 1) es g = (1−kzk
2 )2 g0 ). Por ello, usaremos en lo
que sigue el modelo del disco.
Las geodésicas hiperbólicas en D(0, 1) que pasan por el origen son las rectas vectoriales de R2 cortadas con D(0, 1). Para averiguar qué parametrizaciones las hacen
geodésicas, escribimos γ(t, 0, v) = f (t)eiθ con f valuada real, f (0) = 0 y f 0 (0)eiθ =
v ∈ C − {0}. Por el Lema de homogeneidad, no perdemos generalidad suponiendo kvk = 1 (norma euclı́dea, no hiperbólica). Imponiendo el sistema de EDO de las
geodésicas (ecuación (2.4)) respecto de la carta global (D(0, 1), 1d), no es difı́cil llegar
a las ecuaciones
(1 − |γ|2)γ100 + 2γ1(γ10 )2 + 4γ2γ10 γ20 − 2γ1(γ20 )2 = 0
(1 − |γ|2)γ200 − 2γ2(γ10 )2 + 4γ1γ10 γ20 + 2γ2(γ20 )2 = 0
)
(2.9)
donde | · | representa el módulo de un número complejo. Aparentemente, encontrar
todas las soluciones del sistema de EDO anterior es muy complicado. Pero el contenido geométrico del sistema nos llevará a solucionarlo completamente. Como en
nuestro caso es γ1(t) = f (t) cos t, γ2(t) = f (t) sen t donde v = eiθ , (2.9) se reduce a
(1 − f 2 )f 00 cos θ + 2f (f 0)2 cos θ = 0
(1 − f 2 )f 00 sen θ + 2f (f 0)2 sen θ = 0
)
Como cos θ, sen θ no pueden anularse simultáneamente, queda una sola ecuación
(1 − f 2 )f 00 + 2f (f 0 )2 = 0.
0
0
2
00
0 2
(2.10)
0
)f +2f (f )
f
f
Pero 1−f
= (1−f (1−f
, luego (2.10) equivale a 1−f
2
2 )2
2 = cte. (esta misma
ecuación se podrı́a haber obtenido imponiendo simplemente que kγ 0k es constante
en la métrica hiperbólica, pero entonces no sabrı́amos si γ es o no geodésica). Como
f0
f (0) = 0 y f 0 (0) = 1 deducimos que 1−f
2 = 1, luego
f 0 = 1 − f 2,
f (0) = 0.
(2.11)
42
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Ahora consideremos la función diferenciable f : R →] − 1, 1[ dada por
e2t − 1
= tanh t.
e2t + 1
f (t) =
Es fácil comprobar que f es un difeomorfismo creciente y que cumple (2.10). Esta es,
por tanto, la única solución del p.v.i. (2.10), luego la única geodésica de (D(0, 1), g)
con γ(0) = 0 y γ 0(0) = v unitario es
γ(t, 0, v) = f (t)v = tanh t · v,
t ∈ R.
Por el Lema de homogeneidad, dado cualquier v ∈ T0D(0, 1) = R2 con v 6= 0, tenemos
γ(t, 0, v) = γ kvkt, 0,
v
kvk
= tanh(kvkt)
v
,
kvk
t ∈ R.
De aquı́ obtenemos que expp : R2 → D(0, 1) viene dada por expp 0 = p y
exp0 v = tanh(kvk)
v
v
= f (kvk)
,
kvk
kvk
∀v 6= 0.
Sabemos que dados dos puntos distintos del plano hiperbólico con el modelo de
(R2)+ , existe una única geodésica que los une (página 36), lo que se traduce ahora en
que exp0 es biyectiva. Sólo queda ver que exp0 es un difeomorfismo local y tendremos
que exp0 es un difeomorfismo sobre todo R2 . Por el Teorema de la función inversa,
se trata de probar que ∀v ∈ R2 , d(exp0)v : R2 → R2 es un isomorfismo de espacios
vectoriales. Esto es claro si v = 0, luego supongamos v 6= 0 en lo que sigue. Un
cálculo directo nos lleva a que dado w ∈ R2 ,
d(exp0 )v (w) =
hv, wi 0
f (kvk)
f (kvk)
f (kvk) −
v+
w,
2
kvk
kvk
kvk
(2.12)
donde h·, ·i es el producto escalar usual de R2 . Si v, w fueran linealmente independientes y w ∈ ker(d exp0)v − {0}, entonces (2.12) implicarı́a que f (kvk)kvk = 0 luego
f (kvk) = 0. Como f es inyectiva y f (0) = 0, tendrı́amos v = 0, contradicción. Ası́ que
supuesto que d(exp0 )v no es un isomorfismo, entonces ker d(exp0 )v = hvi 6= {0}.
Veamos que esto último es imposible en cualquier V.R. (M n , g):
Si p ∈ M y v ∈ Tp M − {0}, entonces
(d expp )v (v) =
d d
d
expp((1+t)v) = γ(1, p, (1+t)v) = γ(1+t, p, v) = γ 0(1, p, v),
dt 0
dt 0
dt 0
que no se anula porque la velocidad de una geodésica es constante en norma. En
resumen,
En el plano hiperbólico, expp es un difeomorfismo sobre todo el plano tangente.
2.5. DIVERGENCIA DE UN CAMPO.
2.5.
43
Divergencia de un campo.
Definición 2.5.1 Sea X ∈ X(M ). La divergencia de X es la función divX : M → R dada
por
!
Tp M → T p M
(divX)(p) = Traza
.
v
7→ ∇v X
Lema 2.5.1 El operador divergencia cumple las siguientes propiedades:
1.
divX ∈ C ∞ (M ), ∀X ∈ X(M ).
2.
Si (U, ψ = (x1, . . . , xn)) es una carta local de M y X|U =
∀i, entonces
(divX)|U =
"
n
X
∂aj
j=1
∂xj
+
n
X
ai Γjij
#
i=1
P
∂
i ai ∂xi
con ai ∈ C ∞ (U )
n
∂ √ 1 X
=√
ai G ,
G i=1 ∂xi
(2.13)
donde Γkij son los sı́mbolos de Christoffel respecto de la carta (U, ψ) y G = det(gij )i,j ∈
C ∞ (U, R+ ).
3.
div(X + Y ) = div(X) + div(Y ), ∀X, Y ∈ X(M ).
4.
Si f ∈ C ∞ (M ) y X ∈ X(M ), entonces div(f X) = g(∇f, X) + f div(X) = X(f ) +
f div(X).
5.
Sea g ∗ = hg una métrica conforme a g, donde h ∈ C ∞ (M, R+ ). Entonces, las
divergencias respecto a g y g ∗ se relacionan mediante
hn/2 div∗(X) = div(hn/2 X),
∀X ∈ X(M ).
Demostración. 1 es consecuencia directa de 2. Una forma alternativa de probar 1 es usando
que ∃U ⊂ M abierto conteniendo a p y ∃{E1, . . . , En} ⊂ X(U ) base local ortonormal de
campos tales que ∇v Ei = 0 ∀v ∈ TpM , 1 ≤ i ≤ n (página 38), luego (divX)|U =
P
∞
i g(∇Ei X, Ei) ∈ C (U ).
La primera igualdad de 2 es fácil (ejercicio). Veamos la segunda igualdad: Primero,
√
∂
∂ai √
ai ∂G
(ai G) =
G+ √
.
∂xi
∂xi
2 G ∂xi
Para calcular
∂G
∂xi
usamos el ejercicio 9, obteniendo

∂G
∂xi
=G
P
∂gjk kj
j,k ∂xi g .
Ası́,

√
√
∂
∂ai ai X ∂gjk kj 
(ai G) = G 
+
g
.
∂xi
∂xi
2 j,k ∂xi
(2.14)
44
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Por otro lado,
"
X ∂aj
j
∂xj
+
X
ai Γjij
#
i



X ∂ai
X

=
+
aj Γiij 
(2.1) X ∂ai X aj X

=
+
i
∂xi
j
∂xi
i
2
h
j
∂gjh ∂gih ∂gij
+
−
∂xi
∂xj
∂xh
!

g hi  .
Tras desarrollar la última expresión las sumas segunda y cuarta se cancelarán, quedando
X ∂ai
i
∂xi
+
X aj ∂gih
2 ∂xj
i,j,h
g hi =
X ∂ai
∂xi
i
+
X ai ∂gjh
i,j,h
2 ∂xi
g hj .
Comparando esta expresión con (2.14) tendremos la segunda igualdad del apartado 2. Los
apartados 3,4,5 se dejan como ejercicio.
2
De (2.13) se deduce que en (Rn , g0), la divergencia de un campo X = (a1 , . . ., an ) ∈
∂a1
∂a1
X(Rn ) = C ∞ (Rn , Rn ) es div0X = ( ∂x
, . . ., ∂x
).
n
1
2.6.
Hessiano de una función.
Definición 2.6.1 Sean M una variedad diferenciable, f ∈ C ∞ (M ) y p ∈ M un punto
crı́tico de f . Se define (∇2f )p : TpM × TpM −→ R mediante
(∇2f )p (v, w) = v(W (f )),
(2.15)
donde W ∈ X(M ) cumple Wp = w.
Para que la definición anterior sea consistente, debemos probar que (∇2 f )p no depende de
la extensión W de w. Tomemos V, W ∈ X(M ) con Vp = v, Wp = w. Entonces, v(W (f )) −
w(V (f )) = [V, W ]p(f ) = dfp ([V, W ]p) = 0 por ser p punto crı́tico de f , luego v(W (f )) =
w(V (f )). Esta igualdad nos dice que v(W (f )) no depende de W (ni v(V (f )) de V ). Otra
consecuencia de esta igualdad es que
(∇2f )p (v, w) = (∇2 f )p(w, v).
Es claro que ∇2f es bilineal (ejercicio). A (∇2 f )p se le llama el Hessiano de f en el punto
crı́tico p. Una forma práctica de calcular la forma bilineal simétrica (∇2f )p es a partir de
su forma cuadrática asociada, mediante el siguiente
Lema 2.6.1 En la situación anterior, sea v ∈ TpM − {0}. Entonces,
d2 (∇ f )p (v, v) = 2 (f ◦ α)(t),
dt 0
2
donde α ∈ C ∞ (] − ε, ε[, M ) cumple α(0) = p, α0(0) = v. En particular:
2.7. LAPLACIANO DE UNA FUNCIÓN.
45
1.
Si p es un mı́nimo local de f , entonces (∇2f )p es semidefinido positivo.
2.
Si (∇2 f )p es definido positivo, entonces para toda α ∈ C ∞ (] − ε, ε[, M ) con α(0) = p
y α0 (0) 6= 0, f ◦ α tiene un mı́nimo local estricto en t = 0.
Demostración. Tomemos una curva α :] − ε, ε[→ M con α(0) = p, α0(0) = v. Como v 6= 0,
∃V ∈ X(M ) tal que V ◦ α = α0 en ] − ε, ε[(puede que tengamos que tomar ε más pequeño
pero esto no afecta a lo que sigue). Entonces,
d
d
(∇ f )p (v, v) = v(V (f )) = Vα(t)(f ) = [α0 (t)](f ) = (f ◦ α)00(0).
dt 0
dt 0
2
Los apartados 1 y 2 son consecuencias directas de la fórmula anterior y de resultados
clásicos de Análisis.
2
Definición 2.6.2 Sea (M n , g) una V.R., con conexión de Levi-Civita2 ∇. Dada f ∈
C ∞ (M ), se define el Hessiano de f como ∇2 f : X(M ) × X(M ) → C ∞ (M ) donde
(∇2f )(X, Y ) = X(Y (f )) − (∇X Y )(f ),
∀X, Y ∈ X(M ).
∇2 f es simétrico3 y tensorial (en funciones), luego puede particularizarse a (∇2f )p ∈
S2 (TpM ) en cada p ∈ M . Si p es un punto crı́tico de f , entonces (∇2 f )p coincide con la
Definición 2.6.1: [(∇2f )(X, Y )](p) = Xp(Y (f )) − (∇Xp Y )(f ) = Xp(Y (f )) − dfp (∇Xp Y ) =
Xp (Y (f )) = (∇2f )p (Xp, Yp). Usando que la conexión de Levi-Civita paraleliza a la métrica,
se obtiene otra expresión para el Hessiano4:
(∇2f )(X, Y ) = g(∇X ∇f, Y ),
2.7.
∀X, Y ∈ X(M ).
Laplaciano de una función.
Definición 2.7.1 Sea M n , g) una V.R. y f ∈ C ∞ (M ). Se define el laplaciano de f como
la función
∆f = div(∇f ) = Traza(∇2f ) ∈ C ∞ (M ).
Como ∇2 f es una forma bilineal simétrica, su traza es independiente de la base sólo entre
bases ortonormales. Si {E1, . . . , En} es una base ortonormal de X(U ) (siendo U ⊂ M
P
P
abierto), entonces Traza(∇2f )|U = i (∇2f )(Ei, Ei) = i g(∇Ei ∇f, Ei) = div(∇f )|U ,
que es la segunda igualdad en la Definición.
2
Esta definición puede hacerse para cualquier conexión afı́n sobre M , no necesariamente libre de torsión.
Cuando ∇ es una conexión afı́n cualquiera sobre M , entonces ∇2 f es simétrico si y sólo si ∇ es libre
de torsión.
4
Esta fórmula ya no es válida para conexiones afines cualesquiera.
3
46
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Lema 2.7.1 El operador laplaciano cumple las siguientes propiedades:
1.
Si (U, ψ = (x1, . . . , xn)) es una carta local de M , entonces
(∆f )|U =
n
X
n
n
X
X
∂ 2f
∂f ∂g jk
∂f ik j
g jk +
+
g Γij ,
∂xj ∂xk
∂xk ∂xj
∂xk
j,k=1
j,k=1
i,j,k=1
(2.16)
donde Γkij son los sı́mbolos de Christoffel respecto de la carta (U, ψ).
2.
∆(f + h) = ∆f + ∆h,
∆(f h) = f ∆h + h∆f + 2g(∇f, ∇h).
Demostración. Ejercicio.
2
n
En el caso particular (M, g) = (R , g0), (2.16) nos da la fórmula clásica del operador de
P ∂ 2f
Laplace, ∆f = i ∂x
2.
i
2.8.
Superficies parametrizadas.
Sobre todo para el Cálculo de Variaciones, es útil la versión bidimensional de una curva
(parametrizada).
Definición 2.8.1 Sea A ⊆ R2 (no necesariamente abierto). Una superficie parametrizada
es una aplicación diferenciable f : A → M (cuando A no sea abierto, entendemos que f
admite una extensión diferenciable a un abierto O ⊆ R2 que contenga a A). Si f : A → M
es una superficie parametrizada, un campo a lo largo de f es una aplicación X : A → T M
tal que π ◦ X = f , donde π : T M → M es la proyección canónica. X se dice diferenciable
cuando lo sea entre variedades (si A no es abierto, X es diferenciable cuando admita una
extensión en C ∞ (O, T M )). Denotaremos por X(f ) al conjunto de campos diferenciables
a lo largo de f .
Si (U, ψ = (x1, . . . , xn)) es una carta local de M yX es
un campo a lo largo de f , en
P
∂
−1
A ∩ f (U ) podemos escribir X(u, v) = i ai (u, v) ∂xi
. Entonces, X ∈ X(f ) si y
sólo si ai ∈ C ∞ (A), 1 ≤ i ≤ n (ejercicio). Por ejemplo,
∂f
∂u
(u0 ,v0 )
= df(u0 ,v0 )(1, 0),
∂f
∂v
f (u,v)
∂f ∂f
,
∂u ∂v :
(u0 ,v0 )
A → T M dados por
= df(u0 ,v0 ) (0, 1)
son campos diferenciables a lo largo de f , ya que las coordenadas ai (u, v) de
de la base de campos asociada a (U, ψ) cumplen
ai (u0, v0) =
∂f
∂u
(u0 ,v0 )
h
i
= df(u0 ,v0 ) (1, 0) (0, 1) = (1, 0)(xi ◦ f ) =
∂f
∂u
respecto
∂(xi ◦ f )
(u0 , v0),
∂u
siendo esta última la derivada parcial clásica del Análisis (análogamente para
∂f
∂v ).
2.9. CURVATURAS.
47
Definición 2.8.2 Sea X ∈ X(f ). Se definen las derivadas covariantes
como
: A → TM
DX(u0 + t, v0) DX
,
(u0 , v0) =
∂u
dt
t=0
DX DX
∂u , ∂v
DX DX
∂u , ∂v
DX(u0, v0 + t) DX
.
(u0, v0) =
∂v
dt
t=0
∈ X(f ), ya que sus expresiones locales en una carta (U, ψ) son (ejercicio)


n
n
X
X
DX
∂a
∂(xj ◦ f ) k
∂
 k +
ai
=
(Γij ◦ f )
∂u
∂u
∂u
∂xk
i,j=1
k=1
DX
∂v ),
(y análogamente para
donde X =
P
i
ai
∂
∂xi f
,
f
con ai ∈ C ∞ (A, R) y Γkij son los
sı́mbolos de Christoffel de g en (U, ψ).
Proposición 2.8.1 En la situación anterior, se cumplen
1.
D(hX+Y )
∂u
2.
∂
∂u
3.
D
∂u
=
∂h
∂u X
+ h DX
∂u +
DY
∂u
(análogamente para
D
∂v ),
DY
(g(X, Y )) = g( DX
∂u , Y ) + g(X, ∂u ) (análogamente para
∂f
∂v
=
D
∂v
∂f
∂u
∂
∂v ),
.
Demostración. 1 y 2 se dejan como ejercicio. Veamos 3: Sea (U, ψ) una carta de M . Usando
DX
las expresiones locales de ∂f
∂v y de du , tenemos
D
∂u
∂f
∂v


