Funciones exponenciales y logarítmicas

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Por:
Ing. Mario René De León García.
1.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Una función exponencial tiene la forma
, donde “a” es la base de la potencia y la variable “x” es el exponente.
Esta función tiene un comportamiento asintótico, el cual depende del valor de la base; por esta razón se examinará el
comportamiento de la función exponencial a través de dos ejemplos, para luego generalizar y entrar a la definición.
EJEMPLO 1:
Analizar numéricamente el comportamiento de la función:
El análisis consiste en observar que sucede con los valores de la función (valores para “y”) cuando la variable “x” toma valores
muy pequeños; así como cuando toma valores muy grandes.
ASÍNTOTA HORIZONTAL:
x
x
0
1
–1
1
2
–2
2
4
–3
3
8
–4
4
16
–10
10
1024
–100
100
0
CONCLUSIÓN:
COMPORTAMIENTO CRECIENTE
1
Cuando los valores de “x” son pequeños la curva de la función se acerca a la asíntota horizontal
,
mientras que cuando se hacen grandes la curva continúa con un comportamiento creciente. Observe
que cuando
la función toma el valor
.
EJEMPLO 2:
Analizar numéricamente el comportamiento de la función:
2
Funciones Exponencial y logarítmica
Realizando un análisis similar al de ejemplo anterior se tiene:
COMPORTAMIENTO DECRECIENTE
ASÍNTOTA HORIZONTAL:
x
x
0
1
0
–1
2
1
–2
4
2
–3
8
3
–4
16
4
–10
1024
10
–100
CONCLUSIÓN:
1
100
Cuando los valores de “x” son pequeños, la curva de la función tiene imágenes muy grandes, esto
equivale a decir que al realizar el análisis de izquierda a derecha, la función tiene un comportamiento
decreciente. Cuando los valores de “x” son grandes, la función se acerca a la asíntota horizontal
.
Observe que cuando
, la función nuevamente toma el valor
.
En el primer ejemplo la base de la función exponencial es un número mayor que uno y la función exhibe
un comportamiento creciente. En este ejemplo la base es un número entre cero y uno, de tal forma que
su comportamiento es decreciente.
Con base en lo estudiado previamente, al generalizar se logra definir la función exponencial de la forma que se presenta a
continuación.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Una función exponencial de base “a” se define de los reales a los reales positivos, de tal forma que
esta base debe ser un número positivo diferente de uno y de cero, su grafica presenta una asíntota
horizontal en
. La función se define de la forma siguiente:
Donde
Observe que la base no puede ser cero o uno, ya que en estos casos se obtienen funciones constantes:
&
Para todo valor de “x”
De igual forma, la base no puede ser un número negativo, ya que podría pasar lo siguiente:
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3
Funciones Exponencial y logarítmica
Las graficas típicas de la función exponencial se muestran a continuación:
GRAFICAS TÍPICAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES
y
y
x
Si y solo si
Pares ordenados característicos:
x
Si y solo si
Pares ordenados característicos:
y
y
Las graficas que se muestran corresponden a los casos típicos de una función exponencial básica, en las que se observan
los puntos característicos, que son aquellos puntos por los que siempre pasará la grafica de una función exponencial básica,
independientemente de su base. A continuación se justifican estos puntos.
PUNTOS CARACTERÍSTICOS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
1.
Par ordenado:
Razón:
1.
Par ordenado:
Razón:
Las formas básicas de la función exponencial pueden sufrir transformaciones como las estudiadas previamente, es decir
se pueden trasladar, estirar, encoger y reflejar, tanto horizontalmente como verticalmente. Además, en el álgebra de funciones
deben satisfacerse las leyes de potencias, las cuales se resumen a continuación:
LEYES DE POTENCIAS
Sea “a” un número real positivo, diferente de cero y de uno, mientras que “n” y “m” números naturales, entonces se debe
cumplir que:
1)
2)
3)
4)
5)
7)
6)
8)
9)
Preparado por: Ing. Mario René De León García
4
Funciones Exponencial y logarítmica
2.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función logarítmica se puede definir como la función inversa de la función exponencial, cuyo dominio son todos los
reales positivos y rango todos los reales, es decir:
FUNCIÓN LOGARITMO
La función logaritmo de base “a” es la inversa de una función exponencial de la forma
forma siguiente:
, definida de la
Donde
La grafica de una función logaritmo presenta asíntota vertical en
.
