3.4 Modelo de valoración de activos de capital

3.4 Modelo de valoración de
activos de capital: CAPM
Supuestos:
i.
Inversionistas aversos al riesgo, maximizadores de la utilidad esperada
de su riqueza de fin de período.
Del concepto de premio por riesgo de mercado, se
generan modelos de equilibrio que relacionan
riesgo y retorno esperado.
ii.
Inversionistas tomadores de precios y con expectativas homogénea s
respecto de los retornos de los activos y su distribución de probabilidad.
Primeras investigaciones: Sharpe (1963, 1964),
Treynor (1961), Mossin (1966), Lintner (1965) y
Black (1972).
iv. Las cantidades de los activos son fijas. Todos los activos son transables
y perfectamente divisibles.
iii. Existe un activo libre de riesgo tal que los inversionistas pueden prestar
o pedir prestado cantidades infinitas a la tasa libre de riesgo.
v.
Mercados sin fricciones, información sin costo y simultáneamente
disponible para todos los inversionistas.
vi. No existen imperfecciones de mercado tales como impuestos,
regulaciones o restricciones a la venta corta.
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
E(Rp)
•
Derivación del CAPM
–
–
E(Rm)
Condición de equilibrio: portafolio de
mercado ≡ portafolio eficiente.
Supuesto de expectativas homogéneas está
directamente relacionado con lo anterior.
Rf
I’
σ(Rm )
–
–
–
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
E(Rp)
E(Rm)
M: Portafolio de mercado. En equilibrio, oferta
activo i = demanda activo i.
Curva IMI’: combinaciones de inversión entre el
activo riesgoso I y el portafolio de mercado (M).
Recta RfM: Recta del mercado de capitales.
LMC
–
I
M
I’
σ(Rm )
–
σ(Rp)
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
Rf
–
LMC
I
M
σ(Rp)
Portafolio de mercado incluye todos los activos
existentes en la economía.
Ponderación de un activo “i” en el portafolio de
mercado: wi = Valor de mercado del activo/Valor de
mercado de todos los activos.
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Un portafolio compuesto por a% invertido en I y (1 –
a)% en M tendrá la siguiente media y desviación
estándar:
E( Rp ) = aE( Ri ) + (1 − a ) E( Rm )
σ( Rp ) = [ a 2σ2 i + (1 − a ) 2 σ2 m + 2a (1 − a )σim ]1 / 2
–
–
σ2i = Varianza del activo riesgoso I.
σ2m = Varianza del portafolio de mercado.
–
σim = Covarianza entre el activo I y el portafolio M.
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
–
Tasa marginal de transformación de riesgo
por rentabilidad = ∂E(Rp )/∂σ(Rp):
∂E ( Rp )
∂a
∂σ( Rp )
∂a
–
Condición de equilibrio requiere portafolio M
con todos los activos de la economía y con
oferta = demanda.
= E ( Ri ) − E( Rm )
–
1 2 2
[ a σ i + (1 − a) 2 σ2 m + 2 a(1 − a )σim ] − 1 / 2
2
× [ 2aσ2 i − 2σ2 m + 2 aσ2 m + 2σim − 4aσim ]
–
De lo anterior: “a” ≡ demanda en exceso
sobre el activo riesgoso I.
Dada la condición de equilibrio: Demanda en
exceso = 0.
=
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
–
Para encontrar las relaciones de equilibrio
entre riesgo y retorno, evaluamos las
derivadas cuando a = 0:
∂E ( Rp )
∂a
∂σ( Rp )
∂a
a= 0
= E( Ri ) − E( Rm )
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–
Luego, la relación entre riesgo y rentabilidad
evaluada en el punto M, es:
∂E( R p ) / ∂a a = 0
∂σ( Rp ) / ∂a
1 2 −1 / 2
[σ m ]
× [ −2σ2 m + 2σim ]
a= 0 =
2
σ − σ2 m
= im
σm
–
a =0
=
E(Ri ) − E(Rm )
...........(a )
(σim − σ2 m ) / σm
Esta relación es igual a la pendiente de la
recta del mercado de capitales: RfM.
E(Rm ) − R f
σm
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
E(Ri )
–
Igualando (a) y (b), y despejando para E(Ri),
se obtiene el modelo de valoración de activos
de capital o CAPM:
E( Ri ) = Rf + [ E( Rm ) − R f )]
–
σim
σ2 m
Esta ecuación también se conoce como la
recta del mercado de activos.
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
.........(b )
E(Rm )
LMA
M
Rf
β(Rm ) = 1
–
–
–
–
–
βi =σim/σ2m
La tasa requerida de retorno para cualquier activo
[E(Ri )] es igual a la tasa libre de riesgo más una
prima por riesgo.
Prima por riesgo = premioriesgo x q riesgo
Premio por riesgo = E( Rm ) – Rf
Qriesgoi = βi = COV( Ri ,Rm)/VAR(Rm )
β(portafolio de mercado) = 1
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
•
Propiedades del CAPM
i.