X ∂ 2(xk ◦ f ) X ∂(xi ◦ f ) ∂(xj ◦ f )
∂
k


=
,
+
(Γij ◦ f )
k
∂u∂v
i,j
∂v
∂u
que es una expresión simétrica en u, v porque Γkij = Γkji .
2.9.
∂xk
f
2
Curvaturas.
En una curva plana α ∈ C ∞ ([a, b], R2 ), la curvatura es una función real de variable
real que nos describe completamente la curva salvo movimientos rı́gidos. Para curvas en el
espacio, necesitamos un segundo concepto de curvatura, descrito por otra función real de
variable real: la torsión, y ambas funciones también determinan la curva salvo movimientos
del espacio. Para superficies tenemos varios conceptos de curvatura: la curvatura normal,
las curvaturas principales, la curvatura de Gauss o la curvatura media. En una V.R. con
dimensión mayor, también tendremos varias nociones de curvatura, unas tensoriales y otras
escalares. A lo largo de la Sección, (M n , g) será una V.R. con conexión de Levi-Civita ∇.
48
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Definición 2.9.1 Se define el tensor de curvatura (de tres variables) de (M, g) como
R : X(M ) × X(M ) × X(M ) → X(M )
(X, Y, Z)
7→ R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z.
Ejemplos de tensores de curvatura de tres variables.
1. El espacio Euclı́deo (Rn , g0).
En este caso tenemos ∇X Y = dY (X). De aquı́ se deduce fácilmente que si X, Y, Z ∈
X(Rn ), entonces
∇Y Z =
X
Yj dZ(e j ),
∇ X ∇Y Z =
X
j
Xi dYj (ei )dZ(e j ) +
i,j
X
XiYj (d2Z)(ei , ej ),
i,j
donde {e1, . . . , en } es la base canónica de Rn y X =
Por tanto,
∇X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z =
X
P
i
Xiei (análogamente para Y).
[Xi dYj (ei ) − Yi dXj (ei )] dZ(e j ).
i,j
Por último,
∇[X,Y ] Z =
X
∇[Xi ei ,Yj ej ] Z
i,j
=
X
i,j
∇Xi ei (Yj )ej −Yj ej (Xi )ei Z =
X
[Xi dYj (ei ) − Yi dXj (ei )] dZ(e j ),
i,j
de donde R(X, Y )Z = 0 ∀X, Y, Z ∈ X(Rn ).
2. La esfera (Sn (1), g).
De ∇X Y = dY (X) + hX, Y ip ∀X, Y ∈ X(Sn (1)) es fácil deducir que
∇X ∇Y Z = ∇X ∇Y Z + X(hY, Zi)p + hY, ZiX + hX, dZ(Y )ip,
donde ∇ es la conexión de Levi-Civita de (Rn+1 , g0 = h·, ·i). Cambiando los papeles
de X, Y y usando que ∇[X,Y ] Z = ∇[X,Y ] Z + h[X, Y ], Zip es fácil llegar a
∀X, Y, Z ∈ X(Sn (1)).
R(X, Y )Z = hY, ZiX − hX, ZiY,
3. El espacio hiperbólico (Hn ,g).
Con el modelo del semiespacio (Rn )+ , g =
1
g
x2n 0
R(X, Y )Z = −[g(Y, Z)X − g(X, Z)Y ],
(Ejercicio 11).
, el tensor de curvatura es
∀X, Y, Z ∈ X((Rn )+ ).
2.9. CURVATURAS.
49
4. Superficies regulares de R3 .
Sea S ⊂ R3 una superficie regular. Sabemos que la conexión de Levi-Civita de la
métrica g inducida por g0 = h·, ·i es
∇X Y = dY (X) − hX, AY iN,
(2.17)
donde A = −dN es el endomorfismo de Weingarten de S y N su aplicación de Gauss
(localmente definida). Dados X, Y, Z ∈ X(S), el primer sumando de la expresión del
tensor de curvatura de 3 variables R = 0 de (R3 , g0) es
∇X ∇Y Z = d (∇Y Z + hY, AZiN ) (X) = d(∇Y Z)(X)+X(hY, AZi)N +hY, AZidN(X).
Si el primer sumando anterior lo vemos como el primer sumando del miembro de la
derecha de (2.17), tenemos
∇X ∇Y Z = ∇X ∇Y Z + hX, A∇Y ZiN + X(hY, AZi)N − hY, AZiAX.
Cambiando los papeles de X, Y en la expresión anterior y usando que ∇[X,Y ] Z =
∇[X,Y ]Z + h[X, Y ], AZiN , obtenemos que la parte tangente a S de R(X, Y )Z es
0 = R(X, Y )Z − hY, AZiAX + hX, AZiAY , de donde
R(X, Y )Z = hY, AZiAX − hX, AZiAY, ∀X, Y, Z ∈ X(S).
(2.18)
Proposición 2.9.1 El tensor de curvatura de tres variables cumple las siguientes propiedades:
1.
R(X, Y )Z es tensorial (en funciones) en sus tres argumentos. En particular, puede
definirse su restricción a cualquier abierto y a cualquier punto de M .
2.
R(X, Y )Z = −R(Y, X)Z.
3.
Primera identidad de Bianchi. R(X, Y )Z + R(Z, X)Y + R(Y, Z)X = 0.
4.
Expresión local. Si (U, ψ = (x1, . . . , xn )) es una carta local de M , entonces
∂
∂
R
,
∂xi ∂xj
!
n
X
∂Γljk
∂
∂Γlik
=
−
∂xk
∂xi
∂xj
l=1
!
∂
X ∂
+
Γljk Γhil − Γlik Γhjl
,
∂xl l,h=1
∂xh
n
donde Γkij son los sı́mbolos de Christoffel respecto a (U, ψ).
5.
Si φ : (M, g) → (M 0, g 0) es una isometrı́a local, entonces
R0(φ∗ X, φ∗Y )φ∗Z = φ∗ (R(X, Y )Z),
∀X, Y, Z ∈ X(M ).
50
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Demostración. Ejercicio.
2
Definición 2.9.2 El tensor de curvatura (de cuatro variables) de (M, g) es
R : X(M ) × X(M ) × X(M ) × X(M ) → C∞ (M )
(X, Y, Z, W )
7→ R(X, Y, Z, W ) = g(R(X, Y )Z, W ).
Ejemplos de tensores de curvatura de cuatro variables.
1. El espacio Euclı́deo (Rn , g0).
R(X, Y, Z, W ) = 0, ∀X, Y, Z, W ∈ X(Rn ).
2. La esfera (Sn (1), g).
R(X, Y, Z, W ) = hX, W ihY, Zi − hX, ZihY, W i,
3. El espacio hiperbólico (Hn ,g).
Con el modelo del semiespacio (Rn )+ , g =
1
g
x2n 0
∀X, Y, Z, W ∈ X(Sn (1)).
,
R(X, Y, Z, W ) = −[g(X, W )g(Y, Z) − g(X, Z)g(Y, W )],
∀X, Y, Z, W ∈ X((Rn )+ ).
(El apartado 5 de la Proposición 2.9.1 nos dice cómo obtener la expresión del tensor
de curvatura del hiperbólico para el modelo de la bola).
4. Superficies regulares de R3 .
Sea S ⊂ R3 una superficie regular. Para la métrica inducida, (2.18) implica
R(X, Y, Z, W ) = hAX, W ihY, AZi − hX, AZihAY, W i, ∀X, Y, Z, W ∈ X(S), (2.19)
donde A = −dN es el endomorfismo de Weingarten de S.
Proposición 2.9.2 El tensor de curvatura de cuatro variables cumple:
1.
R(X, Y, Z, W ) es tensorial (en funciones) en sus cuatro argumentos. En particular,
puede definirse su restricción a cualquier abierto y a cualquier punto de M .
2.
R(X, Y, Z, W ) = −R(Y, X, Z, W ).
3.
1a identidad de Bianchi. R(X, Y, Z, W ) + R(Z, X, Y, W ) + R(Y, Z, X, W ) = 0.
4.
R(X, Y, Z, W ) = −R(X, Y, W, Z).
5.
R(X, Y, Z, W ) = R(Z, W, X, Y ).
2.9. CURVATURAS.
6.
51
Si φ : (M, g) → (M 0, g 0) es una isometrı́a local, entonces
R0 (φ∗X, φ∗Y, φ∗Z, φ∗W ) ◦ φ = R(X, Y, Z, W ),
∀X, Y, Z, W ∈ X(M ).
Demostración. 1 se deja como ejercicio. 2,3 son consecuencias directas de los apartados
2,3 de la Proposición 2.9.1. Para probar 4, basta ver que R(X, Y, Z, Z) = 0 ∀X, Y, Z. Un
cálculo directo que sólo usa la definición de R y que ∇ paraleliza a g, muestra que
R(X, Y, Z, Z) =
i
1h
X(Y (kZk2)) − Y (X(kZk2)) − [X, Y ](kZk2) = 0.
2
Por último, si escribimos 4 versiones de la primera identidad de Bianchi donde la cuarta
variable es X, Y, Z, W en cada ecuación, y sumamos las cuatro ecuaciones, el resultado es
2R(W, Y, Z, X) + 2R(X, Z, W, Y ), lo que implica 5. 6 se deja como ejercicio.
2
Definición 2.9.3 Dado p ∈ M y Π ⊂ Tp M un plano vectorial, se define la curvatura
seccional de Π como
K(Π) =
Rp (v1, v2, v2, v1)
Rp (v1, v2, v2, v1)
=
,
2
kv1 ∧ v2 k
kv1 k2kv2k2 − gp (v1, v2)2
donde {v1, v2} es una base de Π (a kv1 ∧ v2k2 = kv1k2 kv2k2 − gp (v1, v2)2 > 0 se le llama
elemento de área de gp asociado a la base).
Para que la definición anterior tenga sentido, no debe depender de la base {v1 , v2} elegida. Una forma cómoda de hacer esto es probar que el cociente anterior es invariante al
aplicar las transformaciones elementales A(v1 , v2) = (λv1, v2), B(v1 , v2) = (v1 + λv2, v2),
C(v1 , v2) = (v2 , v1) (ejercicio). En el caso particular de que {v1, v2} sea base ortonormal
de (Π, gp|Π ), queda K(Π) = Rp(v1, v2, v2, v1).
Cuando n = 2 sólo podemos tomar Π = TpM , luego K es en realidad una función de
p ∈ M y no de (p, Π) como en dimensión arbitraria, donde K ha de verse como función en
la Grassmanniana de planos5 sobre M , G2(M ) = ∪p∈M {Π ⊂ TpM | Π es plano vectorial}.
Ejemplos de curvaturas seccionales.
1. El espacio Euclı́deo (Rn , g0).
K(p, Π) = 0, ∀Π ⊂ TpRn y ∀p ∈ Rn .
5
Es posible dotar a G2 (M ) de estructura de variedad diferenciable de dimensión n + 2(n − 2), y la
curvatura seccional se convierte en una función continua sobre G2 (M ). Además si M es compacta entonces
G2 (M ) también lo es, luego la curvarura seccional de una V.R. compacta es acotada.
52
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
2. La esfera (Sn (1), g).
Como R(X, Y, Z, W ) = hX, W ihY, Zi − hX, ZihY, W i,
tenemos que K es constante 1 sobre G2(Sn (1)).
∀X, Y, Z, W ∈ X(Sn (1)),
3. El espacio hiperbólico (Hn , g).
Como R(X, Y, Z, W ) = −[g(X, W )g(Y, Z)−g(X, Z)g(Y, W )], ∀X, Y, Z, W ∈ X((Rn )+ ),
se tiene K ≡ −1. El Ejercicio 4 muestra que la misma conclusión es válida para el
modelo del espacio hiperbólico como una de las hojas del paraboloide en el espacio
de Lorentz-Minkowski.
4. Superficies regulares de R3 .
Sea S ⊂ R3 una superficie regular con endomorfismo de Weingarten A = −dN .
Si X = X(u, v) es una parametrización local de S, podemos calcular la curvatura
seccional K de S usando la base local {Xu , Xv } de T S. De (2.19) se tiene
R(Xu, Xv , Xv , Xu) = hAXu , XuihXv , AXv i − hXu , AXv i2
= hdN (Xu), XuihXv , dN (Xv)i − hXu , dN (Xv)i2 = hNu , XuihXv , Nv i − hXu , Nv i2
= hN, Xuu ihXvv , N i − hXuv , N i2.
Usando la notación clásica E = kXu k2, F = hXu , Xv i, G = kXv k2, e = hXuu , N i,
f = hXuv , N i, g = hXvv , N i, se tiene
K=
R(Xu, Xv , Xv , Xu)
eg − f 2
=
,
kXu ∧ Xv k2
EG − F 2
que es la definición clásica de la curvatura de Gauss de la superficie S. Por esta
razón, para una V.R. abstracta de dimensión 2, su curvatura seccional K = K(p) se
llama también la curvatura de Gauss de (M 2 , g).
Como consecuencia del apartado 6 de la Proposición 2.9.2, tenemos
Teorema 2.9.1 (Egregium de Gauss) La curvatura seccional es invariante frente a
isometrı́as locales.
En particular:
1. Si S1 , S2 ⊂ R3 son dos superficies regulares de forma que ∃φ : S1 → S2 que conserva
las primeras formas fundamentales, entonces φ también conserva la curvatura de
Gauss. Esto es lo que ocurre con el plano y el cilindro, o con la catenoide y el
helicoide.
2. El modelo del disco para el plano hiperbólico tiene curvatura de Gauss −1.
2.9. CURVATURAS.
53
3. (RPn , g) tiene curvatura seccional constante 1.
Claramente, el tensor de curvaura de 4 variables determina la curvatura seccional.
Queremos ver que el recı́proco es cierto cuando K sólo depende de p, y no de (p, Π).
Lema 2.9.1 Sea V n un espacio vectorial real y R, R0 tensores de tipo (4, 0) sobre V tales
que ∀x, y, z, w ∈ V ,
1.
R(x, y, z, w) = −R(y, x, z, w),
2.
R(x, y, z, w) = −R(x, y, w, z),
3.
R(x, y, z, w) + R(y, z, x, w) + R(z, x, y, w) = 0,
y las mismas propiedades son ciertas para R0. Si R(x, y, y, x) = R0 (x, y, y, x) ∀x, y, entonces R = R0 .
Demostración. Sea T = R − R0 . Desarrollando 0 = T (x, y + z, y + z, x) se llega a que
T (x, y, z, x) = 0,
∀x, y, z.
(2.20)
Además,
0 = T (x + z, y, w, x + z) = T (x, y, w, x) + T (z, y, w, z) + T (x, y, w, z) + T (z, y, w, x).
Por (2.20), los sumandos primero y segundo anteriores son cero. Por otro lado, razonando
como en la demostración del punto 5 de la Proposición 2.9.2 deducimos de las hipótesis
1,2,3 que R(x, y, z, w) = R(z, w, x, y), y lo mismo para R0 y para T . Ası́ lo último queda
0 = T (x, y, w, z) + T (w, x, z, y) = T (x, y, w, z) + T (x, w, y, z),
de donde
T (x, y, w, z) = T (w, x, y, z),
∀x, y, z, w.
(2.21)
(2.21) implica que ∀z ∈ V , dos de los sumandos de la suma cı́clica ∂x,y,w T (x, y, w, z)
son iguales, pongamos el segundo y el tercero. Cambiando letras, (2.21) también implica que los sumandos segundo y tercero de la misma suma cı́clica coinciden. Ası́, 0 =
∂x,y,w T (x, y, w, z) = 3T (x, y, w, z) luego T = 0.
2
Proposición 2.9.3 Si la curvatura seccional de (M n , g) depende sólo de p ∈ M y no de
(p, Π) ∈ G2(M ), entonces
R(X, Y, Z, W ) = K [g(X, W )g(Y, Z) − g(X, Z)g(Y, W )], ∀X, Y, Z, W ∈ X(M ).
(2.22)
54
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Demostración. Fijado p ∈ M , basta aplicar el Lema 2.9.1 a Tp M , Rp y (x, y, z, w) →
7
K(p) [gp(x, w)g(y, z) − g(x, z)g(y, w)].
2
Corolario 2.9.1
1.
Si (M 2 , g) es cualquier V.R. de dimensión 2, entonces su tensor de curvatura viene
dado por (2.22).
2.
Si (M n , g) es una V.R. con curvatura seccional constante (c.s.c.) k ∈ R, entonces
su tensor de curvatura es
R(X, Y, Z, W ) = k [g(X, W )g(Y, Z) − g(X, Z)g(Y, W )], ∀X, Y, Z, W ∈ X(M ).
Definición 2.9.4 La derivada covariante del tensor de curvatura de 3 variables es
∇X R : X(M ) × X(M ) × X(M ) → X(M ),
(∇X R)(Y, Z)W = ∇X (R(Y, Z)W ) − R(∇X Y, Z)W − R(Y, ∇X Z)W − R(Y, Z)∇X W.
Lema 2.9.2 (2a identidad de Bianchi)
∂X,Y,Z (∇X R)(Y, Z)W = 0, ∀W ∈ M.
Demostración. Ejercicio.
2
a
Una aplicación de la 2 identidad de Bianchi es el siguiente resultado, que muestra que
la condición K(p, Π) = K(p) es muy restrictiva cuando dim M ≥ 3.
Teorema 2.9.2 (Schur) Si (M n , g) es un V.R. conexa con n ≥ 3 y K(p, Π) = K(p) ∀(p, Π) ∈
G2 (M ), entonces (M, g) tiene c.s.c.
Demostración. Por la Proposición 2.9.3,
R(X, Y, Z, W ) = K [g(X, W )g(Y, Z) − g(X, Z)g(Y, W )], ∀X, Y, Z, W ∈ X(M ).
De aquı́ deducimos que K ∈ C ∞ (M ) y que
R(X, Y )Z = K [g(Y, Z)X − g(X, Z)Y ] = K · T (X, Y, Z), ∀X, Y, Z ∈ X(M ),
(2.23)
donde T (X, Y, Z) = g(Y, Z)X − g(X, Z)Y (tensorial). Aplicando la definición de ∇W R,
(∇W R)(X, Y )Z =
= ∇W (K · T (X, Y, Z)) − K · T (∇W X, Y, Z) − K · T (X, ∇W Y, Z) − K · T (X, Y, ∇W Z)
= W (K) · T (X, Y, Z) + K · (∇W T )(X, Y, Z).
2.9. CURVATURAS.
55
Es fácil ver que ∇W T = 0 (porque ∇ paraleliza a g), de donde
(∇W R)(X, Y )Z = W (K) [g(Y, Z)X − g(X, Z)Y ] , ∀X, Y, Z ∈ X(M ),
(2.24)
Dejando Z donde está y cambiando cı́clicamente X, Y, W en (2.24) y luego usando la 2a
identidad de Bianchi, obtenemos
[W (K)g(Y, Z) − Y (K)g(W, Z)]X + [X(K)g(W, Z) − W (K)g(X, Z)]Y
+[Y (K)g(X, Z) − X(K)g(Y, Z)]W = 0, ∀X, Y, W ∈ X(M ).
Lo anterior es restringible a abiertos. Trabajando en un abierto U ⊂ M donde tengamos
una base local de campos podemos suponer X, Y, W linealmente independientes, de donde
g(W (K)Y − Y (K)W, Z) = 0, ∀Z ∈ X(U ).
De aquı́ sale W (K)Y − Y (K)W = 0 y de nuevo por independiencia lineal de Y, W tendremos W (K) = Y (K) = 0. Como Y se mueve en una base local de campos en U ,
deducimos que todo campo en U deriva a K dando cero. Ahora sólo hay que aplicar el
ejercicio 13 (M es conexa) para concluir que K es constante.
2
Definición 2.9.5 El tensor de Ricci de una V.R. (M n , g) es S : X(M )× X(M ) → C ∞ (M )
dado por
S(X, Y )(p) = Traza
Tp M
v
hp
−→ Tp M
7−→ Rp (v, Xp)Yp
!
.
Nótese que hp es lineal, luego tiene sentido su traza. Que S(X, Y ) ∈ C ∞ (M ) se deduce de
que si {E1, . . . , En} ⊂ X(U ) es una base local ortonormal de campos, entonces
S(X, Y )|U =
n
X
R(Ei, X, Y, Ei).
(2.25)
i=1
Proposición 2.9.4 El tensor de Ricci cumple:
1.
S es tensorial (en funciones) y simétrico. En particular, puede definirse su restricción
a cualquier abierto y a cualquier punto de M .
2.
S es la contracción (1, 4) del tensor de curvatura6 de 4 variables.
6
Como R es un tensor covariante, sus contracciones sólo están bien definidas haciendo sumas en bases
ortonormales.
56
3.
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
La expresión local de S respecto a una carta (U, ψ = X1 , . . ., xn )) es
S(X, Y )|U =
n
X
g ik R
∂
∂
∂xi , X, Y, ∂xk
.
i,k=1
4.
Si (M n , g) tiene c.s.c. k ∈ R, entonces S(X, Y ) = (n − 1)kg(X, Y ), ∀X, Y ∈ X(M ).
Demostración. Ejercicio.
2
Definición 2.9.6 La curvatura de Ricci de (M n , g), Ric : X(M ) → C ∞ (M ), es la forma
cuadrática asociada al tensor de Ricci,
Ric(X) = S(X, X).
Proposición 2.9.5 La curvatura de Ricci tiene las siguientes propiedades:
1.
Ric puede restringirse a abiertos y a puntos de M . Tenemos entonces
Ricp : TpM
v
2.
→ R
7→ Sp (v, v)
Ric :
TM → R
(p, v) 7→ +Sp (v, v)
Sean p ∈ M y v ∈ Tp M con kvk = 1. Sean v2 , . . . , vn ∈ TpM tales que {v, v2, . . . , vn}
es base gp -ortonormal de TpM . Entonces,
Ricp (v) =
n
X
K(v ∧ vi ),
i=2
donde v ∧ vi denota el plano vectorial generado por v y vi .
3.
Si (M n , g) tiene c.s.c. k ∈ R, entonces Ric(X) = (n − 1)kkXk2, ∀X ∈ X(M ).
Demostración. Ejercicio.
2
Definición 2.9.7 Una V.R. (M n , g) con n ≥ 3 se dice una variedad Einstein si ∃f ∈
C ∞ (M ) tal que el tensor de Ricci viene dado por S(X, Y ) = f g(X, Y ), ∀X, Y ∈ X(M ), o
equivalentemente, si la curvatura de Ricci cumple Ric(X) = f kXk2, ∀X ∈ X(M ).
En realidad, la definición anterior fuerza a f a ser muy especial.
Proposición 2.9.6 Si (M n , g) es una V.R. conexa y Einstein (n ≥ 3), entonces Ric(·) =
f k · k2 con f constante.
2.9. CURVATURAS.
57
Demostración. Fijemos p ∈ M y sea {E1, . . . , En} una base local g-ortonormal de campos
diferenciables sobre un abierto U ⊂ M que contenga a p, que además cumplan ∇Eip Ej = 0,
1 ≤ i, j ≤ n. Dados i, j, k, l ∈ {1, . . ., n}, sea Rijkl = R(Ei, Ej , Ek , El) ∈ C ∞ (U ). Por el
ejercicio 15,
Eip (Rjklα ) + Ekp (Rijlα) + Ejp (Rkilα) = 0,
∀i, j, k, l, α = 1, . . . , n.
(2.26)
Multiplicando (2.26) por δjl δkα (deltas de Kronecker) y sumando en j, k, l, α obtenemos
(2−n)Eip (f ) = 0. Como n ≥ 3 y E1p , . . . , Enp forman base de Tp M , es v(f ) = 0 ∀v ∈ TpM .
Como M es conexa y p arbitrario, f ha de ser constante.
2
Claramente, toda V.R. de c.s.c. es Einstein (el recı́proco no es cierto). En dimensión 3
ambos conceptos coinciden:
Proposición 2.9.7 Una V.R. conexa (M, g) con dim M = 3 es Einstein si y sólo si tiene
c.s.c.
Demostración. Supongamos que (M 3, g) es conexa y Einstein. Por la Proposición 2.9.6,
Ric(v) = c ∀(p, v) ∈ T M con kvk = 1. Sean p ∈ M , Π ⊂ TpM un plano vectorial
y {e1, e2, e3} una base gp-ortonormal de TpM tales que e1 , e2 ∈ Π. Por el apartado 2
de la Proposición 2.9.5, c = Ricp (e1) = K(e1 ∧ e2 ) + K(e1 ∧ e3 ). Repitiendo esto con
e2 , e3 obtenedremos un sistema de 3 ecuaciones lineales con incógnitas K(e1 ∧ e2 ), K(e1 ∧
e3 ), K(e2 ∧ e3 ), cuya única solución es K(e1 ∧ e2 ) = K(e1 ∧ e3 ) = K(e2 ∧ e3 ) = 2c . En
particular, K(Π) = 2c .
2
Definición 2.9.8 La curvatura escalar de una V.R. (M n , g) es la contracción (1, 1) del
tensor de Ricci i.e. la función ρ : M → R dada por
ρ(p) =
n
X
Ricp (ei ),
i=1
donde {e1 , . . . , en } es una base ortonormal de (TpM, gp).
ρ es diferenciable, ya que si {E1, . . ., En } es una base local ortonormal de campos, entonces
ρ|U =
X
R(Ei, Ej , Ej , Ei).
i,j
Claramente, si (M n , g) es una V.R. Einstein con Ric = c, entonces ρ = nc. Terminaremos
viendo que para una superficie regular de R3 , todas las nociones de curvatura anteriores
se reducen esencialmente a la curvatura de Gauss (lógico ya que todas son intrı́nsecas).
Proposición 2.9.8 Sea S ⊂ R3 una superficie regular. Entonces,
58
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
1.
La curvatura seccional de S coincide con su curvatura de Gauss (K = det(dN )).
2.
El tensor de Ricci, curvatura de Ricci y curvatura escalar son S = Kh·, ·i, Ric =
Kk · k2 y ρ = 2K.
Demostración. 1 se probó en la página 52. 2 se deja como ejercicio.
2.10.
2
Campos de Jacobi.
A lo largo de toda esta Sección, (M n , g) denotará una V.R. con tensor de curvatura
R y γ : [a, b] → M será una geodésica en (M, g). La ecuación de Jacobi es una EDO de
segundo orden cuyas soluciones son campos a lo largo de γ, llamados campos de Jacobi.
Estos campos contienen abundante información sobre la geometrı́a de (M, g), como por
ejemplo sobre su curvatura, puntos crı́ticos de la exponencial o sobre si γ minimiza o no
la longitud entre sus extremos.
Definición 2.10.1 Un campo V ∈ X(γ) se dice de Jacobi si cumple la ecuación de Jacobi
D2 V
+ R(V, γ 0)γ 0 = 0 en [a, b].
dt2
(2.27)
Denotaremos por Jγ al conjunto de los campos de Jacobi a lo largo de γ.
Como Jγ es el conjunto de soluciones de una EDO lineal de segundo orden, Jγ tiene
estructura de espacio vectorial real de dimensión 2n, y los campos de Jacobi V ∈ Jγ están
determinados unı́vocamente por V (a), DV
dt (a) ∈ Tγ(a)M (escribir localmente la ecuación de
Jacobi usando una carta para M y obtendremos n EDOs escalares de segundo orden, cada
una con solución única al dar el valor en t = a y la primera derivada en dicho instante).
Proposición 2.10.1 Los campos de Jacobi a lo largo de γ cumplen:
1.
Dada f ∈ C ∞ ([a, b]), el campo f γ 0 está en Jγ si y sólo si f es una función afı́n,
f (t) = At + B para A, B ∈ R.
2.
Todo V ∈ Jγ se descompone de forma única como V = f γ 0 + V ⊥ con f función afı́n
y V ⊥ ∈ Jγ cumpliendo hV ⊥ , γ 0i = 0 en todo [a, b].
3.
Sea V ∈ Jγ . Si existen t1 , t2 ∈ [a, b] distintos tales que V (t1 ), V (t2 ) son ortogonales
a γ 0(t1 ), γ 0(t2 ) respectivamente, entonces hV, γ 0i = 0 en todo [a, b].
4.
Sea V ∈ Jγ . Si existe t1 ∈ [a, b] tal que V (t1 ) y
entonces hV, γ 0i = 0 en todo [a, b].
DV
dt
(t1 ) son ortogonales a γ 0(t1 ),
2.10. CAMPOS DE JACOBI.
59
Demostración.
2
0
(f γ )
1. Sea f ∈ C ∞ ([a, b]). Como γ 0 es un campo paralelo a lo largo de γ, es D dt
= f 00 γ 0.
2
Como el tensor de curvatura R(u, v)w es antisimétrico en u, v, es R(f γ 0, γ 0)γ 0 = 0.
De esta forma, la ecuación de Jacobi sobre f γ 0 se escribe f 00γ 0 ≡ 0, que se cumple si
y sólo si f 00 ≡ 0, esto es, si y sólo si f es una función afı́n.
2. Tomemos V ∈ Jγ . Fijado t ∈ [a, b], la descomposición ortogonal de (Tγ(t)M, gγ(t)) en
hγ 0(t)i⊕hγ 0(t)i⊥ nos permite escribir V (t) = f (t)γ 0(t)+V ⊥ (t) de forma única, donde
f (t) ∈ R y V ⊥ (t) ∈ hγ 0(t)i⊥ . Variando t, esto define una función f : [a, b] −→ R
y un campo V ⊥ a lo largo de γ. f es diferenciable porque puede escribirse como
f = chV, γ 0i, siendo c la constante c = kγ 0k−2 ; la diferenciabilidad de V ⊥ se sigue
de la ecuación V ⊥ = V − f γ 0. Por otro lado, como V verifica la ecuación de Jacobi
tenemos
0=
D2 V
dt2
+ R(V, γ 0)γ 0 = f 00γ 0 +
= f 00γ 0 +
h
D2 V ⊥
dt2
D2 V ⊥
dt2
+ R(f γ 0 + V ⊥ , γ 0)γ 0
i
+ R(V ⊥ , γ 0)γ 0 .
Evidentemente, el término f 00 γ 0 está en el subespacio hγ 0i (para cada t). Si vemos
que el corchete anterior está en hγ 0i⊥ , la última expresión será una descomposición
de cero respecto de hγ 0i ⊕ hγ 0i⊥ , luego ambos sumandos serán idénticamente cero:
por un lado f 00 ≡ 0 nos dirá que f es afı́n, y por último igualar el corchete a cero
probará que V ⊥ ∈ Jγ . De nuevo la antisimetrı́a de R(u, v)w en u, v nos dice que
2
⊥
2
⊥
h DdtV2 + R(V ⊥ , γ 0)γ 0, γ 0i = h DdtV2 , γ 0i,
y esta última expresión se anula idénticamente sin más que derivar dos veces en la
igualdad hV ⊥ , γ 0i = 0.
3. Apliquemos a nuestro campo V ∈ Jγ la descomposición del apartado 2, de forma
que V = f γ 0 + V ⊥ con f afı́n y V ⊥ ∈ Jγ ortogonal a γ 0. Evaluando en t1 , t2 esta
igualdad deducimos que f (t1 ) = f (t2 ) = 0, lo cual es suficiente para concluir que f
es idénticamente nula por ser función afı́n.
4. El razonamiento es el mismo del apartado anterior, salvo que ahora para concluir
que f es idénticamente nula usamos que en t1 , tanto f como su derivada se anulan.
2
60
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Definición 2.10.2 En la situación anterior, a y b se dicen valores conjugados7 a lo largo
de γ si Jγ,0 = {V ∈ Jγ | V (a) = V (b) = 0} 6= {0}. En este caso, a la dimensión de Jγ,0 se
le llama la multiplicidad de a y b como valores conjugados.
Desde luego, Jγ,0 ⊂ {V ∈ Jγ | V (a) = 0}, que tiene dimensión n. Todavı́a puede rebajarse
en uno esta dimensión:
Corolario 2.10.1 dim Jγ,0 ≤ n − 1.
Demostración. Sea φ : {V ∈ Jγ | V (a) = 0} −→ {f : [a, b] −→ R | f es afı́n, f (a) = 0} la
aplicación lineal definida por φ(V ) = f , donde V = f γ 0 + V ⊥ según la descomposición del
apartado 2 de la Proposición 2.10.1. φ es trivialmente sobreyectiva luego su núcleo tiene
dimensión n − 1. Además si V ∈ Jγ,0, entonces V se anula en dos puntos distintos luego
hV, γ 0i es idénticamente nulo por el apartado 3 de la Proposición 2.10.1. En otras palabras,
φ(V ) = 0, luego Jγ,0 ⊆ ker(φ).
2
2.10.1.
Campos de Jacobi en V.R. de curvatura seccional constante.
A continuación determinaremos el espacio de campos de Jacobi Jγ a lo largo de una
geodésica γ : [a, b] −→ Mn (k) en una V.R. de c.s.c. k ∈ R (Mn (k) no es necesariamente
completa ni simplemente conexa). En particular, veremos que la desigualdad del Corolario 2.10.1 no puede mejorarse ya que la igualdad se alcanza en este tipo de variedades,
y estudiaremos la existencia de valores conjugados a lo largo de una geodésica en función
del signo de k.
Dado V ∈ Jγ , la Proposición 2.10.1 nos dice que V = f γ 0 +V ⊥ con f función afı́n y V ⊥
ortogonal a γ 0. Ası́, sólo tenemos que determinar cómo es V ⊥ . Tomemos una base ortogonal
de campos paralelos a los largo de γ del tipo {γ 0, P2, . . . , Pn} (nótese que no exigimos
que γ esté parametrizada por el arco, luego la base es ortogonal pero no necesariamente
⊥ ,P i
P
i
ortonormal). V ⊥ se escribirá V ⊥ = ni=2 fi Pi con fi = hVkP ik
diferenciable y
2
0=
n
X
00
D2 V ⊥
⊥
0 0
+
R(V
,
γ
)γ
=
fi Pi + fi R(Pi , γ 0)γ 0 .
2
dt
i=2
(2.28)
Usando el apartado 2 del Corolario 2.9.1 tenemos R(X, Y )Z = k [g(Y, Z)X − g(X, Z)Y ]
∀X, Y, Z ∈ X(M ), luego (2.28) es equivalente a
0=
Xh
i
fi00Pi + fi k(kγ 0k2Pi − hPi , γ 0iγ 0) =
i
X
fi00 + kkγ 0k2fi Pi .
i
7
A veces se usa la terminologı́a “γ(a), γ(b) son puntos conjugados”. Sin embargo, esto puede llevar a
confusión porque la geodésica podrı́a no ser embebida.
2.10. CAMPOS DE JACOBI.
61
(kγ 0k es constante por ser γ geodésica). De esta forma,
n
Jγ (M (k)) =
(
0
fγ +
n
X
fi P i
,
i=2
f es afı́n y
fi es solución de φ00 + kkγ 0k2φ = 0
)
.
En realidad, sólo hemos probado que Jγ está contenido en el conjunto de la derecha; para
la igualdad basta contar dimensiones.
Ahora determinaremos Jγ,0 . A partir de ahora supondremos que γ está parametrizada
por el arco y que [a, b] = [0, L], donde L = L(γ) (en realidad estas normalizaciones no
suponen restricción alguna; basta conservar ciertas constantes en lo que sigue). Dado
P
V ∈ Jγ,0, V debe ser ortogonal a γ 0 luego se escribirá V = ni=2 fi Pi con fi solución de
φ00 + kφ = 0. La forma general de una solución de esta ecuación diferencial es
φ(t) = ASk (t) + BCk (t),
donde A, B son números reales y
Sk (t) =





