92,5k - Mestre a casa

1
Razones trigonométricas de la suma
Ejercicio 1 Utilizando las siguientes fórmulas
sin( + ) = sin cos + cos sin
sin(
) = sin cos
cos sin
cos( + ) = cos cos
sin sin
cos( + ) = cos cos + sin sin
tan + tan
tan
tan
tan( + ) =
tan(
)=
1 tan tan
1 + tan tan
calcula
sin 15o ; cos 15o ; tan 15o
sin 75o ; cos 75o ; tan 75o
sin 105o ; cos 105o ; tan 105o
sin 165o ; cos 165o ; tan 165o
sin 195o ; cos 195o ; tan 195o
sin 255o ; cos 255o ; tan 255o
sin 285o ; cos 285o ; tan 285o
sin 345o ; cos 345o ; tan 345o
Ejercicio 2 Demuestra que
sin
Ayuda: sin
2
= cos
2
= 1 y cos
2
y que cos
= sin
2
=0
Ejercicio 3 Demuestra que
sin
Ayuda: sin
2
2
+
= 1 y cos
= cos
2
y que cos
2
+
=
sin
=0
Ejercicio 4 Demuestra que
sin (
Ayuda: sin
= 0 y cos
) = sin
=
y que cos (
)=
cos
1
Ejercicio 5 Demuestra que
sin ( + ) =
Ayuda: sin
= 0 y cos
=
sin
y que cos ( + ) =
1
1
cos
Ejercicio 6 Demuestra que
sin
Ayuda: sin 32 =
3
2
=
cos
y que cos
3
2
=
sin
1 y cos 32 = 0
Ejercicio 7 Demuestra que
sin
Ayuda: sin 32 =
3
+
2
=
cos
y que cos
3
+
2
= sin
1 y cos 32 = 0
Ejercicio 8 Demuestra que
sin (2
)=
sin
y que cos (2
) = cos
Ayuda: sin 2 = 0 y cos 2 = 1
8
Ejercicio 9 Sabiendo que cos x = 17
, sin y = 35 , y que los ángulos x e y
o
o
pertenecen al 2 y 1 cuadrante respectivamente calcula
sin(x + y); cos(x + y) .¿En qué cuadrante estará el ángulo x + y
sin(x y); cos(x y) .¿En qué cuadrante estará el ángulo x y
p
p
Ejercicio 10 Sabiendo que tan x =
5, cot y =
5 , y que los ángulos x e
y pertenecen ambos al 2o cuadrante calcula
sin x; cos x; sin y; cos y; sin(x + y); tan(x + y) .¿En qué cuadrante estará el ángulo
x+y
sin(y x); tan(y x) .¿En qué cuadrante estará el ángulo y x
Ejercicio 11 Si sabemos que cos 78o = 0:2079 y sin 37o = 0:6018:Calcula sin 41o ; cos 41o ; tan 41o
Ejercicio 12 Con los datos del problema anterior calcula sin 115o ; cos 115o ; tan 115o
Ejercicio 13 Si sin x = 35 y 2 < x <
qué cuadrante estará x + 34 ?
Ejercicio 14 Si cos x =
qué cuadrante estará x
15
17
3?
y
2
Calcula sin(x +
<x<
2
Calcula sin(x
3
4
); cos(x +
3 ); cos(x
3
4
) .¿En
3)
.¿En
2
Razones trigonométricas del ángulo doble
Utilizando lás fórmulas del ángulo doble
sin 2 = 2 sin cos
tan 2 =
cos 2 = cos
2
2
sin
2 tan
1 tan2
=
8
< 1
:
2 sin2
2 cos2
a)
1 b)
Ejercicio 15 De las expresiones a) y b) deduce las relaciones que nos permitan
expresar el sin2 , cos2 , tan2 en función del cos 2
12
y que pertenece al 2o cuadrante;
Ejercicio 16 Si sabemos que sin = 13
calcula:
sin 2 , cos 2 y tan 2 ¿Cuadrante de 2 ?
5
Ejercicio 17 Si sabemos que tan = 13
y que
pertenece al 1o cuadrante;
calcula:
sin 2 , cos 2 , tan 2 , ¿Cuadrante de 2 ?
Ejercicio 18 Si sabemos que sec = 17
pertenece al 3o cuadrante;
8 y que
calcula:
sin 2 , cos 2 y tan 2 ¿Cuadrante de 2 ?
Ejercicio 19 Utilizando las relaciones obtenidas en el ejercicio 15, calcula sin 15o ; cos 15o ; tan 15o :Después
compáralas con laspobtenidas en el ejercicio 1.
