3.1. derivadas de segundo orden

CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería
3.1. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN
La derivada y ' = f ' ( x) =
dy
es la primera derivada de y con respecto a x, pero
dx
igualmente es posible realizar la derivada de la derivada,
d2y
y ' ' = f ' ' ( x) = 2 .
dx
Lo que se conoce como la segunda derivada de y con respecto a x.
En esta forma es posible realizar derivadas de derivadas para obtener derivadas de
orden superior.
Velocidad y Aceleración
En mecánica, si s = f (t ) da la posición en el instante t de
un cuerpo en movimiento, entonces:
La primera derivada ds
dt
2
d
s
La derivada segunda
da la velocidad, y
dt 2
da la aceleración del cuerpo
en el instante t.
Así la velocidad es la rapidez de cambio de la posición y la
aceleración es la rapidez de cambio de la velocidad.( Esto
es, la rapidez con que un cuerpo adquiere o pierde
velocidad.).
Ejemplo 1 :
Si f ( x ) = xCos ( x ) , encontrar f ′′ ( x )
f ′( x) = x
3.- Derivadas Algebraicas
d
d
Cos ( x ) ) + Cos ( x ) ( x )
(
dx
dx
f ′ ( x ) = − xSen ( x ) + Cos ( x )
Por la regla del producto
Reemplazando valores de las
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derivadas
Para obtener f ′′ ( x ) , se vuelve a derivar a f ′ ( x ) :
d
( − xSen ( x ) + Cos ( x ) )
dx
d
d
d
f ′′ ( x ) = − x ( Sen ( x ) ) + Sen ( x ) ( − x ) + ( Cos ( x ) )
dx
dx
dx
f ′′ ( x ) = − xCos ( x ) − Sen ( x ) − Sen ( x )
f ′′ ( x ) =
De la primera derivada.
Por la regla del producto
Reemplazando valores de las
derivadas
f ′′ ( x ) = − x Cos ( x ) − 2 Sen ( x )
Agrupando términos comunes
Ejemplo 2:
La posición de una partícula está dada por la ecuación:
s = f ( t ) = t 3 + 6t 2 + 9t
Donde t se mide en segundo y s en metros.
i. Halle la aceleración en el instante t .
La función de velocidad es la derivada de la función de posición:
s = f ( t ) = t 3 − 6t 2 + 9t
v (t ) =
ds
= 3t 2 − 12t + 9
dt
Función de posición
Derivando la función de posición.
La aceleración es la derivada de la función velocidad:
d 2 s dv
a (t ) = 2 =
= 6t − 12
dt
dt
ii. ¿Qué valor tiene la aceleración a los 4 segundos?
a ( 4 ) = 6 ( 4 ) − 12 = 24 − 12 = 12 m
Ejercicios Propuestos:
3.- Derivadas Algebraicas
seg 2
Segunda derivada.
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Determine la primera y segunda derivadas de cada una de las siguientes funciones:
1
f ( x ) = x5 + 6 x 2 − 7 x
2
f (t ) = t8 − 7 t 6 + 2 t 4
3
h ( x) =
4
g (r ) =
r +
5
f ( s ) = ( 3 s + 5)
6
g (u ) =
1
1− u
8
y = ( 1 − x2 )
10
x2 + x y + y 2 = 1
7
9
x2 + 1
8
x2
y=
x +1
2
x
y2
−
=1
a 2 b2
3.2. DIFERENCIACION
FRACCIONADAS
IMPLICITA
3
3
r
4
Y
POTENCIAS
No siempre se da el caso de que se pueda expresar la función en la forma y = f ( x ) ,
esto quiere decir que no siempre es posible expresar a y en términos de x, en ocasiones
sucede que una misma función corta el eje en más de una ocasión como sucede en las
funciones:
x2 + y2 −1 = 0
y2 − x = 0
En las que y no aparece explícitamente en términos de x. Es posible que una posición de
una función pueda ser expresada en términos de c, siempre y cuando la función pueda
ser definida dentro del intervalo cerrado [ a , b ] .
Método de diferenciación implícita.
Si una curva y = f (x) es lo suficientemente suave en todo su recorrido como para tener
tangente en cualquiera de sus puntos, entonces varias de sus partes serán graficas de
funciones diferenciables.
Cuando se tienen ecuaciones de la forma
x 5 + 4 xy 3 − 3 y 7 − 2 = 0
3.- Derivadas Algebraicas
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En donde no es posible o fácil de despejar explícitamente la variable dependiente en
términos de la variable independiente. Utilizando el método de diferenciación implícita es
posible determinar el valor de dy dx .