√
sen( kt)
t √
senh( −kt)
√1
k
√1
−k
si k > 0,
si k = 0,
si k < 0,



√
cos( kt)
Ck (t) =
1

 cosh(√−kt)
si k > 0,
si k = 0,
si k < 0.
(2.29)
(En particular, S0k = Ck y C0k = −kSk ).
Como V (0) = 0, tendremos fi (0) = 0 y por tanto B = 0 en la descripción anterior.
P
Esto nos dice que V (t) = i Ai Sk (t)Pi (t) = Sk (t)P (t), para cierto campo paralelo P (t)
ortogonal a γ 0. De hecho,
como Ck (0) = 1 se tiene DV
dt (0) = Ck (0)P (0) = P (0), luego
t
V (t) = Sk (t)τ0t DV
dt (0) , donde τ0 es el traslado paralelo de 0 a t a lo largo de γ. Esta
descripción nos dice que V sólo volverá a anularse cuando Sk (t) se anule. Debemos ahora
distinguir tres casos, según el signo de la curvatura seccional:
√
1. k > 0. En este caso, Sk (t) = √1 sen( kt) tiene sus ceros en los múltiplos enteros de
k
√π . Esto nos dice que el primer valor conjugado de cero a lo largo de una geodésica
k
p.p.a. en Mn (k) con k > 0 aparece en √πk .
2. k = 0. Ahora es S0 (t) = t, que no se anula salvo en t = 0. O sea, en una V.R. llana
no existen valores conjugados de cero a lo largo de ninguna geodésica.
√
3. k < 0. Ası́, Sk (t) = √1−k senh( −kt), que tampoco se anula salvo en t = 0, por lo
que en una V.R. con c.s.c. negativa no hay valores conjugados de cero a lo largo de
ninguna geodésica.
62
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
2.10.2.
Campos de Jacobi y valores conjugados.
Retomamos nuestra geodésica γ : [a, b] −→ M sobre una V.R. arbitraria. Nuestro
siguiente objetivo es estudiar la relación entre campos de Jacobi y puntos crı́ticos de la
exponencial.
C∞
Lema 2.10.1 Sea f : [a, b]×]−ε, ε[−→ M una variación de γ por geodésicas (i.e. f (t, 0) =
γ(t) ∀t ∈ [a, b] y cada f (·, s) es geodésica). Entonces, el campo variacional V (t) = ∂f
∂s
(t,0)
de f cumple V ∈ Jγ .
Demostración. V es C ∞ por serlo f . Veamos que
ejercicio 14,
D2 V
dt2
(t) =
D D ∂f
dt ds ∂t (t,0)
=
=
D D ∂f
ds dt ∂t (t,0)
D D ∂f
ds dt ∂t (t,0)
Por tanto, sólo resta probar que
+R
D2 V
dt2
+ R(V, γ 0)γ 0 = 0 en [a, b]. Por el
∂f
∂t (t,0) ,
∂f
∂s (t,0)
∂f
∂t (t,0)
+ R (γ 0(t), V (t)) γ 0(t).
D D ∂f
ds dt ∂t (t,0)
campo tangente a fs , que es geodésica, luego
es idénticamente nulo. Pero
D ∂f
dt ∂t (t,s)
servando tras derivar respecto de s y evaluar en s = 0.
∂f
∂t (t,s)
es el
= 0. Esta igualdad se seguirá con2
Nota 2.10.1 El Lema 2.10.1 tiene un recı́proco: Si V ∈ Jγ , entonces existe una variación
f de γ por geodésicas cuyo campo variacional es V . Además si V (a) = 0, entonces f
puede elegirse propia en a (es decir, f (a, s) = γ(a) ∀s). Sin embargo, si V (a) = V (b) = 0,
entonces no podemos asegurar que la variación por geodésicas f deba ser propia en ambos
extremos (por otro lado, existe una variación de γ propia en ambos extremosy con campo
variacional V , pero no necesariamene por geodésicas).
C∞
Lema 2.10.2 Sea W :] − ε, ε[−→ Tγ(a)M con W (0) = γ 0(a). Entonces, ∃ε1 ∈]0, ε] tal que
f : [a, b]×] − ε1 , ε1[→ M dada por f (t, s) = expγ(a) ((t − a)W (s)) cumple
1.
f está bien definida8 y es una variación de γ por geodésicas (i.e. f (t, 0) = γ(t) ∀t ∈
[a, b] y cada f (·, s) es geodésica).
2.
V (t) =
8
∂f
∂s (t,0)
∈ Jγ y V (a) = 0.
(M, g) no se supone completa.
2.10. CAMPOS DE JACOBI.
63
Demostración. Para que f esté bien definida, debemos justificar que expγ(a) está definida
en (t − a)W (s) ∀s suficientemente pequeño y ∀t ∈ [a, b]. Sea A ⊂ T M el abierto donde
la exponencial A −→ M está definida y es C ∞ . Como γ(b) = expγ(a)(b − a)W (0), la
curva Γ(s) = (γ(a), (b − a)W (s)) ∈ T M verifica Γ(0) ∈ A. Por continuidad, ∃ε1 ∈]0, ε]
tal que Γ(s) ∈ A siempre que |s| < ε1 . Esto quiere decir que para tales s, la geodésica
que parte en el instante t = 0 de γ(a) con velocidad W (s) está definida en t = b − a,
luego también está definida en t − a para a ≤ t ≤ b, es decir, expγ(a) está definida en
(t−a)W (s) para cada (t, s) ∈ [a, b]×]−ε1, ε1[. Por tanto, f tiene sentido y es C ∞ . Además,
f (t, 0) = expγ(a)(t − a)W (0) = expγ(a) (t − a)γ 0(a) = γ(t), y fs (t) = expγ(a)(t − a)W (s) =
γ(t − a, γ(a), W (s)) es geodésica ∀s, lo que prueba 1. Que V sea de Jacobi se deduce del
Lema 2.10.1, y V (a) = 0 porque f (a, s) = γ(a) ∀s.
2
Una consecuencia del Lema 2.10.2 es la siguiente expresión explı́cita para los campos
de Jacobi que se anulan en el primer extremo de la geodésica, a partir de su derivada
covariante en este instante:
Proposición 2.10.2 Sea V ∈ Jγ tal que V (a) = 0. Entonces,
V (t) = d expγ(a)
(t−a)γ 0 (a)
(t − a)
DV
(a) ,
dt
∀t ∈ [a, b].
Demostración. Tomemos W ∈ C ∞ (] − ε, ε[, Tγ(a)M ) con W (0) = γ 0(a) y W 0 (0) = DV
dt (a).
Tomando ε suficientemente pequeño, el Lema 2.10.2 asegura que la variación de γ dada por
f (t, s) = expγ(a) (t − a)W (s) tiene sentido, es C ∞ y por geodésicas, su campo variacional
V1 es de Jacobi y V1 (a) = 0. Veamos que V = V1: como ambos son de Jacobi sobre γ y
DV1
V (a) = V1(a) = 0, bastar comprobar que DV
dt (a) = dt (a). Primero notemos que
∂f
∂t (a,s)
=
d du 0 f (a
+ u, s) =
luego
DV1
(a) =
dt
Por tanto, V (t) = V1 (t) =
d expγ(a)
(t−a)W (0)
D ∂f
dt ∂s
d du 0 exp γ(a) uW (s)
=
(a,0)
∂f
∂s (t,0)
0
D ∂f
ds ∂t
=
d du 0 γ(u, α(s), W (s)) =
= W 0 (0) =
(a,0)
d
= ds
expγ(a)(t − a)W (s) =
0
((t − a)W (0)) = d expγ(a)
(t−a)γ 0 (a)
W (s),
DV
(a).
dt
(t − a) DV
dt (a) .
2
Corolario 2.10.2 En la situación anterior, b es valor conjugado de a a lo largo de γ si
y sólo si (b − a)γ 0(a) es punto crı́tico de expγ(a).
Demostración. Notemos primero que expγ(a) está definida en (b − a)γ 0(a), ya que para
t ∈ [a, b] arbitrario, es expγ(a)(t − a)γ 0(a) = γ(1, γ(a), (t − a)γ 0(a)) = γ(t − a, γ(a), γ 0(a)),
64
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
que es el valor en t − a de la única geodésica γ1 con las condiciones iniciales γ1(0) = γ(a),
γ10 (0) = γ 0(a). Por tanto, γ1 (t) = γ(t + a) luego γ(t − a, γ(a), γ 0(a)) = γ1(t − a) = γ(t). Y
ahora veamos la equivalencia del enunciado:
Supongamos que b es valor conjugado de a a lo largo
de γ. Ası́,
∃V ∈ J
γ − {0} tal que
DV
V (a) = V (b) = 0. Por la Proposición 2.10.2, V (t) = d expγ(a)
(t
−
a)
(a)
,
dt
0
luego evaluando en b deducimos que (b −
a) DV
dt
(t−a)γ(a)
(a) ∈ ker d expγ(a)
(b−a)γ 0 (a)
. Además,
(b
− a) DV
dt (a) 6= 0 (en caso contrario V serı́a idénticamente nulo porque V (a) = 0), luego
d expγ(a)
(b−a)γ 0 (a)
no es inyectiva, y por tanto, no es sobreyectiva. Es decir, (b − a)γ 0(a)
es punto crı́tico de expγ(a).
Recı́procamente si d expγ(a)
0 (a)
(b−a)γ
no es sobreyectiva, entonces tampoco es inyec
tiva luego ∃v ∈ T(b−a)γ 0 (a) Tγ(a)M ≡ Tγ(a)M , v 6= 0, tal que d expγ(a)
Llamemos V (t) = d expγ(a)
(t−a)γ 0 (a)
((t − a)v)) ∈ Jγ . Ası́, V 6≡ 0
(v) = 0.
(b−a)γ 0 (a)
porque DV
dt (a)
= v
(Proposición 2.10.2). Sin embargo, V (a) = 0 = V (b), luego b es valor conjugado de a a lo
largo de γ.
2
2.10.3.
Campos de Jacobi y curvatura seccional.
Hemos visto la relación entre los campos de Jacobi y los puntos crı́ticos de la exponencial. Los campos de Jacobi también pueden usarse para ver cómo la curvatura seccional
gobierna la velocidad a la que las geodésicas radiales en un punto se dispersan.
Lema 2.10.3 Sea V ∈ Jγ con V (a) = 0 (en particular, V viene dado por la Proposición 2.10.2). Entonces, el desarrollo en serie de Taylor de kV k2 en t = a es
2
DV
DV
DV
2 1
0
0
kV (t)k = (a) (t−a) − Rγ(a)
(a), γ (a), γ (a),
(a) (t−a)4 +O (t − a)5 ,
dt
3
dt
dt
−5
5
2
donde (t − a)
O (t − a)
está acotada cuando t → a.
Demostración. Sea f (t) = kV (t)k2 . Como V (a) = 0, es f (a) = 0. Derivando sucesivamente
y usando la ecuación de Jacobi,
f 0 = 2h DV
dt , V i,
2
2
DV 2
0 0
f 00 = 2h Ddt2V , V i + 2 DV
dt = −2hR(V, γ )γ , V i + 2k dt k ,
f 000 =
=
f 0000 =
2
D V DV
0 0
0 0 DV
− 2h D
dt [R(V, γ )γ ], V i − 2hR(V, γ )γ , dt i + 4h dt2 , dt i
0 0
0 0 DV
− 2h D
dt [R(V, γ )γ ], V i − 6hR(V, γ )γ , dt i,
2
2
0 0 DV
0 0 D V
− 2h D
[R(V, γ 0)γ 0], V i − 8h D
dt [R(V, γ )γ ], dt i − 6hR(V, γ )γ , dt2 i.
dt2
2.10. CAMPOS DE JACOBI.
65
Evaluando en a,
f (a) = 0,
DV
f (a) = 2k
(a)k2,
dt
Calculamos
D
0 0 dt [R(V, γ )γ ]t=a .
0
00
0 0
hD
dt [R(V, γ )γ ], W i(a) =
=
000
f (a) = 0,
Dado W ∈ X(γ),
d
0 0
dt t=a R(V, γ , γ , W ) −
D
DV
f (a) = −8h [R(V, γ 0)γ 0]
,
(a)i.
dt
dt
t=a
0000
d
dt t=a
hR(V, γ 0)γ 0, DW
dt i(a)
R(V, γ 0, γ 0, W ) =
d
0 0
dt t=a R(W, γ , γ , V )
0 0
0 0 DV
= hD
dt [R(W, γ )γ ], V i(a) + hR(W, γ )γ , dt i(a)
DV
DV
0 0
0 0
= R(W, γ 0, γ 0, DV
dt )(a) = R( dt , γ γ , W )(a) = hR( dt , γ )γ , W i(a)
Como W (a) barre todo Tγ(a)M , se concluye que
D
0 0
dt [R(V, γ )γ ]t=a
0
0
= R( DV
dt (a), γ (a))γ (a).
DV
0
0
Ası́, f 000(a) = −8Rγ(a) DV
dt (a), γ (a), γ (a), dt (a) . El resto se reduce a desarrollar f en
serie alrededor de t = a.
2
Corolario 2.10.3 Sea γ : [0, L] → M una geodésica p.p.a. con p = γ(0), v = γ 0(0). Sean
w ∈ TpM unitario y ortogonal a v, y V el único campo de Jacobi a lo largo de γ con
V (0) = 0, DV
dt (0) = w. Entonces, para t próximo a cero se tiene
1
kV (t)k2 = t2 − K(v ∧ w)t4 + O(t5 ).
3
La igualdad anterior es la formulación cuantitativa del hecho comentado arriba: la curvatura seccional en un punto p ∈ M informa sobre la velocidad de dispersión de las geodésicas
radiales en p.
2.10.4.
Campos de Jacobi y coordenadas polares.
Hay otra interesante conexión entre los campos de Jacobi y la geometrı́a de una V.R.,
debida principalmente a Élie Cartan. Para estudiarla, necesitamos introducir las coordenadas polares geodésicas.
Sea p un punto en una V.R. (M n , g). Tomemos un radio geodésico R > 0 en p (luego
expp es un difeomorfismo de B(0, R) = {w ∈ TpM | kwk < R} en la bola geodésica
B(p, R)) y llamemos Sn−1
(1) = {ξ ∈ TpM / kξk = 1} a la esfera unidad de (TpM, gp).
p
Dado ξ ∈ Sp (1), sea γξ = γξ (t) la única geodésica en (M, g) con condiciones iniciales
γξ (0) = p, γξ0 (0) = ξ (γξ es p.p.a. y está definida al menos para |t| < R). Tenemos
66
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
un segundo difeomorfismo Φ : R+ × Sp (1) → TpM − {0} / Φ(t, ξ) = tξ, y sea F el
difeomorfismo obtenido por composición,
F = expp ◦Φ :]0, R[×Sp(1) → U − {p} ⊂ M / F (t, ξ) = expp tξ.
A (t, ξ) se les llama coordenadas polares geodésicas sobre (M, g) alrededor de p. Dado
(t, ξ) ∈]0, R[×Sp (1),
d d dF(t,ξ)(1, 0) =
F (t + s, ξ) =
γξ (t + s) = γξ0 (t),
ds 0
ds 0
y si v ∈ hξi⊥ = Tξ Sp (1) entonces
dF(t,ξ)(0, v) = d expp
tξ
(tv)
(Proposición 2.10.2)
:=
Jvξ (t),
ξ
v
donde Jvξ es el único campo de Jacobi a lo largo de γξ con Jvξ (0) = 0, DJ
dt (0) = v. Por la
ξ
0
Proposición 2.10.1, Jv (t) es siempre ortogonal a γξ (t).
¿Cómo se escribe la métrica g en coordenadas polares? Por bilinealidad, basta controlar
los siguientes términos:
(F ∗ g)(t,ξ) ((1, 0), (1, 0)) = gγξ (t) γξ0 (t), γξ0 (t) = 1,
(F ∗ g)(t,ξ) ((1, 0), (0, v)) = gγξ (t) γξ0 (t), Jvξ (t) = 0,
(F ∗ g)(t,ξ) ((0, v), (0, w)) = gγξ (t) Jvξ (t), Jwξ (t) ,
donde v, w ∈ hξi⊥ . Por tanto, conociendo los campos de Jacobi a lo largo de las geodésicas
radiales en p determinamos completamente la métrica en una bola geodésica.
2.10. CAMPOS DE JACOBI.
67
Ejercicios.
1. Sea a ∈ Sn (1). Calcular el gradiente de la función altura f : Sn (1) −→ R dada por
f (p) = hp, ai, si en la esfera se considera su métrica estándar. Comprobar que las
hipersuperficies de nivel de f son ortogonales al campo gradiente de f .
2. Probar que en (Rn , g0), un campo X a lo largo de una curva regular α es paralelo si si
sólo si X es constante. Deducir que el traslado paralelo a lo largo de α es la identidad.
3. Sean (M1n , g1), (M2m , g2) dos variedades Riemannianas. En M1 × M2 se considera la
métrica producto g = g1 × g2.
(A) Denotemos por ∇1, ∇2, ∇ a las conexiones de Levi-Civita de (M1 , g1), (M2 , g2) y
(M1 × M2 , g). Demostrar que para X1 , Y1 ∈ X(M1 ), X2 , Y2 ∈ X(M2 ) se cumple
∇(X1 ,X2 )(Y1 , Y2 ) = ∇1X1 Y1 , ∇2X2 Y2 .
(B) Demostrar que una curva diferenciable α = (α1 , α2) :]a, b[→ M1 ×M2 es geodésica
en (M1 × M2 , g) si y sólo si cada αi es geodésica en (Mi, gi), i = 1, 2.
(C) Para i = 1, 2, sean pi ∈ Mi y Ai (pi) = {vi ∈ Tpi Mi / 1 ∈ I(pi ,vi ) }, donde I(pi,vi )
es el intervalo maximal de definición de la geodésica γi (·, pi, vi ) en (Mi , gi) con
condiciones iniciales γi (0, pi, vi) = pi, γ 0(0, pi, vi ) = vi . As´ ı, la exponencialexpipi
de (Mi , gi) está definida en A(pi ).
Denotemos por exp(p1 ,p2 ) la exponencial en (M1 × M2, g), definida en A(p1 , p2) =
{(v1, v2) ∈ Tp1 M1 × Tp2 M2 / 1 ∈ I((p1,p2 ),(v1 ,v2 )) }, donde I((p1,p2 ),(v1 ,v2 )) es el
intervalo maximal de definición de la geodésica
γ(·, (p1, p2), (v1.v2)) = (γ1(·, p1, v1), γ2(·, p2, v2)) .
Probar que A1 (p1 ) × A2 (p2) ⊆ A(p1 , p2) y que
exp(p1 ,p2 ) = exp1p1 , exp2p2
en A1(p1 ) × A2 (p2).
4. El espacio hiperbólico n-dimensional como hipersuperficie del espacio
de Lorentz-Minkowksi. (Nótese la similitud de lo que sigue con la esfera Sn (1) en
Rn+1 ).
En Rn+1 se considera el producto Lorentziano dado por
hx, yiL =
n
X
xi yi − xn+1 yn+1 ,
i=1
siendo x = (x1 , . . ., xn+1 ), y = (y1 , . . . , yn+1 ). Denotemos por ∇ la conexión llana
usual en Rn+1 . Demostrar que dados X, Y, Z ∈ X(Rn+1 ),
X(hY, ZiL) = h∇X Y, ZiL + hY, ∇X ZiL .
68
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
(A) Llamemos Hn (−1) = {p ∈ Rn+1 / hp, piL = −1, xn+1 (p) > 0}, que es una de
las dos componentes de un paraboloide no reglado en Rn+1 . Probar que Hn (−1)
es una hipersuperficie de Rn+1 .
(B) Mostrar que dado p ∈ Hn (−1), el espacio tangente a Hn (−1) viene dado por
TpHn (−1) = {v ∈ Rn+1 / hv, piL = 0}.
Dado p ∈ Hn (−1), llamemos gp : Tp Hn (−1) × TpHn (−1) → R al tensor gp (v, w) =
hv, wiL, ∀v, w ∈ Tp Hn (−1). Demostrar que (Hn (−1), g) es una variedad Riemanniana.
(C) Sea ∇ la conexión de Levi-Civita para g. Probar que
(∇X Y )p = (∇Xe Ye )p − hXp, Yp iL p,
∀p ∈ Hn (−1),
e Ye ∈ X(Rn+1 ) son extensiones locales de X, Y
donde X, Y ∈ X(Hn (−1)) y X,
alrededor de p (Indicación: usar la caracterización de la conexión de Levi-Civita).
(D) Dados p ∈ Hn (−1) y v ∈ TpHn (−1) con kvk = 1, probar que la curva t ∈
R 7→ γ(t) = cosh(t)p + sinh(t)v es una geodésica en (Hn (−1), g) con γ(0) = p,
γ 0(0) = v. Demostrar que la exponencial expp : Tp Hn (−1) → Hn (−1) es un
difeomorfismo.
(E) Probar que (Hn (−1), g) tiene curvatura seccional constante −1.
5. Probar que los sı́mbolos de Christoffel del espacio hiperbólico con el modelo del semiespacio ((Rn )+ , g 0 = x12 g0 ) respecto a la carta ((Rn )+ , 1d) son
n
Γ0 nnn = −Γ0 nii = Γ0 ini = Γ0 iin = −
1
xn
para cada i = 1, . . ., n − 1, y el resto de sı́mbolos valen cero.
6. Demostrar que dados R > 0 y a ∈ R, una parametrización por el arco de la circunferencia
de radio R centrada en a en la métrica hiperbólica del semiplano superior es γ(t) =
R
(a + R tanh t, cosh
t ) (éstas son geodésicas de la métrica hiperbólica).
7. Encontrar parametrizaciones
las geodésicas del plano hiperbólico
por el arco para todas
2
4
con el modelo del disco B (0, 1), (1−kzk2 )2 g0 , donde g0 es el producto escalar usual
en R2 .
8. El traslado paralelo no depende de la parametrización de la curva.
Sea α :]a, b[→ M una curva regular en una V.R., φ :]c, d[→]a, b[ un difeomorfismo y
β = α ◦ φ.
2.10. CAMPOS DE JACOBI.
69
a) Probar que la aplicación H : X(α) → X(β) | H(X) = X ◦ φ es un isomorfismo de
espacios vectoriales.
b)
Demostrar que ∀X ∈ X(α),
D(X◦φ)
ds
= φ0
DX
dt
◦φ .
c) Deducir que X ∈ X(α) es paralelo a lo largo de α si y sólo si X ◦ φ es paralelo a
lo largo de β.
d)
Sean [s0 , s1] ⊂]c, d[ y [t0, t1 ] = φ([s0, s1 ]) ⊂]a, b[. Probar que si φ es creciente,
entonces τtt01 (α) = τss01 (β).
9. Derivada de un determinante.
a) Sea A ∈ C ∞ (]a, b[, Mn(R)) una familia de matrices tal que ∃t0 ∈]a, b[ con A(t0) =
In . Probar que (det A)0(t0 ) = Traza(A0(t0 )) (indicación: usar la tensorialidad del
determinante sobre las columnas de A(t) para calcular (det A)0(t)).
b)
Sea A ∈ C ∞ (]a, b[, Gl(n, R)). Demostrar que
(det A)0 = det A · Traza(A0 A−1 ) en ]a, b[.
(Indicación: Fijado t0 ∈]a, b[, aplicar el apartado anterior a B(t) = A(t)A(t0)−1 ).
10. Denotemos por Sl(n, R) = {A ∈ Gl(n, R) / det A = 1} al grupo especial lineal de
orden n.
(A) Demostrar que Sl(n, R) es una subvariedad de Gl(n, R) de dimensión n2 − 1.
(B) Probar que dada A ∈ Sl(n, R), el espacio tangente a Sl(n, R) en A es
TA Sl(n, R) = {B ∈ Mn (R) / traza(BA−1 ) = 0} = {AC / C ∈ Mn (R), traza(C)) = 0}.
Deducir que el espacio de campos tangentes a Sl(n, R) puede identificarse con
X(Sl(n, R)) = {X ∈ C ∞ (Sl(n, R), Mn(R)) / traza(XA A−1 ) = 0, ∀A ∈ Sl(n, R)}.
(C) Sea hA, Bi = traza(tA · B) el producto escalar usual en Mn (R). Probar que
dada A ∈ Sl(n, R), el suplemento ortogonal de TA Sl(n, R) en (Mn (R), h·, ·i) es
TA⊥ Sl(n, R) = L({Adj(A)}), donde Adj(A) denota la matriz adjunta de A.
(D) Sea considera en Sl(n, R) la métrica g inducida por el producto escalar usual h·, ·i.
Probar que la conexión de Levi-Civita de (Sl(n, R), g) viene dada por
(∇X Y )A = dYA (XA ) − Traza XA A−1 YA A−1
t(A−1 )
kA−1 k2
,
donde X, Y ∈ X(Sl(n, R)) y A ∈ Sl(n, R).
11. Curvatura y métricas conformes. Sea (M n , g) una V.R. y g 0 = e2u g una métrica
conforme a g, donde u ∈ C ∞ (M ).
70
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
(A) Probar que los tensores de curvatura R, R0 de g y g 0 se relacionan mediante
n
o
R0 (X, Y )Z = R(X, Y )Z − (∇2u)(Y, Z) − Y (u)Z(u) + g(Y, Z)k∇uk2 X
n
o
+ (∇2 u)(X, Z) − X(u)Z(u) + g(X, Z)k∇uk2 Y
+g(X, Z) {∇Y ∇u − Y (u)∇u} − g(Y, Z) {∇X ∇u − X(u)∇u},
∀X, Y, Z ∈ X(M ), donde ∇2u denota el hessiano de u respecto de g.
(B) Deducir que el tensor de curvatura del espacio hiperbólico (Rn )+ , g =
R(X, Y )Z = −[g(Y, Z)X − g(X, Z)Y ],
1
g
x2n 0
es
∀X, Y, Z ∈ X((Rn )+ ).
y que su curvatura seccional es constantemente −1.
(C) Supongamos ahora que dim M = 2. Demostrar que las curvaturas de Gauss K, K 0
de g y g 0 se relacionan mediante la fórmula
K 0 e2u = K − ∆u,
donde ∆u es el laplaciano de u según g.
12. Curvatura en la esfera.
Usando que la conexión de Levi-Civita de la esfera estándar (Sn (1), g) es ∇X Y =
∇X Y − h∇X Y, pip para cualesquiera X, Y ∈ X(Sn (1)) (aquı́ ∇ denota la conexión
llana de Rn+1 y p es el vector de posición sobre la esfera), probar que
∀X, Y, Z ∈ X(Sn (1)).
∇X ∇Y Z = ∇X ∇Y Z − h∇X ∇Y Z, pip + g(Y, Z)X,
Deducir que el tensor de curvatura de (Sn (1), g) viene dado por
R(X, Y )Z = g(Y, Z)X − g(X, Z)Y,
∀X, Y, Z ∈ X(Sn (1)),
y que su curvatura seccional es constantemente 1.
13. Sea M una variedad diferenciable conexa y f ∈ C ∞ (M ). Probar que si X(f ) = 0
