S3-ING06

MODELACIÓN DE MICROESTRUCTURA DE SUELOS MEDIANTE TEORÍA
DE PERCOLACIÓN PARA EL ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO
ESFUERZO-DEFORMACIÓN
M.L. Pérez-Reaa, E. Martínez-Gonzálezb
a
División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma de
Querétaro, Querétaro, Qro., México, [email protected]
b
Instituto de Investigaciones Eléctricas, Gerencia de Materiales y Procesos Químicos,
Laboratorio de Pruebas No Destructivas, Cuernavaca, Mor., México, [email protected]
RESUMEN
Los modelos de percolación han sido ampliamente utilizados en la Mecánica de Rocas para estimar la
conductividad hidráulica en rocas fracturadas para propósitos de explotación de acuíferos o de mantos
petrolíferos. Considerando el hecho de que el comportamiento macroscópico de los suelos finos depende de
su microestructura, este tipo de modelos ha tomado creciente interés en el campo de la predicción de
propiedades hidráulicas y de transporte de los suelos finos. Por otra parte, las propiedades elásticas de
muchos otros materiales han sido estudiadas mediante redes elásticas percolantes. Esto último, puede ser
aplicado para predecir las mismas propiedades elásticas en suelos. La aplicación de técnicas de
caracterización, tales como la microscopía electrónica de barrido y de transmisión, proporcionan información
tal que, debidamente interpretada, y combinada con técnicas como el elemento finito, permiten realizar un
modelo más cercano al comportamiento mecánico del suelo.
1. INTRODUCCIÓN
La microestructura del suelo ha sido tradicionalmente clasificada en tres diferentes niveles: microestructural,
miniestructural, y macroestructural. El primero considera los pequeños poros entre las partículas individuales;
el segundo, considera los poros entre los grumos y el tercero, considera los macroporos tales como grietas,
fisuras, vacíos de las raíces, etc., (Collis and McGown, 1974, citado en Reddi, 1996; Mitchell, 1976). En la
mayoría de la bibliografía existente al respecto, se ha intentado relacionar las propiedades hidráulicas y de
transporte de los suelos finos con cambios en la microestructura de los mismos. Los suelos naturales
comienzan a ser observados como medios porosos (ordenados o desordenados) y la aplicación de la teoría de
percolación al estudio de dichas propiedades ha proporcionado un avance para la ciencia de suelos (Selyakov
y Kadet, 1996).
En las últimas dos décadas, la teoría de percolación y otros métodos similares, conjuntamente con el aumento
de la capacidad de procesamiento de equipos de cómputo, han permitido interpretar observaciones
experimentales y predecir muchas propiedades de sistemas desordenados (Sahimi, 1994), con especial
atención a los medios porosos.
La física estadística de sistemas desordenados tiene por objeto proporcionar métodos que deriven las
propiedades macroscópicas de tales sistemas a partir de las leyes que gobiernan el mundo microscópico, o
alternativamente, deducir propiedades microscópicas a partir de la información macroscópica que puede ser
observada con técnicas experimentales. Si bien la mayoría de los trabajos reportados en la literatura tratan
problemas de conductividad hidráulica y conductividad eléctrica, existen otras propiedades conductivas que
también podrían ser modeladas, tales como las propiedades elásticas (Kantor, 1984). Reportes de análisis de
materiales constituidos de celdas octaédricas repetidas muestran que el método del elemento finito puede
aplicarse para la predicción de propiedades elásticas efectivas en materiales porosos como las espumas
metálicas (Deshpande, 2001). El acoplamiento de estas dos propuestas puede llevar a un mejor análisis del
comportamiento esfuerzo-deformación de los suelos.
2. TEORÍA DE PERCOLACIÓN
El concepto básico de teoría de percolación es tomado análogamente del efecto del paso del agua a través de
un depósito de café en una cafetera percoladora. Broadbent y Hammersley (1957) trataron con el concepto de
la dispersión de partículas de fluido hipotéticas a través de un medio aleatorio, utilizando la teoría de
percolación. Los términos fluido y medio se propusieron de manera totalmente general: fluido puede ser un
líquido, vapor, flujo de calor, corriente eléctrica, infección, sistema solar o cualquier fluido que pueda
moverse a través de un medio. El medio, donde se lleva el fluido puede ser el espacio poroso de una roca, un
suelo, un arreglo de árboles o el mismo universo. Las redes pueden tener formas y tamaños muy diversas y
pueden ser de formas regulares o irregulares. La red tomará la configuración que mejor represente al
fenómeno que se va a modelar, así como la dimensión (2D ó 3D). La dispersión de un fluido a través de un
medio desordenado envuelve algunos elementos aleatorios, pero el mecanismo, puede ser uno de dos muy
diferentes tipos. En el primer tipo, la aleatoriedad se atribuye al fluido en un proceso de difusión y en el
segundo, se atribuye al medio, en un proceso de percolación.