Las graficas típicas de una función logarítmica se presentan a continuación:
GRAFICAS TÍPICAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS
y
y
x
x
Si y solo si
Pares ordenados característicos:
Función creciente
y
Si y solo si
Pares ordenados característicos:
Función decreciente
y
La función logaritmo es la inversa de la función exponencial y no siempre resulta fácil entender que es o para qué sirve un
logaritmo. La siguiente definición y los siguientes ejemplos ayudaran a comprender mejor.
INTERPRETACIÓN DE LOGARITMO
El logaritmo de base “a” con argumento “x” cumple con la siguiente propiedad:
Siempre y cuando
Es decir, el valor obtenido de un logaritmo es el exponente al que debe elevarse la base para obtener el valor del
argumento.
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Funciones Exponencial y logarítmica
5
EJEMPLO 3:
1.
Razón:
2.
Razón:
3.
Razón:
Calcular logaritmos como el del ejercicio anterior no siempre resulta tan evidente, pero puede aplicar la definición de
logaritmo para poder resolver. Si no está seguro del valor del logaritmo, asuma un valor no definido de la forma siguiente:
Por interpretación de logaritmo, se sabe que es el número al que debe elevarse la base para obtener el argumento,
entonces:
Como la base de la expresión exponencial y el valor del argumento son múltiplos de 5, se reescriben como potencias de
base 5:
La función exponencial es una función uno a uno y en la última igualdad se tienen dos expresiones exponenciales de base
5, la única forma en que estas expresiones puedan ser iguales es que los exponentes sean iguales, por tanto:
Como consecuencia:
EJERCICIOS:
Por interpretación de logaritmo encuentre el valor de los siguientes logaritmos:
1.
3.
5.
7.
9.
11.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
Con base en lo anterior es fácil comprender los puntos característicos de la grafica de la función logaritmo.
PUNTOS CARACTERÍSTICOS DE LA FUNCIÓN LOGARITMO
1.
Par ordenado:
Razón:
1.
Par ordenado:
Razón:
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6
Funciones Exponencial y logarítmica
La función logaritmo cumple con tres sencillas leyes, las cuales están fundamentadas en las leyes de exponentes, siendo
estas:
LEYES DE LOGARITMOS
Sean
y
cero y de uno:
3.
valores reales positivos diferentes de cero, mientras que
una cantidad positiva diferente de
1.
Razón:
El logaritmo del producto de dos o más factores, es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
2.
Razón:
El logaritmo de un cociente, es igual a la suma de los factores del numerador menos los logaritmos de
los factores del denominador.
3.
Razón:
El logaritmo de una potencia, es igual al exponente de la potencia multiplicado por el logaritmo de la
base de la potencia.
FUNCIONES ESPECIALES
3.1
FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
En modelos de crecimiento o decrecimiento continuo en el tiempo, es usual utilizar la función exponencial natural, cuya
base es un número irracional llamado “número neperiano” y que se denota por “e”; el valor de este número se deduce del
coeficiente de la fórmula de interés compuesto
, cuando no importando cual es la tasa de interés y sabiendo que la
misma varia en
, se aumenta el número de capitalizaciones al año a días, minutos, segundos, fracciones de segundo, etc;
es decir, se capitaliza de forma continua de tal forma que se hace crecer “n”
. En esta situación, el coeficiente tiende a
tomar el valor de un número irracional el cual es aproximadamente “2.718281828…”, que es el valor de “e”. Por ser una cantidad
mayor que 1, su grafica tiene comportamiento creciente y cumple con todas las propiedades de la función exponencial. Se define
de la forma siguiente:
3.2
FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
Como es de esperar, esta es la función inversa de la función exponencial natural, por lo que el comportamiento de la
grafica de esta función también es creciente. Sin embargo lo especial de esta función es que utiliza una nomenclatura particular.
La función se define por:
3.3
LOGARITMO COMÚN
En el siglo XIV era muy común utilizar notación científica para escribir cantidades muy grandes o muy pequeñas, ya que
se escribían en términos de potencias de base 10, por lo que al multiplicarse o dividirse solo debían sumarse o restarse los
exponentes. Estudiosos de la matemática como John Napier (1550 – 1617) desarrollaron tablas para calcular logaritmos de base
10, ya que era lo más usual para esa época y no se acostumbraba a indicar la base del logaritmo. Hoy en día se les denomina
logaritmo común y en general los textos acostumbra a no indicar la base cuando se trata de un logaritmo de base 10.
