Problemas IV.

Ingeniero Técnico en Informática de Sistemas: Estadı́stica
ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD NOTABLES
10 Y 14 DE DICIEMBRE DE 2010
Introducción. Las variables Aleatorias se dividen en Variables Aleatorias Discretas y Variables Aleatorias Continuas, según los posibles valores que puedan tomar sean finitos o numerables o bien continuos.
Para, X, una Variable Aleatoria Discreta se define su Función de Probabilidad, tal que:
X
f (x) = P (X = x),
f (x) = 1.
∀x
Para, X, una Variable Aleatoria Continua, la probabilidad P (X = x) = 0. Se define la Función
de Densidad como una función que especifica la posibilidad relativa de que la Variable Aleatoria
Continua X tome un valor cercano a x, y se define como la probabilidad de que X tome un valor
entre x y x + dx, dividido por dx cuando dx es un número infinitesimalmente pequeño. Se verifica
que:
Z ∞
f (x)dx = 1.
−∞
Tanto para las Variables Aleatorias Discretas como Continuas se define la función de Distribución,
F (x) = P (X ≤ x)
.
La Función de Distribución Inversa o Función Cuantil nos permite obtener el valor, x, de la
Variable Aleatoria, X, tal que:
P (X ≤ x) = q,
q ∈ (0, 1),
F −1 (q) = x.
Para algunas de las Variables Aleatorias más comunes:
Binomial:
Función de Probabilidad dbinom(x,size=n,prob=p).
Función de Distribución pbinom(x,size=n,prob=p).
Función Cuantil qbinom(q,size=n,prob=p)
Poisson:
Función de Probabilidad dpois(x,lambda=l).
Función de Distribución ppois(x,lambda=l).
Función Cuantil qpois(q,lambda=l)
Uniforme:
Función de Probabilidad dunif(x,min=a,max=b).
Función de Distribución punif(x,min=a,max=b).
Función Cuantil qunif(q,min=a,max=b)
Exponencial:
Función de Probabilidad dexp(x,rate=r).
Función de Distribución pexp(x,rate=r).
Función Cuantil qexp(q,rate=r)
Normal:
Función de Probabilidad dnorm(x,mean=mu,sd=sigma).
Función de Distribución pnorm(x,mean=mu,sd=sigma).
Función Cuantil qnorm(q,mean=mu,sd=sigma)
La función rbinom, rpois, runif, ..., rnorm obtiene valores aleatorios que siguen una distribución
dada. Es equivalente a construir un “dado”cuyos resultados sigan una distribución dada.
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Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Prácticas y Problemas IV
Ingeniero Técnico en Informática de Sistemas: Estadı́stica
Analizar las siguientes cuestiones y darles respuesta de forma justificada y elegante.
1. Una fábrica de componentes electrónicos sabe, por el número de equipos que reparan en perı́odo
de garantı́a, que de cada 1000 equipos que pasan los controles de calidad y se ponen en el mercado,
12 de ellos sufrirán un fallo en las 100 primeras horas de vida. La empresa se plantea afrontar un
proceso de certificación por el que la entidad certificadora examinará un lote de 200 equipos.
a) ¿Cuál es el número medio de equipos defectuosos que se van a encontrar en el lote examinado?
b) ¿Qué probabilidad hay de que en el lote aparezcan 0 equipos defectuosos?
c) ¿Qué probabilidad hay de que aparezcan más de 5 equipos defectuosos?
d ) Si tomásemos infinitos lotes de 200 equipos, que número de equipos defectuosos tendrı́an el
10 % de los lotes con menos equipos defectuosos. Y qué número de equipos defectuosos tendrı́an
el 10 % con más equipos defectuosos.
2. Un servicio técnico de una empresa de telecomunicaciones atiende fallos provocados en antenas
de telefonı́a por descargas eléctricas causadas por tormentas. El número de incidencias mensuales
sigue una distribución de poisson con media de 2.5 incidencias al mes.
a) Representar gráficamente un diagrama de barras con la probabilidad de 0 a 10 incidencias en
un mes.
b) Qué probabilidad hay de que haya menos de 5 incidencias en un mes.
c) El 90 % de los meses qué número de incidencias sufrirán como máximo.
d ) Qué probabilidad hay de que sufran entre 1 y 3 incidencias en un mes.
3. Otra forma de entender el ejercicio anterior es modelizar el tiempo entre incidencias consecutivas.
El tiempo entre incidencias consecutivas sigue una distribución exponencial de media 12 dı́as. O
lo que es lo mismo en 30 dı́as tendrán lugar, por término medio, 2.5 incidencias.
a) Qué probabilidad hay de que se produzcan dos incidencias en el mismo dı́a.
b) Qué probabilidad hay de que el tiempo entre incidencias consecutivas sea superior a un mes.
c) Qué tiempo entre incidencias delimitará el 95 % de las que se producirán. ¿Entre 0 y cuantos
dı́as?
d ) Si despreciamos el 5 % de las incidencias con tiempo entre ellas inferior, a partir de qué instante
de tiempo se producen el 95 % de las incidencias restantes.
4. Una empresa fabrica fuentes de alimentación de 350W. Se ha observado que el diseño usado para
fabricar estas fuentes de alimentación da como resultado que la potencia final de las unidades
fabricadas sigue una distribución normal de media 350W y desviación tı́pica 1.6W.
a) Qué porcentaje de fuentes fabricadas generarán valores fuera del rango 350 ± 1.6W.
b) Qué porcentaje de fuentes fabricadas generarán valores fuera del rango 350 ± 4.8W.
c) Si se decide retirar el 10 % de fuentes que más potencia generan y el 10 % que menos, entre
qué valores habrı́a que fijar los lı́mites de potencia.
d ) Qué porcentaje de fuentes producirán 350W. Y qué produzcan 350.0W. Y que produzcan
exactamente 350W.
5. Generar 3, 5 y 10 muestras de distribuciones uniformes, (0, 1), de tamaños 10, 100 y 1000 y comprobar el teorema central del lı́mite. La suma de estas distribuciones dan distribuciones normales.
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Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
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