1.4h) El Teorema de descomposición polar para tensores de 2º orden

§ 1.4h) El Teorema de descomposición polar para tensores de 2º
orden
Un resultado de importancia, para analizar la conducta de un tensor desde el punto de vista de la deformación
que produce al actuar, es el llamado Teorema de Descomposición Polar para tensores de segundo orden. Su nombre se
debe a su similitud con la escritura polar de los números complejos: «Todo número complejo z∈ se puede escribir en
la forma llamada polar mediante z = ρeiθ, siendo ρ = |z| y θ = arg(z)», donde i =
complejo
−1 es la unidad imaginaria del plano
y donde se tiene en cuenta la fórmula de Euler: eiθ = cosθ + i senθ.
Si se observa el producto de números complejos escribiendo la forma polar de los factores, z1z2 = ρ1ρ2ei(θ1+θ2),
se concluye que: |z1z2| = |z1||z2| y arg(z1z2) = arg(z1)+arg(z2). De este modo un número complejo escrito en forma polar,
z = ρeiθ, queda descompuesto en dos factores: su módulo, ρ, y su unitario, eiθ, que puede entenderse como una
representación compleja de su argumento. Cuando se quiere medir la capacidad deformante de z al multiplicarse con
otro número complejo, se aprecia que el factor modular, ρ, es el responsable de la deformación del producto obtenido,
mientras que la parte argumental, eiθ, sólo cambia la orientación, mejor dicho el argumento, del resultado. Es decir: sólo
es deformante la parte modular de z, y no es deformante la parte argumental.
a1) Enunciado y demostración del teorema
Algo muy similar ocurre con los tensores de segundo orden respecto al producto contraído: Un tensor T
cualquiera se comporta respecto al producto con una parte deformante (que estará proporcionada aquí por un tensor
simétrico positivo o nulo) y otra parte reorientadora (que estará proporcionada por un tensor ortogonal).
Teorema de descomposición polar: Todo tensor regular T se puede descomponer en el producto de un
tensor simétrico definido positivo, S = (T·Tt)1/2, por un tensor ortogonal, Q = S−1·T de modo que T = S·Q.
También se puede descomponer en la forma T = Q·S', con el mismo tensor ortogonal Q y un nuevo tensor
simétrico y definido positivo, S' = Qt·S·Q.
demostración: De modo similar al seguido en el Ejemplo 1.4-1, se prueba que T·Tt es simétrico y definido
positivo. De este modo existen tres escalares positivos, que se escriben como (λ1)2, (λ2)2, (λ3)2, que no son
necesariamente distintos, y existe una base ortonormal, {êi}, tales que:
T·Tt = (λ1)2ê1⊗ê1 + (λ2)2ê2⊗ê2 + (λ3)2ê3⊗ê3.
Entonces se define
que cumple
S = (T·Tt)1/2 := λ1ê1⊗ê1 + λ2ê2⊗ê2 + λ3ê3⊗ê3,
(1.4-1)
S·S = (λ1)2ê1⊗ê1 + (λ2)2ê2⊗ê2 + (λ3)2ê3⊗ê3 = T·Tt (véase)
Como obviamente (1.4-83) es la descomposición espectral de un tensor simétrico y definido positivo, con los
mismos autovectores ortonormales que T·Tt, {êi}, y con los autovalores dados por las raíces cuadradas positivas
de los autovalores de T·Tt, λi = + (λi)2, se tiene ya la construcción de S en la base de autovectores de T·Tt.