∀X ∈ X(M ), entonces f es constante.
14. Sea f = f (u, v) : A ⊆ R2 → M una superficie parametrizada en una variedad Riemanniana (M n , g). probar que si R es el tensor de curvatura de (M, g), entonces
∂f ∂f
R
,
∂u ∂v
D
X=
∂u
DX
∂v
D
−
∂v
DX
∂u
.
2.10. CAMPOS DE JACOBI.
71
15. Sea (M n , g) una V.R., p ∈ M y {E1, . . ., En } una base local de campos diferenciables sobre un abierto U que contiene a p, ortonormales en cada punto de U y
cumpliendo ∇Eip Ej = 0, ∀i, j = 1, . . ., n. Dados i, j, k, l ∈ {1, . . ., n}, llamemos
Rijkl = R(Ei, Ej , Ek , El) ∈ C ∞ (U ). Usar la segunda identidad de Bianchi para probar
que
Eip (Rjklα ) + Ekp (Rijlα) + Ejp (Rkilα) = 0,
∀i, j, k, l, α = 1, . . ., n.
(?)
16. Curvaturas y métrica producto.
Para i = 1, 2, sea (Mi , gi) una variedad Riemanniana con tensor de curvatura Ri , curvatura seccional Ki , curvatura de Ricci Rici y curvatura escalar ρi. Llamemos R, K, Ric
y ρ a las curvaturas correspondientes en (M1 × M2 , g1 × g2 ). Sean (p1, p2) ∈ M1 × M2 ,
v1 , w1 ∈ Tp1 M1 linealmente independientes y v2 , w2 en Tp2 M2 linealmente independientes. Probar que
(A) La curvatura seccional del plano generado por v1 , w1 en Tp1 M1 y la del plano
generado por (v1, 0), (w1, 0) en T(p1,p2 ) (M1 × M2 ) cumplen K((v1, 0) ∧ (w1, 0)) =
K1(v1 ∧ w1 ). Análogamente, K((0, v2) ∧ (0, w2)) = K2(v2 ∧ w2).
(B) K((v1, 0) ∧ (0, v2)) = 0.
(C) (Ric1 )p1 (v1) = Ric(p1 ,p2 )(v1 , 0). Análogamente, (Ric2 )p2 (v2) = Ric(p1 ,p2 )(0, v2).
(D) ρ = ρ1 ◦ π1 + ρ2 ◦ π2 , donde πi es la proyección canónica de M1 × M2 en Mi ,
i = 1, 2.
17. Sea (M, g) una variedad Riemanniana, con conexión de Levi-Civita ∇. Sea define la
derivada covariante del tensor de curvatura como ∇R : X(M )× .4). . ×X(M ) → X(M )
dada por
(∇R)(X, Y, Z, W ) = ∇X (R(Y, Z)W )−R(∇X Y, Z)W −R(Y, ∇X Z)W −R(Y, Z)∇X W,
para cualesquiera X, Y, Z, W ∈ X(M ). Probar que ∇R es tensorial en sus cuatro variables.
18. Variedades localmente simétricas.
Una variedad Riemanniana (M n , g) se dice localmente simétrica si ∇R = 0 (con la
notación del problema anterior).
(A) Probar que si (M, g) tiene curvatura seccional constante, entonces es localmente
simétrica. Demostrar que cuando dim M = 2, el recı́proco es cierto.
(B) Supondremos en los apartados que restan que (M, g) es localmente simétrica (con
dim M = n). Dada una curva regular γ :]a, b[→ M y tres campos paralelos
X, Y, Z ∈ X(γ) a lo largo de γ, probar que R(X, Y )Z vuelve a ser un campo
paralelo a lo largo de α.
72
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
(C) Sea γ : [0, +∞[→ M una geodésica. Dado t ≥ 0, se considera el endomorfismo
fγ 0 (t) : Tγ(t)M → Tγ(t)M / fγ 0 (t)(v) = Rγ(t)(v, γ 0(t))γ 0(t).
Demostrar que fγ 0 (t) es autoadjunto respecto a gγ(t), ∀t ≥ 0. Sea {e1, . . . , en } una
base ortonormal de (Tγ(0)M, gγ(0)) formada por vectores propios de fγ 0 (0), esto
es, fγ 0 (0)(ei ) = λiei para ciertos λi ∈ R, i = 1, . . . , n. Demostrar que la base
ortonormal de campos paralelos {P1 , . . . , Pn} ⊂ X(γ) dados por las condiciones
iniciales Pi (0) = ei (1 ≤ i ≤ n) cumple
fγ 0 (t) (Pi (t)) = λiPi (t),
∀t ≥ 0, ∀i = 1, . . ., n.
19. Inmersiones isométricas.
Sea f : (M n , g) → (N m , g) una inmersión isométrica entre variedades Riemannianas,
con conexiones de Levi-Civita respectivas ∇, ∇. Sea X⊥ (f ) = {ξ ∈ X(f ) | gf (ξ, df (T M )) =
0 en M } el espacio de campos diferenciables a lo largo de f que son perpendiculares a
la inmersión.
(A) Probar que dado p ∈ M , existen entornos abiertos U ⊂ M conteniendo a p y
V ⊂ N conteniendo a f (p) tales que
f (U ) ⊂ V y f : U → V es un embebimiento.
Existe una base local g-ortonormal de campos {E1, . . . , En} de X(U ) y una
e1, . . . , E
en , E
en+1 , . . . , E
em } ⊂ X(V ) de
base local g-ortonormal de campos {E
forma que
(
ei |
E
1 ≤ i ≤ n,
f (U ) = f∗ (Ei )
⊥
e
ξi := Ei ◦ f ∈ X (f ) n + 1 ≤ i ≤ m.
y dado cualquier campo ξ normal a f , se tiene que ξ es diferenciable en U si
P
∞
y sólo si ξ = m
i=n+1 ai ξi con ai ∈ C (U, R) ∀i = n + 1, . . . , m.
(B) Deducir de lo anterior que dado X ∈ X(N ), existen X ∈ X(M ), ξ ∈ X⊥ (f ) tales
que
X ◦ f = df (X) + ξ
en M.
(C) Sean X, Y ∈ X(M ). Viendo df (X), df (Y ) como campos globales en N (en rigor,
fijado p ∈ M tenemos un abierto U alrededor de p tal que f : U → N es un
embebimiento, y campos X, Y ∈ X(N ) tales que (f |U )∗ X = X, (f |U )∗ Y = Y en
f (U ); en lo que sigue, identificaremos df (X) con X y df (Y ) con Y abusando de
notación). Probar que si aplicamos a ∇df (X)df (Y ) la descomposición del apartado
(B), obtenemos la siguiente relación entre las conexiones de Levi-Civita de (M, g)
y (N, g):
∇df (X)df (Y ) = df (∇X Y ) + σ(X, Y ),
2.10. CAMPOS DE JACOBI.
73
donde σ : X(M ) × X(M ) → X⊥ (f ) es una aplicación tensorial en funciones y
simétrica, llamada la segunda forma fundamental de la inmersión.
(D) Supongamos que M es una hipersuperficie, y que ξ es un campo normal unitario a
f . Probar que dado p ∈ M , existe un abierto U de M conteniendo a p y campos
{X1, . . . Xn } ⊂ X(U ) que forman una base g-ortonormal de direcciones propias
para σ, es decir, σ(Xi, Xj ) = ki δij ξ para cada i, j, donde k1, . . . , kn ∈ C 0 (U ). A
las direcciones de Xi se les llaman direcciones principales y a los valores propios
ki , curvaturas principales. Con ellos, se definen la curvatura media y la curvatura
de Gauss-Kronecker de la inmersión,
H=
n
1X
1
ki = Traza(σ),
n i=1
n
K=
n
Y
ki = det(σ) ∈ C ∞ (M ).
i=1
Una inmersión isométrica se dice minimal si H ≡ 0 en M .
(E) Demostrar que el toro de Clifford es un embebimiento minimal de S1 (1) × S1 (1)
en S3(1) (se conjetura que es el único toro minimal embebido en S3 (1), pero este
problema sigue abierto).
74
CAPÍTULO 2. CÁLCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Capı́tulo 3
Geometrı́a y curvatura.
Una vez introducidas las herramientas necesarias, obtendremos en este tema algunos
de los resultados centrales en la Geometrı́a Riemanniana.
3.1.
Distancia asociada a una métrica.
Al lo largo de esta sección, (M n , g) denotará una V.R. conexa.
Definición 3.1.1 Una curva C ∞ a trozos es una curva continua α : [a, b] → M tal que
∃t0 = a < t1 < . . . < tk = b con α|[ti−1 ,ti] ∈ C ∞ ([ti−1 , ti ], M ) ∀i. La longitud de α se define
como
L(α) =
Z
b
kα0 (t)kdt =
a
k Z
X
ti
kα0 (t)k dt.
i=1 ti−1
Por la fórmula del cambio de variable en integración, la longitud es invariante frente a
reparametrizaciones. También es claramente invariante por isometrı́as locales.
En la Sección 1.1 planteábamos la cuestión de cuál es la curva más corta uniendo
dos puntos del plano o de una superficie regular de R3 . Ahora nos plantearemos la misma pregunta en nuestra V.R. (M n , g). En el caso (M, g) = (Rn , g0), podemos repetir el
razonamiento a través del Lema 1.1.1 y los Corolarios 1.1.1 y 1.1.2, concluyendo que la
curva más corta que une dos puntos de (Rn , g0) es el segmento de recta que los une. Y la
distancia usual en Rn es justamente la longitud de dicho segmento. Esto justifica definir
Definición 3.1.2 Dados p, q ∈ M , se define la distancia de p a q como
d(p, q) = inf{L(α) | α curva C ∞ a trozos con origen p y extremo q}.
Para que el ı́nfimo anterior tenga sentido, necesitamos el siguiente
75
76
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
Lema 3.1.1 Dados p, q ∈ M , ∃α curva C ∞ a trozos que empieza en p y termina en q.
Demostración. Como M es conexa y localmente arcoconexa, M es arcoconexa1 . Por tanto,
∃β : [0, 1] → M curva continua con β(0) = p, β(1) = q. Sea
A = {t ∈ [0, 1] | ∃αt curva C ∞ a trozos que empieza en p y termina en β(t)}.
A es abierto, sin más que considerar una carta local (U, ψ) con ψ(U ) ⊂ Rn convexo,
centrada en un punto β(t0 ) con t0 ∈ A. A es cerrado, ya que si {tk }k ⊂ A converge
a t∞ ∈ [0, 1], entonces tomemos una carta local (U, ψ) con ψ(U ) convexo, centrada en
β(t∞ ). Por continuidad de β tenemos β(tk ) ∈ U a partir de un natural, y ahora no hay
más que unir β(tk ) con β(t∞ ) dentro de U y usar que tk ∈ A para deducir que t∞ ∈ A.
Como A 6= Ø y [0, 1] es conexo, 1 ∈ A.
2
Pero aunque d : M × M → R está ya bien definida, aún no sabemos si es realmente una
distancia.
Proposición 3.1.1 Dados p, q, x ∈ M , se tienen
1.
d(p, q) ≥ 0.
2.
d(p, q) = d(q, p).
3.
d(p, q) ≤ d(p, x) + d(x, q) (desigualdad triangular).
Demostración. 1 es trivial. 2 se deduce de que existe una biyección que conserva las longitudes, del conjunto de curvas diferenciables que empiezan en p y terminan en q en el
conjunto de curvas diferenciables que empiezan en q y terminan en p. Para 3 basta conectar curvas que empiezan en p y terminan en x con curvas que comienzan en x y terminan
en q, y luego comparar los ı́nfimos de las longitudes de estas curvas conectadas con todas
las que comienzan en p y terminan en q.
2
Para que d sea una distancia, falta ver que si p 6= q son puntos de M , entonces d(p, q) > 0.
Esta propiedad costará más esfuerzo que las anteriores. Recordemos que dado p ∈ M , la
exponencial expp está definida y es C ∞ sobre un abierto A(p) ⊂ TpM que es estrellado
respecto al origen.
Lema 3.1.2 (Gauss) Sea v ∈ C ∞ (] − ε, ε[, M ) una curva tal que tv(s) ∈ A(p), ∀(t, s) ∈
] − δ, 1 + δ[×] − ε, ε[ para cierto δ > 0. Ası́, f :] − δ, 1 + δ[×] − ε, ε[→ M dada por
f (t, s) = expp (tv(s)) es una superficie parametrizada. Si kv(s)k es constante, entonces
∂f
g( ∂f
∂t , ∂s ) = 0 en ] − δ, 1 + δ[×] − ε, ε[.
Esta es una propiedad de espacios topológicos: si (X, T ) es un espacio topológico conexo y localmente
arcoconexo, y C es una componente arcoconexa de (X, T ), entonces C es abierta. Como X se escribe en
unión disjunta de sus componentes arcoconexas y éstas son abiertas, entonces caso de haber más de una
se contradirı́a la conexión de (X, T ).
1
3.1. DISTANCIA ASOCIADA A UNA MÉTRICA.
77
Demostración. Usando la definición de f y el Lema de homogeneidad, es fácil ver que
∂f
∂t
= γ 0(t, p, v(s)),
∀t, s.
(3.1)
(t,s)
(Estamos usando la notación del Lema de homogeneidad). Por tanto,
D
∂t
∂f
∂t
= 0 ∀t, s.
2
∂f
= kγ 0(t, p, v(s))k2 = kv(s)k2 = cte., luego
(3.1) también implica que ∂t
(t,s)
∂
∂t
∂f
g( ∂f
∂t , ∂s ) = g
D ∂f ∂f
∂t ∂t , ∂s
+g
∂f D ∂f
∂t , ∂t ∂s
=g
∂f D ∂f
∂t , ∂s ∂t
=
1 ∂
2 ∂s
2 = 0.
k ∂f
∂t k
∂f
Como lo anterior es cierto ∀t, s, tenemos que para s arbitrario, g( ∂f
∂t , ∂s ) no depende de t.
∂f ∂f
Ası́ queel Lema
estará
probado si vemos que g( ∂t , ∂s )(0, s) = 0, y esto último se deduce
de que
∂f
∂s (0,s)
=
d dλ o
expp (0 · v(s + λ)) = 0.
2
Corolario 3.1.1 Sean p ∈ M y v ∈ A(p) ⊂ Tp M . Entonces,
gp(v, w) = gexpp v (d expp )v (v), (d expp )v (w) , ∀w ∈ Tp M.
Demostración. Si v = 0, el Corolario es evidente. Supongamos entonces v 6= 0. Como la
fórmula es lineal en w, basta probarla en los casos wkv y w ⊥ v. Supongamos primero que
w = λv, λ ∈ R. Entonces,
2
gexpp v (d expp )v (v), (d expp )v (w) = λ (d expp )v (v) = λkγ 0(1, p, v)k2 = λkvk2 = gp (v, w).
Ahora supongamos gp (v, w) = 0. Por tanto, podemos ver w como vector tangente a
Sn−1 (kvk) ⊂ (TpM, gp ) en el punto v ∈ Sn−1 (kvk), luego ∃v = v(s) :] − ε, ε[→ Sn−1 (kvk)
curva C ∞ tal que v(0) = v, v 0(0) = w. Como v ∈ A(p) y A(p) es abierto, no perdemos
generalidad suponiendo que v(] − ε, ε[) ⊂ A(p). Como v([− 2ε , ε2 ]) es un compacto contenido en el abierto A(p), ∃δ > 0 tal que tv(s) ∈ A(p) ∀(t, s) ∈] − δ, 1 + δ[×] − ε2 , 2ε [ Ası́,
f (t, s) = expp (tv(s)) es una superficie parametrizada definida en ] − δ, 1 + δ[×] − 2ε , 2ε [ a
∂f
la que podemos aplicar el Lemade Gauss, que nos dice g(∂f
∂t , ∂s ) = 0 ∀t, s. Evaluando en
t = 1 y s = 0 tendremos gexpp v (d expp )v (v), (d expp)v (w) = 0.
2
Definición 3.1.3 Sea p ∈ M . Una bola geodésica centrada en p y de radio r > 0 es un
entorno normal del tipo B(p, r) = exp(B(0, r)), donde B(0, r) = {v ∈ Tp M | kvk < r}. Una
esfera geodésica centrada en p y de radio r es la frontera topológica de la bola geodésica
B(p, r), siempre que exista ε > 0 tal que B(p, r + ε) sea también bola geodésica. En
particular, expp es un difeomorfismo de B(0, r) en B(p, r) y de Sn−1 (0, r) = ∂ B(0, r) en
S(p, r) = ∂B(p, r).
78
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
Nótese que aún no sabemos si B(p, r) = {q ∈ M | d(p, q) < r}, S(p, r) = {q ∈
M | d(p, q) = r} (veremos esto en la Afirmación 3.1.2).
Proposición 3.1.2 Las geodésicas radiales partiendo de p ∈ M son ortogonales a las
esferas geodésicas centradas en p.
Demostración. Sea S(p, r) una esfera geodésica de radio r > 0, y q ∈ S(p, r), w ∈ Tq S(p, r).
Como expp : S(0, r) → S(p, r) es un difeomorfismo, ∃!x ∈ S(0, r), ∃!ξ ∈ TxS(0, r) = hxi⊥
tales que expp x = q, (d expp )x(ξ) = w. Por el Corolario 3.1.1,
gexpp x (d expp )x (x), (d expp)x (ξ) = gp(x, ξ) = 0.
Pero (d expp )x (x) = γ 0(1, p, x) y hemos terminado.
2
Teorema 3.1.1 (Las geodésicas minimizan radialmente d en bolas geodésicas)
Sea B(p, r) una bola geodésica centrada en p ∈ M y de radio r > 0. Dado q ∈ B(p, r), sea
v el único vector de B(0, r) ⊂ TpM con expp v = q. Llamemos γ(t) = γ(t, p, v) = expp (tv),
1 ≤ t ≤ 1. Entonces:
1.
L(γ) = kvk.
2.
Si α : [0, 1] → M es una curva C ∞ a trozos con α(0) = p, α(1) = q, entonces
L(γ) ≤ L(α), con igualdad sii α es una reparametrización no decreciente de γ.
Demostración. 1 es claro. Veamos 2 discutiendo dos casos sobre la curva α.
Caso I: Supongamos α([0, 1]) ⊂ B(p, r).
∞
Sea β = exp−1
a trozos en B(0, r) con la misma partición de vértices que
p ◦α, curva C
α y β(0) = 0, β(1) = v. Sea t ∈]0, 1] cumpliendo β(t) = 0, β(t) 6= 0 ∀t ∈]t, 1]. En
]t, 1]∗ =]t, 1] − {vértices de α}, podemos descomponer
0
β = gp
β
β,
kβk
0
β
+ β⊥ ,
kβk
en ]t, 1],
donde β ⊥ es ortogonal a β. Por tanto en ]t, 1]∗ se tiene
0
0
α = (d expp )β (β ) = gp
y
0 2
kα k = gp
β
β,
kβk
0
β
β,
(d expp )β
kβk
0
β
+ (d expp )β (β ⊥ )
kβk
2 2
β (d exp )β
+ k(d exp )β (β ⊥ )k2
p
p
kβk 3.1. DISTANCIA ASOCIADA A UNA MÉTRICA.
+2gp β 0 ,
β
gα (d expp )β
kβk
79
β
, (d expp )β (β ⊥ ) .
kβk
Como α = exp ◦β, podemos usar el Lema de Gauss en los sumandos primero y tercero.
Como β ⊥ β ⊥ , el tercer sumando se anula. Ası́ obtenemos
0 2
kα k = gp
β
β,
kβk
0
2
⊥
2
(A)
+ k(d expp )β (β )k ≥ gp
β
β,
kβk
0
2
.
Y de aquı́,
(B)
L(α) ≥
L(α)1t
=
=
Z
1
kαk dt ≥
t
Z
1
Z
(C) Z
gp β 0, β dt ≥
kβk 1
t
1
gp
β
β,
dt
kβk
t
0
(∗)
(kβk)0 dt = kβ(1)k − kβ(t)k = kvk = L(γ),
t
donde (A),(B),(C) se usarán al discutir la igualdad, y (∗) se obtiene aplicando la regla
de Barrow en cada componente de ]t, 1]∗. Si se da la igualdad, entonces se da la igualdad
en (A),(B),(C)
anteriores. De (A) se deduce
que β ⊥ = 0 o equivalentemente, β 0 =
β
gp β 0 , kβk
β
kβk
en ]t, 1]∗. Esto implica
β 0
kβk
= 0 en ]t, 1]∗, luego para cada componente
I de ]t, 1]∗ ∃cI ∈ Sn−1 (1) ⊂ (TpM, gp) tal que
β
kβk
= cI en I. De la igualdad en (B) se
β
tiene α ≡ p en [0, t]. Por último, la igualdad en (C) implica 0 ≤ gp β 0 , kβk
= gp(β 0 , cI )
en I, luego β|I recorre de forma no decreciente en norma un segmento dentro de la semirβ
recta R+ cI . Como kβk
es una curva continua en ]t, 1]∗, todos los cI deben ser el mismo.
Como β(t) = 0 y β(1) = v, tenemos que β|]t,1] recorre el segmento 0, v ⊂ TpM de forma
no decreciente en norma. Ahora sólo hay que componer con expp para obtener lo que
buscábamos.
Caso II: Supongamos α([0, 1]) 6⊂ B(p, r).
Tomemos t ∈]0, 1] tal que α(t) ∈ B(p, r) en [0, t[, α(t) ∈ ∂B(p, r) (esta frontera es topológica, no tiene porqué ser una esfera geodésica). Tomemos una sucesión {tk }k ⊂ [0, t[ convergiendo a t. Aplicando el caso I a α|[0,tk ] tenemos L(α)t0k ≥ kvk k, donde vk es el único
vector de B(0, r) ⊂ TpM con expp vk = α(tk ). Por tanto, L(α)t0 = lı́mk L(α)t0k ≥ lı́mk kvk k.
Veamos que kvk k → r: Puedo suponer tras pasar a una parcial que {kvk k}k tiene lı́mite
l ≤ r. Si l < r, entonces una parcial de vk convergerá a un vector v∞ ∈ B(0, r), luego
expp v∞ = lı́mk expp (vk ) = lı́mk α(tk ) = α(t), de donde α(t) ∈ B(p, r), contradicción. Ası́,
l = r luego L(α) ≥ L(α)t0 ≥ l = r > kvk = L(γ) y hemos terminado (la igualdad no puede
darse en este caso II).
2
En (Rn , g0) sabemos que toda bola B(p, r) es geodésica, luego el Teorema anterior
generaliza el Corolario 1.1.2. En la esfera Sn (1) la mayor bola geodésica centrada en
80
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
p ∈ Sn (1) es B(p, π) = Sn (1) − {−p}, luego dado cualquier punto q ∈ Sn (1) − {−p}, la
curva más corta uniendo p con q es el único arco de cı́rculo máximo de longitud < π
con estos extremos (la unicidad se pierde cuando la distancia es π, y los arcos de cı́rculo
máximo de longitud > π no son minimizantes).
Corolario 3.1.2 d es una distancia sobre M , y la topologı́a que genera coincide con la
topologı́a subyacente de M como variedad diferenciable2.
Demostración. Para que d sea una distancia, sólo queda ver que si p 6= q, entonces d(p, q) >
0. Esto será consecuencia de la siguiente
Afirmación 3.1.1 Si B(p, r) es una bola geodésica y q ∈
/ B(p, r), entonces d(p, q) ≥ r.
Demostración de la Afirmación 3.1.1. Basta ver que toda α curva C ∞ a trozos uniendo
p y q cumple L(α) ≥ r. Fijemos una curva α de este tipo y sea r0 ∈]0, r[. Como α es
continua, α(0) ∈ B(p, r0) y α(q) ∈
/ B(p, r0), ∃t0 ∈ [0, 1] tal que α(t0 ) ∈ ∂B(0, r0) =
0
0
expp (∂ B(0, r )) = S(p, r ) (esfera geodésica). Llamemos x ∈ ∂ B(0, r0) al único vector de
B(0, r) que se aplica en α(t0 ) por expp. Como x ∈ B(p, r), el Teorema 3.1.1 implica que
L(α)t00 ≥ r0, luego L(α) ≥ r0. Como esto es cierto ∀r0 ∈]0, r[, tenemos L(α) ≥ r y la
Afirmación está probada.
Sea Td la topologı́a generada por d y T la topologı́a original de M . Td tiene por base
de entornos de cada p ∈ M a {Bd (p, r) = {q ∈ M | d(p, q) < r} | r > 0}, mientras que
T tiene por base de entornos de p a {B(p, r) = expp (B(0, r)} | r es radio geodésico en p}.
Por tanto, T coincidirá con Td si vemos la siguiente
Afirmación 3.1.2 Si B(p, r) es una bola geodésica, entonces B(p, r) = Bd (p, r).
Demostración de la Afirmación 3.1.2. La Afirmación 3.1.1 implica que Bd (p, r) ⊂ B(p, r).
Recı́procamente, si q ∈ B(p, r) entonces ∃v ∈ B(0, r) tal que q = expp v. Por el Teorema 3.1.1, d(p, q) = kvk < r luego q ∈ Bd (p, r).
2
Corolario 3.1.3 (Función distancia a un punto) Sea p0 ∈ M y dp0 : M → R la
función continua3
dp0 (p) = d(p, p0), p ∈ M.
Si r > 0 es un radio geodésico4 en p, entonces dp0 ∈ C ∞ (B(p0 , r) − {p0}).
2
En particular, la topologı́a generada por la distancia asociada a una métrica no depende de la distancia
ni de la métrica.
3
