Funciones logarítmicas y exponenciales

Funciones logarítmicas y exponenciales
Logaritmo neperiano
El área delimitada por la hipérbola de ecuación xy = 1 y el eje de abscisas desde
x1
a = 1 hasta b = x es denominada ln x , es decir: ln x = ∫ dt
1 t
Las propiedades fundamentales de estas funciones son:
d ln x 1
1.
=
dx
x
2. La función logaritmo es continua y estrictamente creciente.
3. ln 1 = 0
4. ln(uv) = ln(u ) + ln(v)
u
5. ln  = ln(u ) − ln(v)
v
6. ln( x) n = n·ln x
7. ln e = 1
La función exponencial
e x Es el único número y cuyo logaritmo neperiano es x .
y = e x ⇔ x = ln y
Las propiedades fundamentales de estas funciones son:
1.
2.
3.
4.
5.
de x
= ex
dx
La función exponencial es continua y estrictamente creciente.
e0 = 1
e u +v = e u e v
(e x ) n = e nx
Ejercicios resueltos
1. Resuelve las siguientes expresiones:
a) x + 1 = e 2
x + 1 = e4 ; x = e4 −1
b) ln( x) + ln( x − 3) = 0

3 + 13
 x1 =

2
ln( x( x − 3)) = ln 1 → x( x − 3) = 1; x 2 − 3 x − 1 = 0; 
 x = 3 − 13
 2
2
2. El ritmo de crecimiento de una población de moscas es proporcional al
tamaño de la población en cada momento. Si había 180 moscas al final del
segundo día y 300 al final del cuarto, ¿cuántas había inicialmente?
En estos problemas hay que plantear inicialmente las ecuaciones de la función inicial y
de su ritmo de cambio, esto es, su derivada.
P (t ) = n º de moscas a tiempo t
P ' (t ) = kP (t )
P ' (t )
P ' (t )
= k; ∫
dt = ∫ kdt
P (t )
P (t )
P ( 0) = ?
ln( P (t )) = kt + C ; P (t ) = e kt + C
Una vez que hemos hallado la ecuación general de la población en función del tiempo,
intentamos simplificar lo máximo posible.
P (t ) = e kt + c ; P (t ) = e kt + e C ; P (t ) = R·e kt
180 = P (2) = R·e 2 k

300 = P (4) = R·e 4 k
∗ R = eC
300 P ( 4) R/ ·e 4 k
5
=
=
⇒ = e 4k −2k = e 2k
2k
180 P ( 2) R/ ·e
3
Por último:
ln(5 3)
1
5
ln  = 2k ; k =
; k = ·ln (5 3); k = 5 3
2
2
3
Y despejando k:
180 = R·e
2·ln 5 3
P(t ) = 108·e/
; 180 = R·e/ ln/ (5 3) ; 180 =
ln/ ( 5 3) t
2
5
= 108 
3
5R
3·180
;R=
= 108
3
5
t 2
Para t=0:
P (0) = 108 moscas
3. El gerente de una fábrica estima que un operario puede producir a lo sumo 30
unidades diarias. La curva de aprendizaje para el número N de unidades
producidas al día por un obrero que lleva t tiempo trabajando es:
N = 30(1 - ekt)
Tras 20 días de estancia en la fábrica, un trabajador produce 19 unidades diarias.
• Hallar la curva de aprendizaje.
• ¿Cuántos días después producirá 25 unidades diarias?
(1)
N (t ) = n º unidades producidas en tiempo t = 30(1 − e kt )
N ( 20) = 19
¿ N (t ) ?
19 = N ( 20 ) = 30 (1 − e 20 k );
e
20 k
19
− 1 = − e 20 k
30
19
 19 
= 1 − ; k = ln 1 − 
30
 30 
1
20
  19  t 20 
  11  t 20 


N (t ) = 30 1 − 1 − 
= 301 −   
  30  
  30  




t0
t0


 11  20 25
  11  20 
301 −    = 25; 1 −  
=
30
  30  
 30 


(2)
25 = N (t 0 )
t0 = ?
tt
0
t
1  11  20
 11 
=   ; − ln(6) = 0 ·ln  
6  30 
20  30 
20·ln(6)
t0 = −
ln (11 30 )