Ayuda: cos 30o = 23
8 s
p
>
3
p p
>
1
>
2
>
= 64 2
>
>
>
2
>
>
>
>
>
s
>
p
>
<
p p
1 + 23
2
(Opcional) Demuestra que
= 6+
4
>
2
>
>
>
>
>
v
>
p
> u
>
3
>
u1
p
>
>
t
>
p2 = 2
3
>
:
1 + 23
Ejercicio 20 Utilizando las relaciones obtenidas en el ejercicio 15, calcula sin 75o ; cos 75o ; tan 75o :Después
compáralas con las obtenidas
en el ejercicio 1.
p
3
Ayuda: cos 150o =
2
Ejercicio 21 Dadas las siguientes expresiones
sin 2
sin 4
sin 8
cos ; sin 2 + cos ; sin 2
sin 2 ; sin 4 + sin 2 ; sin 4
cos 4 ; sin 8 + cos 4 ; sin 8
3
sin ; sin 2 + sin ;
cos 2 ; sin 4 + cos 2 ;
sin 4 ; sin 8 + sin 4
sin 2 + sin 4 ; sin 2 sin 4 ; sin 2 + cos 4 ; sin
factorízalas en forma de producto
2
+ cos
4
Ejercicio 22 Dadas las siguientes expresiones
cos 2
cos ; cos 2 + cos ; cos 2
sin ; cos 2 + sin ;
cos 4
sin 2 ; cos 4 + sin 2 ; cos 4
cos 2 ; cos 4 + cos 2 ;
cos 8
cos 4 ; cos 8 + cos 4 ; cos 8
sin 4 ; cos 8 + sin 4 ;
cos 2 + sin 4 ; cos 2 sin 4 ; cos 2 + cos 4 ; cos 2 + cos 4
exprésalas en función de una misma razón trigonométrica (misma razón y
mismo ángulo)
8
< sin 4x = 4 cos3 x sin x 4 cos x sin3 x
Ejercicio 23 Demuestra que
:
cos 4x = 8 cos4 x 8 cos2 x + 1
Ejercicio 24 Demuestra que
sin 3x
sin x
cos 3x
cos x
Ejercicio 25 Demuestra que tan 50o
=2
tan 40o = 2 tan 10
Ejercicio 26 Demuestra las siguientes identidades
cos x + sin x cos x sin x
cos x sin x cos x + sin x = 2 tan 2x
sin x + cos x sin x cos x
sin x cos x sin x + cos x =
tan sin 2 = 2 sin2
cot sin2 = 2 cos2
1 cot2
1 + cot2
1 tan2
2
cos 2 = 1 + tan
cos 2 =
cot sin 2 = 1 + cos 2
1 + cos 2
sin 2
= cot
tan sin 2 = 1 cos 2
1 cos 2
sin 2
= tan
cos 3 = 4 cos3
sin (3x) =
cos4 x =
1
3
8
+
1
2
3 cos
cos 2x +
1
8
sin4 x =
cos 4x
1 tan A
sin 2A
= 1 + tan A
cos 2A
sin3 z cos3 z
sin z cos z
=1+
1
2
4 sin3 x + 3 sin x
3
8
1
2
cos 2x +
1
8
cos 4x
1 + tan A
1 + sin 2A
= 1 tan A
cos 2A
sin3 z+cos3 z
sin z+cos z
sin 2x
Ayuda para las dos últimas:
2 tan 2x
3
A B
A B
3
= A2 + AB + B 2 y
4
1
2
=1
3
A +B
A+B
3
sin 2x
= A2
AB + B 2
3
Fórmulas del ángulo mitad
Sabemos por el ejercicio 15 que:
1 cos 2
1 + cos 2
sin2 =
cos2 =
2
2
8
2
(1
cos
2
)
>
>
=
>
>
< (1 + cos 2 ) (1 cos 2 )
1 cos 2
2
tan
=
=
>
1 + cos 2
>
(1 cos 2 ) (1 + cos 2 )
>
>
:
=
2
(1 + cos 2 )
De lo cual se puede inferir fácilmente que:
sin
2
r
=
1
cos
2
cos
2
=
r
1 + cos 2
2
tan
2
(1
1
o
1
2
cos2 2
2
(1 + cos 2 )
=
2
cos 2 )
(1 cos 2 )
=
cos2 2
sin2 2
r
=
1 cos
1 + cos
sin2 2
2
(1 + cos 2 )
8
(1
>
>
>
<
cos )
sin
o
=
>
sin
>
>
:
(1 + cos )
Ejercicio 27 Utilizando las fórmulas del ejercicio 15 o las anteriores expresa el
sin2 3x; cos2 3x y tan2 3x en función del cos 6x
Ejercicio 28 Utilizando las fórmulas anteriores expresa el sin2 2x; cos2 2x y
tan2 2x en función del cos 4x
x
x
x
Ejercicio 29 Utilizando las fórmulas anteriores expresa el sin2 ; sin2 y tan2
4
4
4
x
en función del cos
2
o
o
o
o
Ejercicio
p 30
p Calcula el sin 7:5p; cos 7:5
p y tan 7:5 utilizando que cos 15 =
6+ 2
6
2
y que sin 15o =
4
4
p
2
o
o
o
o
Ejercicio 31 Calcula el sin 22:5 ; cos 22:5 y tan 22:5 utilizando cos 45 =
