Distribuciones Bidimensionales Covarianza yi

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Tema 9.- Distribuciones Bidimensionales. Correlación y Regresión
Distribuciones Bidimensionales
Se estudian 2 características distintas.
Relación funcional
Relación estadística
Dos variables x e y están relacionadas
funcionalmente cuando conocida la primera se puede
saber con exactitud el valor de la segunda.
Dos variables x e y están relacionadas
estadísticamente cuando conocida la primera se
puede estimar aproximadamente el valor de la
segunda.
Variable estadística bidimensional
Variable en la que cada individuo está definido por un par de caracteres, (x, y). Estos dos caracteres son, a su
vez, variables estadísticas en las que sí existe relación entre ellas, una de las dos variables es la variable
independiente y la otra variable dependiente.
Distribuciones bidimensionales
Son aquellas en las que a cada individuo le corresponden los valores de dos variables, las representamos por el
par (xi, yi).
Si representamos cada par de valores como las coordenadas de un punto, el conjunto de todos ellos se llama
nube de puntos o diagrama de dispersión. Sobre la nube de puntos puede trazarse una recta que se ajuste
a ellos lo mejor posible, llamada recta de regresión.
2
1
xi
yi
3
3
4
2
4
4
5
4
6
4
6
6
7
4
7
6
8
7
10
9
10
10
yi
xi
Covarianza
σxy =
fi xi -x yi-y
=
N
fi ·xi ·yi
- x·y
N
La covarianza indica el sentido de la correlación entre las variables
Si xy >0: correlación directa
Si xy < 0: correlación inversa
La covarianza presenta como inconveniente, el hecho de que su valor depende de la escala elegida para los ejes.
n
xi
yi
xi · yi
x=
72
=6
12
2
1
2
3
3
9
4
2
8
4
4
16
5
4
20
6
4
24
6
6
36
y=
7
4
28
60
=5
12
7
6
42
8
7
72
10
9
90
10
10
100
72
60
431
12
σxy =
431
- 6·5 = 5.92
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á
á
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Matemáticas _ CCSS _ 1º Bachillerato
Correlación
La correlación trata de establecer la relación o dependencia que existe entre las dos variables que intervienen en
una distribución bidimensional. Es, por tanto, determinar si los cambios en una de las variables influyen en los
cambios de la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están correlacionadas o que hay
correlación entre ellas. Si no sucede, son variables incorreladas.
Tipos de correlación
Directa
Grado de correlación
Inversa
Fuerte
Débil
Nula
Coeficiente de Correlación Lineal
r=
σxy
σx · σy
Propiedades del coeficiente de correlación
1. No varía al hacerlo la escala de medición
2. Su signo es el mismo que el de la covarianza
a. Si xy > 0: correlación directa.
b. Si xy < 0: correlación inversa.
c. Si xy = 0: no existe correlación.
3. -1  r  1:
a. Si r  −1: correlación fuerte e inversa.
b. Si r  1: correlación fuerte y directa.
c. Si r  0: correlación débil.
d. Si r = −1 o r = 1: los puntos de la nube están sobre la recta creciente o decreciente. Entre ambas
variables hay dependencia funcional.
2
1
xi
yi
3
3
4
2
4
4
5
4
6
4
6
6
7
4
7
6
8
7
10
9
10
10
n
xi
yi
xi · yi
2
xi
2
yi
2
1
2
4
1
1º.Hallamos las medias: x=
3
3
9
9
9
4
2
8
16
4
72
=6
12
2º.Hallamos la covarianza: σxy =
4
4
16
16
16
y=
431
12
5
4
20
25
16
6
4
24
36
16
6
6
36
36
36
7
4
28
49
16
7
6
42
49
36
8
7
72
64
49
10
9
90
100
81
10
10
100
100
100
σy =
380
12
2
72
60
431
504
380
60
=5
12
6·5 = 5.92
3º.Calculamos las desviaciones típicas:
σx =
4º.Aplicamos la fórmula del coeficiente: r =
504
12
2
- 6 = 2.45
5.92
2.45 · 2.58
- 5 = 2.58
= 0.94
5º.Al ser r > 0, la correlación es directa, como r  1, la correlación es muy fuerte.
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Tema 9.- Distribuciones Unidimensionales. Parámetros
Recta de Regresión
La recta de regresión es la que mejor se ajusta a la nube de puntos. Pasa por el punto x, y llamado centro de
gravedad.
Recta de regresión de Y sobre X
Recta de regresión de X sobre Y
Para estimar los valores de la Y a partir de los de la X.
Para estimar los valores de la X a partir de los de la Y.
Pte:
y-y=
xi
yi
σxy
σ2x
Pte:
· x-x
x - x=
σxy
σ2y
r=0
r=0
y=y
x=x
2
1
3
3
4
2
4
4
5
4
6
4
6
6
7
4
7
6
8
7
10
9
· y-y
10
10
n
xi
yi
xi · yi
2
xi
2
yi
2
1
2
4
1
3
3
9
9
9
4
2
8
16
4
1º. Hallamos las medias: x =
72
12
4
4
16
16
16
5
4
20
25
16
=6
2º. Hallamos la covarianza: σxy =
431
12
6
4
24
36
16
y=
60
12
6
6
36
36
36
7
4
28
49
16
7
6
42
49
36
10
10
100
100
100
72
60
431
504
380
8
7
72
64
49
10
9
90
100
81
σy =
380
2
-5 = 2.58
12
=5
- 6·5 = 5.92
3º. Calculamos las desviaciones típicas:
4º. Recta de Regresión de y sobre x:
5º. Recta de Regresión de x sobre y:
σx =
y-5=
x-6=
504
12
2
- 6 = 2.45
5.92
2
2.58
5.92
2.45
2
x - 6 → y = 0.987x - 0.922
y - 5 → x = 0.889y + 1.556
x = 0.8 y + 1.5
y= 0.9 x + 0.9
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