TRANSICIÓN DE PERCOLACIÓN EN FLUJO EN ROCAS Y

TRANSICIÓN DE PERCOLACIÓN EN FLUJO EN ROCAS
Y EXPONENTES ANÓMALOS
SULLY GÓMEZ ISIDRO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE MINAS
POSGRADO EN APROVECHAMIENTO DE RECURSO HIDRÁULICOS
2000
TRANSICIÓN DE PERCOLACIÓN EN FLUJO EN ROCAS
Y EXPONENTES ANÓMALOS
SULLY GÓMEZ ISIDRO
IC, M. Sc.
Tesis para optar el título de doctor en ingeniería
En aprovechamiento de recursos hidráulicos.
Director
OSCAR MESA SÁNCHEZ
IC, PhD.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE MINAS
POSGRADO EN APROVECHAMIENTO DE RECURSO HIDRÁULICOS
2000
ii
iii
iv
v
A mi familia,
a mis amigos,
a mi país adolorido.
vi
AGRADECIMIENTOS
Expreso mis más sentidos agradecimientos a
Doctor Oscar José Mesa Sánchez, Director de esta Tesis, por sus oportunas y sabias
orientaciones y por su gran confianza en mi.
Posgrado en Aprovechamiento de Recursos Hidráulicos, profesores, estudiantes y
trabajadores, quienes con su calidad técnica y humana apoyaron siempre el desarrollo de
esta investigación.
Universidad Industrial de Santander, que me brindó su apoyo material y pedagógico para
la realización de la Tesis.
Colciencias, por su apoyo económico en el inicio, desarrollo y culminación del
doctorado; por su apoyo se hace posible la investigación en este país.
Diana Ospina, por su valiosa e incansable ayuda en la búsqueda bibliográfica y su apoyo
personal.
Angela María de Jesús Bustamante, por el apoyo logístico y espiritual que me brindó
durante este proceso.
vii
La tierra que no es labrada
llevará abrojos y espinas
aunque sea fértil,
así el entendimiento humano.
Santa Teresa de Jesús
viii
CONTENIDO
pág.
1. INTRODUCCION
1
2. REVISION DE LITERATURA
4
2.1
El flujo en fracturas simples
4
2.2
Sistemas de fracturas
6
2.3
Conectividad de fracturas
9
2.4
Teoría de percolación en sistemas de fracturas.
10
2.5
Pruebas hidráulicas
12
3. FUNDAMENTOS DE FLUJO EN ROCAS
14
3.1
Conceptos fundamentales de flujo
15
3.2
Planteamiento del problema del flujo en medios fracturados
18
3.2.1
Condiciones de flujo en la escala de la fractura
18
3.2.2
Condiciones de flujo en la escala de sistemas de fracturas
19
3.2.3
Ecuaciones de flujo en rocas
21
3.2.3.1
Analogía ente el flujo de calor en materiales y el flujo en acuíferos
24
3.2.3.2
Solución analítica a la ecuación de calor
25
3.3
Planteamiento matemático para flujo en medio poroso fracturado
26
3.4
Grupos de renormalización, funciones homogéneas y exponentes
anómalos
28
3.4.1
Autosemejanza, escalamiento y homogeneidad.
29
3.4.2
Grupos de renormalización
30
ix
3.4.2.1
Grupos de renormalización de Lie
31
3.4.2.2
Conceptos básicos
32
3.4.2.3
Aplicación de los Grupos de Lie a la ecuación de difusión
34
3.4.2.4
Solución de la ecuación de flujo en medio poroso a partir
de Grupos de Lie
36
3.5
Análisis dimensional y soluciones asintóticas
38
3.6
Leyes de conservación de masa
42
3.7.
No-linealidad del flujo en yacimientos y acuíferos
44
3.7.1
Flujo en medios elásticos
44
3.7.2
Flujo en medios elastoplásticos.
45
3.7.2.1
Variaciones de presión a partir de perturbaciones en los yacimientos
46
3.7.2.2
Proceso de caída de presión
46
3.7.2.3
Proceso de aumento de presión
47
3.7.3
Coeficiente de difusividad en acuíferos
47
3.7.4
Leyes de autosemejanza en el flujo en pozos
48
3.7.4.1
Ley de autosemejanza de primer orden
48
3.7.4.2
Ley de similaridad de segundo orden
50
3.7.5
El problema con coeficiente discontinuo en pruebas de pozos
51
3.7.5.1
Bombeo periódico en pozos
52
3.7.5.2
Ley de autosemejanza de segundo orden
54
3.7.6
Recuperación de niveles
55
3.8
Teoría de percolación y el flujo en rocas
56
3.8.1
El flujo en rocas como una transición de percolación
57
3.8.2
Transición de fase y umbrales de percolación
59
3.8.2.1
Transición de percolación
61
3.8.2.2
Leyes de escalamiento en sistemas de tamaño finito
63
3.8.2.3
Probabilidad de percolación y escalamiento
65
3.8.2.4
Umbrales de percolación en mallas de tamaño finito.
67
3.8.3
Caracterización de racimos de fracturas
68
3.8.4
Estructura del racimo principal
69
3.8.5
Escalamiento de parámetros de flujo desde la teoría de percolación
71
x
4. EXPERIMENTOS NUMÉRICOS EN ACUÍFEROS FRACTURADOS 74
4.1
Estimación de umbrales de percolación
75
4.1.1
Simulaciones Montecarlo
75
4.1.2
Probabilidad de percolación y estimación de umbrales
76
4.1.3
Estimación del exponente ν
79
4.1.4
Longitud de correlación para sistemas simulados
80
4.2
Modelo de acuíferos fracturados como sistemas de percolación
82
4.2.1
Modelo de flujo
88
4.2.1.1 Programa de flujo
88
4.2.1.2 Realizaciones de arreglos de fracturas
89
4.2.2
Estimación de parámetros hidráulicos
90
4.3
Discusión y análisis de resultados
94
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
105
REFERENCIAS
112
xi
LISTA DE FIGURAS
pág
Figura 3.1
Esquema explicativo del VER. Bear (1972).