La desigualdad triangular implica que la función distancia a un punto es continua en cualquier espacio
métrico.
4
Un radio geodésico es el radio de una bola geodésica.
3.1. DISTANCIA ASOCIADA A UNA MÉTRICA.
81
Demostración. Por el Teorema 3.1.1, la expresión local de dp0 respecto a la carta (B(p0 , r), exp−1
p0 )
es (dp0 ◦ expp0 )(v) = kvk, ∀v ∈ B(0, r).
2
Ejemplos de distancias asociadas a V.R.
1. El espacio euclı́deo n-dimensional.
En (Rn , g0), dp0 (p) = kp − p0 k ∀p ∈ Rn (porque todos los radios son geodésicos en
cualquiero punto p0 ∈ Rn ).
2. La esfera estándar (Sn (1), g).
v
Dados p ∈ Sn (1) y v ∈ TpSn (1), tenı́amos γ(t, p, v) = cos(kvkt)p + sen(kvkt) kvk
.
n
n
Además, B(p, π) = S (1)−{−p} es bola geodésica luego ∀q ∈ S (1)−{−p}, d(p, q) =
kvk donde v ∈ B(0, π) ⊂ TpSn (1) viene dado por γ(1, p, v) = q. De esta última
igualdad, tomando producto escalar con p, tenemos cos kvk = hp, qi luego
d(p, q) = arc coshp, qi, ∀p, q ∈ Sn (1).
(3.2)
(en realidad sólo hemos probado (3.2) cuando p 6= q; el caso p = q se tiene por
continuidad).
Definición 3.1.4 El diámetro de una V.R. (M n , g) es el diámetro del espacio métrico
(M, d) donde d es la distancia asociada a g:
diam(M, g) = sup{d(p, q) | p, q ∈ M }.
Ejemplos de diámetros.
1. diam(Rn , g0) = ∞.
2. diam(Sn (1), g) = π.
3. diam(RPn , g) = π2 :
Sabı́amos que dado p ∈ Sn (1) con proyección [p] ∈ RPn , B([p], π2 ) es bola geodésica.
Por tanto, diam(RPn , g) ≥ π2 . Por otro lado, dado cualquier q ∈ Sn (1) al menos
un elemento del conjunto {q, −q} está en el hemisferio superior cerrado centrado en
p, luego una de las distancias en (Sn (1), g) de p a q o de p a −q es ≤ π2 . Como π
conserva longitudes de curvas y podemos unir p con q (o p con −q) por una curva en
Sn (1) de longitud ≤ π2 , deducimos que [p], [q] pueden unirse en RPn por una curva
de longitud ≤ π2 . Como [p], [q] son arbitrarios, tenemos diam(RPn , g) ≥ π2 luego se
tiene la igualdad.
82
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
3.2.
Entornos totalmente normales.
Recordemos que en toda V.R. (M n , g), la exponencial exp estaba definida y era diferenciable en un abierto A ⊂ T M que contiene a la sección cero.
Proposición 3.2.1 Dado p ∈ M , existen abiertos V ⊂ A y U ⊂ M con (p, 0) ∈ V y
p ∈ U , tales que la aplicación
(π, exp) :
V
−→
U ×U
(q, v) 7−→ (q, expq v)
es un difeomorfismo.
Demostración. Por el Teorema de la función inversa aplicado a (π, exp) : A → M × M ,
basta probar que d(π, exp)(p,0) : T(p,0)A = T(p,0)T M → Tp M × TpM es un isomorfismo de
espacios vectoriales. Esto lo haremos viendo que d(π, exp)(p,0) es sobreyectiva, lo que a su
vez será consecuencia de los siguientes dos puntos:
(A) ∀v ∈ TpM , (v, 0) está en la imagen de d(π, exp)(p,0).
(B) ∀v ∈ TpM , (v, v) está en la imagen de d(π, exp)(p,0).
Sea v ∈ TpM y α : (−ε, ε) → M una curva diferenciable con α(0) = p, α0 (0) = v. Tomemos
e := (α, W ) es una curva diferenciable sobre
un campo W ∈ X(α) tal que W (0) = 0. Ası́, α
e (0) = (p, 0) luego por continuidad podemos suponer α(t)
e
TM y α
∈ A ∀t ∈ (−ε, ε).
Además,
e 0(0)) =
d(π, exp)(p,0)(α
d d
α(t), expα(t) W (t) = v, expα(t) W (t) .
dt 0
dt 0
Supongamos ahora que α es una geodésica (luego necesariamente α(t) = γ(t, p, v)) y que
W es de la forma W (t) = f (t)α0 (t), con f ∈ C ∞ (−ε, ε), f (0) = 0. Ası́,
e 0(0)) =
d(π, exp)(p,0)(α
d
v, expα(t) f (t)α0 (t) .
dt 0
Por otro lado, β(s) = α(t + s) es una geodésica con condiciones iniciales β(0) = α(t),
β 0 (0) = α0 (t), y s 7→ expα(t) sα0 (t) es otra geodésica con las mismas condiciones iniciales,
luego α(t + s) = expα(t) sα0 (t) siempre que |t + s| < ε y |t| < ε. En particular,
α(t + f (t)) = expα(t)(f (t)α0 (t))
para |t| < δ y para cierto δ > 0. Ası́,
e 0 (0)) = v,
d(π, exp)(p,0)(α
d α(t + f (t)) = (v, [1 + f 0 (0)]α0(0)) = (v, [1 + f 0 (0)]v).
dt 0
3.2. ENTORNOS TOTALMENTE NORMALES.
83
Si tomamos f ∈ C ∞ (−ε, ε) con f (0) = 0, f 0 (0) = −1, lo anterior prueba que (v, 0) está en
la imagen de d(π, exp)(p,0); por último, si tomamos f ∈ C ∞ (−ε, ε) con f (0) = 0, f 0 (0) = 0,
tenemos que (v, v) está en la imagen de d(π, exp)(p,0).
2
Lema 3.2.1 Sean W ⊂ M un abierto que contenga a p y δ > 0. Llamemos
W(δ) = {(q, v) ∈ T M | q ∈ W, gq (v, v) < δ 2 }.
Entonces, B(p,0) = {W(δ) | W ⊂ M abierto conteniendo a p, δ > 0} es base de entornos
abiertos de (p, 0) en la topologı́a de T M .
Demostración. Sea F : T M → R, F (q, v) = (q, gq(v, v)). Como F es continua y W(δ) =
F −1 (W ×] − δ, δ[), W(δ) es abierto de T M . Por tanto, B(p,0) será base de entornos de (p, 0)
en T M si vemos que ∀O ⊂ T M abierto con (p, 0) ∈ O, ∃W ⊂ M abierto con p ∈ W y
∃δ > 0 tales que (p, 0) ∈ W(δ) ⊂ O (que (p, 0) ∈ W(δ) es gratis).
Una base de la topologı́a de T M es
abto.
abto.
B = {ψe−1(O1 × O2) | O1 ⊂ U1 , O2 ⊂ Rn , (U1, ψ) ∈ A},
donde A es un atlas diferenciable sobre M y dada (U1 , ψ = (x1 , . . ., xn )) ∈ A, tenemos
e v) = (q, v(x ), . . ., v(x )). Como O es abierto de T M
ψe : π −1 (U1) → U1 × Rn , ψ(q,
1
n
−1
e
conteniendo a (p, 0), ∃ψ (O1 × O2 ) ∈ B tal que (p, 0) ∈ ψe−1(O1 × O2) ⊂ O. Tomemos
W = O1, abierto de M . W contiene a p porque (p, 0) ∈ ψe−1 (O1 × O2). Dado q ∈ O1 ,
∃C1 (q), C2(q) > 0 tales que
C1 (q)
n
X
a2i
≤ gq (v, v) ≤ C2 (q)
i=1
n
X
a2i ,
i=1
∀v ∈ Tq M con coordenadas (a1, . . . , an ) respecto a la base {
∂
∂xi q
| 1 ≤ i ≤ n} de
Tq M asociada a (U1, ψ). Además, podemos suponer que C1 , C2 son independientes de
q ∈ O1 (basta tomar O1 relativamente compacto). Por otro lado, O2 es√un abierto de Rn
conteniendo a 0, luego ∃ε > 0 tal que B(0, ε) ⊂ O2 . Veamos que δ := εC1 cumple que
W(δ) ⊂ ψe−1(O1 × O2) y habremos
terminado.
P
P
∂
Sean q ∈ O1 y v = i ai ∂xi
con gq (v, v) < δ 2 . Como C1 i a2i ≤ gq (v, v) < δ 2 ,
tenemos
P
2
i ai <
q
δ2
C1
= ε de donde (a1 , . . ., an ) ∈ O2 . Por tanto, W(δ) ⊂ ψe−1(O1 × O2). 2
Teorema 3.2.1 (Entornos totalmente normales) Dado p ∈ M , ∃W ⊂ M abierto
con p ∈ W y ∃δ = δ(W ) > 0 tales que
1.
∀q ∈ W , B(q, δ) es bola geodésica.
84
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
2.
∀q ∈ W , W ⊂ B(q, δ).
(A este W se le llama un entorno totalmente normal de p).
abto.
abto.
Demostración. Por la Proposición 3.2.1, ∃V ⊂ A y U ⊂ M con (p, 0) ∈ V y p ∈ U ,
abto.
tales que (π, exp) : V → U × U es un difeomorfismo. Por el Lema 3.2.1, ∃W ⊂ M y
∃δ > 0 tales que p ∈ W y (p, 0) ∈ W(δ) ⊂ V. Veamos que este W cumple 1: Sea q ∈ W .
Como {q} × B(0, δ) ⊂ W(δ) ⊂ V ⊂ A, expq está definida en B(0, δ) ⊂ Tq M . Además,
la restricción del difeomorfismo (π, exp) a {q} × B(0, δ) es (q, v) 7→ (q, expp v) (q es fijo),
luego expq es un difeomorfismo de B(0, δ) en su imagen y B(q, δ) es bola geodésica.
Cualquier abierto W1 ⊂ W que contenga a p cumplirá 1 con el mismo δ. Por tanto,
abto.
para terminar basta probar que ∃W1 ⊂ W con p ∈ W1 , tal que W1 ⊂ B(q, δ) ∀q ∈ W1 .
Como W(δ), la Proposición 3.2.1 implica que (π, exp)(W(δ)) es un abierto de U × U que
abto.
contiene a (p, p), luego ∃W1 ⊂ W tal que (p, p) ∈ W1 ×W1 ⊂ (π, exp)(W(δ)). Esta última
inclusión implica que dado q ∈ W1 , {q} × W1 ⊂ {(q, expq v) | gq (v, v) < δ 2 } = B(q, δ),
donde en la última igualdad hemos usado la Afirmación 3.1.2.
2
Nota 3.2.1
1. Un entorno totalmente normal es entorno normal de todos sus puntos.
2. Si W es un entorno totalmente normal de p ∈ M con radio asociado δ > 0 y q1 , q2 ∈ W ,
entonces existe una geodésica γ que parte de q1 y llega a q2 (basta considerar la bola
geodésica B(q1 , δ), que contiene a W ). Además, γ es la única5 curva C ∞ a trozos con
esos extremos que minimiza la distancia. γ podrı́a no estar contenida en W , aunque
sı́ lo estará en B(q1 , δ). De hecho, puede conseguirse que γ esté contenida en W sin
más que tomar un entorno estrictamente convexo6 dentro de W , subconjunto que
seguirá siendo un entorno totalmente normal de p con el mismo δ asociado.
Corolario 3.2.1 Sea α : [a, b] → M una curva C ∞ a trozos y [a, b]∗ = [a, b]−{vértices de α}.
Si L(α) = d(α(a), α(b)) y ∃c ≥ 0 tal que kα0 k = c en [a, b]∗, entonces α es una geodésica
(en particular, α es C ∞ ).
Demostración. Basta probar que dado t0 ∈]a, b[, ∃ε > 0 tal que α|[t0 −ε,t0 +ε] es geodésica.
Fijemos t0 ∈ [a, b] y sea W un entorno totalmente normal de α(t0 ), con radio asociado
δ > 0. Por continuidad, ∃ε > 0 tal que α([t0 − ε, t0 + ε]) ⊂ W . Por la Nota 3.2.1, existe
una geodésica γ uniendo α(t0 − ε) con α(t0 + ε) que además cumple
5
6
En el sentido del Teorema 3.1.1.
No veremos este tipo de entornos.
3.2. ENTORNOS TOTALMENTE NORMALES.
85
L(γ) = d(α(t0 − ε), α(t0 + ε)),
γ es la única curva (salvo reparamerizaciones) con sus mismos extremos y la menor
longitud posible.
Como α|[t0−ε,t0 +ε] tiene los mismos extremos que γ y minimiza la longitud entre ellos
(porque minimiza de a a b), α|[t0 −ε,t0 +ε] es una reparametrización no decreciente de γ,
i.e. α|[t0 −ε,t0 +ε] = γ ◦ φ donde φ es una función derivable a trozos con φ0 ≥ 0 donde
tenga sentido. Como α0 = (γ ◦ φ)φ0 y kα0k, kγ 0k son constantes en [t0 − ε, t0 + ε]∗ =
[t0 − ε, t0 + ε] ∩ [a, b]∗, ∃c1 ≥ 0 tal que φ0 = c en [t0 − ε, t0 + ε]∗ (ojo: c1 no depende de la
componente de [t0 − ε, t0 + ε]∗ ), luego φ es afı́n en cada componente de [t0 − ε, t0 + ε]∗ ,
con la misma pendiente en cada componente. Como φ es continua, concluı́mos que φ no
tiene vértices en [t0 − ε, t0 + ε], luego tampoco los tiene α. Por tanto, α|[t0 −ε,t0 +ε] es una
reparametrización afı́n de γ luego α|[t0 −ε,t0 +ε] es geodésica.
2
Corolario 3.2.2 Sean f, h : (M1, g1) → (M2, g2) isometrı́as locales con M1 conexa.
Supongamos que ∃p ∈ M1 tal que f (p) = h(p) y dfp = dhp . Entonces, f = h en M1.
Demostración. Sea q ∈ M1 . Como M1 es conexa, ∃α : [0, 1] → M continua con α(0) =
p, α(1) = q. Recubrimos α([0, 1]) por entornos totalmente normales Wα(t) de cada α(t).
Por ser α([0, 1]) compacto, podemos extraer un subrecubrimiento finito Wα(t1 ) , . . ., Wα(tk ) .
Reordenando los ı́ndices, podemos suponer Wα(ti−1) ∩ Wα(ti) 6= Ø y p ∈ Wα(t1 ), q ∈ Wα(tk ) .
Veamos que f = h en Wα(t1) y habremos terminado (basta repetir el proceso hasta llegar
a q): Dado x ∈ Wα(t1) , ∃γ geodésica con γ(0) = p, γ(1) = x. Como f, h son isometrı́as
locales, f ◦ γ, h ◦ γ son geodésicas de (M2, g2). Además tienen las mismas condiciones
iniciales, luego f ◦ γ = h ◦ γ, en particular f (x) = h(x).
2
Definición 3.2.1 Dada una V.R. (M n , g), denotaremos por Iso(M, g) el grupo de isometrı́as
de (M, g) en sı́ misma.
Corolario 3.2.3 Iso(Rn , g0) = O(n, R) × Rn (producto semidirecto de grupos).
Demostración. Sea λ : O(n, R) × Rn → Iso(Rn , g0), λ(A, b) = φA,b donde φA,b (p) = Ap + b,
∀p ∈ Rn . λ es claramente inyectiva. Dada φ ∈ Iso(Rn , g0), llamo A = dφ0 ∈ O(n, R) y
b = φ(0). Por el Corolario 3.2.2, φ = φA,b luego λ es sobreyectiva. Como λ es una biyección,
pude considerar en O(n, R) × Rn la estructura de grupos que hace a λ isomorfismo de
grupos. Es fácil ver que esta estructura de grupo es
(A1 , b1) ∗ (A2, b2) = (A1A2 , A1b2 + b1),
(producto semidirecto de O(n, R) y Rn ).
2
86
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
Corolario 3.2.4 Iso(Sn (1), g) = O(n + 1, R).
Demostración. Sea λ : O(n+1, R) → Iso(Sn (1), g), λ(A) = φA donde φA (p) = Ap ∀p ∈ Rn .
Es claro que λ es un morfismo de grupos. λ es inyectiva (considerar una base g0-ortonormal
de Rn ). Para ver que λ es sobreyectiva, tomo φ ∈ Iso(Sn (1), g) y fijo un punto p ∈ Sn (1).
Sea {v1, . . . , vn } una base ortonormal de hp, i⊥. Como φ(p) ∈ Sn (1) y dφp es una isometrı́a
vectorial de (hpi⊥, g0) en (hφ(p)i⊥, g0), {dφp(v1 ), . . ., dφp(vn )} será una base ortonormal
de hφ(p)i⊥. Por tanto, {dφp(v1), . . . , dφp(vn ), φ(p)} es una base ortonormal de (Rn+1 , g0),
lo mismo que {v1 , . . . , vn, p}. Ası́, ∃!A ∈ O(n + 1, R) tal que A(p) = φ(p), Avi = dφp (vi)
1 ≤ i ≤ n. Por el Corolario 3.2.2, φ = φA luego λ es sobreyectiva.
2
3.3.
Completitud. El Teorema de Hopf-Rinow.
A lo largo de esta Sección, (M n , g) será una V.R. conexa.
Definición 3.3.1 (M, g) se dice completa si el espacio métrico asociado en completo (toda
sucesión de Cauchy es convergente).
Por ejemplo, (Rn , g0) es una V.R. completa porque la distancia asociada es la usual,
que produce un espacio métrico completo.
En un espacio métrico, el que una sucesión sea convergente no depende de la distancia
sino de la topologı́a que ésta genera. Sin embargo, las sucesiones de Cauchy dependen de
la distancia considerada. En nuestro caso, el Corolario 3.1.2 implica que las sucesiones
convergentes en M no dependen de la métrica Riemanniana g. Pero las sucesiones de
Cauchy sı́ dependen de la métrica g. Por ejemplo: las sucesiones convergentes de (R2 )+
son independientes de considerar las métricas euclı́dea g0 o hiperbólica g = y12 g. Sin
embargo, ((R2 )+ , g) será completo pero ((R2)+ , g0) no, luego el conjunto de las sucesiones
de Cauchy en ((R2 )+ , g) están estrictamente contenido en el conjunto de las sucesiones de
Cauchy en ((R2 )+ , g0).
Proposición 3.3.1
1.
La completitud es un invariante Riemanniano.
2.
Si g, g 0 son métricas Riemannianas homotéticas en M , entonces (M, g) es completa
si y sólo si (M, g 0) es completa.
3.
Si g, g 0 son métricas Riemannianas en M con g ≤ g 0 y (M, g) es completa, entonces
(M, g 0) es completa.
3.3. COMPLETITUD. EL TEOREMA DE HOPF-RINOW.
4.
87
Si φ : M → (N, g) es un embebimiento con φ(M ) cerrado de N y (N, g) es completa,
entonces (M, φ∗g) es completa.
Demostración. 1,2 son evidentes. Para ver 3, basta ver que toda sucesión de Cauchy en
(M, dg0 ) es también de Cauchy en (M, dg ) (en tal caso será convergente por ser (M, g)
completa, y ser convergente sólo depende de la topologı́a). Esto es consecuencia de que
dg ≤ dg0 porque g ≤ g 0. Por último, usando 1 podemos reducir 4 al caso en que φ es la
inclusión. Sean dg , di∗g las distancias inducidas por g, i∗ g en N, M respectivamente. Como
Lg (α) = Li∗g (α) ∀α curva en M , tenemos dg (p, q) ≤ di∗ g (p, q), ∀p, q ∈ M . Esto implica
que si {pk }k ⊂ M es de Cauchy en di∗g , entonces es también de Cauchy en dg , luego
convergente en N . El lı́mite en N de {pk }k tiene que estar en M por ser ésta cerrada,
luego {pk }k ⊂ M es convergente en M .
2
Empezamos ya los preparativos del Teorema de Hopf-Rinow.
Lema 3.3.1 Sea p ∈ M tal que expp está definida en todo TpM . Entonces, todo q ∈ M
puede unirse a p por una geodésica minimizante.
Demostración. Fijemos q ∈ M y sea R = d(p, q). Tomemos r > 0 tal que S(p, r) es esfera
geodésica. ¿Cuál es la dirección del camino más corto de p a q? Sea f : S(p, r) → R la
función distancia a q, f (x) = d(x, q), x ∈ S(p, r). Como S(p, r) es compacta, ∃x0 ∈ S(p, r)
donde f alcanza un mı́nimo. Para este x0 , ∃!v ∈ Tp M con kvk = 1 tal que expp(rv) = x0 .
Veamos que γ(t) = γ(t, p, v) es la geodésica buscada: primero, γ está definida en todo R.
Como es p.p.a., es L(γ)t0 = t ∀t > 0. Basta entonces comprobar que γ(R) = q. Sea
A = {t ∈ [r, R] | d(γ(t), q) = R − t}.
A es cerrado (es el conjunto de coincidencia de dos funciones continuas).
Afirmación 3.3.1 r ∈ A (luego A 6= Ø).
Demostración de la Afirmación 3.3.1. R = d(p, q) ≤ d(p, x0) + d(x0, q) = r + d(x0, q). Por
tanto, d(γ(r), q) = d(x0, q) ≥ R − r. Veamos que la desigualdad estricta es imposible: por
reducción al absurdo, supongamos d(x0 , q) > R − r. Tomamos ε > 0 tal que R − r + ε <
d(x0 , q). Como R + ε > R = inf{L(α) | α curva uniendo p, q}, ∃α : [0, 1] → M curva C ∞
a trozos con α(0) = p, α(1) = q, R ≤ L(α) < R + ε. Por conexión, ∃x ∈ α([0, 1]) ∩ S(p0, r).
Ası́, r+L(α)qx ≤ L(α)xp +L(α)qx = L(α) < R+ε luego d(x, q) ≤ L(α)qx < R−r+ε < d(x0, q),
lo que contradice que x0 es mı́nimo de f .
Afirmación 3.3.2 sup A = R.
88
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
Demostración de la Afirmación 3.3.2. sup A existe porque [r, R] es acotado y por la Afirmación 3.3.1. Basta probar que dado t0 ∈ A con t0 < R, ∃δ > 0 tal que t0 +δ ∈ A. Elegimos
δ > 0 tal que t0 + δ ≤ R y S(γ(t0), δ) es esfera geodésica. Usando el razonamiento hecho
hasta ahora, ∃y0 ∈ S(γ(t0), δ) donde d(·, q)|S(γ(t0),δ) alcanza su mı́nimo. Por la Afirmación 3.3.1 en este caso, tenemos d(y0 , q) = d(γ(t0), q) − δ = R − t0 − δ (porque t0 ∈ A). Sea
b (0) = γ(t0), γ
b (δ) = y0 , L(γ
b ) = d(γ(t0), y0) = δ
γb : [0, δ] → M la única geodésica tal que γ
t0
b
b es C ∞ a trozos,
(nótese que γ no tiene porqué estar definida en todo R). La curva γ|0 ∪ γ
une p con y0 y tiene velocidad cte. 1 en norma donde tenga sentido. Si vemos que γ|t00 ∪ γb
minimiza la longitud entre sus extremos, será diferenciable por el Corolario 3.2.1. Por la
desigualdad triangular, R = d(p, q) ≤ d(p, y0) + d(y0, q) = d(p, y0) + R − t0 − δ, luego
b ) = L(γ|t00 ) + L(γ
b) = t0 + δ ≤ d(p, y0) ≤ L(γ|t00 ∪ γ
b ),
d(p, y0) ≥ t0 + δ. Entonces L(γ|t00 ∪ γ
t0
b
luego γ|0 ∪ γ minimiza la longitud entre sus extremos, y por tanto es diferenciable en γ(t0).
Como γ|t00 y γb son geodésicas con las mismas condiciones iniciales en γ(t0), coincidirán:
γb (t) = γ(t + t0 ), ∀t ∈ [0, δ]. Veamos ya que t0 + δ ∈ A: t0 + δ ≤ R por definición de δ, y
b(δ), q) = d(y0, q) = R − t0 − δ.
d(γ(t0 + δ), q) = g(γ
2
Dado p ∈ M y r > 0 (no necesariamente radio geodésico), denotaremos por Bd (p, r)
la bola métrica centrada en p y de radio r. Para radios geodésicos, Bd (p, r) = B(p, r).
Lema 3.3.2 Sea p ∈ M tal que expp está definida en todo Tp M . Entonces, expp (B(0, r)) =
Bd (p, r) ∀r > 0 (esto era conocido para radios geodésicos).
Demostración. Fijemos r > 0. Que expp (B(0, r)) ⊂ Bd (p, r) es por definición de distancia
asociada a g. Recı́procamente, si q ∈ Bd (p, r) entonces el Lema 3.3.1 implica que ∃γ
geodésica minimizante, uniendo p con q y p.p.a. Ası́ γ se escribe γ(t) = expp (tγ 0(0)) luego
q = γ(d(p, q)) = expp (d(p, q)γ 0(0)) ∈ expp (B(0, r)).
2
Lema 3.3.3 Sea γ : [0, t0[→ M una geodésica tal que ∃q = lı́mt→t− γ(t) ∈ M . Entonces,
0
γ puede extenderse como geodésica a [0, t0 + ε[ para cierto ε > 0, con γ(t0) = q.
Demostración. Claramente podemos suponer γ p.p.a. Tomemos un entorno totalmente
normal W de q, con radio asociado δ > 0. Como la curva γ : [0, t0] → M dada por
γ(t) =
(
γ(t) si 0 ≤ t < t0
q
si t = t0
es continua y γ(t0 ) = q ∈ W que es abierto, ∃t1 ∈ [0, t0[ tal que γ(]t1 , t0]) ⊂ W . Como
q = lı́mt→t− γ(t), podemos tomar t0 ∈]t1 , t0[ tal que d(γ(t0), q) ≤ δ2 . Como γ(t0) ∈ W y
0
éste es un entorno totalmente normal, B(γ(t0), δ) es bola geodésica. Por tanto, todas las
geodésicas radiales saliendo de γ(t0) están definidas al menos, en ] − δ, δ[. Como γ es una