Preparado por: Ing. Mario René De León García
7
Funciones Exponencial y logarítmica
4.
FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE
Una herramienta útil en el cálculo de logaritmos es la fórmula de cambio de base, particularmente cuando se utiliza una
calculadora convencional que solo permite calcular logaritmos comunes o logaritmos naturales. También suele ser importante en la
solución de ecuaciones en donde los logaritmos no tienen la misma base y por ende, no es posible aplicar las leyes
correspondientes; en este caso los logaritmos se convierten a una base común “b”.
5.
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS, PROPIEDADES
Como se ha indicado, las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre sí, por lo que deben cumplir con las
propiedades estudiadas para este tipo de funciones.
1.
Siempre que “
” sea una cantidad positiva.
2.
Siempre que “x” sea una cantidad positiva.
Resulta útil extender estas definiciones para la solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas, además de agregar
dos propiedades más derivadas del hecho de que estas funciones tienen una correspondencia uno a uno.
1.
Siempre que “
” sea una cantidad positiva.
2.
Siempre que “
” sea una cantidad positiva.
3.
Sí,
Entonces debe suceder que:
4.
Sí,
Entonces debe suceder que:
Siempre y cuando
y
tengan como rango a los reales positivos sin incluir el cero.
Serie de ejercicios 1
Para una función básica de la forma
, en cada uno de los ejercicios siguientes se le pide graficar una función
transformada, según se indica en cada caso. Para el efecto, se le pide seguir cada uno de los siguientes pasos.
A.
B.
C.
D.
E.
Según sean las transformaciones requeridas, escriba la ecuación que corresponda.
Grafique la función transformada con línea continúa.
Con línea discontinua grafique la función básica.
Con línea discontinua delgada, trace la asíntota horizontal y el eje vertical trasladado (si fuera el caso).
Identifique los puntos
en la función básica, luego identifique sus puntos correspondientes en la función
transformada para verificar que su ecuación es correcta.
1.
Para
2.
Para
, transfórmela trasladándola dos unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba.
, transfórmela trasladándola tres unidades hacia la derecha y dos unidades hacia abajo.
Preparado por: Ing. Mario René De León García
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Funciones Exponencial y logarítmica
3.
Para
4.
Para
, refléjela verticalmente y estírela verticalmente dos veces.
, refléjela horizontalmente, trasládela hacia la izquierda cuatro unidades y hacia arriba dos.
Para las graficas que se presentan a continuación, desarrolle lo siguiente:
a)
b)
Escriba la ecuación que corresponda a la grafica.
Indique el dominio y rango de la función.
1.
y
2.
y
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-1
1
2
3
-1
x
x
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
3.
y
4.
y
6
6
5
4
4
3
2
2
-4
-3
-2
-1
1
2
1
x
-2
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
x
-4
-2
-3
-6
Serie de ejercicios 2
Para una función básica de la forma
, en cada uno de los ejercicios siguientes se le pide graficar una función
transformada, según se indica en cada caso. Para el efecto, se le pide seguir cada uno de los siguientes pasos.
A.
B.
C.
D.
E.
Según sean las transformaciones requeridas, escriba la ecuación que corresponda.
Grafique la función transformada con línea continúa.
Con línea discontinua grafique la función básica.
Con línea discontinua delgada, trace la asíntota vertical y el eje horizontal trasladado (si fuera el caso).
Identifique los puntos
en la función básica, luego identifique sus puntos correspondientes en la función
transformada para verificar que su ecuación es correcta.
1.
Para
, transfórmela trasladándola dos unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba.
2.
Para
, transfórmela trasladándola tres unidades hacia la derecha y dos unidades hacia abajo.
3.
Para
, refléjela verticalmente y estírela verticalmente dos veces.
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Funciones Exponencial y logarítmica
4.
Para
, refléjela horizontalmente, trasládela hacia la izquierda cuatro unidades y hacia arriba dos.
5.
Para
, encójala verticalmente a la mitad, trasládela hacia la izquierda dos unidades y hacia abajo dos.
6.
Para
, refléjela verticalmente y horizontalmente.
Para las graficas que se presentan a continuación, desarrolle lo siguiente:
a)
b)
Escriba la ecuación que corresponda a la grafica.
Indique el dominio y rango de la función.
