EL MOVIMIENTO ABSOLUTO DE UNA PARTÍCULA. UN ESTUDIO

MOVIMIENTO ABSOLUTO DE UNA PARTÍCULA. UN ESTUDIO INTRÍNSECO. CARLOS S. CHINEA
EL MOVIMIENTO ABSOLUTO DE
UNA PARTÍCULA. UN ESTUDIO
INTRÍNSECO.
El movimiento de una partícula material en el espacio de tres dimensiones
puede ser referido a un sistema cartesiano fijo, a un triedro exterior, y
respecto al cual se desplaza la partícula, pero también puede referirse un
triedro solidario a la partícula y que, por consiguiente, se desplaza con ella.
En el primer caso decimos que el movimiento absoluto de la partícula se
refiere de forma extrínseca o cartesiana, y en el segundo caso, que se hace
una referencia intrínseca del movimiento.
1.
2.
3.
4.
5.
Las magnitudes básicas.
Un triedro móvil fijo a la partícula.
Expresión intrínseca de la velocidad y la aceleración.
Paso a una expresión cartesiana.
Obtención de la expresión intrínseca desde una
cartesiana.
6. Documentación.
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED.
expresión
JUNIO 2003
1
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE UNA PARTÍCULA. UN ESTUDIO INTRÍNSECO. CARLOS S. CHINEA
1. Las magnitudes básicas:
Sea una partícula P que en un determinado instante se encuentra en la posición
v
indicada por el vector x (t ) con referencia al triedro externo K.
Se define la velocidad y la aceleración instantánea de la partícula P con respecto al
v
sistema K, por las derivadas respectivas del vector x (t ) :
Velocidad:
r
dx ( t )
v
v (t ) =
dt
v
v
d 2 x (t)
Aceleración: a ( t ) =
dt 2
La trayectoria de la partícula es el arco de curva S descrito en su movimiento.
La partícula se desplaza en
su trayectoria definida por el
arco S al variar el tiempo. El
sistema de referencia K permanece
inmóvil
en
el
exterior.
Respecto del sistema K se
expresan los vectores de
posición de la partícula, de
su
velocidad
y
de
su
aceleración
mediante
las
correspondientes derivadas.
El triedro
{
}
v v v
K = O; i , j , k está fijo y sirve de referencia cartesiana a la expresión de
la velocidad y la aceleración.
v
v
v
v
v (t ) = v1 (t ).i + v 2 (t ). j + v 3 (t ).k
En un intervalo de tiempo cualquiera
[
]
v
v
v
v
a ( t ) = a1 (t ).i + a 2 (t ). j + a 3 (t ).k
[t1 ,t 2 ]
la partícula describe un arco de curva
S(t), t∈ t1 ,t 2 . Podemos, también, eliminar el tiempo y toma r el arco S como
parámetro.
r
dx (t )
es unitario, es decir, de módulo 1.
dS
v v
v
r r
dx dx
dx
2
2
2
2
2
Efectivamente: dS = dx1 + dx 2 + dx 3 → dS = dx .dx →
.
=1→
=1
dS dS
dS
Teorema: El vector
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED.
JUNIO 2003
2
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE UNA PARTÍCULA. UN ESTUDIO INTRÍNSECO. CARLOS S. CHINEA
2. Un triedro móvil fijo a la partícula:
r
r
dx
El vector unitario e t =
se llama vector unitario tangente a la trayectoria, o,
dS
simplemente, versor tangente. Puesto que su módulo es constante (la unidad), su
variación con respecto a cualquier variable es solamente de dirección.
Esto nos indica que su derivada con respecto al arco S es perpendicular al mismo:
r
r
det
r
dx
es perpendicular al vector e t =
dS
dS
Llamaremos vector unitario normal a la trayectoria, o, simplemente, versor normal,
al vector unitario:
v
de t
r
e n = dS
r
det
dS
Finalmente, definimos el vector binormal a la trayectoria, o bien, versor binormal,
como el vector unitario
v
eb que cumple la condición vectorial
v
v v
eb = et ∧ en
Los tres versores anteriores definen un triedro solidario a la partícula en su
movimiento que se denomina triedro móvil o también triedro intrínseco en el
movimiento de la partícula.
Los tres planos del triedro móvil se llaman:
-
{evt , evn }.
v v
plano normal (Πn): definido por los versores normal y binormal {en , eb }.
v v
plano rectificante (Πr): definido por los versores tangente y binormal {et , eb } .
plano osculador (Πo ): definido por los versores tangente y normal
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED.
JUNIO 2003
3
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE UNA PARTÍCULA. UN ESTUDIO INTRÍNSECO. CARLOS S. CHINEA
La dirección tangencial del movimiento es la intersección de los planos osculador y