de ellas salvo una traslación de parámetro, γ estará definida en [t0 , t0 + δ] y minimiza la
3.3. COMPLETITUD. EL TEOREMA DE HOPF-RINOW.
longitud de γ(t0) a γ(t0 + δ). Como d(γ(t0), q) ≤
donde toma el valor q.
δ
2,
89
en particular γ está definida en t0 ,
2
Teorema 3.3.1 (Hopf-Rinow, 1931) Sea (M, g) una V.R. conexa. Entonces, son equivalentes:
1.
(M, g) es completa.
2.
∀p ∈ M , expp está definida en todo TpM .
3.
∃p ∈ M tal que expp está definida en todo TpM .
4.
La familia de compactos de M coincide con la familia de cerrados y d-acotados.
Además, cualquiera de los puntos anteriores implica que ∀p, q ∈ M existe una geodésica
minimizante que une p con q.
Demostración.
1 ⇒2. Sea p ∈ M . Probar que expp está definida en todo Tp M equivale a demostrar
que ∀v ∈ TpM con kvk = 1, la geodésica γ(t) = expp (tv) está definida en todo
R. Supongamos entonces que para un v ∈ TpM con kvk = 1, γ(t) está definida en
[0, t0[ pero no en t0 (al menos está definida en un entorno de cero). Si probamos
que ∃ lı́mt→t− γ(t) ∈ M , entonces el Lema 3.3.3 producirá la contradicción buscada.
0
Sea {tk }k ⊂ [0, t0[ con tk % t0 . {γ(tk )}k es de Cauchy porque d(γ(tk), γ(tl)) ≤
L(γ)ttlk = |tk − tl |. Como (M, g) es completa, {γ(tk )}k es convergente luego ∃q ∈ M
tal que γ(tk ) → q cuando k → ∞. Para probar que lı́mt→t− γ(t) = q, veremos que
0
lı́mt→t− d(γ(t), q) = 0: Fijo t ∈ [0, t0[. Entonces, d(γ(t), γ(tk)) ≤ L(γ)ttk = |t − tk |.
0
Tomando k → ∞, tendremos d(γ(t), q) ≤ |t − t0 |, y esto es cierto ∀t ∈ [0, t0[. Por
tanto 0 ≤ lı́mt→t− d(γ(t), q) ≤ lı́mt→t− |t − t0 | = 0 luego lı́mt→t− γ(t) = q.
0
0
0
2 ⇒3. Evidente.
3 ⇒4. En un espacio métrico, todo compacto es cerrado y acotado. Recı́procamente, si
A ⊂ M es cerrado y acotado, entonces A ⊂ Bd (p, R) para cierto R > 0 (p es el punto
de M donde suponemos que expp está definida en todo Tp M ). Por el Lema 3.3.2,
Bd (p, R) = expp (B(0, R)) ⊂ expp (B(0, R)). Como expp (B(0, R)) es imagen continua
de un compacto, también es compacto. Como A es cerrado dentro de un compacto,
también será compacto.
4 ⇒1. Sea {pk }k de Cauchy. Como {pk }k es acotada, ∃R > 0 tal que {pk }k ⊂ Bd (p, R),
que es compacto (p es cualquier punto de M ). Por tanto, {pk }k admite una parcial
convergente. Pero una sucesión de Cauchy con una parcial convergente es ella misma
convergente.
90
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
Finalmente, la última afirmación del Teorema 3.3.1 es consecuencia de Lema 3.3.1.
2
Corolario 3.3.1 En una variedad diferenciable compacta, toda métrica es completa.
(El recı́proco es cierto: Teorema de Nomizu-Ozeki).
Corolario 3.3.2 El plano hiperbólico (H2, g) es una variedad completa.
Demostración. Basta aplicar el Teorema de Hopf-Rinow y que ∀p ∈ H2 , la exponencial
expp está definida en todo TpH2.
2
Corolario 3.3.3 Si O es un abierto no trivial de una V.R. conexa (M, g), entonces (O, g)
no es completa.
Demostración. Como M es conexa y O es un abierto no trivial, ∃p ∈ ∂O. Sea B(p, r) una
bola geodésica de (M, g) y sea q ∈ B(p, r) ∩ O. Como B(p, r) es bola geodésica, existe
γ : [0, 1] → M geodésica con γ(0) = p, γ(1) = q. Reparametrizo γ por α(t) = γ(1 − t), y
tenemos una nueva geodésica de (M, g). Como α(0) = q ∈ O y O es abierto, ∃ε > 0 tal
que α([0, ε[) ⊂ O. Ası́, α : [0, ε[→ O es geodésica de (O, g) que no está definida para t = 1.
Por el Teorema de Hopf-Rinow, (O, g) no puede ser completa.
2
Corolario 3.3.4 Sea φ : (M1, g1) → (M2 , g2) una isometrı́a local. Si (M1, g1) es completa,
entonces (M2 , g2) también es completa.
Demostración. Por el Teorema de Hopf-Rinow, basta encontrar p2 ∈ M2 tal que expp2
está definida en todo Tp2 M2 . Tomamos p2 ∈ φ(M1) y usamos que φ lleva geodésicas en
geodésicas por ser isometrı́a local. Como las geodésicas de (M1 , g1) están definidas en todo
R, también lo estarán las geodésicas de (M2, g2) radiales en p2 .
2
Corolario 3.3.5 (M1 × M2 , g1 × g2 ) es completa si y sólo si (M1, g1) y (M2 , g2) son
completas.
Demostración. Es consecuencia del Teorema de Hopf-Rinow y de que toda geodésica de
la métrica producto es de la forma γ = (γ1, γ2) con γi geodésica en (Mi , gi), i = 1, 2. 2
Definición 3.3.2 Una curva α : [0, ∞[→ M se dice divergente si ∀C ⊂ M compacto,
∃t0 ≥ 0 tal que α(]t0 , ∞[) ∩ C = Ø (este concepto sólo depende de la topologı́a de M ).
3.4. VARIEDADES CON CURVATURA SECCIONAL CONSTANTE.
91
Si g es una métrica Riemanniana sobre M y α es C ∞ a trozos, siempre ∃ lı́mt→∞ L(α)t0 ∈
[0, ∞]. A este lı́mite lo llamamos la longitud de α.
Corolario 3.3.6 (M, g) es completa si y sólo si toda curva divergente tiene lontigud infinita.
Demostración. Si suponemos (M, g) completa y α[0, ∞[→ M es una curva divergente
con longitud finita L(α), entonces la traza de α se queda contenida en Bd (α(0), L(α)),
que es compacto por el Teorema de Hopf-Rinow. Esto contradice que α sea divergente.
Recı́procamente, supongamos por reducción al absurdo que (M, g) no es completa. Por
el Teorema de Hopf-Rinow, ∃(p, v) ∈ T M tal que γ(t) = expp (tv) está definida en [0, t0[
pero no en t0 ∈ R+ . γ es una curva de longitud L(γ) = t0 kvk < ∞ luego por hipótesis no
puede ser divergente. Por tanto, ∃C ⊂ M compacto y ∃{tk } ⊂ [0, t0[ con tk % t0 tales que
γ(tk ) ∈ C ∀k. Como C es compacto, {γ(tk )}k tiene una parcial convergente a un punto
q ∈ C. Usando los argumentos de la demostración del Lema 3.3.3 tendremos que γ puede
extenderse más allá de t0 , contradicción.
2
3.4.
Variedades con curvatura seccional constante.
En esta Sección estudiaremos las V.R. con c.s.c. k ∈ R. Veremos que en el caso completo
y simplemente conexo, sólo hay treos modelos para estas geometrı́as. También obtendremos
información para topologı́as más complicadas, vı́a espacios recubridores.
fn, ge) dos V.R. con tensores de curvatura reTeorema 3.4.1 (Cartan) Sean (M n , g), (M
e
f
f e ) una isometrı́a vectorial.
spectivos R, R. Sean p ∈ M, pe ∈ M e I : (TpM, gp) → (Te
p M , ge
p
Supongamos además que para ciertos r > 0, k ∈ R se tienen
1.
B(p, r) es bola geodésica en (M, g).
2.
f
expe
p está definida en B(0, r) ⊂ Tp
eM (no es necesariamente difeomorfismo sobre su
imagen).
3.
Rγ (X, γ 0)γ 0 = k kγ 0k2 X − gγ (X, γ 0)γ 0 ,
h
i
e γ
e −g
e e 0 )γ
e 0 )γ
e 0 = k kγ
e 0 k2 X
ee
e0 ,
Reγ (X,
γ (X, γ
e ∈ X(γ
e geodésicas radiales en B(p, r) y en exppe(B(0, r)) y ∀X ∈ X(γ), X
e)
∀γ, γ
respectivamente.
f g
e) es una isometrı́a
Entonces, la aplicación φ = exppe ◦I ◦ (expp )−1 : (B(p, r), g) → (M,
local con dφp = I.
92
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
Demostración. φ es C ∞ por composición. Fijemos q ∈ B(p, r) y veamos que dφq es una
isometrı́a vectorial. Basta entonces probar que
kdφp(w)k = kwk,
(3.3)
∀w ∈ Tq M . Como B(p, r) es bola geodésica, ∃!v ∈ B(0, r) ⊂ Tp M tal que expp v = q.
v
Consideremos la geodésica p.p.a. γ(t) = expp t kvk
en (M, g), que está definida el menos
v
e (t) = exppe tI( kvk
en [0, kvk] (tiene imagen contenida en B(p, r)). Sea γ
) , t ∈ [0, kvk],
f, g
e). Entonces,
geodésica en (M
γ(0) = p, γ(kvk) = q,
v
e = φ ◦ γ, γ
e (0) = pe y γ
e 0(0) = I( kvk
γ
) (en particular, γe también es p.p.a.).
Probaremos (3.3) dividiéndolo en dos casos.
Caso I: w, γ 0(kvk) son linealmente dependientes.
Pongamos w = λγ 0(kvk), λ ∈ R. Entonces, dφ(w) = λdφq (γ 0(kvk)) = λ(φ ◦ γ)0(kvk) =
e 0(kvk). Tomando normas, kdφq (w)k = |λ| = kwk.
λγ
Caso II: w, γ 0(kvk) son ortogonales.
Por el Lema de Gauss, puedo ver w como vector tantente en q a la esfera geodésica
S(p, kvk). Por tanto, ∃v(s) :] − ε, ε[→ Tp M tal que kv(s)k = kvk, v(0) = v, (expp ◦v)0(0) =
f
w. Ası́, s 7→ (I ◦ v)(s) es una curva en B(0, r) ⊂ Te
p M luego tienen sentido las superficies
f dadas por
parametrizadas f : [0, kvk]×] − ε, ε[→ M , fe : [0, kvk]×] − ε, ε[→ M
f (t, s) = expp
(I ◦ v)(s)
e
f (t, s) = expe
= (φ ◦ f )(t, s).
p t
kvk
v(s)
t
,
kvk
Como f, fe son variaciones por geodésicas de γ, ge, el Lema 2.10.1 asegura que los respectivos
campos variacionales V, Ve de f, fe son campos de Jacobi a lo largo de γ, γe. Como f, fe son
e 0:
propias en p, pe tenemos V (0) = Ve (0) = 0. Veamos que V ⊥ γ 0 y Ve ⊥ γ
0
gγ(t)(V (t), γ (t)) = gγ(t)
∂f
∂s
∂f
,
∂t
(t,0)
!
(t,0)
(∗)
= gp t
v 0 (0) v
,
kvk kvk
=0
donde en (∗) hemos usado el Lema de Gauss. Para ver que Ve ⊥ γe 0 el razonamiento es
el mismo, pero además usamos que I es una isometrı́a
(el penúltimo
térmi
vectorial
I(v 0 (0)) I(v)
∂f
d
e
no sale ge
= dt expp(v(s)) =
p t kvk , kvk ). Por otro lado, V (kvk) =
∂s
(kvk,0)
◦v)0(0)
0
= w, luego Ve (kvk) = dφp(V (kvk)) = dφq (w). Ası́, (3.3) se reduce en este
(expp
caso a comprobar
kV (kvk)k = kVe (kvk)k.
(3.4)
3.4. VARIEDADES CON CURVATURA SECCIONAL CONSTANTE.
93
f, ge) se comportan
La hipótesis 3 nos dice que los tensores de curvatura de (M, g) y (M
sobre direcciones radiales en p, pe como los tensores de curvatura de una variedad de c.s.c.
k (con la misma cte. para ambas). En particular, esto es cierto a lo largo de γ, ge. Por
tanto, ahora podemos usar la descripción de los campos de Jacobi en una geodésica p.p.a.
de una V.R. con c.s.c. k ∈ R que hicimos en la página 60 y ss. Usando esto, que γ, γe son
e 0 con V (0) = Ve (0) = 0, tenemos
p.p.a. y que V, Ve son ortogonales a γ 0, γ
Ve (t) = Sk (t)Pe (t),
V (t) = Sk (t)P (t),
donde Sk se definió en (2.29) y P (t), Pe (t) son los únicos campos paralelos a lo largo
e
DV
(kvk)k =
dt (0). Ası́, kV (kvk)k = |Sk (kvk)|kP
DV
e
|Sk (kvk)|kP (0)k = |Sk (kvk)| dt (0) y análogamente kVe (kvk)k = |Sk (kvk)| DdtV (0) Por
DVe
tanto, el Teorema estará probado si vemos que DV
(0)
=
(0)
.
dt
dt
de γ, γe con P (0) =
DV
dt
(0) y Pe (0) =
DV
d v(s)
D expp t
(0) =
dt
∂t t=0 ds t=0
kvk
v
Llamando X(t) = (d expp )t kvk
v 0 (0)
kvk
D v
=
t(d expp )t kvk
∂t t=0
v 0(0)
.
kvk
, tenemos
DV
v 0(0)
D tX(t)
=
X(0)
=
(d
exp
)
(0) =
p 0
dt
∂t t=0
kvk
Con Ve podemos hacer lo mismo, de donde
e
DV
dt (0)
0
=
v 0(0)
.
kvk
v (0)
= (d expe
p )0 I( kvk ) = I
DVe
I es una isometrı́a, concluı́mos que DV
(0)
=
(0)
.
dt
dt
v 0 (0)
kvk
. Como
2
Corolario 3.4.1 Dos V.R. con la misma dimension y con la misma c.s.c. son localmente
isométricas.
Por ejemplo, un plano y un cilindro de R3 son localmente isométricos, y lo mismo pasa
con un plano y un toro cociente de R2 por dos traslaciones linealmente independientes.
Nótese que una esfera no puede localmente isométrica a un plano por el Teorema egregium
de Gauss, lo que justifica los distintos modos de proyectar mapas en cartografı́a).
3.4.1.
Espacios recubridores Riemannianos.
Recordemos que en Topologı́a, un recubridor de espacio topológico (e.t.) (X, T ) es un
e π) donde (X,
e T
f) es un e.t. y π : X
e → X es una aplicación continua y sobreyectiva
par (X,
x
que cumple: ∀x ∈ X, ∃U entorno abierto y arcoconexo de x tal que si π −1(U x ) =
∪α Vα es la descomposición en arcocomponentes de π −1(U x ), entonces π|Vα : Vα → U x
94
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
es un homeomorfismo ∀α (U x se llama entorno fundamental de x). Un automorfismo
e → X es un homeomorfismo ϕ : X
e → X
e que conmuta con π (es
del recubridor π : X
decir, conserva las fibras). El conjunto de automorfismos del recubridor es un grupo con
e π). El recubridor se dice regular si ∃x0 ∈ X,
la composición, al que llamaremos Aut(X,
−1
e
e π)
e0 ∈ π ({x0}) tales que π∗ (π1(X, x
e0 )) / π1 (X, x0) (esto no depende de x, x
e0 ). Si X,
∃x
π1 (X,x0 )
e π) y
es un recubridor regular de X, entonces el grupo
es isomorfo a Aut(X,
e
biyectivo a π −1 ({x0}). Por tanto,
π∗ (π1 (X,e
x0 ))
e π)).
#(hojas del recubridor) = #(Aut(X,
Sea (Y, T 0) un e.t. arcoconexo y localmente arcoconexo, y G ≤ Homeo(Y, T 0) un subgrupo
abto.
de homeomorfismos que actúa propia y discontiuamente sobre Y (i.e. ∀y ∈ Y ∃U ⊂ Y
conteniendo a y, tal que ϕ(U ) ∩ U = Ø ∀ϕ ∈ G − {1}). Entonces, π : Y → Y /G es un
recubridor regular, donde la relación de equivalencia sobre Y es
y ∼ y 0 ⇐⇒ ∃ϕ ∈ G | ϕ(y) = y 0 .
Además, G = Aut(Y, π). Este resultado topológico, junto con el Teorema 1.4.1, implican
Proposición 3.4.1 Sea (M n , g) una V.R. y G ⊂ Iso(M, g) un subgrupo que actúa propia
y discontinuamente. Entonces, π : (M, g) → (M/G, g 0) es un recubridor regular.
f, π) un recubridor topológico de
Teorema 3.4.2 Sea M una variedad diferenciable y (M
M . Entonces,
1.
f que hace a π difeomorfismo local. Además,
∃! estructura diferenciable sobre M
f, π) ⊂ Difeom(M)
f para esta estructura diferenciable.
Aut(M
2.
Si g es una métrica Riemanniana sobre M , entonces ∃! métrica Riemanniana ge sobre
f que convierte a π : (M,
f g
f, π) ⊂
e) → (M, g) en isometrı́a local. Además, Aut(M
M
f
Iso(M , ge) (a ge se le llama la métrica del recubrimiento).
3.
f, ge) también lo es.
Si (M, g) es completa, entonces (M
f que haga a π
Demostración. Veamos 1: Para definir una estructura diferenciable en M
f. Usando la trivialización local del
difeomorfismo local, se considera un punto pe ∈ M
f
recubridor, podemos restringir π a un abierto de M conteniendo a pe como homeomorfismo
sobre su imagen, y luego componerla con una carta en M definida dentro de dicha imagen
f. Esto producirá un
(con abierto coordenado que contenga a π(pe)), y luego variar pe en M
atlas con cambios de cartas diferenciables (los cambios de cartas son los de M ), que
e sobre M
f que hace a π difeomorfismo
a su vez genera una estructura diferenciable D
3.4. VARIEDADES CON CURVATURA SECCIONAL CONSTANTE.
95
e 0 sobre M
f hace a π
local. La unicidad se deduce de que si otra estructura diferenciable D
e yD
e 0 han de ser diferenciables
difeomorfismo local, entonces los cambios de cartas entre D
0
e
(escribir π localmente usando para bajarla una carta de D y otra de M ).
f, ge = (dπ )∗ (g
Para probar 2, uno define para cada pe ∈ M
p
e
p
e
π(e
p) ), que es producto escalar
porque dπe
es
difeomorfismo
local.
Usando
trivializaciones
locales
es fácil probar que ge es
p
f, g
e) → (M, g) se hace isometrı́a local. Para comprobar que
C ∞ , y por definición π : (M
toda transformación φ del recubridor se hace isometrı́a de ge, basta pasar a diferenciales la
igualdad π ◦ φ = π y usar que π es isometrı́a local.
f. Dado ve ∈ T M
f, la
Por último, supongamos que (M, g) es completa y sea pe ∈ M
p
e
e (t) = expe
e) está definida, al menos, en un entorno de cero. Como (M, g) es
geodésica γ
p (tv
e
completa, la geodésica γ(t) = expπ(e
p)(tdπe
p (v ) está definida en todo R. Usamos la propiedad
f con condición
b : R → M
de levantamiento de curvas del recubridor para levantar γ a γ
f, ge), y por unicidad de las
b es geodésica de (M
incial γb(0) = pe. Como π es isometrı́a local, γ
f, ge) es
geodésicas coincide con γe en un entorno de 0. Por el Teorema de Hopf-Rinow, (M
completa.
2
Veamos una especie de recı́proco del apartado 2 del Teorema 3.4.2.
f, g
e) → (M, g) una isometrı́a local entre dos V.R., siendo
Teorema 3.4.3 Sea φ : (M
f, ge) completa. Estonces, (M,
f φ) es un recubridor de M .
(M
f, ge) lo es y φ es isometrı́a local
Demostración. Notemos que (M, g) es completa, ya que (M
(Corolario 3.3.4).
f y sea q ∈ M . Como (M, g) es completa,
Veamos que φ es sobreyectiva: Fijemos pe ∈ M
el Teorema de Hopf-Rinow asegura que ∃γ : [0, L] → M geodésica p.p.a. y minimizante
f la única geodésica con condiciones iniciales
con γ(0) = p, γ(L) = q. Sea γe : R → M
0
−1
0
f
e es una geodésica
γe (0) = pe, γe (0) = (dφe
p ) (γ (0)) ∈ Te
p M . Como φ es isometrı́a local, φ ◦ γ
e(L)) ∈ φ(M ).
de M y por unicidad de geodésicas, φ ◦ γe = γ. Ası́, q = φ(γ
Ahora veamos que φ admite entornos fundamentales y será una proyección recubridora.
Afirmación 3.4.1 Sea p ∈ M y R > 0 es radio geodésico en p entonces R es radio
geodésico en cada punto de φ−1 ({p}) y φ : B(pe, R) → B(p, R) es un difeomorfismo.
Demostración de la Afirmación 3.4.1. Consideremos la bola métrica Bde(pe, R). Como φ
es isometrı́a local no puede aumentar las distancias, luego φ(Bde(pe, R)) ⊂ Bd (p, R) =
e (0, R), B(0, R) las
B(p, R) (esta última igualdad se da por la Afirmación 3.1.2). Sean B
f e ), (TpM, gp ) respectivamente.
bolas centradas en el origen y de radio R en (Te
p M , ge
p
96
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
e (0, R)
B
dφe
p
- B(0, R)
expe
p
expp (difeom.)
?
Bde(pe, R)
?
B(p, R)
e (0, R) → B (pe, R)
↓ es difeomorfismo luego ↓→ también lo es. En particular, exppe : B
de
f, ge) completa (Lema 3.3.2). Pasando a
es inyectiva. También es sobreyectiva por ser (M
diferenciales el diagrama anterior, expe
p es difeomorfismo local, luego es un difeomorfismo.
Por último, el diagrama implica que φ también es difeomorfismo.
→
Afirmación 3.4.2 Sea p ∈ M y R > 0 tal que 2R es radio geodésico en p. Entonces,
B(p, R) es un entorno fundamental de p.
Demostración de la Afirmación 3.4.2. Por la Afirmación 3.4.1, φ : B(pe, 2R) → B(p, 2R)
es un difeomorfismo, ∀pe ∈ φ−1 ({p}). Veamos que
e, r)
φ−1 (B(p, r)) = ∪e
p∈φ−1 ({p})B(p
(unión disjunta)
e ∈ B(pe1 , R) ∩ B(pe2 , R)
Dados pe1 , pe2 ∈ φ−1 ({p}) con B(pe1 , R) ∩ B(pe2 , R) 6= Ø, ∃x
e
e
e
e) + d(x
e, f
luego d(pe1, pe2 ) ≤ d(pe1, x
p2 ) < 2R. Por tanto, pe1, pe2 ∈ B(pe1 , 2R) tienen la
misma imagen por φ luego pe1 = pe2 .
e ∈ φ−1 (B(p, R)). Ası́ x = φ(x
e) ∈ B(p, R) (bola geodésica) luego ∃! geodésica
Sea x
minimizante y p.p.a. γ : [0, L] → M con γ(0) = p, γ(L) = x. Definimos β : [0, L] →
f con
M por β(t) = γ(L − t) (geodésica p.p.a.). Considero la ! geodésica βe : R → M
−1 0
e
e
e, βe0 (0) = (dφe
β(0)
=x
x ) (β (0)). φ ◦ β es geodésica en (M, g) (φ es isometrı́a local),
e
y tiene las mismas condiciones iniciales que β luego φ ◦ βe = β. Ası́ β(L)
∈ φ−1 ({p})
e β(L),
e
e L = L = L(γ)L = d(p, x) < R, de donde x
e
e) ≤ L(β)
e ∈ B(β(L),
luego d(
x
R), y
0
0
−1
e
hemos probado que φ (B(p, R)) ⊂ ∪e
B(
p
,
R).
−1
p∈φ ({p})
e, R) ⊂ φ−1 (B(p, R)) es consecuencia de que φ no aumenta las
Que ∪e
p∈φ−1 ({p})B(p
distancias por ser isometrı́a local.
2
f, g
e) → (M, g) una isometrı́a local entre dos V.R., siendo
Corolario 3.4.2 Sea φ : (M
f, ge) completa y π1 (M ) = 0. Estonces, φ es una isometrı́a.
(M
f → M un difeomorfismo local entre dos variedades diferCorolario 3.4.3 Sea φ : M
f
enciables, siendo M compacta. Entonces, φ es una proyección recubridora. Si además
π1 (M ) = 0, entonces φ es un difeomorfismo.
3.4. VARIEDADES CON CURVATURA SECCIONAL CONSTANTE.
3.4.2.
97
Clasificación de las V.R. de c.s.c.
Teorema 3.4.4 (Cartan) Sea (M n , g) (n ≥ 2) una V.R. completa, simplemente conexa
y con c.s.c. k ∈ R. Entonces, (M, g) es isométrica a la variedad modelo (Mn (k), gk) dada
por
 n √1
∗ h, i