El método consiste en realizar la diferenciación término a término de cada uno de los
componentes de la ecuación original.
Esto es más claro si se analiza mediante la ayuda de un ejemplo.
Hallar dy dx para x y = 1
d
(xy ) = d (1)
dx
dx
dy
dx
x +y
=0
dx
dx
dy
x +y=0
dx
dy − y
=
dx
x
Derivando Implícitamente.
Igualando a cero
Derivada de x para x es
uno ( 1 ).
Despejando la derivada.
Como se puede apreciar el método consiste en plantear y despejar el término dy dx .
En este tipo de ecuaciones es perfectamente valida la representación de la derivada
como dy dx , como y′ .
Ejercicios
Derivar las siguientes expresiones:
2
3
x 2 + y 2 = 25
x3 + x 2 y + 4 y 2 = 6
5
x 2 y + xy 2 = 3 x
6
1
x+ y +
7
9
3
Tangentes
3.- Derivadas Algebraicas
x y =k
1 + x2 y2 = 2 x y
4
x3 + y 3 = 6 x y
x2 − 2 x y + y3 = c
y
= x2 + 1
x− y
8
x y = 1 + x2 y
10
x +
y =l
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Con el método de la diferenciación implícita es posible calcular el valor de la tangente a
una función para cualquier pareja de valores dados ( x , y ) , lo que se logra sustituyendo
en la ecuación de la derivada los valores dados de x y y.
Ejemplo 1:
Hallar la pendiente de la tangente en el punto
( 1 , 2 ) , para la función
x2 + x y + y 2 = 7
Se realiza la diferenciación en ambos lados del signo igual teniendo en cuenta que se
trata de derivadas de potencias y productos, las que se obtienen por los métodos que ya
se han visto.
2x
dy
dx
dy
dx
+ 2y
=0
+ x +y
dx
dx
dx
dx
(x + 2 y ) dy = −(2 x + y ) dx
dx
dx
(
dy − 2 x + y )
=
dx
(x + 2 y )
Para el caso particular del punto ( 1 , 2
dy
dx
(1, 2 )
=
)
Derivando respecto a x
Agrupando términos
Despejando
dy
dx
se tiene:
− 2(1) − 2
4
=−
1 + 2(2 )
5
Evaluando para el punto dado
El valor de la pendiente para el punto dado es −4
5
Rectas Normales
La recta normal a una curva en un punto dado se interpreta como la recta perpendicular
a la recta tangente a la función en ese punto.
Una aplicación de este concepto es el ángulo de incidencia de los rayos luminosos en
una lente de aumento.
Ejemplo:
Hallar la ecuación de las rectas normal y tangente a la curva:
3.- Derivadas Algebraicas
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y 2 − 6 x 2 + 4 y + 19 = 0 en el punto (2,1)
Se realiza diferenciación con relación a x en ambos lados de la igualdad.
dy
dx
dy
− 12 x + 4
=0
dx
dx
dx
dx
12 x
dy
dx = 12 x = 6 x
=
dx (2 y + 4) (2 y + 4) ( y + 2)
6(1) 6 3
dy
=
= =
dx (1, 2 ) 2 + 2 4 2
2y
3
(x − 2)
2
2
y − 1 = − (x − 2)
3
y −1 =
Por diferenciación Implícita.
Agrupando términos en
dy
dx
Evaluando para el punto dado.
Ecuación de la recta tangente.
Ecuación de la normal
En esta forma es posible obtener las ecuaciones de las rectas normal y tangente a una
función continua para un punto dado como ( x , y ) .
Ejercicios propuestos:
En los siguientes ejercicios, encontrar las ecuaciones de la recta normal y tangente a la
gráfica en el punto dado:
1.
x 2 + x y − y 2 = 1 en P ( 2 , 3
3.
x 2 + 4 y 2 = 4 en P
5. Sen ( y ) = x en
)
2 , −1
2.
2
( 1, π 2)
x 2 + y 2 = 25 en P ( 3 , − 4
(
4. 3 x 2 + y 2
6.
)
2
)
= 100 x y en P ( 3 , 1 )
x 2 ( x 2 + y 2 ) = y 2 en P
2
2
,
2
2
Potencias enteras negativas de una función diferenciable
Potencias enteras negativas de una función diferenciable
Regla No. 3.8
La derivada de
3.- Derivadas Algebraicas
y = u n , en un punto donde u = g (x) es
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diferenciable y distinta de cero, está dada por:
d n
du
u ) = n u n −1
(
dx
dx
Donde n es un entero negativo.
