Efros

18 Aplicación de la teoría fractal
A continuación expondremos cómo la teoría fractal facilita el entendimiento de fenómenos
directamente implicados en el proceso de difusión que nos ocupa.
1.8.1.- Teoría de percolación En 1957, Broadbent y Hammersley estudiaron el movimiento
aleatorio de un fluido que atraviesa un medio [113]. La aleatoriedad puede ser debida a dos causas
diferentes. En los procesos de difusión habituales la aleatoriedad es inherente al movimiento
difusivo de las partículas de fluido (un ejemplo es el movimiento térmico irregular de las
moléculas de un líquido). El otro caso es aquél en el que la aleatoriedad es debida al medio en sí
mismo. Este último caso fue denominado por Hammersley proceso de percolación.
En un medio euclídeo, la partícula que difunde puede alcanzar cualquier posición. No ocurre lo
mismo en un proceso de percolación. En éste, el fenómeno m s destacable es la existencia de un
umbral de percolación bajo el cual la partícula que difunde permanece confinada a una región
finita. El modelo de percolación [113,114] ha demostrado su utilidad para la caracterización de
sistemas desordenados tales como medios porosos, fragmentación y fracturas [115], conductores
iónicos dispersos [116,117], propagación de incendios en bosques [9,118], propagación de
epidemias [119,120], etc. Actualmente esta teoría está siendo objeto de un estudio exhaustivo, a
fin de esclarecer su margen de aplicabilidad y conocer en detalle su funcionamiento [121-124].
1.8.1.1.- Percolación sobre una red cuadrada
Consideremos una red cuadrada como la mostrada en la figura de los nodos de la red está ocupada
aleatoriamte (1.17). Una fracción p podría ilustrar los poros una fracción 1-P está vacía. Esta
representación podría ilustrar los poros de una matriz, de manera que los poros localizados en
nodos adyacentes están conectados por pequeños capilares. Si un fluido es inyectado por un poro
sólo podrá invadir a los poros que están conectados al poro inicial. Los poros o nodos
interconectados se denominan clúster.
Cuando la probabilidad de ocupación es pequeña (P = 0.2 en la figura f1.17l) los clústeres están
constituidos por muy pocos nodos, existiendo gran cantidad de poros aislados. Cuando p
aumenta, el tamaño promedio de los clústeres aumenta a su vez existiendo una concentración
crítica Pc= 0,59 bajo la cual sólo ambos existen clústeres finitos. Si P > Pc se forma un clúster que
conecta ambos extremos de la red "clúster infinito". En este caso, un fluido inyectado en un
extremo podría recorrer la estructura completa y salir el lado contrario. A la estructura que conecta
ambos extremos se le denomina clúster de percolación. Si seguimos aumentando P, las de
posibilidades de atravesar de un lado a otro la estructura ser n múltiples. Si se repite la experiencia
se formar n clústeres distintos, verificándose siempre que la probabilidad crítica a la cual aparece
el primer cluster infinito de percolación es Pc= 0.59275 + 0.00003
La probabilidad de percolación Pinf se define como la probabilidad de que un nodo de la red
pertenezca al clúster infinito. Es decir, si inyectamos fluido en un nodo de la red elegido
aleatoriamente, P ser la probabilidad de que ese fluido pueda atravesar infinitos nodos. Por debajo
de pc , Pinf = 0: la probabilidad de ir de un extremo a otro de la red es nula, ya que todavía no se ha
formado el clúster de percolación. Por encima de p se observa el siguiente comportamiento de Pinf
: Pinf= (p-p )B
Para p < pc , el diámetro de un clúster puede ser caracterizado mediante la longitud de correlación
E, la cual se define como la distancia promedio entre dos nodos que pertenecen al mismo clúster.
Cuando p --> pc se cumple:
E=(p -pc)v
(1.62)
Los exponentes B y v son universales y dependen solamente de la dimensión euclídea, pero no de
la estructura de la red. Para d = 2 se conocen los valores exactos: B = 5/36 y v = 4/3 [127]. En d = 3
existen estimaciones numéricas [128,129] que conducen a los siguientes valores: B=0.44 y v =
0.88.
El problema de la difusión sobre clústeres de percolación proporciona una de las herramientas
más valiosas para el estudio de las propiedades topológicas de los clústeres. Se han propuesto
diferentes modelos que conducen a diferentes predicciones para la difusión. Cabe destacar el
modelo de de Gennes [130] y el modelo de cadenas y nodos de Skal y Shklovski [131,132]. Pero el
modelo más comúnmente utilizado es el modelo fractal, introducido en la percolación por
Kirkpatrick [133), y posteriormente desarrollado por Mandelbrot y Given [134] y por de
Arcangelis y colaboradores [135,136].
1.8.1.2.- Dimensión fractal de un clúster de percolación Consideremos una red cuadrada de
longitud L. En una experiencia de simulación por ordenador se pueden determinar el número de
nodos M(L) que forman parte del clúster infinito, y promediar sobre distintas redes de percolación.
La dependencia de M(L) con L ha sido investigada por distintos autores, encontrándose los
siguientes resultados para L-->inf:
M(L) þ 1nL para p CP para p=P L o M(Ll þ para p>P L e M(Ll þ Por debajo del punto crítico no hay clúster de percolación, pero se puede interpretar M(L) como el
tamaño del clúster más grande (9), de modo que M(L) aumenta de forma logarítmica (lnL) al
aumentar L.
- Por encima del punto crítico, la masa del clúster de percolación es una fracción finita de los
nodos.
- En el umbral de percolación p = Pc. la masa del clúster infinito es proporcional a L elevada a un
exponente D . La figura (1.18) muestra resultados de simulación en una red cuadrada. Los círculos
rellenos son los datos a P = Pc - 0.593.
La línea continua representa la ecuación M(L) - con D = 1.89. Para p= 0.65 > Pc (cuadrados) del
ajuste a la ecuación anterior se obtiene D = 2.03. Los resultados para P = 0.5 < Pc (círculos
vacíos) fueron ajustados a la ecuación M(L) - A+B lnL (línea discontínua). Estos resultados
demuestran que un clúster de percolación en el punto crítico es un fractal , con una dimensión
fractal Do
. 1.8.1.3.- Autosemejanza de un clúster de percolación Un clúster de percolación es
estadísticamente autosimilar. Para poder apreciarlo considérese el clúster de la figura (1.17) con p =
0.59. Si observamos el clúster a una resolución mayor, los detalles del mismo se pierden pero su
aspecto es similar. La estructura completa permanece constante a pesar de la existencia de huecos
de todos los tamaños. Esta autosimilaridad está íntimamente relacionada con la estructura fractal
del clúster de percolación. La relación entre ambas se puede obtener mediante la renormalización
del espacio real (para más detalles véase la referencia)