La teoría de percolación clásica se centra alrededor de dos problemas. En el problema de percolación enlazada
(o consolidada), la red está constituida por lazos (fig. 1a).Los lazos de la red están ocupados aleatoriamente e
independientemente de los otros con probabilidad p, (están abiertos al flujo, difusión y reacción, son
elementos conductores microscópicos de un compuesto, etc.), o están vacantes (están cerrados al flujo o
corriente, o han sido conectados, son elementos aislantes de un compuesto, etc.) con probabilidad 1-p. Para
una red grande, estas asignaciones son equivalentes a remover una fracción 1-p para todas las ligas al azar.
Dos sitios se llaman “conectados” si existe al menos una trayectoria entre ellos consistente únicamente de
ligas ocupadas. Un conjunto de sitios ocupados enlazados por ligas vacantes es llamado un “racimo”. Si la red
es de extensión muy grande y si p es suficientemente pequeño, el tamaño de cualquier racimo conectado es
pequeño. Pero si p es cercano a 1, la red debería estar completamente conectada, separadamente de pequeños
agujeros ocasionales. A algunos valores de p bien definidos, existe una transición en la estructura topológica
de la red aleatoria a partir de una estructura macroscópicamente desconectada a una conectada; este valor se
llama “umbral de percolación enlazada (ó consolidada) pcb”. Esta es la fracción más grande de ligas ocupadas
abajo de las cuales no existe racimo percolante de ligas ocupadas.
Similarmente en el problema de percolación de sitio, la red está constituida por sitios (fig. 1b). Los sitios de la
red están ocupados con probabilidad p y las vacantes con probabilidad 1-p. Los dos sitios vecinos más
cercanos se llaman “conectados” si están ambos ocupados, y los racimos conectados en la red son otra vez
definidos en la manera obvia.
Existe un umbral de percolación de sitio pcs arriba del cual un racimo infinito de sitios ocupados atraviesa la
red. Se debe apuntar que, dependiendo de una aplicación específica, se pueden desarrollar muchas variantes
de la percolación enlazada o de sitio. Las configuraciones típicas de las redes en 2D se muestran en la figura
2. Las redes regulares en 3D pueden tomar configuraciones volumétricas similares a las descripciones de
arreglos de celdas para estructuras cristalinas. La derivación de los valores exactos de pcb y pcs ha sido posible
solo para ciertas redes relativas a la red de Bethe y para algunas cuantas redes 2D. El umbral de percolación
de una red 3D ha sido calculado numéricamente por simulaciones Monte Carlo o por otras técnicas. En las
tablas 1 y 2 se resumen estimaciones típicas de pcb y pcs para redes 2D- y 3D respectivamente. En general,
pcbpcs.
(a)
(b)
Fig. 1. Representación esquemática de redes cuadradas de percolación. A) de lazos, b) de sitios.
Fig. 2. Algunas redes regulares en 2D.
(A) Red de Bethe (Z=3).
(B) Red de panal (Z=3).
(C) Red cuadrada (Z=4).
(D) Red Kagomé (Z=4).
(E) Red triangular (Z=6).
Z es la conectividad del sistema.
Tabla 1. Valores típicos aceptados del umbral de
percolación de algunas redes 2D.
Red
Z pcb
Panal
3
1 - 2 sen (/18)  0.6527*
Cuadrada 4
1/2*
Kagomé
4
0.522
Triangular 6
2 sen (/18)  0.3473*
* Resultado exacto.
pcs
0.6962
0.5927
0.652
1/2*
Tabla 2. Valores típicos del umbral de
percolación de algunas redes 3D.
Red
Diamante
Cúbica simple
BCC
FCC
Z
4
6
8
12
pcb
0.3886
0.2488
0.1795
0.198
pcs
0.4299
0.3116
0.2464
0.119
Además del umbral de percolación, las propiedades topológicas de las redes de percolación se caracterizan
por varias cantidades importantes tales como Probabilidad de percolación P(p), Fracción accesible XA(p),
Fracción de soporte XB(p), Longitud de correlación p(p), conductividad eléctrica efectiva, módulo elástico
efectivo, etc., que el lector podrá consultar directamente en las fuentes (Sahimi, 1994).