Regla de la potencias para exponentes fraccionados
Si u es una función diferenciable de x, y, q y p son enteros
con q > 0, entonces:
Regla No. 3.9
d
u
dx
p
q
p
= u
q
p
−1
q
du
dx
Siempre que u ≠ 0 si p q 1 .
Esta regla puede entenderse como la ampliación de la regla No. 6, en donde se ha
reemplazo n por
p , y equivale al cualquier número racional.
q
Ejercicios Resueltos :
1. Encuentre todos los puntos de la gráfica de y = x 3 − x 2 donde la tangente a la función
sea horizontal.
Por definición, una línea recta horizontal tiene pendiente cero, si la primera derivada
representa la pendiente de la recta tangente a la función, el problema se resuelve
buscando aquellos puntos para los cuales la primera derivada se hace cero.
Primera derivada: y ′ = 3 x 2 − 2 x
Para encontrar los puntos de tangencia horizontal se buscan los valores de x para los
cuales se cumpla que y′ = 0 , así:
y′ = 3x 2 − 2 x = 0
3.- Derivadas Algebraicas
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x ( 3x − 2 ) = 0
Para que la igualdad se cumpla, se requiere que, bien x = 0 , ó que
( 3 x − 2 ) = 0 , lo
que implica:
( 3x2 − 2 ) = 0
x1 = 0 y 3x2 = 2
x2 = 2
x1 = 0
x2 = 2
3
y = 03 − 0 2 = 0
3
( 3) −(23)
y= 2
3
2
= −4
27
2. La altura s en pies de una pelota sobre el piso a los t segundos está dada por
s = − 16 t 2 + 40 t + 100 .
Por definición de velocidad se sabe que la velocidad instantánea está definida con la
primera derivada evaluada en el momento dado.
a. Cuál es la velocidad instantánea cuando t = 2 ?
Para conocer el valor de la velocidad instantánea se evalúa la primera derivada
para el punto dado t = 2 :
s′ = −32t + 40
t =2
= −32 ( 2 ) + 40 = −64 + 40 = −24 ft
seg
b. Cuando es cero la velocidad instantánea?
La velocidad instantánea se hace cero para cuando la primera derivada de hace
cero, es decir para cuando la recta tangente a la función tiene pendiente cero.
s′ = −32 t + 40 = 0
3. Encontrar
32 t = 40
t = 40
32
dy
, si y = u 3 − 3 u 2 + 1 y u = x 2 + 2
dx
3.- Derivadas Algebraicas
=5
4
seg
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Por definición
y = u 3 − 3u 2
dy
dy
=
dx
du
du
, luego, si:
dx
dy
= 3u 2 − 6u , y u = x 2 + 2
du
Luego, la derivada será:
du
= 2x
dx
dy
= ( 3u 2 − 6u ) ( 2 x ) = ( 3 u )( u − 2 )( 2 x ) = 6 x u ( u − 2 )
dx
Para expresar esta derivada como
dy
, se utiliza la expresión u = x 2 + 2 , luego:
dx
dy
= 6 xu ( u − 2 ) = 6 x ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 2 ) − 2 = ( 6 x3 + 12 x )( x 2 ) = 6 x 5 + 12 x 3
dx
4. Hallar
dy
si x 2 y + 2 y 3 = 3x + 2 y ( Derivada Implicita )
dx
Derivando Implícitamente, se tiene:
x
2
d
d 2
y +y
x
dx
dx
1
d
d
= 3 ( x ) + x ( 3)
dx
dx
x2
dy
d
+ 2 3y
+ y3
( 2)
dx
dx
0
d
d
+ 2
( y) + y
( 2)
dx
dx
dy
dx
dy
dx
dy
+ y2x + 2 3y2
=3 +2
dx
dx
dx
dx
dx
dy
dy
dy
dx
dx
x2
+ 6 y2
− 2 = 3 − y2x
dx
dx
dx
dx
dx
dy 2
dx
x + 6 y 2 − 2 ) = ( 3 − 2 yx )
(
dx
dx
( 3 − 2 yx )
dy
= 2
dx ( x + 6 y 2 − 2 )
3.- Derivadas Algebraicas
0
=
2
0
Eliminando términos nulos:
Agrupando términos en
Factorizando:
Despejando
dy
dx
dy
dx
y
dx
, se tiene:
dx