p
p 2
6
2
Calcula el sin 37:5o ; cos 37:5o y tan 37:5o utilizando cos 75o =
4
o
o
o
o
Ejercicio
p 32 pCalcula el sin 52:5 ; cos 52:5 y tan 52:5 utilizando cos 105 =
6+ 2
4
Ejercicio
33 Calcula el sin 67:5o ; cos 67:5o y tan 67:5o utilizando cos 135o =
p
2
2
Ejercicio
34 Calcula el sin 82:5o ; cos 82:5o y tan 82:5o utilizando cos 165o =
p p
6
4
2
Ejercicio
35 Calcula el sin 97:5o ; cos 97:5o y tan 97:5o utilizando cos 195o =
p p
6
4
2
5
Ejercicio
36 Calcula el sin 112:5o ; cos 112:5o y tan 112:5o utilizando cos 225o =
p
2
2
Ejercicio
37 Calcula el sin 127:5o ; cos 127:5o y tan 127:5o utilizando cos 255o =
p p
6+ 2
4
Ejercicio 38 Expresa sin4 x; cos4 x y tan4 x en función del cos 2x y del cos 4x
Ejercicio 39 Expresa sin4 3x; cos4 3x y tan4 3x en función del cos 6x y del
cos 12x
x
x
x
Ejercicio 40 Expresa sin4
; cos4
y tan4
en función del cos x y del
2
2
2
cos 2x
x
Ejercicio 41 Expresar tan2
+ cos x 1 en función del cos x
2
x
+ cos x 1 en función del cos x
Ejercicio 42 Expresar cot2
2
x
Ejercicio 43 Expresar sec2
+ cos x 1 en función del cos x
2
x
+ cos x 1 en función del cos x
Ejercicio 45 Expresar csc2
2
Ejercicio 46 Expresa sin4 2x; cos4 2x y tan4 2x en función del cos 4x y del
cos 8x
Ejercicio 47 Expresa sin4
y del cos 8x
3
2x
3
; cos4
2x
3
y tan4
2x
3
en función del cos
4x
3
Ejercicio 48 (Opcional)
Calcula el sin 142:5o ; cos 142:5o y tan 142:5o utilizando
p p
cos 285o = 6 4 2
Ejercicio
49 Calcula el sin 157:5o ; cos 157:5o y tan 157:5o utilizando cos 315o =
p
2
2
Ejercicio 50 (Opcional)
Calcula el sin 172:5o ; cos 172:5o y tan 172:5o utilizando
p p
2
cos 345o = 6+
4
Ejercicio 51 Calcula
el sin 202:5o ; cos 202:5o y tan 202:5o utilizando cos 405o =
p
2
o
cos 45 = 2
Ejercicio 52 (Opcional) pCalcula
el sin 217:5o ; cos 217:5o y tan 217:5o utilizando
p
6
2
o
o
cos 435 = cos 75 =
4
Ejercicio 54 Si cos x =
y tan x2
12
13
y x pertenece al 3r cuadrante, calcula sin
6
x
2
; cos
x
2
4
Transformación de productos en sumas
1. sin( + ) = sin cos
2. sin(
+ cos sin
) = sin cos
cos sin
Sumando 1 y 2 tendremos
sin( + ) + sin(
Si aislamos sin cos
) = 2 sin cos
Suma de senos
tendremos
sin cos
=
1
[sin( + ) + sin(
2
)]
Calculando la diferencia entre 1 y 2 tendremos
sin( + )
sin(
Si aislamos cos sin
) = 2 cos sin
Resta de senos
tendremos
cos sin
=
1
[sin( + )
2
3. cos( + ) = cos cos
sin sin
4. cos( + ) = cos cos
+ sin sin
sin(
)]
Sumando 3 y 4tendremos
cos( + ) + cos(
) = 2 cos cos
Suma de cosenos
Si aislamos cos cos tendremos
cos cos
=
1
[cos( + ) + cos(
2
)]
Calculando la diferencia entre 1 y 2 tendremos
cos( + )
cos(
Si aislamos sin sin
)=
2 sin sin
Resta de cosenos
tendremos
sin sin
=
1
[cos( + )
2
cos(
)]
Si utilizamos otra nomenclatura para los ángulos (así no nos líamos) tendremos las siguientes cuatro relaciones:
sin C cos D = 12 [sin(C + D) + sin(C D)]
cos C sin D = 12 [sin(C + D) sin(C D)]
cos C cos D = 12 [cos(C + D) + cos(C D)]
sin C sin D = 12 [cos(C + D) cos(C + D)]
7
5
Transformación de sumas de senos y cosenos