Una de las características más importantes de los procesos de percolación son las leyes de escalamiento
universal. El comportamiento de muchas redes cerca del umbral de percolación es independiente del tipo de
red y del tipo de percolación (lazos o sitios). Existe una aparente universalidad que permite que algunas
propiedades obedezcan leyes de escalamiento cerca del umbral de percolación. A los exponentes que
dependen únicamente de la dimensión euclidiana del sistema que caracterizan dichas leyes de escalamiento se
les llaman “exponentes críticos” [Sahimi, 1995]. Estos exponentes dependen solamente de la dimensión en el
espacio y no del tipo de red o de la clase de problema de percolación. Cada propiedad tiene una ley de
escalamiento que funciona en el umbral de percolación y que puede contener uno o más exponentes críticos.
Los clusters de percolación se utilizan usualmente para modelar objetos físicos, como sólidos amorfos,
materiales compuestos, rocas porosas y polímeros, entre otros. Muchos exponentes críticos ya han sido
reportados en la literatura por una gran variedad de autores.
3. PROPIEDADES ELÁSTICAS DE SISTEMAS PERCOLANTES
El problema de elasticidad de redes aleatorias percolantes ha sido visto como análogo al problema de la
conductividad eléctrica (de Gennes, 1976; citado en Stauffer, 1994). Los estudios significativos de este
problema están limitados a ciertos tipos de celdas. Para tales celdas (p.ej. una celda triangular en 2D) el valor
del exponente de elasticidad () es numéricamente mayor que el exponente de conductividad (t). Está claro,
sin embargo, que el problema de percolación asociado con este tipo de elasticidad de celda difiere para una
percolación regular de sitio o de lazo. Kantor y Webman (1984) propusieron un modelo para la elasticidad de
una red percolante. En su modelo, el umbral de rigidez era idéntico al geométrico. La estructura del racimo
percolante infinito ha sido analizada junto con un modelo de cadenas elásticas y el se obtuvo el exponente
crítico . Los resultados mostraron que el comportamiento elástico de la red percolante pertenece a una clase
de universalidad diferente que la conductividad y que el exponente crítico  es considerablemente mayor que
el exponente de conductividad, t. El modelo de celdas proporciona una descripción correcta del
comportamiento elástico de materiales compuestos no homogéneos macroscópicamiente, construidos con
regiones localmente rígidas (sólidos) y regiones localmente muy suaves (vacíos). Cerca de pc la rigidez
macroscópica del material estará determinada por la elasticidad de largos y tortuosos canales de material
rígido, el cual está contenido en el esqueleto principal del racimo percolante.
4. LA TEORÍA DE PERCOLACIÓN Y LA MICROESTRUCTURA DE SUELOS
Anteriormente se ha hecho referencia a redes regulares que pueden ser utilizadas para modelar estructuras.
Sin embargo, con el desarrollo de computadoras más potentes, el uso de redes continuas y topológicamente
aleatorias ha ido cobrando mayor interés, sobre todo porque el número de coordinación Z (conectividad) se
puede variar de un sitio a otro. Las redes deberán de representar no sólo la estructura física del material, sino
la manera en que se comporta el fenómeno modelado. La estructura material no es obvia y redes de
estructuras físicas similares a la estructura física del suelo, no necesariamente representan el comportamiento
del mismo. En la literatura se han reportado diferentes maneras de realizar percolación con redes irregulares,
aunque estas propuestas no son del todo nuevas, ya que comenzaron en los años 60s. Uno de los métodos,
llamado modelo de queso suizo (fig. 3a) consiste en hacer una distribución aleatoria de inclusiones, tales
como círculos, esferas o elipses, en un sistema uniforme diferente. Este modelo se ha utilizado con éxito para
la modelación de materiales compuestos de dos o más fases.
(a)
(b)
(c)
Fig. 3. Modelos de redes irregulares para percolación continua en 2D. a) queso suizo, b) Voronoi,
c)fracturamiento aleatorio.
Otro método conocido es el Poliedro de Voronoi (fig. 3b), (Isichenko, 1992), para tratar estructuras cristalinas
y también no cristalinas de materiales como sólidos amorfos, líquidos y gases densos. En este método, se
divide el espacio en poliedros aleatorios o regulares, una fracción de los cuales está ocupada (conductores),
mientras que el resto no están ocupados. En el tercer método, se distribuyen varas conductoras aleatorias de
una proporción dada, o placas de una extensión dada. Este último tipo de desorden continuo se ha utilizado
para modelar flujo de agua a través de fracturas en rocas y predecir la conductividad hidráulica con muy
buenos resultados (Sahimi, 1994; Liem, 1988).
