Hoja 3

Estadı́stica I
Ejercicios Tema 4
Curso 2015/16
1. En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el número
que tiene.
a) Describe los sucesos, escribiendo todos sus elementos.
A ‘Obtener par’
B ‘Obtener impar’
C ‘Obtener primo’
D ‘Obtener impar menor que 9’
b) ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D?
c) ¿Cuál es el suceso A ∪ B? ¿y C ∩ D?
2. Estos son cuatro resultados básicos del ı́ndice bursátil en dos dı́as consecutivos:
O1 :
O2 :
O3 :
O4 :
el
el
el
el
ı́ndice
ı́ndice
ı́ndice
ı́ndice
sube los dos dı́as.
sube el primer dı́a, pero no sube el segundo.
no sube el primer dı́a, pero sube el segundo.
no sube ningunos de los dos dı́as.
Es evidente que debe ocurrir uno de estos resultados, pero no puede ocurrir más de uno al mismo
tiempo. Por tanto, podemos representar el espacio muestral de la forma siguiente: Ω = [O1 , O2 , O3 , O4 ].
a) Consideremos ahora estos dos sucesos:
A: “El ı́ndice sube el primer dı́a”
B: “El ı́ndice sube el segundo dı́a”
Halle la intersección, la unión y el complementario de A y B.
b) Suponiendo que los cuatros resultados básicos son igual de probables. En ese caso, ¿cuál es la
probabilidad de que el mercado suba al menos uno de los dı́as?
3. La página web de una tienda de ropa especializada recibe 1.000 visitas en un dı́a. Basándose en
la experiencia anterior, se ha llegado a la conclusión de que cada 1.000 visitas dan como resultado
diez grandes ventas de 500 euros como mı́nimo y 100 pequeñas ventas de menos de 500 euros.
Suponiendo que todas las visitas tienen la misma probabilidad de dar como resultados una venta:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una determinada visita dé como resultado una gran venta?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que de que una determinada visita dé como resultado una pequeña
venta?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una determinada visita dé como resultado una venta?
4. Una empresa de telefonı́a móvil observó que el 75 % de los clientes quiere tener el servicio de
mensajes cortos en su móvil, el 80 % quiere poder hacer fotos y el 65 % quiere las dos cosas.
a) ¿Cúal es la probabilidad de que un cliente quiera al menos una de las dos?
b) ¿Cúal es la probabilidad de que una persona que quiere el servicio de mensajes cortos también
quiera poder hacer fotos y de que una persona que quiere poder hacer fotos también quiera el
servicio de mensajes cortos?
5. En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si
un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres
temas?
1
6. En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2.500 personas para saber la audiencia de un
debate y de una pelı́cula que se emitieron en horas distintas: 2.100 vieron la pelı́cula, 1.500 vieron el
debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la pelı́cula y el debate?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la pelı́cula, sabiendo que vio el debate?
c) Sabiendo que vio la pelı́cula, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?
7. Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas
rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraı́da sea blanca?
b) Sabiendo que la bola extraı́da fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la primera
urna?
8. Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6 bolas
blancas y 2 rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola de B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraı́da de B sea blanca?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?
c) Sabiendo que la bola de la bolsa A ha sido blanca, ¿Cuál es la probabilidad de que la de la
bolsa B también lo sea?
9. El 38 % de los hogares madrileños tienen ingresos mensuales superiores a 2000 euros y un 37 %
tienen ingresos comprendidos entre 1000 y 2000 euros. Por otra parte, el porcentaje de hogares
que poseen una segunda vivienda es del 6.4 % entre los que tienen ingresos de hasta 1000 euros, el
12.57 % para aquellos con ingresos entre 1000 y 2000 euros y el 23.4 % para los de ingresos superiores
a 2000 euros.
a) Calcula el porcentaje de hogares que poseen segunda vivienda.
b) Si un hogar dispone de segunda vivienda, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ingresos
superiores a 2000 euros?
c) Halla la probabilidad de que un hogar no disponga de segunda vivienda y tenga ingrersos
superiores a 1000 euros.
d ) Entre los hogares con ingresos de hasta 2000 euros, ¿qué porcentaje posee segunda vivienda?
10. Lanzamos tres dados y anotamos el número de cincos que obtenemos.
a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?
b) Calcula la media y la desviación tı́pica.