Conceptos equivalentes de riesgo:
Bajo condiciones de equilibrio, los precios de
los activos se ajustan de forma tal que sus
tasas de retorno ajustadas por riesgo caen en
la línea del mercado de activos.
De lo anterior:
-
Los inversionistas pagan por evitar el riesgo de la
economía.
Riesgo total de un activo = Riesgo sistemático +
Riesgo no sistemático.
Riesgo
sistemático
Riesgo no sistemático
Riesgo de la
economía
Riesgo de los activos
(individual)
Riesgo no
diversificable
Riesgo diversificable
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
–
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
Estimación empírica del coeficiente β:
Aplicando el operador de varianza sobre la ecuación
anterior:
~
~
R j = a j + b j R m + ε~ j
–
σ2 j = b 2 j σ2 m + σ2ε
El retorno de cualquier activo es una
combinación lineal del retorno del mercado
más un error aleatorio ε~ j , independiente del
mercado.
Riesgo sistemático + Riesgo no sistemático
b j ≡ βj
→Medida apropiada del riesgo de un activo:
COEFICIENTE BETA
→ No es relevante comparar la varianza de un activo con
la varianza de un portafolio bien diversificado.
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
ii. Aditividad lineal de los coeficientes beta:
El beta de un portafolio es igual a la sumatoria
ponderada de los activos individuales que lo
conforman:
β p = a β x + bβ y
.... / a + b = 100%
Por lo tanto, para la medición del riesgo sistemático
de un portafolio, sólo se necesita conocer los
coeficientes beta de los activos individuales.
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
•
Validez del CAPM
–
Teoría apoyada en supuestos fuertes tales como:
•
•
•
–
Existencia/identificación del portafolio de mercado.
Preferencias homogéneas.
Acceso irrestricto al mercado de capitales.
Investigaciones posteriores han ratificado la validez
del modelo, en un caso al levantar algunos de los
supuestos y en otros casos, al testear empíricamente
la ecuación del CAPM.
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
–
–
–
A pesar de lo anterior, hoy en día no existe
consenso respecto de la validez del CAPM.
Roll (1977) sostiene que la imposibilidad de
observar el portafolio de mercado hace
cuestionar la validez de las evaluaciones
empíricas del CAPM.
En concreto, hoy en día es difícil (imposible)
disponer de un índice de mercado que
represente a todos los activos de la economía
a nivel mundial.
–
Aspectos de consenso:
•
El coeficiente beta es una medida apropiada del
riesgo sistemático de un activo.
•
De lo anterior, el riesgo relevante a considerar en
la tasa de descuente de un proyecto es el beta y no
la varianza.
•
El trade-off entre riesgo y rentabilidad es positivo.
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
3.5 Teoría de Valoración por
Arbitraje: APT
Alternativa al CAPM, desarrollada por Ross
(1976).
3.4 Modelo de Valoración de Activos de Capital: CAPM
Supuestos:
i.
Mercados de competencia perfecta y sin fricciones.
ii.
Preferencias homogéneas de los individuos respecto de los factor es que
explican el retorno de los activos riesgosos.
iii. El número de activos existentes es mucho mayor que los factores que
explican su retorno.
Propone que el retorno de un activo es una función
lineal de k factores.
Sostiene que estos k factores representan el riesgo
sistemático que influye sobre el retorno de los
activos.
3.5 Teoría de Valoración por Arbitraje: APT
~
E( Ri ) = R f + [δ 1 − R f ]bi1 + [δ 2 − R f ]bi 2 + ..... + [δ k − R f ]bik
•
Ventajas del APT sobre el CAPM
–
E(Ri ) = Retorno aleatorio del activo i.
–
Rf = Retorno del activo libre de riesgo
[δk – Rf ] = Premio por riesgo a la exposici ón del retorno del
activo ante el k -ésimo factor: δk = Retorno del k -ésimo
factor.
–
b ik = coeficiente de sensibilidad del retorno del activo i con
relación al k -ésimo factor: bik = COV(Ri, δk)/VAR(δ k)
–
3.5 Teoría de Valoración por Arbitraje: APT
–
El APT no establece supuestos acerca de la
distribución de probabilidad del retorno de los
activos.
El APT no hace supuestos respecto de la función de
utilidad de los individuos.
El APT permite que la tasa de retorno de los activos
dependa de varios factores, no sólo de uno.
No es necesario conocer/cuantificar todos los activos
de la economía.
No se asigna ningún rol especial al portafolio de
mercado.
3.5 Teoría de Valoración por Arbitraje: APT
•
Aplicación del APT:
i.
Identificar los factores. Evidencia empírica:
–
–
–
Indice de producción industrial.
Cambios en el premio por default en mercado de
renta fija.
Diferencias entre las tasas de corto y largo plazo.
–
Tasa de inflación.
ii. Armar portafolios
iii. Estimar coeficientes beta. Problema: ↑k⇒↑ε
3.5 Teoría de Valoración por Arbitraje: APT