El comportamiento mecánico de los suelos no es tan simple. El comportamiento a macroescala del suelo
depende de sus características mineralógicas y microestructurales. Tradicionalmente se han considerado las
estructuras simple, panaloide y floculenta como las básicas en los suelos reales (fig. 4). Recientemente se han
introducido algunas modificaciones a las ideas anteriores, teniendo en cuenta las imágenes obtenidas con
técnicas de caracterización a nivel microscópico. Aun así, el avance de la tecnología no ha logrado que la
estructura haya sido tomada completamente en cuenta para la predicción del comportamiento del suelo. La
mayoría de los minerales de suelos tienen arreglos ordenados de átomos que forman redes de cristales
características que pueden ser regulares o irregulares.
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 4 Estructura simple para la representación del acomodo de los granos en suelos. (a) estructura simple en
estado más suelto, (b) estructura simple en estado más compacto, (c) estructura floculenta, (d) estructura
panaloide (Juárez, 1984).
Las propiedades morfológicas del suelo pueden ser determinadas utilizando técnicas de caracterización tales
como la microscopía electrónica, difracción de rayos X y análisis térmicos, las cuales, debidamente
interpretadas, proporcionan información que permite modelar más cercanamente las condiciones reales del
suelo tales como la porosidad y la disposición de las partículas. Una vez que porosidad y estructura
microscópica del suelo han sido modeladas con la teoría de percolación, el método del Elemento Finito
(FEM) puede ser aplicado para el análisis del comportamiento mecánico. Análisis de micromecánica facilitan
la comparación entre los resultados obtenidos con el modelo de elemento finito y los reales. El problema
mecánico es abordado como armaduras en 2D o 3D en las que los lazos representan los contactos entre los
granos o bien a las partículas, según sea conformado el modelo. Las dimensiones que deberán tener los
elementos de las redes serán las que determinen las caracterizaciones experimentales mencionadas. Un
análisis completo para suelos finos puede ser consultado en las referencias (Pérez-Rea, 2005). El método
propuesto ha arrojado resultados aceptables en la predicción de propiedades elásticas de suelos arcillosos con
una precisión cercana al 80%. La combinación de la teoría de percolación con herramientas numéricas
poderosas como el método del elemento finito, permiten modelar el comportamiento de materiales que, si
bien no son macroscópicamente continuos, pueden ser analizados como un medio continuo a nivel
microscópico.
REFERENCIAS
Broadbent, S. R. y Hammersley, J. M., 1957, Proc. Camb. Phil. Soc. 53, 629.
Deshpande, V.S., Fleck, N.A., Ashby, M. F. “Effective properties of the octet-truss lattice material”.- Journal
of the Mechanics and Physics of Solids, 49 (2001), 1747-1769.
Flory, P. J. 1941, J. Am. Chem. Soc. 63, 3083.
Isichenko, M. B.- “Percolation, statistical topography, and transport in random media”.- Review of Modern
Physics, Vol. 64, no. 4. October 1992. American Physical Society.
Juárez Badillo, E., Rico Rodríguez, A. “Mecánica de Suelos”. Tomo I. Limusa, 3a. Edición, México, 1984.
Kantor, Y., Webman, I. Phys. Rev. Lett. 52, num. 21. (1984).
Liem, C., Jan, N., J. Phys. A 21 (1988) L243.
Mitchell, J. K., “Fundamentals of Soil behavior”. John Wiley, New York, 1976.
Pérez-Rea, M.L. “Predicción de propiedades mecánicas y reológicas de suelos usando teoría de
percolación”. Tesis doctoral, ITESM-CEM, México, 2005.
Reddi, L.N., Thangavadivelu, S. J. Geotech. Eng. Vol. 122, No. 11. Nov. 1996.
Sahimi, M. “Applications of Percolation Theory”.- Taylor & Francis, EUA, 1994.
Sahimi, M. “Flow and Transport in Porous Media and Fractured Rock”. VCH. Germany, 1995.
Selyakov, V.I. and Kadet, V.- “Percolation Models for Transport in Porous Media : with Applications to
Reservoir Engineering (Theory and Applications of Transport in Porous Media)”, Kluwer Academic, Boston,
1996.
Stauffer D. and Aharony, A. “Introduction to Percolation Theory”. Taylor & Francis, 2a. Edición. E.U. 1994.
Stockmayer, W. H., 1943, J. Chem. Phys, 11, 45.