regla_de_l`hopital

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)
REGLA DE L’HOPITAL
Cuando se resolvían límites se habló de las formas
indeterminadas al calcular sus valores. Éstas pueden ser las
siguientes:
0 ∞
, , 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 00 , ∞ 0 ,1∞
0 ∞
En este tema se tratará el cómo quitar la indeterminación en
estos casos y lograr encontrar el valor del límite ya sea si existe
o no. Primero se verá un teorema del célebre matemático
francés Augustin Cauchy.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE CAUCHY
Sean f y g continuas en un intervalo cerrado
diferenciables
g '( x ) ≠ 0
en
el
intervalo
∀ x ∈ ( a, b ) .
Entonces existe un número
abierto
( a, b ) ,
⎡⎣ a, b⎤⎦ y
y
sea
c ∈ ( a, b ) tal que:
f ( b ) − f ( a)
g ( b ) − g ( a)
=
f ' ( c)
g ' ( c)
TEOREMA. REGLA DE L’HOPITAL
Supónganse las funciones f
y g diferenciables en cada
punto de un intervalo abierto ( a, b ) que contiene al valor " c "
excepto posiblemente en este valor; y sea g ' ( x ) ≠ 0 para
toda x ≠ c en el intervalo. Sea también L que denota tanto un
f ( x)
valor real o bien +∞ o −∞ , y supóngase que
es una
g( x)
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forma indeterminada en
entonces
lim
x →c
f ( x)
g( x)
" c " . Luego, si lim
x →c
f '( x )
g '( x )
2
= L,
= L.
De acuerdo con este teorema, el límite del cociente de dos
funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas. Y si
en el límite de este cociente se vuelve a presentar una
0 ∞
o
, se repite nuevamente la
indeterminación de las formas
0 ∞
Regla de L’Hopital hasta que el resultado esté determinado o no
exista el límite.
Prueba. Sea
del tipo
f (x )
g (x )
una forma indeterminada en el valor de
" c"
f '( x )
0
y supóngase que lim
= L , donde " L " es un
x
→
c
g '( x )
0
valor real. Lo que se desea probar es que
Primero se presentarán las funciones
forma:
⎧⎪ f ( x )
( x) = ⎨
⎪⎩0
si
x≠c
si
x=c
;
F
y
lim
x →c
f ( x)
g( x)
= L.
si
x≠c
si
x=c
G de la siguiente
⎧⎪g ( x )
G( x) = ⎨
⎪⎩ 0
Ambas funciones así definidas son continuas en
" c " ya que:
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3
lim F ( x ) = lim f ( x ) = 0 = F ( c )
x →c
x →c
lim G ( x ) = lim g ( x ) = 0 = G ( c )
x →c
G ' ( x ) = g ' ( x ) para toda " x " en
el intervalo dado, con excepción posiblemente en " c " . Como
Además
F '( x ) = f '( x )
x →c
y
las condiciones del Teorema del Valor Medio de Cauchy son
conocidas para las funciones F y G , tanto en el intervalo
⎡⎣ x, c⎤⎦ como en el ⎡⎣ c, x ⎤⎦ , existe un valor " u " entre c
tal que:
F ( x ) − F ( c)
G ( x ) − G ( c)
=
F ' (u )
G ' (u )
=
y
x
f ' (u )
g ' (u )
De la definición de las funciones se puede escribir que
f ( x)
=
f ' (u )
g ( x ) g ' (u )
Como " u " está entre c y x , del teorema del emparedado
para límites se concluye que:
lim
x →c
f ( x)
g( x)
= lim
u→ c
f ' (u )
g ' (u )
=L
L es “infinito”. La
f ( x)
∞
es una forma indeterminada del tipo
prueba cuando
∞
g( x)
Un argumento similar puede ser usado si
puede encontrarse en libros de cálculo avanzado.
Se puede justificar el uso de la Regla de L’Hopital cuando
c → +∞
para la forma indeterminada del tipo
0
por el
0
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siguiente argumento: en
como
lim
x →+∞
f ( x)
g( x)
4
sea
x → +∞ , entonces u → 0 + , y
⎛ 1⎞
f⎜ ⎟
f ( x)
u
lim
= lim+ ⎝ ⎠ = lim+
x →+∞ g x
( ) u → 0 g ⎛ 1 ⎞ u→ 0
⎜u⎟
⎝ ⎠
x=
1
. Entonces,
u
d ⎛ 1⎞
f⎜ ⎟
du ⎝ u ⎠
d ⎛ 1⎞
g⎜ ⎟
du ⎝ u ⎠
1 ⎛ 1⎞
f '⎜ ⎟
2
f '( x )
u ⎝u⎠
= lim+
= lim+
=L
u→ 0
u
→
0
1 ⎛ 1⎞
g '( x )
− 2 g '⎜ ⎟
u
⎝u⎠
Un caso similar se presenta cuando c → −∞ .
−
Como se ha visto, esta regla de L’Hopital se puede aplicar para
resolver las formas indeterminadas
0
0
∞
. Ahora se
∞
y
resolverán algunos ejercicios de límites para ilustrar la
aplicación de esta novedosa regla:
Ejemplo. Calcular el valor de los límites siguientes:
senx
x →0
x
i) lim
;
x
2
ii) lim
x →0 1− cos x
sen2
;
ln x
x →0 csc x
iii) lim
Solución.
i)
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5
ii)
iii)
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
6
Ejemplo. Obtener el valor de los límites:
x
i) lim
(
e − 1− 2 x
x3
6x − 2 x
iii) lim
x →0
x
x →0
2
);
⎛π ⎞
ang tan x − ⎜ ⎟
⎝4⎠
ii) lim
x →1
x −1
Solución.
i)
ii)
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7
iii)
Ejemplo. Calcular el valor de los siguientes límites:
x ⎞
⎛ 8
−
lim+ ⎜ 2
;
⎟
x →2 ⎝ x − 4
x−2⎠
cos x ⎞
⎛ 1
−
iii) lim ⎜
x →0 senx
x ⎟⎠
⎝
i)
⎛ 2
⎞
1
−
ii) lim ⎜
x →0 sen x
1− cos x ⎟⎠
⎝
Solución.
i)
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8
ii)
iii)
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9
Ejemplo. Determinar el valor de los límites siguientes:
i) lim ( x csc x )
;
iii) lim x ln x
iv) lim ( 2 x − π ) sec x
x →∞
x →0
;
ii)
x→
lim+ x 2 cot x
x →0
π
2
Solución.
i)
ii)
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iii)
iv)
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Ejemplo. Obtener el valor de los siguientes límites:
⎛ 1⎞
i) lim ⎜1+ ⎟
x →∞
⎝ x⎠
⎛5⎞
iii) lim ⎜ ⎟
x →∞ x
⎝ ⎠
1
2x
x
;
;
ii) lim ( csc x )
x
x →0
iv) lim ( x + cos 2 x )
csc 3 x
x →0
Solución.
i)
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ii)
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iii)
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13
iv)
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