1.
2.
y
y
6
2
1
5
4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
x
3
-2
2
-3
1
-5
-4
-3
-2
-4
-1
1
2
3
4
-5
x
-1
-6
3.
2
4.
y
y
4
3
1
2
1
-15 -14 -13 -12 -11 -10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
x
-1
1
-1
-1
-2
-2
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2
3
4
5
6
x
Funciones Exponencial y logarítmica
10
MODELOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
En esta sección aprenderá a modelar problemas relacionados con crecimiento o decrecimiento poblacional, decaimiento
radiactivo y decrecimiento de la temperatura de acuerdo a la “Ley de enfriamiento de Newton”. Este tipo de modelos está
relacionado con un crecimiento o decrecimiento en el tiempo, el cual es una variable continua, por esta razón la modelación se
hace utilizando la función exponencial natural.
1.
MODELOS DE CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO POBLACIONAL
Cuando se habla de modelos de crecimiento o decrecimiento poblacional, no se refiere necesariamente a personas. El
término “población” se utiliza de forma generalizada para nombrar poblaciones de: bacterias, árboles, especies animales,
sustancias, medicamento en el torrente sanguíneo, entre otras. El modelo viene dado por la siguiente expresión:
MODELOS DE CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO
Una población que experimenta un crecimiento o decrecimiento exponencial, lo hace según el siguiente modelo:
Donde:
1.
2.
3.
4.
5.
2.
es la población en un tiempo “ ”.
es la población inicial, es decir en
“ ” representa la “tasa relativa de crecimiento”, si su valor es positivo. Como consecuencia, en este
caso el modelo es de crecimiento
“ ” representa la “tasa relativa de decrecimiento”, si su valor es negativo. Como consecuencia, en
este caso el modelo es de decrecimiento
“ ” es el tiempo
DECAIMIENTO RADIOACTIVO
Cuando una sustancia radiactiva es sometida a condiciones de medio ambiente, inmediatamente inicia un proceso de
descomposición que es llamada “desintegración radiactiva”. Es decir la masa presente en el ambiente se reduce, decrece o
simplemente decae la cantidad presente en un tiempo “t”.
Las sustancias radiactivas se caracterizan por una propiedad llamada “vida media”, definida como el tiempo necesario
para que la masa se reduzca a la mitad de la cantidad inicial. Las sustancias con vida media muy largas se utilizan para realizar
dataciones, por ejemplo, el carbono 14 se ha utilizado durante años en geología para estimar el tiempo de formación de un estrato
rocoso, en antropología o paleontología para estimar el tiempo que ha permanecido enterrado un cuerpo, entre otras aplicaciones.
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Funciones Exponencial y logarítmica
11
MODELO DE DECAIMIENTO RADIOACTIVO
Si en el momento
masa presente
se tiene una masa
de una sustancia radiactiva con vida media “h”, entonces, la
en el tiempo , viene dada por:
Donde:
= tasa de decaimiento radiactivo
3.
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
Cuando un objeto o cuerpo ha estado sometido a una fuente de calor y ha alcanzado una temperatura
, para luego ser
sacado de esta fuente y colocarse en otro medio, se produce inmediatamente un proceso de enfriamiento. Si en un recipiente se
pone agua a hervir, al servir agua en una tasa usted observará que el agua en la tasa inicia un proceso de enfriamiento, ¿pero
hasta que temperatura se enfriará? ¿Podría enfriarse el agua hasta congelarse? La respuesta es que el agua se enfriará hasta
alcanzar aproximadamente la temperatura del medio ambiente que rodea el agua, denotada por
. Esto indica que la máxima
cantidad de calor que podría perderse es la diferencia entre la temperatura inicial y la temperatura del medio ambiente, denotada
por
No todos los cuerpos u objetos se enfrían al mismo ritmo, cada cuerpo tiene una propiedad que se llama “tasa de pérdida
de calor”, denotada por .
MODELO DE LA LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
Si en el momento
un cuerpo u objeto es sacado de su fuente de calor cuando ha alcanzado una
temperatura
, se inicia un proceso de enfriamiento al ser sometido a las condiciones del medio ambiente con
temperatura
, de tal forma que la temperatura en el tiempo , viene dada por:
Donde
es la tasa de pérdida de calor, la cual depende del objeto o cuerpo. La diferencia máxima de calor que
es posible perder, viene dada por:
.
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