Sucesiones en Rn

Sucesiones en Rn
Definición 1. Una sucesión en Rn es cualquier lista infinita de vectores en Rn x1 , x2 , ..., xk , ...
algunos de los cuales o todos ellos pueden coincidir entre si.
Dada una sucesión x1 , x2 , ..., xk , ... se define de manera natural una función de los enteros
positivos N en Rn tal que a cada entero positivo k se le asigna un vector xk ∈ Rn
A la colección ordenada de los elementos de una sucesión la denotaremos
{xk }∞
k=1 ,
{xk }
1
Ejemplos.-Considerando el espacio R2 sea la sucesión {xk }∞
1 dada por xk = k, k cuyos elementos podemos listar como sigue:
1
1
(1, 1), 2,
, 3,
, ...
2
3
Considerando la sucesión {xk } ∈ Rn . Cada vector xk ∈ {xk } esta dado de la siguiente manera:
xk = (x1,k , x2,k , ..., xn,k )
Es decir, dicho vector define de manera natural n sucesiones en R {x}, las cuales llamaremos
sucesiones componentes o sucesiones proyección, ası́, la primera sucesión componente del ejemplo anterior es: {x1,k } = k y la segunda sucesión proyección del ejemplo anterior es {x2,k } = k1
k+1 1
Ejemplos.-Sea la sucesión {xk }∞
1 dada por xk = k+2 , 2k cuyas sucesiones componentes son:
x1k =
k+1
k+2
x1k
k
1
= 1+
k
1
2k
1 k
k
,
x2k =
Ejemplos.-Sea la sucesión {xk }∞
1 dada por xk =
nentes son:
1+
x2k =
1
√
k
k
√
k
k,
x3k =
q k
1
k
r
1
k
k
cuyas sucesiones compo-
Convergencia de Sucesiones en Rn
n
n
Definición 2. Una sucesión {xk }∞
1 en R se dice que converge a un vector x en R si
∀ >0
∃ N0 ∈ N tal
que kxk − xk < ∀k > N0
En este caso diremos que la sucesión es convergente y que x es el limite de la sucesión y
escribimos
lı́m xk = x
k→∞
n
Proposición 1. Unicidad del Limite Consideremos una sucesión {xk }∞
1 en R y sean
x, y ∈ Rn tal que
x = lı́m xk
k→∞
y
y = lı́m xk
k→∞
entonces x = y
Demostración. Supongamos que x 6= y y tomemos = 12 kx − yk > 0.
Por definición
x = lı́mk→∞ xk por lo que ∃N0x ∈ N tal que kxk − xk < para k > N0x
y analogamente se tiene que
y = lı́mk→∞ xk por lo que ∃N0y ∈ N tal que kxk − yk < para k > N0y
Sea ahora N0 = máx{N0x , N0y } entonces se cumple simultaneamente que
kxk − xk < y kxk − yk < para k > N0 ∴
kx − yk = kx − xk + xk − yk ≤ kx − xk k + kxk − yk < 2 = 2
n
Proposición 2. Sea {xk }∞
1 una sucesión en R y sean
{x1k }∞
1 = (x11 , x12 , ...)
{x2k }∞
1 = (x21 , x22 , ...)
..
.
2
1
kx − yk
2
= kx − yk(f also)
{xnk }∞
1 = (xn1 , xn2 , ...)
