Geometr´ıa de Curvas y Superficies. 2 Matemáticas. Curso 2015

Geometrı́a de Curvas y Superficies. 2o Matemáticas.
Departamento de Matemáticas, UAM.
Curso 2015-16.
Hoja 8: Curvatura geodésica
1. Damos al plano R2xy el siguiente campo de formas cuadráticas:
Q ≡ (dx)2 − 2 x dxdy + (1 + x2 ) (dy)2 .
(a) Comprueba que Q es una métrica de Riemann.
(b) Dada la curva α(t) ≡ (t, 0), comprueba que la dirección conormal a α en el punto α(t)
(respecto de Q) es la del vector (t, 1). Comprueba que la aplicación ϕ(t, λ) ≡ ( t + λ t , λ )
cumple las condiciones:
ϕ(t, 0) ≡ α(t) , Q α0 (t) , ϕλ (t, 0) ≡ 0; .
Utiliza ϕ para calcular el vector curvatura geodésica kg (t) ≡ kg,α,Q (t). Haz un dibujo
conjunto de α y el campo kg (t).
(c) Dada la curva β(t) ≡ ( tan t , − log cos t ), −π/2 < t < π/2, halla sus direcciones
conormales (respecto de Q) y aprovecha el resultado para dar una aplicación ψ(t, λ) que
cumpla:
ψ(t, 0) ≡ β(t) , Q β 0 (t) , ψλ (t, 0) ≡ 0 .
Utiliza ψ para calcular el vector curvatura geodésica kg,β,Q (t).
2. Damos al plano R2xy el siguiente campo de formas cuadráticas, que depende del parámetro c:
Q ≡
2 + (cx + y)2 (dx)2 + 2 dxdy + (dy)2 .
(a) Comprueba que para todo c el campo Q es una métrica de Riemann.
(b) Dada la curva α(t) ≡ (t, −t), comprueba que la aplicación ϕ(t, λ) ≡ (t, λ − t) cumple
las condiciones: ϕ(t, 0) ≡ α(t) y Q α0 (t), ϕλ (t, 0) ≡ 0. Utiliza ϕ para calcular el vector
curvatura geodésica de α (respecto de Q).
Determina el valor o valores que hay que dar a c para que α sea una lı́nea geodésica de Q.
3. Sea S una superficie y α ⊂ S una geodésica (para la primera forma fundamental).
Demuestra que si α es plana y birregular como curva espacial entonces:
(1) el plano afı́n que contiene a α corta perpendicularmente a S en cada punto de α,
(2) α es un lı́nea de curvatura de S.
Halla todas las geodésicas planas en superficies de revolución, distinguiendo dos casos:
que sean birregulares o que no lo sean.
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4. Sean S una superficie y α ⊂ S una geodésica (para la primera forma fundamental) tal que,
como curva espacial, es birregular. Demuestra que se puede elegir la normal unitaria N
de S de modo que coincida con nα en los puntos de α. Demuestra que {tα , bα } es una
base de Tp S para cada p ∈ α. Calcula la matriz del endomorfismo de Weingarten W en
esa base (Indicación: recuerda que la traza de W es −2H).
Demuestra las siguientes identidades:
kα ≡ II(tα ) ,
τα ≡ −II(tα , bα ) .
5. (hélices generalizadas). Sea γ(u) ≡ x(u), y(u) una curva plana parametrizada por
longitud de arco. Consideramos el cilindro S formado por la rectas verticales que cortan
a γ, que podemos parametrizar por Φ(u, v) ≡ x(u) , y(u) , v . Demuestra que las
lı́neas geodésicas de este cilindro (para la primera
forma fundamental) son las generatrices
y las curvas dadas por αc,d (t) ≡ γ(t) , c t + d con c, d constantes cualesquiera.
Para una curva espacial birregular α, demuestra que las condiciones siguientes son equivalentes:
(a) Existe un cilindro en el que α es geodésica.
(b) Existe una dirección fija en R3 con la que la tangente unitaria tα forma ángulo
constante.
(c) La tangente unitaria tα traza una circunferencia, o parte de ella.
(d) El cociente τα /kα es constante.
(Indicación: parametrizando por arco, y rotando la configuración para que la dirección
fija de la condición (b) sea vertical, tenemos tα (s) ≡ a cos θ(s) , a sen θ(s) , b donde
a, b son constantes con a2 + b2 = 1 y θ(s) es cierta función.)
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