11. Para cada una de las siguientes situaciones, indica si la variable aleatoria definida sigue una distribución binomial. En caso afirmativo, identifica los valores de n y p :
a) Lanzamos cien veces un dado y nos preguntamos por el número de unos que obtenemos.
b) Extraemos una carta de una baraja y vemos si es un as o no. Sin devolverla al mazo, extraemos
otra y también miramos si se trata de un as o no, ... y ası́ sucesivamente hasta diez veces.
c) El 2 % de las naranjas que se empaquetan en un cierto lugar están estropeadas. Se empaquetan
en bolsas de 10 naranjas cada una. Nos preguntamos por el número de naranjas estropeadas
de una bolsa elegida al azar.
d ) En una urna hay 2 bolas rojas, 3 blancas y 2 verdes. Sacamos una bola, anotamos su color y
la devolvemos a la urna. Repetimos la experiencia 10 veces y estamos interesados en saber el
número de bolas blancas que hemos extraı́do.
e) El 3 % de las chinchetas que se hacen en una determinada fábrica salen defectuosas. Se empaquetan en cajas de 20 chinchetas. Estamos interesados en el número de chinchetas defectuosas
de una caja elegida al azar.
2
f ) En una urna hay 2 bolas rojas, 3 blancas y 2 verdes. Extraemos una bola, anotamos su color
y la devolvemos a la urna. Repetimos la experiencia 10 veces y estamos interesados en saber
el número de bolas de cada color que hemos obtenido.
12. El 65 % de los alumnos de un cierto instituto cursan estudios universitarios al terminar el Bachillerato. En un grupo de ocho alumnos elegidos al azar, halla la probabilidad de que estudien una
carrera:
a) Alguno de ellos.
b) Más de seis.
c) Calcula la media y la desviación tı́pica.
13. En un sorteo que se realiza diariamente de lunes a viernes, la probabilidad de ganar es 0.1. Vamos
a jugar los cinco dı́as de la semana y estamos interesados en saber cuál es la probabilidad de ganar
0, 1, 2, 3, 4 ó 5 dı́as.
a) Haz una tabla con las probabilidades.
b) Calcula la media y la desviación tı́pica.
14. La siguiente gráfica corresponde a la función de densidad de una variable continua X.
a) Calcula la probabilidad de que X sea menor que uno. Razónalo gráficamente.
b) Calcula la probabilidad de que X sea mayor que 0.5 y menor que 3/2. Razónalo analı́ticamente.
c) Calcula la media de la distribución.
d ) Calcula la varianza de la distribución.
15. Un asesor financiero ha estudiado los costes y las ventas de algunos productos y ha llegado a la
conclusión de que ambos dependen de una variable aleatoria X que viene a representar el comportamiento de un ı́ndice determinado. La función de densidad de dicha variable aleatoria es
x
si 3 ≤ x ≤ 15
108 ,
fX (x) =
0,
en caso contrario.
y la relación de los costes y las ventas
Costes: C =
X +5
,
7
Ventas: V =
25 − X
.
4
a) Calcular la función de distribución de la variable aleatoria que modeliza el ı́ndice.
b) Calcular las medias y desviaciones tı́picas de los costes, las ventas y los beneficios.
c) Calcular la probabilidad de que el beneficio sea negativo.
16. Halla, en una distribución Z ∼ N (0, 1), las siguientes probabilidades:
a) P (Z > −0.2)
3
b) P (Z > 1.27)
c) P (−0.52 < Z < 1.03)
17. El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal N (192, 12). Calcula
la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol:
a) Superior a 200 unidades.
b) Entre 180 y 220 unidades.
18. El 7 % de los pantalones de una determinada marca salen con algún defecto. Se empaquetan en
cajas de 80 para distribuirlos por diferentes tiendas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja
haya más de 10 pantalones defectuosos?
19. Un examen de 100 preguntas admite como respuesta en cada una de ellas dos posibilidades, verdadero o falso. Si un alumno contesta al azar, calcula la probabilidad de que acierte más de 60
respuestas.
20. Una variable aleatoria X tiene la siguiente función de densidad
(1 + x2 )/12, si x ∈ (0, 3),
f (x) =
0,
si x ∈
/ (0, 3).
Calcula:
a) la función de distribución de X,
b) las probabilidades P (1 < X < 2) y P (X < 1),
c) la esperanza y varianza de X,
d ) la probabilidad P (|X − E(X)| ≥ 1) y compárala con la cota que se obtendrı́a mediante la
desigualdad de Chebychev.
21. (Examen Mayo 2014) Una empresa paga una cuota mensual de 175 euros en concepto de suscripción
a un servicio de reparaciones. Además, cada visita de un técnico para realizar una reparación en
la empresa cuesta 350 euros. Se sabe que la media de averı́as es de 9.5 al mes, con una desviación
tı́pica de 2.
a) Calcula el valor esperado y la varianza del coste mensual de las reparaciones (incluyendo la cuota
mensual).
b) Utilizando la desigualdad de Chebyshev, da una cota para la probabilidad de que en un mes
determinado el coste de las reparaciones sea menor o igual que 2000 o mayor o igual que 5000
euros.
c) Si se supone que el coste mensual sigue una distribución uniforme continua con la esperanza y
la varianza obtenidas en a), calcula de nuevo la probabilidad del apartado anterior.
d) ¿A qué se debe la diferencia entre los resultados obtenidos en los apartados b) y c)?