16
Figura 3.2
Esquema de flujo en planos de fracturas continua.
17
Figura 3.3
Esquema de canales de flujo en el plano de la fractura.
19
Figura 3.4
Esquema de intersección de planos de fracturas.
20
Figura 3.5
Oscilación de presión de bombeo periódico
53
Figura 3.6
Esquema de una malla de percolación por sitios
62
Figura 3.7
Esquema de comportamiento de la densidad de sitios
64
Figura 3.8
Esquema de variación de probabilidad de percolación
65
Figura 3.9
Sección Vertical de un campo de pozos
68
Figura 3.10
Ejemplo de patrones que simulan fracturas aleatorias
70
Figura 3.11
Conductividad y Resistencia en sistemas de percolación
72
Figura 4.1
Umbrales de percolación en mallas de tamaño finito
77
Figura 4.2
Variación del umbral de percolación en función de L
78
Figura 4.3
Efecto de tamaño finito en el umbral de percolación
79
Figura 4.4
Estimación del exponente ν
80
Figura 4.5
Comportamiento de la longitud de correlación
81
Figura 4.6
Mallas radiales de percolación
84
Figura 4.7.1
Sistema de fracturas sobre el umbral de percolación.
85
Figura 4.7.2 Racimo principal en malla 128 con densidad 0.6
86
Figura 4.7.3 Localización de pozos de observación.
87
Figura 4.8
Ajuste de curvas de abatimiento en simulaciones numéricas,
Pozo de observación 1 y 2
Figura 4.9
92
Ajuste de curvas de abatimiento en simulaciones numéricas,
Pozo de observación 3 y 4
93
xii
Figura 4.10
Variación de difusividad y conductividad hidráulica.
Efecto de escala.
Figura 4.11
95
Conductividad hidráulica y efecto de cercanía al umbral
de percolación .
Figura 4.12
96
Parámetros hidráulicos en función de cercanía al umbral
de percolación.
97
Figura 4.13
Parámetros hidráulicos en función del tamaño del sistema
100
Figura 4.14
Parámetros hidráulicos en función de la resolución del sistema
102
Figura 4.15
Comportamiento transitorio de la cabeza hidráulica en acuíferos 104
xiii
LISTA DE TABLAS
pág.
Tabla 1.
Umbrales de percolación estimados para mallas cilíndricas
77
Tabla 2.
Valores de Δ para mallas de tamaño finito
79
Tabla 3.
Leyes de escalamiento de los parámetros hidráulicos
82
Tabla 4.
Resultados de simulaciones en malla 128
98
Tabla 5.
Resultados de simulaciones en malla 256
98
Tabla 6.
Exponentes de la ley de escalamiento. Resolución 3.9.
100
Tabla 7.
Exponentes de la ley de escalamiento. Resolución 1.
101
xiv
RESUMEN
El objetivo de este trabajo es ofrecer un mayor conocimiento sobre la física del
fenómeno del flujo en sistemas de fracturas en rocas bajo los efectos de pruebas
hidráulicas. Se presentan lineamientos importantes para el estudio del flujo en sistemas
geológicos que tienen un alto grado de heterogeneidad, entre ellos, la interpretación y
manejo de estos medios como el producto de una transición de fase. Para obtener las
leyes de escalamiento de los parámetros hidráulicos que rigen el flujo en esta
aproximación y considerar el efecto de las escalas en el fenómeno, se diseñan
experimentos numéricos que representan sistemas de fracturas en estado de transición y
se encuentran sobre un umbral de flujo. Para simular pruebas hidráulicas sobre estos
sistemas se aplican condiciones de flujo que permiten representar pruebas de bombeo en
arreglos radiales de acuíferos fracturados. Las leyes de escalamiento de fenómenos
críticos son universales y se expresan en forma de ley de potencia, en este trabajo se
obtienen los exponentes críticos de los parámetros que rigen el flujo en sistemas de
fracturas. Se expone la teoría de un caso de flujo no lineal en pozos y se plantea un
problema de bombeo que da lugar a la consideración de una nueva escala. Se espera
proyectar estas teorías en la interpretación y manejo de pruebas hidráulica de campo, así
como también resaltar escalas relevantes del fenómeno y sus exponentes anómalos, no
consideradas en los enfoques clásicos de solución.
xv
ABSTRACT
This work aims at understanding the flow phenomena in fracture systems under
hydraulic test effects. Important features are presented for studying flow in geologic
media that have high degree of heterogeneity.
The most important feature is the
consideration of the fractured medium as a phase transition. To obtain scaling laws of
hydraulic parameters near the thresholds and to consider the scale effect numerical
experiments are designed to represent fracture systems in percolation transition. In order
to simulate hydraulic tests on these systems flow conditions are imposed in form of
pumping tests in fractured aquifers using radial percolation arrays. Universality in
critical phenomena permits us to express hydraulic parameters in form of power laws.
In this work critical exponents in fracture systems are obtained. Besides, dimensional
analysis and renormalization group in the flow theory are briefly presented in a special
case of nonlinear flow in pumping well. In that case we have to consider a new scale,
the well radio. We hope to project the above theories toward the interpretation and
handling of field hydraulic tests and to present important scales and their anomalous
exponents in the study of rock flow phenomena, not considered in classical theories of
solution.
xvi
xvii