Tema 4. Series funcionales
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Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Series funcionales Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Convergencia Derivación e Integración Sucesiones y series funcionales Una sucesión de funciones es un lista infinita f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) de funciones, tantas como números naturales. De manera análoga a las series numéricas, se definen las series ∞ X fn (x) que constituyen una nueva manera de funcionales n=1 definir funciones, cuyos dominios dependen de la convergencia de la serie correspondiente. Dentro de las series funcionales nos ocupamos de aquellas cuya sucesión de sumas parciales son polinomios centrados en un número real fijado. university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Convergencia Derivación e Integración Definición Definición (Serie de potencias) Se denomina serie de potencias centrada en c a cualquier serie ∞ X an (x − c)n funcional del tipo n=1 Ejemplos ∞ X xn ∞ X n xn n=1 n=1 university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Convergencia Derivación e Integración Convergencia de series de potencias Para una serie de potencias centrada en c se da una de las siguientes posibilidades: 1 La serie converge sólo en c. 2 Existe R > 0 tal que la serie converge absolutamente si |x − c| < R y diverge si |x − c| > R. 3 La serie converge para todo x ∈ R. Al número R se denomina radio de convergencia. En caso de que la serie sólo converja en c, se dice que el radio de convergencia es 0 y si la serie converge en todo R, se dice que el radio de convergencia es infinito. Al intervalo (c − R, c + R) se denomina intervalo básico de convergencia e intervalo de convergencia al conjunto de números reales para los que la serie converge. M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales university-logo Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Convergencia Derivación e Integración Determinación del radio de convergencia Para una serie de potencias ∞ X an (x − c)n , se pueden utilizar los n=1 criterios de la raı́z o del cociente, para determinar el radio de convergencia. 1 p R= lim n | an | n→∞ R = lim n→∞ | an | | an+1 | university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Convergencia Derivación e Integración Derivación e integración La función f (x) = ∞ X an (x − c)n es continua en el intervalo básico n=1 de convergencia (c − r , c + r ). La serie de potencias obtenida término a término también tiene radio de convergencia r y además ∞ X nan (x − c)n−1 f ′ (x) = n=1 La serie obtenida integrando término a término también tiene radio de convergencia r y define una primitiva de f (x), es decir Z ∞ X (x − c)n+1 university-logo an f (x)dx = n+1 n=1 M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Polinomios de Taylor Teorema de Taylor Convergencia Series Taylor Serie de Taylor Definición Para una función f indefinidamente derivable en c, se define su ∞ X f n) (c) (x − c)n . serie de Taylor centrada en c como n! n=1 La serie de Taylor representa a f en x0 si es convergente en ∞ X f n) (c) x = x0 y además f (x0 ) = (x0 − c)n n! n=1 Cualquier función definida por una serie de potencias centrada en c, coincide con su serie de Taylor centrada en c, para todo x0 en el intervalo de convergencia de la serie. ¿Habrá más funciones que se puedan representar por su serieuniversity-logo de Taylor? M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Polinomios de Taylor Teorema de Taylor Convergencia Series Taylor Polinomios de Taylor Definición El polinomio de Taylor de orden n (cuyo grado es como máximo n) centrado en c de la función f (x) se define como Pn,c,f (x) = n X f k) (c) k=0 f (c) + f ′ (c)(x − c) + k! (x − c)k = f ′′ (c) f n) (c) (x − c)2 + · · · + (x − c)n 2! n! El polinomio de Taylor de orden n centrado en c de la función f (x) es el término n-ésimo de la sucesión de sumas parciales de la serie de Taylor de f centrado en c. university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Polinomios de Taylor Teorema de Taylor Convergencia Series Taylor Propiedades de los polinomios de Taylor Pn,c,αf +βg (x) = αPn,c,f (x) + βPn,c,g (x) Pn,c,f ′ (x) = (Pn+1,c,f (x))′ Pn,c,f ·g (x) = Pn,c,f (x) · Pn,c,g (x) quitando los términos de grado mayor que n. Pn,c,f (x) Pn,c, f (x) = con división larga. g Pn,c,g (x) Pn,c,f ◦g (x) = Pn,c,f (x) ◦ Pn,c,g (x) quitando los términos de grado mayor que n (por sustitución). university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Polinomios de Taylor Teorema de Taylor Convergencia Series Taylor Propiedades de los polinomios de Taylor El polinomio de Taylor de orden 1 centrado en c de una función f (x) es la recta tangente a la función en x = c. La función f (x) y su polinomio de Taylor de orden n centrado en c coinciden en c y sus n primeras derivadas también coinciden en c, k) Pn,c,f (c) = f k) (c) para k = 0, 1, . . . , n. Los polinomios de Taylor aproximan a la función en un entorno de c. university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Polinomios de Taylor Teorema de Taylor Convergencia Series Taylor Resto de Taylor Definición Se define el resto de Taylor de orden n centrado en c como Rn,c,f (x) = f (x) − Pn,c,f (x) Representa el error que se comete al aproximar el valor de la función f (x) con el polinomio de Taylor de orden n centrado en c. university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Polinomios de Taylor Teorema de Taylor Convergencia Series Taylor Teorema de Taylor Teorema (Forma de Lagrange del resto) Sea f (x) una función n + 1 veces derivable en un intervalo (c − r , c + r ) para algún r > 0, entonces, para todo f n+1) (a) (x − c)n+1 x ∈ (c − r , c + r ) se verifica Rn,c,f (x) = (n + 1)! siendo a un número real comprendido entre c y x (habitualmente desconocido). Al aplicar este teorema no se espera hallar el valor exacto de a (si pudiéramos hacerlo no serı́a necesaria una aproximación). Más bien lo que se intenta es encontrar cotas para el término f n+1) (a), que dará una idea del error cometido. university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Polinomios de Taylor Teorema de Taylor Convergencia Series Taylor Convergencia de series de Taylor Sea f (x) una función n + 1 veces derivable en un intervalo (c − r , c + r ) para algún r > 0 tal que lim Rn,c,f (x) = 0, para n→∞ todo x ∈ (c − r , c + r ). Entonces, la serie de Taylor de f centrada en c converge a f (x), es decir, f (x) = ∞ X f n) (c) n=1 n! (x − c)n para todo x ∈ (c − r , c + r ). university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Convergencia Series de Fourier Motivación Los polinomios de Taylor proporcionan una buena aproximación de una función, pero sólo localmente, en un entorno del punto donde se centra el polinomio. Muchos fenómenos naturales se rigen por funciones periódicas, que se repiten cada cierto tiempo, como la luz, el sonido o las ondas de radio. Para la aproximación de funciones periódicas, existe un tipo de series funcionales, en las que cada término es una función trigonométrica de periodo 2π, que converge en todo el periodo. university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Convergencia Series de Fourier Definición Serie de Fourier Definición Una serie de Fourier es una serie funcional del tipo ∞ a0 X (an cos(nx) + bn sen(nx)) + 2 n=1 donde los coeficientes a0 , ai , bi para i = 1, 2, . . . se denominan coeficientes de Fourier. university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Convergencia Series de Fourier Coeficientes de Fourier Sea f (x) una función periódica de periodo 2π y continua a trozos en [−π, π). La serie de Fourier de la función f (x) es la serie ∞ a0 X (an cos(nx) + bn sen(nx)) donde los coeficientes de + 2 n=1 Fourier, viene dados por las fórmulas de Euler-Fourier: Z 1 π f (x) cos(nx)dx para n = 0, 1, . . . an = π −π Z π 1 bn = f (x) sen(nx)dx para n = 1, 2 . . . π −π university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Convergencia Series de Fourier Función derivable a trozos Definición Se dice que una función f (x) es derivable a trozos si para todo a en su dominio existen lim h→0+ f (a + h) − f (a+ ) y h lim h→0− f (a + h) − f (a− ) h donde f (a+ ) = lim+ f (x) y f (a− ) = lim f (x). x→a x→a− university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales Series de potencias Series de Taylor Series de Fourier Definición Convergencia Series de Fourier Convergencia Series de Fourier Teorema (Teorema de Dirichlet) Si f (x) es una función derivable a trozos en [−π, π), entonces la serie de Fourier de f (x) converge en todo a al valor 1 (f (a+ ) + f (a− )) 2 En particular, si f (x) es continua en a, se satisface ∞ f (a) = a0 X (an cos(na) + bn sen(na)) + 2 n=1 university-logo M. Atencia & I. P. Cabrera Series funcionales