22. (Examen Mayo 2014) La función de densidad asociada a la duración en dı́as de un determinado
producto es:
k (2 − x), si 0 < x < 2,
f (x) =
0,
en otro caso,
para un cierto valor de k.
a) Determinar el valor de la constante k.
b) Si el producto solamente está en condiciones óptimas para su venta entre 12 horas y 48 horas
después de haber sido producido, calcular la probabilidad de que el producto esté en condiciones
óptimas para su venta. (Considerar que un dı́a son 24 horas).
c) Una determinada empresa tiene capacidad para producir 4 de estos productos cada dı́a. ¿Cuál
es la probabilidad que no pueda vender todos los productos fabricados en el último dı́a?
d) La empresa quebrará si no puede vender todos los productos fabricados en al menos 320 dı́as del
año. Calcular la probabilidad de quiebra de la empresa. (Considerar que un año son 365 dı́as).
4
23. Considerad la v.a. X que tiene ley uniforme discreta dada por la siguiente función de probabilidad:
1/4, x = 1, 2, 3, 4,
P (X = x) =
0,
en otro caso.
Sean X1 , . . . , Xn son v.a. i.i.d. con la misma distribución que X, y considerad la v.a.
n
Y =
1X
Xi .
n i=1
Calculad la probabilidad P (2.4 < Y < 2.8) para n = 36.
24. Dadas las siguientes afirmaciones demuestra aquellas que sean verdaderas y busca un contraejemplo
para las que sean falsas:
a) Sea X una v.a. cualquiera. Se cumple que E[X 2 ] ≥ E[X]2 .
b) Sea X una v.a. continua con función de densidad f (x) > 0 si x ∈ [0, 1] y f (x) = 0 si x ∈
/ [0, 1].
Se cumple que E[X] > 1.
c) Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral Ω. Si A y B son incompatibles, entonces A y
B son independientes.
25. Sea X una variable aleatoria con E(X) = −2 y V ar(X) = 1. Se verifica que:
a) E(X 2 ) = 5.
b) E(X 2 ) = −4.
c) E(X 2 ) = 3.
d ) E(X 2 ) = 4.
26. El siguiente gráfico representa la función de distribución de una v.a. continua X. La probabilidad
de que X sea mayor que 2 es:
a) 0,25.
b) 0,5.
c) menor que 0,25.
d ) mayor que 0,5.
27. Para la función representada en el siguiente gráfico indica cuál de las siguientes afirmaciones es
cierta:
5
a) Ninguna de las siguientes.
b) Es la función de densidad de una v.a. continua.
c) Es la función de distribución de una v.a. continua.
d ) Es la función de distribución de una v.a. discreta.
28. Sea una variable aleatoria con función de densidad que es igual a una constante positiva en el
intervalo [0, 2) y es nula en el resto de los valores. Di cuál de las siguientes afirmaciones es CIERTA:
a) La constante positiva vale 2/3.
b) No se puede saber el valor de la constante con los datos aportados.
c) La función de distribución no es continua porque la función de densidad no es continua.
d ) Es una variable aleatoria cuya función de distribución es igual a x/2 en x ∈ [0, 2).
29. Sea (X, Y ) una variable aleatoria que sigue una distribución Gaussiana bivariante con parámetros
0
µ = (−1, 2) y matriz de covarianzas:
2
−1
Σ=
−1
3
Se pide:
a) Obtener el coeficiente de correlación entre X e Y . ¿Cómo es la relación lineal entre ambas
variables?
b) Obtener la varianza generalizada.
c) Obtener las distribuciones marginales de X e Y .
d ) Determinar si X e Y son independientes.
e) Obtener las distribuciones de Y |X = −2 y de X|Y = 1.
30. Sea (X, Y ) una variable aleatoria que sigue una distribución Gaussiana bivariante con parámetros
0
µ = (0, 3) y matriz de covarianzas:
8
−4
Σ=
−4 12
Se pide:
a) Obtener el coeficiente de correlación entre X e Y . ¿Cómo es la relación lineal entre ambas
variables?
b) Obtener la varianza generalizada.
c) Obtener las distribuciones marginales de X e Y .
d ) Determinar si X e Y son independientes.
e) Obtener las distribuciones de Y |X = 4 y de X|Y = 8.
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