∞
las sucesiones componentes de la sucesión {xk }∞
1 . Entonces la sucesión {xk }1 converge a x =
(x1 , x2 , ...) en Rn si y solo si para cada j = 1, 2, ... se tiene que xnj converge a xj
Demostración. Supóngase que la sucesión {xk }∞
1 converge a x = (x1 , x2 , ...) esto quiere decir
que ∃N0 ∈ N tal que kxk − xk < para k > N0 y dado que
0 ≤ |xjk − xj | ≤ kxk − xk < entonces se tiene que
0 ≤ |xjk − xj | < lo que significa que
lı́m xjk = xj
k→∞
Reciprocamente, supongamos que para cada j
lı́m xjk = xj
k→∞
lo que significa que
|xjk − xj | <
∴
n
0 ≤ kxk − xk ≤ |x1k − x1 | + |x2k − x2 | + ... + |xnk − xn | <
∴
Ejemplo.-Consideremos la sucesión xk =
1
= 0,
k→∞ k
lı́m x1k = lı́m
k→∞
lı́m xjk = x
k→∞
1
, k
k k+1
tenemos que
k
= lı́m
k→∞ k + 1
k→∞
lı́m x2k = lı́m
k→∞
+ + ... + = n n
n
k
k
k
k
+
1
k
1
k→∞ 1 +
= lı́m
1
k
=1
∴ lı́mk→∞ xk = (0, 1) = x
Ahora para comprobarlo tenemos que
r
√
s
2 s
1
k
1
k
1
1
2
2
kxk − xk = k , k + 1 − (0, 1) = k 2 + k + 1 − 1 = k 2 + (k + 1)2 < k 2 = k
3
√
∴
√
√
2
2
2
∴
<⇔
< k ∴ N0 =
k
1
k
Si k > N0 ∴ entonces ,
− (0, 1)
<
k k+1
Definición 3. Deciimos que A ⊂ Rn es un conjunto acotado si y solo si ∃M > 0 tal que ∀a ∈ A
se cumple kak ≤ M
Proposición 3. Sea {xk } ⊂ Rn , si {xk } converge entonces {xk } es acotada
Demostración. Si {xk } converge entonces lı́mk→∞ xk = x ⇒ lı́mk→∞ xk,j = xj ∀j = 1, ..., n por
lo tante se tiene {xk,j } es acotada y por tanto ∃Mj > 0 tal que |xk,j | ≤ Mj ∀k ∴ se tiene que
kxk k ≤ |x1,k | + |x2,k | + · · · + |xn,k | ≤ n · máx{xk,j } = n · Mj = M
∴ {xk } es acotada
Teorema 1. Un subconjunto A ⊂ Rn es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de
acumulación
Demostración. (⇒) Suponemos que A es cerrado. Sea x un punto de acumulación de A y
/ A. Como Ac es abierto y x ∈ Ac existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ Ac ∴
suponemos que x ∈
B(x, r) ∩ A = ∇ pues x es punto de acumulaión de A
(⇐) Supongamos que A contiene a todos sus puntos de acumulación. Sea U = Ac queremos
probar que U es abierto. Sea x ∈ U como x no es de acumulación ∃r > 0 tal que B(x, r) ∩ A = ∅
∴ B(x, r) ⊂ Ac ∴ Ac es abierto
Teorema 2. Sea A ⊂ Rn y x ∈ Rn . Entonces, x es un punto de acumulación de A si y solo si
∃{xk } ∈ A con xk 6= x ∀k tal que xk → x
Demostración. ⇒ Suponemos que x es punto de acumulación de A entonces para cada k ∈ N
∃ xk ∈ A ∩ B(x, k1 ) con xk 6= x ∴ xk → x
⇐ Sea B(x, r) como xk → x ∃k0 ∈ N tal que xk ∈ B(x, r) ∀k > k0 ∴ ∃ xk ∈ A ∩ B(x, r) ∴ x es
punto de acumulación
4
Criterio de Convergencia de Cauchy
Definición 4. Sea {xk } una sucesión de puntos de Rn . Se dice que {xk } es una sucesión de
Cauchy si dado > 0 ∃N0 ∈ N tal que kxk − xl k < ∀k, l ≥ N0
Teorema 3. Una sucesión {xk } ∈ Rn es convergenta si y solo si cumple el criterio de Cauchy
Demostración. ⇒ Suponemos que {xk } → x ∴ kxk − xk < ∀k > N0 . Se tiene entonces que
kxk − xl k = kxk − x + x − xl k ≤ kxk − xk + kx − xl k <
+ =
2 2
∀k, l > N0 ∴ {xk } cumple la condición de Cauchy
⇐ Supongamos que {xk } cumple la condición de Cauchy por tanto se tiene que:
kxk − xl k < ⇒ |xi,k − xi,l | < ∀i ⇒ {xi,k } cumple Cauchy
∴ xi,k es convergente ∀i ∴ {xk } es convergente
Teorema 4. (Bolzano-Wierstrass) Toda sucesión xk en Rn acotada tiene un punto limite.