rectificante, y es una subvariedad engendrada por el versor tangente.
v
Π o I Π r , engendrada por et
La dirección normal del movimiento es la intersección de los planos normal y
osculador, y es una subvariedad engendrada por el versor normal.
v
Π o I Π n , engendrada por en
La dirección binormal del movimiento es la intersección de los planos rectificante y
normal, y e un subvariedad engendrada por el versor binormal.
v
Π r I Π n , engendrado por eb
Radio de curvatura:
Se llama radio de curvatura R de la trayectoria de la partícula al radio de la
circunferencia osculatriz (tangente a la trayectoria y contenida en el plano
osculador) en el punto de la situación de la partícula.
El módulo de la variación del versor tangente con respecto al arco:
v
det
1
Se verifica que es
= . En efecto, de la figura se tiene que es dS = R.dφ , y
dS
R
v
de t
v
v
1
v dS
también es det = e ( s ) .dφ = 1.dφ = dφ , por lo cual: de t =
→
=
R
ds
R
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED.
JUNIO 2003
4
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE UNA PARTÍCULA. UN ESTUDIO INTRÍNSECO. CARLOS S. CHINEA
3. Expresión intrínseca de la velocidad y de la aceleración:
El vector velocidad pertenece a la dirección tangencial del movimiento:
v
v
dx ( t ) dx ( t ) ds ds v
v
v (t ) =
=
. = .et
dt
ds dt dt
que podemos representar por:
v
v
v (t ) = s&.et
El vector aceleración pertenece al plano osculador:
r
v
2
v
r
dv ( t ) d  ds v  d 2 s v ds det d 2 s v  ds  det
a (t) =
=  et  = 2 .et + .
= 2 .e t +  .  .
=
dt
dt  dt  dt
dt dt
dt
 dt  ds
2
v
2
d 2 s v  ds  det v
d 2 s v  ds  1 v
= 2 .et +  .  .
.en = 2 .et +  .  . .e n
dt
dt
 dt  ds
 dt  R
que representamos por:
v
v s& 2 v
a ( t ) = &s&.et + .en
R
El primer sumando de la expresión del vector aceleración se llama aceleración
tangencial, y está en la dirección del versor tangente, y el segundo sumando se
llama aceleración normal y tiene la dirección del versor normal.
v
v
aceleración tangencial: a t (t ) = &s&.et ,
s& 2 v
v
aceleración normal: a n ( t ) =
.en
R
en definitiva, la expresión intrínseca de la velocidad y la aceleración viene dada por
v
v
v (t ) = s&.et
v
v s& 2 v
a ( t ) = &s&.et + .en
R
Expresiones de la aceleración tangencial y normal en función del vector velocidad y
del vector aceleración:
Se tiene:
v
v
at = a . cosθ ,
v
v
a n = a .senθ
Y los productos vectorial y escalar entre los
vectores velocidad y aceleración muestran:
v v v v
a ∧ v = a . v .senθ
vv v v
a.v = a . v . cos θ
o sea:
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED.
JUNIO 2003
5
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE UNA PARTÍCULA. UN ESTUDIO INTRÍNSECO. CARLOS S. CHINEA
v v v v
a ∧ v = an .v
vv v v
a.v = a t . v
Por tanto, se tiene:
v r
a∧v
v
an = v
v
vr
a .v
v
at = v
v
[1]
Radio de curvatura:
v v
a∧v 
v
an = v 
v v
v2
v3
a ∧ v .v
v
v 
v 2  ⇒ vv = R ⇒ R = av ∧ vv
.v 
v
an =
R 
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED.
[2]
JUNIO 2003
6
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE UNA PARTÍCULA. UN ESTUDIO INTRÍNSECO. CARLOS S. CHINEA
4. Paso a una expresión cartesiana:
Desde la expresión intrínseca del vector velocidad y del vector aceleración puede
pasarse a una expresión cartesiana, en un sistema de referencia cartesiano con dos
de sus ejes contenidos en el plano osculador, plano en el que, como sabemos, se
encuentran contenidos tanto el vector velocidad (en la dirección del versor
tangente) como el vector aceleración (expresado en las dos direcciones del plano
osculador, versores tangente y normal):
Consideremos, pues, en el plano osculador el sistema de referencia
expresión de los versores tangente y normal en dicho sistema:
{vi , vj }
y la
Se tienen las siguientes expresiones de los versores
tangente y norma l en función del angulo ϕ:
r
v
v
et = cos ϕ.i + senϕ. j
v
v
v
e n = −senϕ.i + cos ϕ. j
Por lo que al sustituir en las expresiones intrínsecas
de los vectores velocidad y aceleración, se tiene:
v
v
v
v
v
v
v (t ) = s&.e t = s&.(cos ϕ.i + senϕ. j ) = s&. cos ϕ.i + s&.senϕ. j
v
v s& 2
v
v
v
v s& 2 v
a ( t ) = &s&.et + .e n = &s&.(cos ϕ.i + senϕ. j ) + (− senϕ.i + cos ϕ. j ) =
R
R
2
2
v