en productos
Por la suma y diferencia de senos de la página anterior; sabemos que:
sin( + ) + sin(
) = 2 sin cos
suma de senos
sin( + )
) = 2 cos sin
resta de senos
sin(
Por la suma y diferencia de cosenos de la página anterior; sabemos que:
cos( + ) + cos(
) = 2 cos cos
cos( + )
)=
cos(
suma de cosenos
2 sin sin
resta de cosenos
Si realizamos la siguiente elección para los ángulos que aparecen
+
=A
=B
Es evidente que; podremos expresar
concreto; obtendremos
y
en función de A y de B:En
A+B
2
A B
2
=
=
Con lo que las cuatro expresiones anteriores, se convertirán en:
sin A + sin B = 2 sin
A+B
2
cos
A B
2
suma de senos
sin A
A+B
2
sin
A B
2
resta de senos
sin B = 2 cos
cos A + cos B = 2 cos
cos A
cos B =
2 sin
A+B
2
A+B
2
A B
2
cos
sin
suma de cosenos
A B
2
resta de cosenos
N ota1 No hemos deducido ninguna relación para calcular sin H +cos J pero;
teniendo presente que sin H = cos(90o H) entonces;
sin H + cos J = cos(90o
H) + cos J
Por la fórmula de suma de cosenos; obtendremos que
cos(90o
H) + cos J = 2 cos
1
= 2 cos 45o + J
2
90o
H +J
2
1
H cos 45o
2
8
cos
1
J
2
90o
H
2
1
H
2
J
=
N ota2 Vamos a transformar sin H + cos J :Teniendo presente que cos J =
sin(90o J) entonces;
sin H + cos J = sin H + sin(90o
J)
Por la fórmula de suma de senos; obtendremos que
H + 90o J
H
sin
2
1
1
1
= 2 sin 45o + H
J sin
H 45o +
2
2
2
sin H + sin(90o
J) = 2 sin
(90o
2
1
J
2
J)
=
Es sencillo comprobar que ambas expresiones son iguales; ya que:
cos 45o + 21 J
sin
1
2H
1
2H
= sin 90o
45o + 12 J cos 90o
(45o + 12 J
45o + 21 J
1
2H
= sin 45o + 21 H
1
2 H)
= cos 45o
1
2J
1
2J
1
2H
Ejercicio 55 Transformar en producto las siguientes expresiones:
sin 3x + sin x; sin 3x sin x; cos 3x + cos x ;cos 3x cos x; sin 3x + cos x;
sin 3x cos x; cos 3x + sin x; cos 3x sin x
Ejercicio 56 Simpli…car
cos 5x + cos x
sin 5x + sin x
Ejercicio 57 Simpli…car
cos 7x
sin 7x
cos 3x
sin 3x
Ejercicio 58 Factorizar la siguiente expresión
sin x + sin 3x + sin 5x
Ejercicio 59 Factorizar la siguiente expresión
sin x
sin 3x + sin 5x
Ejercicio 60 Factorizar la siguiente expresión
cos x + cos 3x + cos 5x
Ejercicio 61 Factorizar la siguiente expresión
cos x
cos 3x + cos 5x
Ejercicio 62 Expresa en forma de producto
sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x
9
Ejercicio 63 Transforma en suma los siguientes productos
a) sin 2x cos 4x
c) cos 2x cos 4x
e) sin 8x cos 3x
g) cos 8x cos 3x
b) cos 2x sin 4x
d) sin 2x sin 4x
f) cos 8x sin 3x
h) sin 8x sin 3x
Ejercicio 64 Factorizar la siguiente expresión
sin 3x + sin 5x + sin 7x
Ejercicio 65 Factorizar la siguiente expresión
sin 3x
sin 5x + ain7x
Ejercicio 66 Factorizar la siguiente expresión
cos 2x + cos 4x + cos 6x
Ejercicio 67 Factorizar la siguiente expresión
cos 2x
cos 4x + cos 6x
Ejercicio 68 Expresa en forma de producto
cos x + cos 3x + cos 5x + cos 7x
Ejercicio 69 Transforma en suma los siguientes productos
a) sin 5x cos 4x
c) cos 7x cos 4x
e) sin 9x cos 5x
g) cos 14x cos 3x
10
b) cos 5x sin 4x
d) sin 7x sin 4x
f) cos 9x sin 5x
h) sin 14x sin 3x