Dicho de otro modo, toda sucesión en Rn tiene una subsucesión convergente
Demostración. Sea xk en Rn suponiendo xk es acotada, entonces cada xi,k es acotada ∴ según
el teorema de Bolzano-Wierstrass para sucesiones en R {xi,k } tiene una subsucesión convergente
αi,k la cual es una sucesión convergente, ∴ podemos formar la sucesiòn xα,k = {xα,1,k , xα,2,k , ..., xα,n,k }
la cual es una sucesión convergente, pero xα,k es subsucesión de xk ∴ xk tiene una subsucesión
convergente
Definición 5. Sea A un subconjunto de Rn . Se dice que A es compacto cuando toda sucesión
de puntos de A tiene una subsucesión que converge a un punto de A.
Teorema 5. Sea A ⊂ Rn . Entonces, A es compacto si, y solo si, A es cerrado y acotado.
Demostración. (⇒) Supongamos que A es compacto. Sea {xk } una sucesión de elementos de
A tal que xk → x en Rn . Por la compacidad de A, {xk } tiene una subsucesión convergente a
5
un punto de A. ∴ x es punto de acumulación de A ∴ A es cerrado
Si A no fuera acotado podriamos encontrar xk ∈ A tal que kxk − l k ≥ k por lo que {xk } no
tendra ninguna subsucesión convergente ∇ ∴ A es acotado
(⇐) Supongamos ahora que A es cerrado y acotado. SPG consideraremos el caso R2 . Sea
xk = (x1,k , x2,k ) ⊂ A al ser xk acotado entonces x1,k y x2,k es acotada ∴ Por el teorema de
Bolazano-Weierstrass existe {xα,1,k } y {xα,2,k } subsucesiones de {x1,k } y {x2,k } respectivamente,
cada una de las cuales converge a xα,1 y xα,2 y como A es cerrado (xα,1 , xα,2 ) ∈ A ∴ A es
compacto
Lema 1. Si Ai ⊂ R son conjuntos acotados, entonces A = A1 × A2 × · · · × An es un conjunto
acotado
Demostración. Como Ai es acotado ∃ri > 0 tal que Ai ⊂ B(0, ri ). Entonces si consideramos
r = n · máx{r1 , r2 , ..., rn } se tiene que
A ⊂ B(0, r1 ) × B(0, r2 ) × ... × B(0, rn ) ⊂ B(0, r)
con lo cual A es acotado
Teorema 6. Los intervalos cerrados y acotados de R son compactos
Demostración. Sea xn una sucesión de puntos del intervalo [a, b] ⊂ R, según el teorema de
Bolzano-Weierstrass ∃ una subsucesión convergente xα,n de xn y el lı́mite de esta sucesión
pertence a [a, b].
Si [a, b] y [c, d] ⊂ R y ambos son compactos entonces A = [a, b] × [c, d] es compacto en R2
Demostración. Sea z k = (xk , yk ) una sucesión cualquiera de [a, b] × [c, d] com [a, b] es compacto
∃ xα,i,k subsucesión de xk que tiene limite en [a, b]. Analogamente por la compacidad de [c, d]
∃ yα,i,k que posee limite en [c, d], entonces la sucesión zα,i,k = (xα,i,k , yα,i,k ) es una subsucesión
de la sucesión zk que converge a (x, y) ∈ [a, b] × [c, d]. ∴ [a, b] × [c, d] es compacto.
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