El teorema de descomposición polar de los tensores de 2º orden
Para completar el teorema bastará probar que si se define
Q = S−1·T
(1.4-2)
(con lo cual S·Q = T) resulta que Q es un tensor ortogonal. Para ello, se observa que por (1.4-83) se tiene:
S−1 =
1
1
1
ê1⊗ê1 + ê2⊗ê2 + ê3⊗ê3 (véase);(1.4-3)
λ1
λ3
λ2
y efectuando Q·Qt:
Q·Qt = (S−1·T)·(S−1·T)t = S−1·(T·Tt)·(S−1) = …
y empleando ahora los desarrollos (1.4-83) y (1.4-85) se obtiene:
… = ê1⊗ê1 + ê2⊗ê2 + ê3⊗ê3 = 1
Del mismo modo: Qt·Q = ... = Tt·(S−1)2·T = Tt·(S2)−1·T = Tt·(T·Tt)−1·T = … = 1
donde se usa que S−1 es simétrico y que S2 = T·Tt.
Así se ha probado que si se define S = (T·Tt)1/2 según (1.4-83) y se define Q = S−1·T se obtiene
T = S·Q
(1.4-4)
que es la forma de descomposición con la parte deformante de T como prefactor.
La segunda forma de la descomposición se logra definiendo
S' := Qt·S·Q
con lo cual se obtiene fácilmente que
Q·S' = S·Q = T
y se deja como ejercicio probar que S' es simétrico y definido positivo.
c.q.d. #.
La descomposición polar se utiliza en las dos formas porque descompone la acción de T en dos acciones
sucesivas, deformación y reorientación, y puede interesar ver primero la reorientación y luego la
deformación o viceversa.
a2) Deformación o distorsión geométrica de un tensor regular
La información que proporciona el teorema de descomposición polar se puede visualizar
geométricamente si se sitúa la acción de T sobre los vectores posición r de un espacio puntual
3,
donde se
ha elegido un origen O y se han tomado tres ejes cartesianos XYZ, según las direcciones de una base
cartesiana dada {ei}. Se trata de deducir en qué se transforman los puntos de la esfera unidad, caracterizada
por la ecuación vectorial cuadrática:
r·r = 1 ⇔ x2+y2+z2 = 1
2
El teorema de descomposición polar de los tensores de 2º orden
Si llamamos x := T·r, buscamos la ecuación que satisfacen estos vectores x cuando sus originales cumplen la
ecuación anterior. Pero dicha ecuación se puede reformular en términos de x remplazando r = T−1·x y se
tendrá:
r·r = 1 ⇔ (T−1·x)·(T−1·x) = 1 ;
pero se tiene:
(T−1·x)·(T−1·x) = x·(T−t·T−1)·x = …
y por el teorema de descomposición polar:
… = x·(S−t·Q)·(Qt·S−1)·x = x·(S−t·S−1)·x = x·S−2·x
de donde se obtiene finalmente que
r·r = 1 ⇔ x·S−2·x = 1
La última forma cuadrática tiene su expresión reducida en la base de autovectores ortonormal {êi} del tensor
S, pues los autovectores de S y los de S−1 son los mismos (Ejemplo 1.4-21). Si {λi} son los autovalores de S
(raíces cuadradas de los autovalores de T·Tt) entonces en {êi} la ecuación anterior se expresa:
x·S−2·x =
xˆ 2
yˆ 2
zˆ 2
=1
+
+
2
2
(λ1 ) (λ 2 ) (λ 3 )2
(1.4-5)
De este modo, los puntos de la esfera unidad se transforman en los
Z
puntos de un elipsoide de semiejes dados por los autovalores de S y
cuyas direcciones principales coinciden con las de S. Esto da una idea
intuitiva de la acción del tensor: la esfera sufre primero una rotación
ˆ ˆ ˆ , pero aún conserva la forma esférica,
de sus ejes XYZ a los ejes XYZ
X
Y
seguida de una distorsión en cada eje que deforma la esfera en el
elipsoide; puede invertirse el orden de estos dos efectos.
Ejemplo 1.4-1 ; El tensor T propuesto en el Ejemplo 1.4-13 deforma la esfera unidad en un elipsoide, cuyos
semiejes se dirigen en las direcciones ortogonales de los vectores {êi}, obtenidos allí y con sus longitudes de valor
{ 6, 2, 2}.
#.
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