s&


s&
v
=  &s&. cos ϕ − senϕ .i +  &s&.snϕ + cos ϕ . j
R
R




En definitiva:
v
v
v
v (t ) = s&. cos ϕ.i + s&.sen ϕ. j

v 
v
s& 2
s& 2
v
a ( t ) =  &s&. cos ϕ −
senϕ.i +  &s&.senϕ + cos ϕ. j
R
R




DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED.
JUNIO 2003
7
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE UNA PARTÍCULA. UN ESTUDIO INTRÍNSECO. CARLOS S. CHINEA
5. Obtención de la expresión intrínseca desde una expresión cartesiana:
Supongamos las expresiones de vector velocidad y del vector aceleración en un
triedro exterior de la forma:
v
v
v
vv
v (t ) = v1 i + v 2 j + v3 k ,
v
v
v
v
a (t ) = a1 i + a 2 j + a3 k
Podríamos obtener tanto la aceleración tangencial como normal, y también el radio
de curvatura R, utilizando las expresiones [1] y [2] de la sección 3.
r
v
a ∧ v
v
an =
v
v
vr
a .v
v
at = v
v
v3
v
R= v v
a∧v
Efectivamente:
Siendo
v v a
a ∧v =  2
 v2

v v
a .v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 ,
(
v
2
2
2
v = v1 + v 2 + v3
)
1
2
2
2
a3
a
+ 3
v3
v3
a1
a
+ 1
v1
v1
(
v3
2
2
2
v = v1 + v2 + v 3
,
)
3
2
a 2 
v2 

1
2
2
se tiene:
vv
a .v a1 v1 + a 2 v2 + a 3 v 3
v
at = v =
1
v
v1 2 + v2 2 + v 3 2 2
(
 a2

v r v
2
a∧v
v
an = v = 
v
)
2
a3
a
+ 3
v3
v3
(v
2
1
v3
v
R= v v =
a ∧v 
 a2
 v2

(v
1
2
2
+ v 2 2 + v3 2
+ v 2 2 + v 32
a3
a
+ 3
v3
v3
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED.
2
a1
a
+ 1
v1
v1
2
)
3
)
1
2
a2 
v2 

1
2
2
2
a1
a
+ 1
v1
v1
2
a2 
v2 

1
2
JUNIO 2003
8
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE UNA PARTÍCULA. UN ESTUDIO INTRÍNSECO. CARLOS S. CHINEA
6. Documentación:
ALONSO Marcelo-FINN, Eduard J., Física, Vol I (Mecánica). Ed Fondo Educativo
Interamericano, 1970, Panamá.
LANDAU, Lev-Lifshitz, E., Mecánica (Vol I del curso de Física Teórica). Ed. Mir
Moscú, 1979
FINZI, Bruno, Mecánica Racional, Vol I. , Urmo, S.A. de Ediciones, 1976
DIVULGACIÓN DE LA FÍSICA EN LA RED.
JUNIO 2003
9