S
(
),
g
=
i
si k > 0,

k

k
n
n
(M (k), gk ) =
(R , g0 = h, i)
si k = 0,


 Hn , g = √1 g
si k < 0,
k
−k −1
donde g−1 es la métrica estándar en Hn con c.s.c. −1.
Demostración. Supongamos k ≤ 0.
Fijemos x ∈ Mn (k), p ∈ M y sea I : (TxMn (k), (gk)x ) → (TpM, gp) una isometrı́a vectorial.
Tomando r = +∞ en el Teorema local de Cartan (nótese que (M, g) es completa y
B(x, +∞) = Mn (k) es bola geodésica por ser k ≤ 0), deducimos que φ = expp ◦I ◦
(expx )−1 : (Mn (k), gk ) → (M, g) es una isometrı́a local. Como (Mn (k), gk ) es completa y
π1 (M ) = 0, el Corolario 3.4.2 implica que φ es una isometrı́a.
Supongamos k > 0.
Fijemos x ∈ Mn (k) = Sn ( √1 ). El mayor radio geodésico que podemos tomar es √π , que
k
k
hace B(x, √π ) = Sn ( √1 ) − {−x}. Fijemos p ∈ M y tomando r = √π en el Teorema
k
k
k
local de Cartan (nótese que (M, g) es completa), deducimos que φ = expp ◦I ◦ (expx )−1 :
(Sn ( √1 )−{−x}, gk ) → (M, g) es una isometrı́a local. Tomando ahora y ∈ Sn ( √1 )−{±x} y
k
k
repitiendo el razonamiento con los puntos y en Sn ( √1 ) y p1 = φ(y) ∈ M y con la isometrı́a
k
vectorial I1 = dφy , construiremos otra isometrı́a local ψ : (Sn ( √1k ) − {−y}, gk ) → (M, g),
que cumple ψ(y) = φ(y), dψy = dφy . Por tanto, φ, ψ son isometrı́as locales de (Sn ( √1k ) −
{−x, −y}, gk ) en (M, g). Como Sn ( √1 ) − {−x, −y} es conexa (n ≥ 2), el Corolario 3.2.2
k
implica que φ = ψ en Sn ( √1 ) − {−x, −y}. Esto implica que definiendo ℵ : Sn ( √1 ) → M
k
k
mediante ℵ|Sn ( √1 )−{−x} = φ, ℵ(−x) = ψ(−x), tendremos que ℵ es una isometrı́a local de
k
(Sn ( √1k ), gk ) en (M, g). Como la primera V.R. es completa y la segunda es simplemente
conexa, ψ será una isometrı́a (Corolario 3.4.2).
2
Corolario 3.4.4 Sea (M n , g) (n ≥ 2) una V.R. completa con c.s.c. k ∈ R. Entonces
∃Γ subgrupo de Iso(Mn (k), gk ) actuando diferenciable, propia y discontinuamente sobre
Mn (k), de forma que (M n , g) es isométrica a (Mn (k)/Γ, gk /Γ). Además, Γ es isomorfo a
π1 (M ).
f de M tendremos una V.R. (M
f, ge)
Demostración. Levantando g al recubridor universal M
n
f, ge) es isométrica a (M (k), gk ).
completa y con c.s.c. k. Por el Teorema global de Cartan, (M
98
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
Por tanto, π : (Mn (k), gk ) → (M, g) es una proyección recubridora y una isometrı́a local.
Sea Γ el grupo de automorfismos del recubridor (Mn (k), π) de M . Por el apartado 2 del
Teorema 3.4.2, Γ es un subgrupo de Iso(Mn (k), gk ). En particular Γ actúa diferenciablee π) es un recubridor de X, entonces Aut(X,
e π) actúa
mente sobre Mn (k). En general, si (X,
e
propia y discontinuamente sobre X. Aplicando este resultado topológico, tenemos que Γ
actúa propia y discontinuamente sobre Mn (k).
Como cada transformación del recubridor (Mn (k), π) es isometrı́a de gk , tenemos que
gk es proyectable a Mn (k)/Γ (Teorema 1.4.1) y la proyección canónica π1 : (Mn (k), gk) →
(Mn (k)/Γ, gk /Γ) es una isometrı́a local.
Dados x, y ∈ Mn (k) se tiene π(x) = π(y) si y sólo si x, y están en la misma fibra por π.
Como la acción de Γ = Aut(Mn (k), π) sobre Mn (k) es transitiva7, lo último equivale a que
∃φ ∈ Γ tal que φ(x) = y. De aquı́ deducimos que π(x) = π(y) si y solo si π1 (x) = π1(y),
luego por resultados de Topologı́a general ∃H : Mn (k)/Γ → M homeomorfismo que cumple
H ◦ π1 = π. Añadiendo las métricas gk sobre Mn (k), gk /Γ sobre Mn (k)/Γ y g sobre M ,
H se convierte en una isometrı́a. Por último, el que (Mn (k), π) sea un recubridor regular
π1 (M )
implica que Γ = Aut(Mn (k), π) es isomorfo como grupo a
= π1 (M ).
n
2
π (π (M (k)))
∗
1
En algunos casos particulares, el grupo Γ del Corolario 3.4.4 es controlable:
Corolario 3.4.5 Sea (M n , g) una V.R. completa, con c.s.c. k > 0 y n par. Entonces,
(M n , g) es isométrica a (Sn ( √1 ), gk ) o a (RPn , gk ).
k
Demostración. Por el Corolario 3.4.4, ∃Γ subgrupo de Iso(Sn ( √1 ), gk ) actuando diferenciak
ble, propia y discontinuamente sobre Sn ( √1 ) tal que (M n , g) es isométrica a (Sn ( √1 )/Γ, gk /Γ).
k
k
Sólo resta ver que se reduce a Γ = {In+1 } o a {±In+1 }.
Sea A ∈ Γ − {In+1 }. Entonces ∃P ∈ O(n + 1, R) tal que




Pt · A · P = 




Ir
−Is
B1
..
.
Bk



,



donde Bi =
cos θi − sen θi
sen θi
cos θi
!
(3.5)
para cierto θi ∈]0, 2π[, 1 ≤ i ≤ k. Como Γ actúa propia y discontinuamente y A 6= In+1 ,
A no puede tener puntos fijos luego r = 0. Esto implica que det(A) = (−1)s . Como n es
par, el orden de A es impar luego s es impar y det(A) = −1. Veamos que A = −In+1 y
habremos terminado: Como A2 ∈ Γ y det(A2 ) = 1, el razonamiento anterior prueba que
A2 = In+1 . Usando (3.5), tenemos Bi = I2 luego θi = π y Bi = −I2 ∀i = 1, . . ., k. Por
tanto, A = −In+1 .
2
7
n
Ya que esto equivale a que el recubridor π : M (k) → M sea regular.
3.5. VARIEDADES DE CURVATURA NEGATIVA.
3.5.
99
Variedades de curvatura negativa.
Lema 3.5.1 Sea γ : [a, b] → M una geodésica en una V.R. Supongamos que la curvatura
seccional K(Πt) de cada plano Πt ⊂ Tγ(t)M conteniendo a γ 0(t) es menor o igual que cero,
∀t ∈ [a, b]. Entonces, b no es valor conjugado de a a lo largo de γ.
Demostración. Sea V ∈ Jγ,0 (ver definición 2.10.2). Basta probar que V = 0 en [a, b].
Consideremos la función f = 12 kV k ∈ C ∞ ([a, b]). Ası́ f 0 = h DV
dt , V i y usando la ecuación
DV 2
00
0 0
0 0
de Jacobi, f = k dt k − R(V, γ , γ , V ) ≥ −R(V, γ , γ , V ), donde R es el tensor de curvatura de 4 variables. Si V (t), γ 0(t) son linealmente dependientes para un t ∈ [a, b], entonces R(V, γ 0, γ 0, V )(t) = 0. Y si V (t), γ 0(t) son linealmente independientes, entonces
R(V, γ 0, γ 0, V )(t) = kγ ∧ γ 0 k2(t)K(Πt) ≤ 0, donde Πt es el plano generado por {V (t), γ 0(t)}
en Tγ(t)M . El cualquier caso, f 00 ≥ 0 en [a, b] luego f 0 es no decreciente. Pero f 0 (a) =
f 0 (b) = 0 luego f 0 = 0 en [a, b] y kV k2 es constante en [a, b]. Como V (a) = 0, tenemos
kV k = 0 en [a, b].
2
Teorema 3.5.1 (Cartan-Hadamard) Si (M n , g) es una V.R. completa, simplemente
conexa y con curvatura seccional K ≤ 0 (en todo punto y para cada plano), entonces M
es difeomorfa a Rn .
Demostración. Sea p ∈ M . Por el Teorema de Hopf-Rinow, expp está definida en todo
Tp M . Por el Lema 3.5.1, ninguna geodésica radial en p tiene valores conjugados de cero.
Por el Corolario 2.10.2, expp : TpM → M no tiene puntos crı́ticos luego es un difeomorfismo
local. Consideremos la métrica Riemanniana ge = (expp)∗ g sobre Tp M , que hace a expp :
(Tp M, ge) → (M, g) una isometrı́a local. Veamos que (TpM, ge) es completa: dado v ∈ TpM ,
consideremos la recta vectorial γ : R → TpM dada por γ(t) = tv. Como t 7→ expp (γ(t)) es
geodésica en (M, g) y expp es isometrı́a local, γ es geodésica de (TpM, ge). Por el Teorema de
Hopf-Rinow, (TpM, ge) es completa. Como π1 (M ) = 0, el Corolario 3.4.2, expp : (TpM, ge) →
(M, g) es una isometrı́a.
2
Corolario 3.5.1 Toda V.R. completa con curvatura seccional K ≤ 0 es difeomorfa a un
cociente de Rn por un subgrupo del grupo de difeomorfismos de éste, actuando diferenciable,
propia y discontinuamente.
Demostración. Aplicar al recubridor universal de M el Teorema de Cartan-Hadamard. 2
100
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
3.6.
Variaciones de la energı́a.
Terminaremos este tema como empezamos el Tema 1, haciendo una pequeña incursión
en el Cálculo de Variaciones. En una V.R., las geodésicas son curvas diferenciables con
aceleración intrı́nseca nula, y sabemos que minimizan localmente la longitud. Una pregunta
clave es
¿Hasta dónde minimiza la longitud una geodésica?
Por otro lado, la lontigud no es un buen funcional para estudiar geodésicas, porque no distingue reparametrizaciones. La energı́a es un funcional muy similar a la longitud, pero con
la propiedad de que distingue reparametrizaciones. Estudiaremos las fórmulas de variación
de la energı́a, caracterizaremos las geodésicas como los puntos crı́ticos de este funcional, y
estudiaremos su hessiano deduciendo dos teoremas para V.R. curvadas positivamente. A
lo largo de toda esta Sección, (M n , g) denotará una V.R. de dimensión n.
Sea α : [a, b] −→ M una curva C ∞ a trozos, con partición asociada t0 = a < t1 <
. . . < tk = b. El campo tangente α0 está definido unı́vocamente salvo en los vértices de la
partición, donde tenemos dos posibilidades:
α
0
(t−
i )
d
= (α|[ti−1,t ] )(t),
i
dt ti
α
0
(t+
i )
La longitud de α estaba definida como L(α) =
d
= (α[ti ,ti+1 ] )(t) ∈ Tα(ti) M.
dt ti
Rb
a
kα0(t)k dt =
R ti
i=1 ti−1
Pk
kα0 (t)k dt.
Definición 3.6.1 En la situación anterior, se define la energı́a de α respecto de g como
E(α) =
k Z
X
ti
i=1 ti−1
kα0(t)k2 dt =
Z
b
kα0 (t)k2 dt ∈ [0, ∞[.
a
¿Qué relación hay entre la energı́a y la longitud?
Proposición 3.6.1 Para una curva C ∞ a trozos α : [a, b] → M , L(α)2 ≤ (b − a)E(α),
con igualdad si y sólo si α está parametrizada proporcionalmente al arco.
Demostración. Aplicar a las funciones f = 1, h = kα0k la desigualdad de Schwarz en
el espacio vectorial métrico euclı́deo (L2([a, b]), (, )L2 ) con el producto escalar (f, h)L2 =
Rb
a f h dt (ojo: h está definida salvo en los vértices de la partición, pero esto no impide que
esté en L2 ([a, b])).
2
Nota 3.6.1 De la demostración anterior se deduce que si α es C ∞ a trozos y L(α)2 =
(b − a)E(α), entonces kα0 k es constante en [a, b] (incluidos los vértices de la partición).
Si (M, g) = (Rn , g0), esto no quiere decir que α sea un trozo de recta: puede ser una
lı́nea poligonal cuyos segmentos se recorren todos con la misma velocidad. En particular,
la igualdad L(α)2 = (b − a)E(α) no implica que α sea diferenciable.
3.6. VARIACIONES DE LA ENERGÍA.
101
Como consecuencia de la Proposición 3.6.1, tenemos el siguiente
Corolario 3.6.1
i) Si γ : [a, b] → M es una curva C ∞ a trozos, parametrizada proporcionalmente al arco
y minimiza la longitud entre sus extremos (en particular, es una geodésica luego es
C ∞ ), entonces minimiza la energı́a.
ii) Si γ : [a, b] → M es una geodésica que minimiza la longitud, y α : [a, b] → M es
una curva C ∞ a trozos uniendo γ(a) con γ(b) y E(α) = E(γ), entonces α es una
geodésica que minimiza la longitud (en particular, α es C ∞ ).
Demostración. Probemos i). Sea α : [a, b] −→ M una curva C ∞ a trozos con α(a) = γ(a)
y α(b) = γ(b). Por la Proposición 3.6.1,
(A)
E(γ) =
(B)
(C)
1
1
L(γ)2 ≤
L(α)2 ≤ E(α),
b−a
b−a
donde en (A) hemos usado que γ está parametrizada proporcionalmente al arco y en (B)
que γ minimiza la longitud. Esto prueba i).
En cuanto a ii), usando la cadena anterior de desigualdades y teniendo en cuenta que
E(γ) = E(α), deducimos que las igualdades en (B) y en (C) deben darse. La igualdad
en (B) implica que α minimiza la longitud, y la igualdad en (C) nos dice que kα0 k es
constante en [a, b]. Ambas propiedades garantizan que α es una geodésica que minimiza
la longitud (Corolario 3.2.1).
2
Definición 3.6.2 Sea α : [a, b] → M una curva C ∞ a trozos, con partición t0 = a < . . . <
tk = b. Una variación de α es una aplicación f : [a, b]×] − ε, ε[→ M (siendo ε > 0) tal que
i) f es continua en [a, b]×] − ε, ε[,
ii) f |[ti−1,ti ]×]−ε,ε[ es C ∞ ∀i = 1, . . . , k,
iii) f (t, 0) = α(t), ∀t ∈ [a, b].
Dado s ∈] − ε, ε[, a la curva fs : [a, b] → M dada por fs (t) = f (s, t) se le llama una
curva longitudinal de la variación. Todas las curvas longitudinales son C ∞ a trozos, con la
misma partición que α. Para cada t ∈ [a, b] fijo, la curva ft :] − ε, ε[→ M definida mediante
ft (s) = f (s, t) se llama curva transversal de la variación, y son todas ellas C ∞ . Diremos
que la variación f es propia cuando todas las curvas longitudinales tienen los mismos
extremos que γ. Como la restricción de f a cada [ti−1 , ti ]×]ε, ε[ es C ∞ (es una superficie
parametrizada, podemos considerar los campos diferenciables a lo largo de f dados por
∂f
∂t
(t,s)
= (df )(t,s)(1, 0),
∂f
∂s
(t,s)
= (df )(t,s)(0, 1) ∈ Tf (t,s)M,
102
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
para todo (t, s) ∈ [ti−1 , ti]×] − ε, ε[. Llamando [a, b]∗ = [a, b] − {t1 , . . . , tk−1 }, tenemos que
∂f
es C ∞ en [a, b]∗×]−ε, ε[. Sin embargo, en los puntos (ti , s) tenemos dos expresiones para
∂t ∂f
∂t (t,s) ,
dependiendo de la banda usada para extender f y calcular su parcial respecto
de t. Distinguiremos estas derivadas laterales escribiendo
∂f
∂t
(t−
i ,s)
∂ =
f
|
,
[t
,t
]×]−ε,ε[
i−1 i
∂t (ti ,s)
∂f
∂t
(t+
i ,s)
∂ =
f
|
∈ Tf (ti,s) M.
[t
,t
]×]−ε,ε[
i i+1
∂t (ti ,s)
Sin embargo, ∂f
∂s no plantea dificultades de definición en todo [a, b]×] − ε, ε[, es un campo a
lo largo de f , continuo en su dominio y diferenciable en cada [ti−1 , ti ]×]−ε, ε[. Si evaluamos
este último campo en (t, 0) obtendremos el campo variacional de f ,
V : [a, b] → T M / V (t) =
∂f
∂s
,
(t,0)
que es un campo continuo a lo largo de α, diferenciable en cada [ti−1 , ti ]. Esto es, V es
un campo diferenciable a trozos a lo largo de α. Cuando la variación es propia, el campo
variacional se anula en los extremos.
Definición 3.6.3 En la situación anterior, un campo C ∞ a trozos X a lo largo de α es
una aplicación continua X : [a, b] → T M tal que X(t) ∈ Tα(t)M ∀t ∈ [a, b], para la que
existe una partición (que en principio no tiene porqué coincidir con la partición asociada a
α, pero tras un refinamiento común sı́ coincide con ésta) a = t0 < . . . < tk = b de manera
que X|[ti−1,ti ] es C ∞ ∀i. Llamaremos derivada covariante de X al campo diferenciable
DX
: [a, b]∗ → T M
dt
DX
D (X|[ti−1, ti ])
(t) =
(t)
dt
dt
si t ∈]ti−1 , ti[
(no hay ambigüedad en esto último).
Llamaremos
DX −
(t ) =
dt i
D X|[ti−1,ti ]
dt
(ti ),
DX +
(t ) =
dt i
D X|[ti,ti+1 ]
dt
(ti ) ∈ Tγ(ti) M.
Proposición 3.6.2 Sea α : [a, b] → M una curva C ∞ a trozos y X un campo C ∞ a trozos
a lo largo de α (supondremos ambos con la misma partición asociada). Entonces, ∃ε > 0
y ∃f : [a, b]×] − ε, ε[→ M variación de α (con la misma partición que α y X) cuyo campo
variacional es X. Además, si X(a) = X(b) = 0, la variación f puede elegirse propia.
3.6. VARIACIONES DE LA ENERGÍA.
103
Demostración. Dado t ∈ [a, b], tomemos un entorno totalmente normal Wt conteniendo
a α(t). Cada Wt lleva asociado un δt > 0 tal que ∀q ∈ Wt , la bola métrica B(q, δt) es
bola geodésica. Como la familia {Wt }t∈[a,b] es un recubrimiento por abiertos del compacto
α([a, b]), podemos extraer un subrecubrimiento finito α([a, b]) ⊂ ∪ki=1 Wti . En principio,
estos ti no han de ser los vértices de la partición de α (y de X), pero podemos suponer
que esto es cierto tras un refinamiento de la misma. Llamemos δ = mı́n(δt1 . . . ., δtk ) > 0.
Ası́, B(α(t), δ) es bola geodésica para todo t ∈ [a, b] (en particular, expα(t) está definida
en B(α(t), δ)).
Llamemos U = {v ∈ T M / v ∈ Tα(t)M para algún t ∈ [a, b] y kvk < δ} y sea m =
máxt∈[a,b] kX(t)k, que existe por ser X continuo en [a, b]. Sea ε > 0 tal que εm < δ. Para
este ε, definimos
f : [a, b]×] − ε, ε[→ M / f (t, s) = expα(t) sX(t),
aplicación bien definida porque ∀t ∈ [a, b] tenemos sX(t) ∈ Tα(t)M y ksX(t)k < εm < δ.
f es C ∞ a trozos por ser composición de (t, s) 7→ (α(t), sX(t)), C ∞ a trozos, con la
exponencial (p, v) 7→ expp v, diferenciable donde esté definida. Claramente, la partición
de f coincide con la de α y X. Es fácil ver que f es una variación de α, cuyo campo
variacional viene dado por
∂f
∂s
=
d d = (df )(t,0)(0, 1) =
f (t, s) =
expα(t) sX(t)
ds 0
ds 0
(t,0)
d d γ(1, α(t), sX(t)) =
γ(s, α(t), X(t)) = X(t),
ds 0
ds 0
donde hemos usado la notación Lema de Homogeneidad. Es inmediato comprobar que
cuando X(a) = X(b) = 0, la variación f ası́ definida es propia.
2
Definición 3.6.4 Sea f : [a, b]×] − ε, ε[→ M una variación de una curva C ∞ a trozos
α : [a, b] → M . Se define la función energı́a de la variación f como
E :] − ε, ε[→ R
,
E(s) = E(fs ) =
Z
b a
2
∂f
∂t (t,s) dt
(integral de Lebesgue en [a, b]).
El integrando anterior es derivable como función de s, luego un Teorema de derivación de
integrales de funciones reales de variable real dependientes de un parámetro nos asegura
que E = E(s) es derivable y su derivada se calcula integrando la derivada del integrando
(donde ésta tenga sentido, i.e. en [a, b]∗). A continuación desarrollaremos la expresión de
la derivada primera de E(s):
104
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
Teorema 3.6.1 (Primera fórmula de variación de la energı́a)
Sea α : [a, b] → M una curva C ∞ a trozos con partición asociada t0 = a < . . . < tk = b y
f : [a, b]×] − ε, ε[→ M una variación de α con campo variacional V . Entonces,
1 dE
(0) = −
2 ds
Z
b
hV,
a
k−1
X
Dα0
0 +
hV (ti ), α0(t−
i dt + hV (b), α0(b)i − hV (a), α0(a)i +
i ) − α (ti )i.
dt
i=1
(3.6)
Rb
Demostración. E(s) =
grando,
X
dE
(s) =
ds
i
Z
a
(
=2
ti
ti−1
i
=2
d
dt
ti−1
h
X h
i
2
k( ∂f
∂t )(t,s)k dt. Derivando en el inte-
)
X Z ti ∂f 2
d D
∂f
dt = 2
h ds
, ∂f
∂t
∂t
∂t (t,s)idt.
(t,s)
(t,s)
ds
ti−1
i
ti
=2
XZ
R ti
i=1 ti−1
Pk
2
k( ∂f
∂t )(t,s)k dt =
XZ
∂f
∂s (t,s) ,
h
ti−1
i
∂f
∂s (t,s) ,
ti
D ∂f
dt ∂s (t,s) ,
∂f
∂t (t,s)i
∂f
∂t (t,s)i
ti−1
∂f
∂t (t,s) idt
XZ
dt − 2
ti
−2
h
ti−1
i
Z
ti
b
h
a
∂f
∂s (t,s) ,
∂f
∂s (t,s) ,
D ∂f
dt ∂t (t,s)idt
D ∂f
dt ∂t (t,s)idt
(3.7)
(Esta última ecuación anterior nos será útil para obtener la segunda formula de variación
de la energı́a, ver Teorema 3.6.2). Evaluando (3.7) en s = 0,
X ∂f 1 dE
h ∂s
, ∂f
(0) =
∂t (t,0)i
(t,0)
2 ds
i
=
X
hV (t), α0(t)i
ti
ti−1
ti
−
=−
b
a
+
b
h
a
ti−1
Z
b
a
i
Z
−
Z
0
0 −
0
hV, Dα
dt i dt + hV (t1 ), α (t1 )i − hV (a), α (a)i
k−1
Xh
i
D ∂f
dt ∂t (t,0)idt
hV (t), Dαdt(t) idt
h
0
∂f
∂s (t,0) ,
i
h
0 +
0
0 +
hV (ti ), α0(t−
i )i − hV (ti−1 ), α (ti−1 )i + hV (b), α (b)i − hV (tk−1 ), α (tk−1 )i
i
i=2
=−
Z
b
hV,
a
Dα0
dt i dt +
0
0
hV (b), α (b)i − hV (a), α (a)i +
k−1
X
0 +
hV (ti ), α0(t−
i ) − α (ti )i.
i=1
2
Gracias a la primera fórmula de variación de la energı́a, podemos caracterizar las geodésicas
como los puntos crı́ticos del funcional energı́a para variaciones propias:
3.6. VARIACIONES DE LA ENERGÍA.
105
Corolario 3.6.2 Sea γ : [a, b] → M una curva C ∞ a trozos. Entonces, γ es geodésica (en
particular, C ∞ ) si y sólo si para toda variación propia f de γ, la función energı́a E de f
cumple dE
ds (0) = 0.
Demostración. Supongamos primero que γ es geodésica, y examinemos los sumandos que
aparecen en el miembro de la derecha de (3.6). El primer sumando vale cero porque γ
es geodésica; los sumandos segundo y tercero se anulan porque la variación es propia y
finalmente, la sumatoria es cero porque γ es C ∞ .
Recı́procamente, llamemos a = t0 < . . . < tk = b a la partición asociada a γ. El
argumento se divide en tres partes: primero probaremos que γ|]ti−1,ti[ es geodésica ∀i, en
segundo lugar veremos que γ es de clase C 1 en cada vértice ti , y terminaremos probando
que γ es geodésica en [a, b].
1. Tomemos una función h : [a, b] → R que se anule en cada vértice ti (incluyendo
a y b), que sea estrictamente positiva en cada ]ti−1 , ti[, i = 1, . . . , k, continua en
[a, b] y diferenciable en cada ]ti−1 , ti[, i = 1, . . . , k. Definimos V : [a, b] → T M
0
mediante V (t) = h(t) Dγdt(t) , campo diferenciable a trozos a lo largo de γ. Como
V (a) = V (b) = 0, la Proposición 3.6.2 asegura la existencia de una variación propia
f de γ con campo variacional V . Llamemos E a la función energı́a de f . Teniendo
en cuenta que V se anula en todos los vértices de la partición (incluidos a y b), la
primera fórmula de variación de la energı́a nos dice que
1 dE
0=
(0) = −
2 ds
Z
b
a
0
2
hk Dγ
dt k dt
=−
k Z
X
ti
i=1 ti−1
0
2
hk Dγ
dt k dt.
Como el integrando anterior es no negativo en ]ti−1 , ti [ y su integral es cero, deduci0
2
mos que hk Dγ
dt k ≡ 0 en ]ti−1 , ti [. Como h es estrictamente positiva en este intervalo,
0
debe ser Dγ
dt ≡ 0 en ]ti−1 , ti [, esto es, γ|]ti−1,ti [ es geodésica ∀i = 1, . . ., k.
2. Tomemos un campo W : [a, b] → T M C ∞ a trozos a lo largo de γ que cumpla
0 +
W (a) = W (b) = 0, W (ti ) = γ 0(t−
i ) − γ (ti ), 1 ≤ i ≤ k − 1 (aplicar el Ejercicio 15
a cada subintervalo de la partición). Sea f una variación propia de γ con campo
variacional W , que podemos elegir por la Proposición 3.6.2. Aplicando de nuevo la
primera fórmula de variación de la energı́a,
1 dE
0=
(0) = −
2 ds
Z
b
hW,
a
Dγ 0
dt i dt
+
k−1
X
0 + 2
kγ 0(t−
i ) − γi (ti )k .
i=1
Además, la integral anterior vale cero porque puede escribirse como suma de in0
tegrales sobre cada subintervalo ]ti−1 , ti [, donde Dγ
dt es idénticamente nulo. Ası́,
P
0 + 2
0 −
0 +
0 = i kγ 0(t−
i ) − γi (ti )k y por tanto γ (ti ) = γ (ti ) para cada i = 1, . . ., k − 1.
106
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
3. Ahora sabemos que γ es de clase C 1 en [a, b], y vamos a probar que es diferenciable
(de clase C ∞ ) en dicho intervalo. En cada ]ti , ti−1 [ es de clase C ∞ por definición
de curva C ∞ a trozos (de hecho, en cada subintervalo es geodésica). Tomemos un
vértice ti con 1 ≤ i ≤ k − 1. Entonces, existe una única geodésica Γ que pasa por
0 +
γ(ti) en el instante ti con velocidad inicial γ 0(t−
i ) = γ (ti ), que estará definida en
un intervalo abierto J ⊂ R que contiene a ti . Por la unicidad de las soluciones de
un p.v.i., Γ debe coincidir con γ sobre J∩]ti−1 , ti [ y sobre J∩]ti , ti+1 [, luego γ es de
0
∗
clase C ∞ en ti . Por último, como Dγ
dt era idénticamente nulo en [a, b] , esta igualdad
ahora se extiende a los vértices de la partición, y el Corolario está probado.
2
Corolario 3.6.3 Sea Ωp,q (M ) = {α : [a, b] → M C ∞ s a trozos | α(a) = p, α(b) = q}. Si
γ ∈ Ωp,q (M ) cumple E(γ) ≤ E(α) ∀α ∈ Ωp,q (M ), entonces γ es una geodésica8.
El conjunto Ωp,q (M ) puede dotarse de estructura de variedad infinito dimensional (no
lo haremos). Las curvas en esta variedad pasando por un “punto” α ∈ Ωp,q (M ) son las
variaciones propias de α, y el espacio tangente a Ωp,q (M ) en α es el espacio de campos
variacionales C ∞ a trozos que se anulan en los extremos de α. Desde este punto de vista, el
funcional energı́a es una aplicación diferenciable E ∈ C ∞ (Ωp,q (M
)), y para una variación
d
propia f de α con campo variacional V se tiene (dE)α(V ) = ds
E(fs ) = dE
ds (0), luego las
0
geodésicas uniendo p y q son los puntos crı́ticos de la función diferenciable E.
La razón principal de que se estudie la energı́a y no la longitud para descubrir hasta
cuándo minimiza la distancia una geodésica, es que los únicos mı́nimos de la energı́a son las
geodésicas que minimizan la longitud (en particular, reparametrizaciones no proporcionales
al arco de geodésicas no darán mı́nimos de la energı́a aunque preserven la longitud):
Corolario 3.6.4 Si γ : [a, b] → M es una curva C ∞ a trozos que minimiza la energı́a
entre sus extremos, entonces γ es una geodésica que minimiza la longitud (en particular,
γ es C ∞ ).
Demostración. Como γ minimiza la energı́a entre sus extremos, el funcional energı́a E =
E(s) de cualquier variación propia de γ ha de tener un mı́nimo en s = 0. Por el Corolario 3.6.2, γ es una geodésica (C ∞ ). Queda ver que γ minimiza la longitud entre sus
extremos. Supongamos, por reducción al absurdo, que existe una curva α C ∞ a trozos,
uniendo los mismos extremos que γ y con L(α) < L(γ). Reparametrizamos α en [a, b] de
8
En otras palabras, todo mı́nimo de la energı́a es una geodésica. Pero el recı́proco no es cierto: un
trozo de cı́rculo máximo en una esfera de radio r, con longitud estrictamente mayor que πr, nos da un
contraejemplo.
3.6. VARIACIONES DE LA ENERGÍA.
107
forma que tenga kα0 k constante (esto puede hacerse incluso si α es sólo C ∞ a trozos). Por
2
L(γ)2
la Proposición 3.6.1, E(α) = L(α)
2
b−a < b−a ≤ E(γ), contradicción.
Hemos visto que las geodésicas son los “puntos crı́ticos” del funcional energı́a. Ahora
se trata de estudiar el Hessiano de dicho funcional en un punto crı́tico, para obtener
información sobre cuándo una geodésica es un mı́nimo (al menos, local) para la energı́a.
Teorema 3.6.2 (Segunda fórmula de variación de la energı́a) Sea γ : [a, b] → M
una geodésica y f : [a, b]×] − ε, ε[→ M una variación diferenciable9 de γ con campo
variacional V . Entonces,
1 d2 E
2 ds2 (0)
= −
Z
+h
b
a

2

DV

h DdtV + R(V, γ 0)γ 0, V i dt + hV (b), DV
dt (b)i − hV (a), dt (a)i
D ∂f
0
ds ∂s (b,0) , γ (b)i −
h


D ∂f
0
ds ∂s (a,0) , γ (a)i,
(3.8)
donde R es el tensor de curvatura de 3 variables de (M, g).
Demostración. Derivando la ecuación (3.7) en s = 0, obtenemos
1 d2 E
(0) = −
2 ds2
Z
+ h
b
h
a
D ∂f
ds ∂s (t,0) ,
D ∂f
ds ∂s (t,0) ,
D ∂f
dt ∂t (t,0)i dt
b
∂f
i
∂t (t,0)
a
El primer sumando anterior es cero, ya que
−
Z
b
h
a
+ h
∂f
∂s (t,0) ,
D ∂f
dt ∂t (t,0)
∂f
∂s (t,0) ,
=
D D ∂f
ds dt ∂t (t,0)i dt
b
D ∂f
i
.
ds ∂t (t,0)
a
Dγ 0 (t)
dt
(3.9)
= 0 por ser γ geodésica.
Para el segundo sumando de (3.9) usaremos el ejercicio 14 del Tema 2:
Z
b
h
a
=
Z
b
hV (t),
a
=
Z
b
hV (t),
a
∂f
∂s (t,0) ,
D D ∂f
dt ds ∂t (t,0)i dt +
D D ∂f
dt dt ∂s (t,0)i dt
+
Z
Z
D D ∂f
ds dt ∂t (t,0)i dt
b
hV (t), R
a
b
∂f
∂s (t,0) ,
hV, R(V, γ 0)γ 0i dt =
a
Z
b
a
∂f
∂t (t,0)
∂f
∂t (t,0)i dt
2
hV, Ddt2V + R(V, γ 0)γ 0i dt.
En cuanto al tercer sumando de (3.9),
h
D ∂f
ds ∂s (t,0) ,
b
∂f
∂t (t,0)i
a
=h
D ∂f
0
ds ∂s (b,0) , γ (b)i −
h
D ∂f
0
ds ∂s (a,0) , γ (a)i.
9
Hay una versión C ∞ a trozos de la segunda fórmula de variación de la energı́a, ver ejercicio 16. Para
lo que sigue, sólo usaremos la versión diferenciable.
108
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
Por último, el cuarto sumando de (3.9) vale
h
∂f
∂s (t,0) ,
b
D ∂f
i
ds ∂t (t,0)
a
= hV (t),
b
D ∂f
i
dt ∂s (t,0)
a
h
ib
= hV, DV
dt i .
a
2
hDV
dt
En las condiciones del Teorema 3.6.2, la función
, V i es
diferenciable en [a,
b]
R
R
2
b
b
DV
DV 2
D V
d
b
luego por la regla de Barrow, [hV, DV
dt i]a = a dt hV, dt i dt = a k dt k + h dt2 , V i dt.
Sustituyendo en (3.8) tenemos
1 d2 E
2 ds2 (0)
=
Z
b
a
2
0 0
k DV
dt k − R(V, γ , γ , V ) dt + h
D ∂f
0
ds ∂s (b,0) , γ (b)i −
h
D ∂f
0
ds ∂s (a,0) , γ (a)i.
donde ahora R es el tensor de curvatura de 4 variables de (M, g). Supongamos a partir
de ahora que f es propia. Ası́, f (a, s), f (b, s) son constantes en s luego los dos últimos
términos de la expresión anterior valen cero, de donde se sigue el enunciado
Corolario 3.6.5 Sea γ : [a, b] → M una geodésica y f : [a, b]×] − ε, ε[→ M una variación
propia y diferenciable10 de γ con campo variacional V . Entonces,
1 d2 E
(0) =
2 ds2
Z
b
a
!
2
− R(V, γ 0, γ 0, V ) dt.
DV
dt
Definición 3.6.5 Sea γ : [a, b] → M una geodésica. Denotaremos por
X(γ)0 = {V ∈ X(γ) | V (a) = V (b) = 0},
subespacio vectorial (con dimensión infinita) de X(γ). Consideremos la forma ı́ndice de γ,
Iγ : X(γ)0 × X(γ)0
(V, W )
→
7−→
R
Z
a
b
DV DW
h
,
i − R(V, γ 0, γ 0, W ) dt,
dt
dt
(integral de Lebesgue).
Iγ es una forma bilineal simétrica sobre X(γ)0 y el Corolario 3.6.5 dice que
Iγ (V, V ) para V ∈ X(γ)0. Por tanto,
1 d2 E
2 ds2 (0)
=
Si γ es una geodésica que minimiza la energı́a entre sus extremos, entonces la
forma ı́ndice Iγ es semidefinida positiva.
10
Este Corolario también es válido cuando f es C ∞ a trozos, usando el ejercicio 16 y el argumento anterior
de la regla de Barrow sobre cada subintervalo donde las curvas longitudinales de f sean diferenciables.
3.6. VARIACIONES DE LA ENERGÍA.
109
A la vista del enunciado anterior, es natural preguntarse en qué condiciones geométricas
podemos asegurar que Iγ es definida positiva, y cuándo esto implica que la geodésica
γ : [a, b] → M sea un mı́nimo (local) para la energı́a. De esto se ocupa el Teorema del
ı́ndice de Morse, que no estudiaremos aquı́. En pocas palabras, este Teorema dice que
dado t ∈ [a, b], la geodésica γ|[a,t] minimiza localmente la longitud y la energı́a entre sus
extremos mientras no existan valores conjugados de a en [a, t].
Para terminar esta Sección, veremos que la forma ı́ndice está relacionada estrechamente
con los campos de Jacobi estudiados en el tema 2. Desde luego, un paso importante a la
hora de estudiar si Iγ es definida positiva sobre X(γ)0 es ver si tiene radical, definido por
Rad(Iγ ) = {V ∈ X(γ)0 | Iγ (V, W ) = 0, ∀W ∈ X(γ)0}.
Recordemos (Definición 2.10.2 que a y b son valoes conjugados si Jγ,0 = {V ∈ J | V (a) =
V (b) = 0} 6= {0}.
Proposición 3.6.3 En la situación anterior, Rad(Iγ ) = Jγ,0 .
Demostración. Supongamos primero que V ∈ Rad(Iγ ). Tomemos una función h ∈ C ∞ ([a, b])
que se anule en a y b y sea estrictamente positiva en ]a, b[. Definimos W1 : [a, b] −→ T M
por
"
#
D2 V
0
0
W1 (t) = h(t)
(t) + R(V (t), γ (t))γ (t) , t ∈ [a, b].
dt2
W1 ∈ X(γ)0, luego podemos aplicar Iγ sobre V, W1 y usar que V ∈Rad(Iγ ):
Z
0 = Iγ (V, W1) =
b
a
h
ib
h DV
dt , W1 i
a
−
Z
b
a
DW1
0 0
h DV
dt , dt i − R(V, γ , γ , W1 ) dt
(A)
2
h Ddt2V + R(V, γ 0)γ 0, W1i dt = −
Z
b
a
2
2
h Ddt2V + R(V, γ 0)γ 0 dt,
donde en (A) se usa que W1(a) = W1 (b) = 0. Como el último integrando es no negativo
2
en [a, b] y tiene integral cero, debe ser hk Ddt2V + R(V, γ 0)γ 0k2 = 0 en [a, b]. Pero h es
2
estrictamente positiva en cada ]a, b[, luego Ddt2V + R(V, γ 0)γ 0 = 0 en [a, b].
Recı́procamente, supongamos que V ∈ X(γ) es un campo de Jacobi que se anula en
los extremos y sea W ∈ Ωγ,0 . Entonces,
Iγ (V, W ) =
Z
b
a
h
ib
= h DV
dt , W i
a
DW
0 0
h DV
dt , dt i − R(V, γ , γ , W ) dt
−
Z
b
a
2
h Ddt2V + R(V, γ 0)γ 0, W i dt.
110
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
El primer sumando anterior se anula porque W (a) = W (b) = 0, y el segundo vale cero por
ser V de Jacobi.
2
Usando el Corolario 2.10.1 y la Proposició 3.6.3 deducimos que el radical de la forma
ı́ndice es siempre de dimensión finita (a la dimensión de Rad(Iγ ) se le llama la nulidad de
γ) y que si dim M = n, entonces dim Rad(Iγ ) ≤ n−1. También vimos que esta desigualdad
se transforma en igualdad cuando (M n , g) tiene c.s.c. (página 60 y ss.)
3.7.
Variedades de curvatura positiva.
Teorema 3.7.1 (Myers) Sea (M n , g) una V.R., γ : [0, L] → M una geodésica p.p.a. y
R > 0. Si la curvatura de Ricci de (M, g) cumple Ric(γ 0(t)) ≥ n−1
R2 para todo t ∈ [0, L] y
L > πR, entonces γ no es un mı́nimo local de la energı́a ni de la longitud.
Demostración. Sea Iγ la forma ı́ndice de γ. Supongamos que existe V ∈ X(γ)0 tal que
Iγ (V, V ) < 0 y veamos que γ no puede ser un mı́nimo local de la energı́a ni de la longitud:
Por la Proposición 3.6.2, ∃f : [0, L]×] − ε, ε[→ M variación propia y diferenciable de γ
cuyo campo variacional es V . Sea E = E(s) = E(fs ) la función energı́a asociada a f .
Entonces E 0(0) = 0 por ser γ geodésica (Corolario 3.6.2) y E 00(0) = 2Iγ (V, V ) < 0, luego
E(s) tiene un máximo local en s = 0 y E(fs ) < E(γ) ∀s 6= 0 suficientemente pequeño.
En particular, γ no minimiza localmente la energı́a. Además, la Proposición 3.6.1 implica
que para los s anteriores, L(fs )2 ≤ L · E(fs) < L · E(γ) = L(γ)2 y por tanto γ tampoco
minimiza localmente la longitud.
Sólo resta probar que ∃V ∈ X(γ)0 tal que Iγ (V, V ) < 0. Como γ es p.p.a. podemos
tomar una base ortonormal de campos paralelos a lo largo de γ del tipo {γ 0, P2, . . . , Pn }.
Para poder usar nuestra hipótesis sobre la curvatura de Ricci necesitaremos sumar curvaturas seccionales del tipo R(Pi , γ 0, γ 0, Pi) sobre una base ortonormal como la que tenemos.
Pero Pi no se anula en los extremos 0, L de γ, luego no podemos evaluar en Pi la forma
ı́ndice. Por este motivo, truncaremos
Pi mediante una función que se anule en t = 0, L.
Definimos Vi(t) = sen πt
P
(t),
i
=
2,
. . ., n. Como Vi (0) = Vi (L) = 0, se tiene Vi ∈ X(γ)0
i
L
y podemos evaluar Iγ (Vi , Vi):
Iγ (Vi , Vi) =
Z
L
0
Z
DV i 2
0
0
dt − R(Vi, γ , γ , Vi) dt = −
=−
Z
L
0
(
Ln
0
o
2
h DdtV2 i , Vii + R(Vi, γ 0, γ 0, Vi) dt
)
πt
πt
π2
− 2 sin2
+ sin2
R(Pi , γ 0, γ 0, Pi) dt,
L
L
L
y sumando en i = 2, . . ., n,
n
X
i=2
Iγ (Vi, Vi) = −
Z
L
0
(
n
)
X
πt
π2
− 2 (n − 1) +
R(Pi, γ 0, γ 0, Pi ) sin2
dt.
L
L
i=2
3.7. VARIEDADES DE CURVATURA POSITIVA.
111
La suma de curvaturas en la expresión anterior es igual a Ric(γ 0), que es mayor o igual
que n−1
, luego
R2
n
X
i=2
Iγ (Vi , Vi) ≤ −
Z
L
0
(
)
πt
π2
n−1
− 2 (n − 1) +
sin2
dt
2
L
R
L
π2
1
= (n − 1)
− 2
2
L
R
!Z
L
sin
0
2
πt
dt.
L
Como L > πR, el segundo paréntesis de la expresión anterior es negativo, de donde se
P
deduce que ni=2 Iγ (Vi , Vi) < 0, y por tanto existe i ∈ {2, . . ., n} tal que Iγ (Vi, Vi) < 0. 2
Teorema 3.7.2 (Bonnet-Myers) Sea (M n , g) una V.R. conexa, completa y con curvatura de Ricci Ric ≥ n−1
para algún R > 0. Entonces, M es compacta, tiene grupo
R2
fundamental finito y diam(M, g) ≤ πR.
Demostración. Dados p, q ∈ M , la completitud de (M, g) y el Teorema de Hopf-Rinow
implican que existe una geodésica p.p.a. γ : [0, L] −→ M con γ(0) = p, γ(L) = q y que
minimiza la longitud entre sus extremos. Como Ric≥ n−1
, el Teorema de Myers implica
R2
L ≤ πR. Como p, q son arbitrarios en M , deducimos que diam(M, g) ≤ πR. Ası́, M es
acotada y por ser completa, ha de ser compacta (Teorema de Hopf-Rinow).
f, g
e) de (M, g),
Veamos que π1 (M ) es finito: Consideremos el recubridor universal (M
f
con la métrica del recubrimiento. (M, ge) es una V.R. completa, conexa y tiene curvatura de
Ricci igual a la de (M, g), luego ≥ n−1
en todo punto y para todo plano. Por lo demostrado
R2
f, ge) es compacta. Como la proyección recubridora p : M
f → M es continua,
hasta ahora, (M
−1
f
la fibra p (p) de cualquier p ∈ M es cerrada en M , y por tanto es compacta. Si p−1 (p)
f, contradicción con que p
fuese infinita, entonces tendrı́a un punto de acumulación en M
f, p) tiene un número finito de hojas.
es un difeomorfismo local. Por tanto, el recubridor (M
Pero dicho número de hojas coincide con el cardinal del grupo fundamental de M , porque
f es simplemente conexa).
el recubridor es regular (M
2
112
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
Ejercicios.
1. Sea (N, g) una V.R., y M ⊂ N una subvariedad suya. Denotemos por d a la distancia
en N asociada a g y por d(g|M ) a la distancia en M asociada a la métrica inducida.
Probar que d|M ≤ d(g|M ) y encontrar un ejemplo donde la desigualdad estricta ocurra
en un par de puntos.
2. Sea φ : (M1 , g1) → (M2, g2) una isometrı́a local entre dos V.R. Demostrar que la relación
entre las distancias asociadas a ambas métricas es
dM2 (φ(p), φ(q)) ≤ dM1 (p, q),
∀p, q ∈ M1.
Probar que si φ es una isometrı́a entre ambas V.R., entonces la desigualdad anterior
se convierte en igualdad (esto es, φ es una isometrı́a de espacios métricos11). Deducir
que si dos V.R. son isométricas, entonces sus diámetros coinciden (el diámetro es un
invariante Riemanniano).
3. Se considera el modelo Lorentziano del espacio hiperbólico n-dimensional, Hn (−1) =
{p ∈ Rn+1 / hp, piL = −1, xn+1 (p) > 0} con la métrica g = (h·, ·iL)|Hn (−1), siendo
hx, yiL =
n
X
xi yi − xn+1 yn+1 ,
x, y ∈ Rn+1 .
i=1
(A) Demostrar que (Hn (−1), g) es completa. Deducir que éste es realmente un modelo
válido para el espacio hiperbólico n-dimensional, en el sentido de que es isométrico
a, por ejemplo, el modelo del semiespacio para el espacio hiperbólico n-dimensional.
1
t
(B) Llamemos O
! (n + 1, R) = {A ∈ Gl(n + 1, R) / A · G · A = G}, donde G =
In 0
. Admitiendo que O1 (n + 1, R) tiene cuatro componentes conexas
0 −1
CI , CB , CG , CD donde CA denota la componente conexa de la matriz A y


−1
0
0


B =  0 In−1 0  ,
0
0
1
11


−1
0
0


D =  0 In−1 0  ,
0
0
1
Existe un recı́proco de esta propiedad, llamada el Teorema de Myers-Stenrod-Palais:
Si φ : (M1 , g1 ) → (M2 , g2 ) es una aplicación sobreyectiva entre V.R. que es isometrı́a entre los espacios
métricos asociados, entonces ψ es una isometrı́a de V.R.
Nótese que en el Teorema de Myers-Stenrod-Palais no se supone diferenciabilidad sobre φ, y que implica
que la función distancia determina a la métrica Riemanniana de la que procede. La demostración de este
Teorema puede encontrarse en S. Kobayashi & K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry Vol. I,
Ed. John Wiley & Sons Inc., Teorema 3.10.
3.7. VARIEDADES DE CURVATURA POSITIVA.
113
probar que CI ∪ CB es un subgrupo de O1 (n + 1, R) y que dada A ∈ O1 (n + 1, R),
se tiene
A ∈ CI ∪ CB ⇐⇒ A conserva Hn (−1).
Finalmente, deducir que Iso(Hn (−1), g) es isomorfo a CI ∪ CB .
4. Demostrar que la completitud no es un invariante por isometrı́as locales (sı́ lo es por
isometrı́as).
5. Un rayo en una V.R. (M, g) es una geodésica γ : [0, +∞[→ M tal que ∀t > 0,
d(γ(0), γ(t)) = long(γ)t0. Demostrar que si (M, g) es una V.R. completa y no compacta,
entonces de todo punto de M parte al menos un rayo.
6. Sean (M1, g1), (M2, g2) dos V.R. completas. Llamemos d1 , d2, d a las distancias asociada
a las métricas g1 , g2 y g1 × g2 , respectivamente. Demostrar que
d ((p1, p2), (q1, q2)) =
q
d1 (p1, q1)2 + d2 (p2, q2)2.
Concluir que
diam(M1 × M2 , g1 × g2) =
q
diam(M1 , g1)2 + diam(M2, g2)2.
7. Sea f : (M, g) → (M , g) un difeomorfismo entre dos V.R., siendo (M , g) completa.
Supongamos que existe c > 0 tal que kdfp (v)k ≤ ckvk, ∀p ∈ M , ∀v ∈ Tp M . Probar
que (M, g) también es completa.
8. Sea f : (M, g) → (M, g) una isometrı́a local entre dosV.R., siendo la primera completa
y la segunda conexa. Supongamos además que todo par de puntos de M puede unirse
por una única geodésica. Demostrar que f es una isometrı́a.
9. En Rn y para cada k ∈ Z, se define la función hk : Rn → R / hk (x) = (1 + kxk2)−2k .
Probar que ∀k ∈ Z, gk = hk h, i es una métrica Riemanniana sobre Rn (aquı́ h, i es el
producto escalar usual de Rn ). Estudiar la completitud de gk en terminos de k (Indicación:
reducir el estudio a los casos k = 0, 1).
10. Una V.R. (M, g) se dice HOMOGENEA si ∀p, q ∈ M, ∃φ ∈ Iso(M, g) tal que φ(p) = q
(i.e. Iso(M, g) actúa transitivamente sobre M ).
(A) Demostrar que (Rn , g0), (Sn (1), g1) y (H2 (−1), g−1) son variedades homogéneas.
(B) Probar que toda variedad homogénea es completa.
114
CAPÍTULO 3. GEOMETRÍA Y CURVATURA.
11. Sea (R2 )+ = {(x, y) ∈ R2 / y > 0}. Definimos
g(x,y) =
1 0
0 1/y
!
∀(x, y) ∈ (R2)+ .
,
(A) Probar que g es una métrica Riemanniana no completa sobre (R2)+ (Indicación:
estudiar el segmento vertical {(0, y) / 0 < y ≤ 1}).
(B) Demostrar que dados dos puntos p, q ∈ (R2)+ con la misma segunda coordenada,
el segmento γ(t) = (1 − t)p + tq, t ∈ [0, 1], es una geodésica uniendo p y q que
minimiza la distancia asociada a g entre tales puntos.
12. Sea (M, g) una V.R. completa, y X ∈ X(M ) un campo acotado, esto es, existe c > 0
tal que kXk ≤ c en M . Probar que X es un campo completo.
13. Probar que toda V.R. de dimensión 1 es localmente isométrica a (R, g0).
f → M un homeomorfismo local y propio12. Probar que φ es una proyección
14. Sea φ : M
recubridora con un número finito de hojas.
15. Sea γ : [a, b] −→ M una curva diferenciable. Dados v ∈ Tγ(a)M , w ∈ Tγ(b) M , demostrar
que existe un campo diferenciable W a lo largo de γ tal que W (a) = v y W (b) = w.
16. Segunda fórmula de variación de la energı́a en el caso C ∞ a trozos.
Sea γ : [a, b] → M una geodésica y f : [a, b]×] − ε, ε[→ M una variación C ∞ a trozos
de γ, con partición asociada t0 = a < . . . < tk = b y campo variacional V . Probar que
1 d2 E
2 ds2 (0)
= −
Z
a
2
h Ddt2V + R(V, γ 0)γ 0, V i dt +
k h
X
hV, DV
dt i
i=1
donde R es el tensor de curvatura de (M, g).
12
iti
ti−1
D ∂f
D ∂f
0
0
ds ∂s (b,0) , γ (b)i − h ds ∂s (a,0) , γ (a)i
Z b
k−1
X
2
− h DdtV + R(V, γ 0)γ 0, V i dt +
hV (ti ), DV
dt
a
i=1
DV
DV
+hV
(b), dt (b)i − hV (a), dt (a)i
∂f
D
D ∂f
0
0
+h ds
,
γ
(b)i
−
h
∂s (b,0)
ds ∂s (a,0) , γ (a)i,
+h
=
b
e.
Es decir, la imagen inversa todo compacto de M es un compacto de M
(t−
i )−
DV
dt
(t+
i )i